Что такое вещественные числа в информатике: Представление вещественных чисел — урок. Информатика, 8 класс.

Содержание

целые, вещественные, комплексные — Питошка


Числа в Python 3: целые, вещественные, комплексные. Работа с числами и операции над ними.

Целые числа (int)

Числа в Python 3 ничем не отличаются от обычных чисел. Они поддерживают набор самых обычных математических операций:

x + y Сложение
x — y Вычитание
x * y Умножение
x / y Деление
x // y Получение целой части от деления
x % y Остаток от деления
-x Смена знака числа
abs(x) Модуль числа
divmod(x, y) Пара (x // y, x % y)
x ** y Возведение в степень
pow(x, y[, z]) xy по модулю (если модуль задан)

Также нужно отметить, что целые числа в python 3, в отличие от многих других языков, поддерживают длинную арифметику (однако, это требует больше памяти). y

Побитовое исключающее или x & y Побитовое и x << n Битовый сдвиг влево x >> y Битовый сдвиг вправо ~x Инверсия битов

Дополнительные методы

int.bit_length() — количество бит, необходимых для представления числа в двоичном виде, без учёта знака и лидирующих нулей.

>>> n = -37
>>> bin(n)
'-0b100101'
>>> n.bit_length()
6

int.to_bytes(length, byteorder, *, signed=False) — возвращает строку байтов, представляющих это число.

>>> (1024).to_bytes(2, byteorder='big')
b'\x04\x00'
>>> (1024).to_bytes(10, byteorder='big')
b'\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x04\x00'
>>> (-1024).to_bytes(10, byteorder='big', signed=True)
b'\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xfc\x00'
>>> x = 1000
>>> x.to_bytes((x.bit_length() // 8) + 1, byteorder='little')
b'\xe8\x03'

classmethod int.from_bytes(bytes, byteorder, *, signed=False) — возвращает число из данной строки байтов.

>>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='big')
16
>>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='little')
4096
>>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=True)
-1024
>>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=False)
64512
>>> int.from_bytes([255, 0, 0], byteorder='big')
16711680

Системы счисления

Те, у кого в школе была информатика, знают, что числа могут быть представлены не только в десятичной системе счисления. К примеру, в компьютере используется двоичный код, и, к примеру, число 19 в двоичной системе счисления будет выглядеть как 10011. Также иногда нужно переводить числа из одной системы счисления в другую. Python для этого предоставляет несколько функций:

  • int([object], [основание системы счисления]) — преобразование к целому числу в десятичной системе счисления. По умолчанию система счисления десятичная, но можно задать любое основание от 2 до 36 включительно.
  • bin(x) — преобразование целого числа в двоичную строку.
  • hex(х) — преобразование целого числа в шестнадцатеричную строку.
  • oct(х) — преобразование целого числа в восьмеричную строку.

Примеры:

>>> a = int('19') # Переводим строку в число
>>> b = int('19.5')  # Строка не является целым числом
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in
ValueError: invalid literal for int() with base 10: '19.5'
>>> c = int(19.5)  # Применённая к числу с плавающей точкой, отсекает дробную часть
>>> print(a, c)
19 19
>>> bin(19)
'0b10011'
>>> oct(19)
'0o23'
>>> hex(19)
'0x13'
>>> 0b10011  # Так тоже можно записывать числовые константы
19
>>> int('10011', 2)
19
>>> int('0b10011', 2)
19

Вещественные числа (float)

Вещественные числа поддерживают те же операции, что и целые. Однако (из-за представления чисел в компьютере) вещественные числа неточны, и это может привести к ошибкам:

>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1
0.9999999999999999

Для высокой точности используют другие объекты (например Decimal и Fraction)).

Также вещественные числа не поддерживают длинную арифметику:

>>> a = 3 ** 1000
>>> a + 0.1
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in
OverflowError: int too large to convert to float

Простенькие примеры работы с числами:

>>> c = 150
>>> d = 12.9
>>> c + d
162.9
>>> p = abs(d - c)  # Модуль числа
>>> print(p)
137.1
>>> round(p)  # Округление
137

Дополнительные методы

float.as_integer_ratio

() — пара целых чисел, чьё отношение равно этому числу.

float.is_integer() — является ли значение целым числом.

float.hex() — переводит float в hex (шестнадцатеричную систему счисления).

classmethod float.fromhex(s) — float из шестнадцатеричной строки.

>>> (10.5).hex()
'0x1.5000000000000p+3'
>>> float.fromhex('0x1.5000000000000p+3')
10.5

Помимо стандартных выражений для работы с числами (а в Python их не так уж и много), в составе Python есть несколько полезных модулей.

Модуль math предоставляет более сложные математические функции.

>>> import math
>>> math.pi
3.141592653589793
>>> math.sqrt(85)
9.219544457292887

Модуль random реализует генератор случайных чисел и функции случайного выбора.

>>> import random
>>> random.random()
0.15651968855132303

Комплексные числа (complex)

В Python встроены также и комплексные числа:

>>> x = complex(1, 2)
>>> print(x)
(1+2j)
>>> y = complex(3, 4)
>>> print(y)
(3+4j)
>>> z = x + y
>>> print(x)
(1+2j)
>>> print(z)
(4+6j)
>>> z = x * y
>>> print(z)
(-5+10j)
>>> z = x / y
>>> print(z)
(0.44+0.08j)
>>> print(x.conjugate())  # Сопряжённое число
(1-2j)
>>> print(x.imag)  # Мнимая часть
2.0
>>> print(x.real)  # Действительная часть
1.0
>>> print(x > y)  # Комплексные числа нельзя сравнить
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in
TypeError: unorderable types: complex() > complex()
>>> print(x == y)  # Но можно проверить на равенство
False
>>> abs(3 + 4j)  # Модуль комплексного числа
5.0
>>> pow(3 + 4j, 2)  # Возведение в степень
(-7+24j)

Также для работы с комплексными числами используется также модуль cmath.

Вещественные числа. Раздаточный материал для урока.

Просмотр содержимого документа
«Вещественные числа. Раздаточный материал для урока.»

Основы программирования на Python. 8 класс.


В ещественные числа. Ввод с клавиатуры.

Для преобразования данных из стокового представления в вещественное используется функция:

float — функция преобразования в вещественный тип

Ввод одного вещественного числа с клавиатуры без подсказки

a=float(input())

Ввод одного вещественного числа с клавиатуры с подсказкой

a=float(input(“a=“))

Ввод двух вещественных чисел с клавиатуры через пробел

a , b = map(float,input().split())

Вещественные числа. Хранение в памяти.

Вещественные числа. Форматный вывод.

При выводе на экран вещественных чисел по умолчанию выводится 16 цифр в дробной части.

Например, если написать команду print (16/7), то на экране появится число 2.2857142857142856

Если нам такой вариант не нужен, то используют форматный вывод

Форматный вывод одного вещественного числа с клавиатуры

print (“{:f}”.format(a)) # оставляет 6 цифр в дробной части

p rint (“{:10.3f}”.format(a))

p rint (“{:.3f}”.format(a))

Функции для работы с вещественными числами.

П ри работе с вещественными числами часто приходится округлять их до ближайших целых чисел. Для этого в языке Python есть 2 функции:

int(x) — отбрасывание дробной части вещественного числа x

round(x) — округление вещественного числа x до ближайшего целого

Другие математические функции объединены в модуль

math

Можно подключить сразу все функции из модуля написав строку:

from math import *

Н иже приводятся 2 функции из модуля math:

sqrt(x) – вычисление арифметического квадратного корня из числа x

pi – математическая постоянная величина

Задания для работы:

1. Составьте программу для вычисления значений вещественной переменной С (начальное значение чисел a, b вводятся с клавиатуры).
После каждого выполнения операций в программе запишите команду форматного вывода на экран.


Заполните в тетради таблицу:

значение a

значение b

c=a+1/3

с=a+4/2*3+6

c=(a+4)/2*3

c=(a+4)/(b+3)*a

Таблица 1

2. Что будет выведено в результате работы следующей программы?

x=172.3658

print(x)

print(“{:10.2f}”.format(x))

print(“{:.8f}”.format(x))

Домашнее задание:

Напишите программу, которая вычисляет квадратный корень введенного числа. Исходное число вводите с клавиатуры.

Вычислите с помощью этой программы квадратные корни из чисел:
221841; 32005.21; 15239.9025

Результаты вычислений запишите в тетради.

Числовые типы данных в Питоне. number types in python.

Каждый язык программирования имеет свои типы числовых данных, а также методы и операции для работы над ними. Не волнуйтесь: среди программистов далеко не все являются математическими гениями. Если бы все были математическими гениями, то не писали бы глючных веб-приложений, и могли ездить на дорогих гоночных автомобилях.

Числовой тип данных относится к встроенному типу данных в Python. Числа, используемые в Питоне, почти так же, как и в обычной математике, подразделяются на целые, вещественные и комплексные. И если с двумя первыми из них более менее ясно, то с комплексными нужно сделать небольшой экскурс и практику. Хотя практика у нас в курсе будет и по всем остальным системам счисления. В самом начале кратко пробежимся по системам счисления, а затем перейдем к определению и классификации числовых типов данных на Питоне.


В этом языке программирования не нужно изначально определять типы переменных. Сразу хочется сказать, что Питон динамически определяет типы переменных. Это означает, что если у вас переменная была изначально целочисленная, то потом в результате выполнения программы она может стать, к примеру, вещественной. В каких-то случаях удобно, в каких-то нет.



Системы счисления в Питоне

В компьютере числа могут быть представлены в нескольких системах счисления. В жизни и при решении задач мы с вами пользуемся десятичной системой счисления.

Пример представления одного и того же числа в разных системах счисления.


1210=11002=148=C16

Как вы знаете, в компьютере используется, прежде всего, двоичная система счисления. Поэтому, понимание подобных систем очень важно для программирования.

Существуют определённые правила преобразования чисел из одной системы счисления в другую, об этом вы сможете узнать в одном из наших уроков. И если в других языках программирования требуется писать специальные программы преобразования, чтобы представить такие числа, то в Питоне всё гораздо проще. Для этих целей в языке Python выделено несколько полезных и простых функций:


  • int([x], [основание системы счисления]) — преобразование числа x к целочисленному типу в десятичной системе счисления. По умолчанию задана система счисления десятичная, но можно основание от 2 до 36.
  • bin(x) — преобразование целого числа в двоичную строку.
  • hex(х) — преобразование целого числа в шестнадцатеричную строку.
  • oct(х) — преобразование целого числа в восьмеричную строку.


Целые числа в Питоне

Что такое целые числа? Во-первых, это ряд натуральных чисел — 1,2,3, и т.д. Но также это и ноль, и все отрицательные числа без дробной части.

Тип целочисленных данных в Питоне похож на все остальные языки программирования, однако при вычислении может занимать очень много места, если этого требует операция. Например, возведение числа в очень большую степень. Поэтому целые числа могут быть очень большими.

В Питоне 3 зарезервирован лишь один вида целого числового типа int, в отличие от предыдущей версии Питона

int (простое целое число) Они имеют 32-битную точность (или допустимый диапазон от -2147483648 до +2147483647),

Функция int() отбрасывает дробную часть числа, а не округляет его.


x = 13.11
x=int(x)
print("x=",x)

Результат выполнения:


Python 3.5.2 (default, Dec 2015, 13:05:11)
[GCC 4.8.2] on linux
>>>
x= 13
>>>

Функция int() «округляет» отрицательные числа в сторону увеличения. Она не возвращает целую часть числа.


x = -13.81
x=int(x)
print("x=",x)

Результат выполнения:


Python 3.5.2 (default, Dec 2015, 13:05:11)
[GCC 4.8.2] on linux
>>>
x= -13
>>>

Вещественные числа в Питоне

Что такое вещественные числа? Обычно, в книгах ничего не поясняя, говорят, что это числа с плавающей точкой: -0.2, 0.0, 3.14159265 и т.д. Откуда взялась эта плавающая точка?

Вещественными числами называют объединенные множества всех дробных и иррациональных чисел.

Обратите внимание, что в математике мы должны использовать «плавающую запятую». Т.е. пишем число, которое имеет дробную часть в виде числом с запятой, как 0,89 или 3,0. В питоне, как и во множестве других языков программирования, вместо запятой используют для разделения целой и дробной части не запятую, а точку.

Точность чисел с плавающей точкой равна 15 десятичным знакам в дробной части. Из-за этой особенности представления в компьютере вещественные числа неточны, что иногда приводит к ошибкам:


a=123.12
b=123.122
print(a+b)

Результат выполнения:


Python 3.5.2 (default, Dec 2015, 13:05:11)
[GCC 4.8.2] on linux

246.24200000000002

Чтобы избежать ошибки нужно принудительно округлить результат, либо отбросить последние знаки после запятой.


a=123.12
b=123.122
print(round(a+b,3))

Результат выполнения:


Python 3.5.2 (default, Dec 2015, 13:05:11)
[GCC 4.8.2] on linux
246.242


Комплексные числа в Питоне

Этот тип данных стоит особняком. В школьном курсе математики про комплексные числа написано тоже мало. Однако такие числа нашли применение при описании реальных процессов. К примеру, электрического поля в пространстве.

В общем виде, в математике, комплексное число записывается так:


z=x+iy

, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: i2 = ? 1 . Множество комплексных чисел обычно обозначается символом C.

Квадратный корень числа -1 записывается в виде (0, 1j). Умножение комплексных чисел выполняется согласно следующему правилу: (a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)


x = 1 + 1j
s=x*x
print("x=",s)

Результат вычисления


Python 3.5.2 (default, Dec 2015, 13:05:11)
[GCC 4.8.2] on linux
>>>
x= 2j
>>>

Всякое комплексное число имеет реальную и мнимую части.

В Питоне любое число можно преобразовать в комплексное с помощью функции complex().

Пример преобразования числа


Python 3.6.0 (v3.6.0) [MSC v.1900 32 bit (Intel)] on win32
Type "copyright", "credits" or "license()" for more information.
>>>
========= RESTART: D:/progs/python/complex.py ========
>>> complex(67)
(67+0j)
>>>

Чтобы задать полную форму этого числа необходимо использовать сразу два аргумента этой функции.


a=complex(67, 34)
print(a)

Примеры вычислений числовых значений комплексных чисел


x = complex(1, 3)
y = complex(2, 4)
print("x=", x)
print("y=",y)
z = x + y
print("z=",z)
z = x - y
print("z=",z)
z = x*y
print("z=",z)
z = x/y
print("z=",z)
print("/n")
print(x.conjugate()) # Сопряжённое число числа x
print(x.imag) # Мнимая часть числа x
print(x.real) # Действительная часть числа x

Смотрим результат вычислений


Python 3.5.2 (default, Dec 2015, 13:05:11)
[GCC 4.8.2] on linux

x= (1+3j)
y= (2+4j)
z= (3+7j) - сумма комплексных чисел
z= (-1-1j) - разность комплексных чисел
z= (-10+10j) - произведение комплексных чисел
z= (0.7+0.1j) - результат деления комплексных чисел

(1-3j) - Сопряжённое число числа x
3.0 - Мнимая часть числа x
1.0 -Действительная часть числа x

Итак, мы с вами изучили, какие существуют числовые типы данных для Питона версии 3. Если вы думаете, что я пропустил ещё один целочисленный тип под названием long, тот тут нет моей вины. Дело в том, что он используется только во второй версии Питона.

Более подробно с вычислениями в Питоне вы познакомитесь в одном из наших уроков, а также при решении примеров.


Дополнительные возможности оператора вывода Как в Питоне запустить Черепашку?

Тест по информатике Электронные таблицы 9 класс

Тест по информатике Электронные таблицы с ответами для учащихся 9 класса. Тест включает в себя 2 варианта, каждый вариант состоит из 2 частей (часть А, часть В). В части А — 5 заданий, в части В — 1 задание.

1 вариант

Часть А

А1. Наименьшая структурная единица электронной таблицы

1) табличный курсор
2) ячейка
3) строка меню
4) строка заголовка

А2. Содержимым ячейки не может быть

1) текст
2) видео
3) формула
4) число

А3. В таблице отражены темпы роста производства некото­рой продукции на различных предприятиях в разные годы.

Предприятие 2016 г. 2015 г. 2014 г. Среднее значение
1 160 300 200 220
2 150 600 150 300
3 140 100 300 180
4 150 180 300 210

Отметьте номер предприятия с максимальным ростом производства.

1) 1
2) 2
3) 3
4) 4

А4. В электронных таблицах целая и дробная части веще­ственного числа разделяются

1) точкой
2) двоеточием
3) пробелом
4) запятой

А5. Математический эквивалент формулы электронной таблицы (25+15)/(3+5)*10

Часть В

В1. Вставьте пропущенные слова.

Формирование электронных таблиц предполагает __________, редактирование и __________ документа.

2 вариант

Часть А

А1. Пиктограммы для вызова наиболее часто выполняемых команд электронных таблиц содержат

1) строку заголовка
2) рабочую область
3) строку меню
4) панель инструментов

А2. Содержимым ячейки не может быть

1) текст
2) аудио
3) формула
4) число

А3. В таблице отражены темпы роста производства некото­рой продукции на различных предприятиях в разные годы.

Предприятие 2016 г. 2015 г. 2014 г. Среднее значение
1 160 300 200 220
2 150 600 150 300
3 140 100 300 180
4 150 180 300 210

Отметьте номер предприятия с минимальным ростом производства.

1) 1
2) 2
3) 3
4) 4

А4. В электронных таблицах при употреблении в записи числа точки в качестве разделителя число интерпрети­руется как

1) дата
2) вещественное число
3) время
4) дробь

А5. Математический эквивалент формулы электронной таблицы (25+15)/3 +5*10

Часть В

В1. Впишите пропущенные слова.

Для электронной таблицы может быть установлен один из режимов: режим отображения __________ или __________.

Ответы на тест по информатике Электронные таблицы
1 вариант
А1-2
А2-2
А3-2
А4-4
А5-1
В1. заполнение, форматирование
2 вариант
А1-4
А2-2
А3-3
А4-1
А5-1
В1. формул, значений

Тест по информатике Представление чисел в компьютере 8 класс

Тест по информатике Представление чисел в компьютере 8 класс с ответами. Тест включает в себя 2 варианта. В каждом варианте по 7 заданий.

Вариант 1

1. Беззнаковое представление может быть использовано для объекта:

1) адрес ячейки
2) температура в холодное время года
3) отрицательное вещественное число
4) значение переменной, меньшее нуля

2. Десятичный эквивалент числа 01001111, записанного в прямом коде, 8-разрядном формате со знаком:

1) 69
2) 79
3) 59
4) 78

3. В 8-разрядном формате может быть сохранено число:

1) 28010
2) 10112
3) 4428
4) 13C16

4. Отрицательное число, представленное в 8-разрялном прямом коде:

1) 01111001
2) 10010000
3) 01110110
4) 00000001

5. Представление числа 314,713 в экспоненциальной фор­ме с нормализованной мантиссой:

1) 3,14713 · 102
2) 0,31471ЗЕ+03
3) 3,14713Е02
4) 0,0314713Е+04

6. Естественная форма записи числа 0,67Е+03:

1) 670
2) 6,7 · 102
3) 0,67 · 103
4) 67

7. Запишите допустимые значения количества разрядов в компьютерном представлении целых чисел.

Вариант 2

1. Беззнаковое представление не может быть использо­вано для объекта:

1) адрес ячейки
2) температура в холодное время года
3) положительное число
4) счетчик количества символов в слове

2. Десятичный эквивалент числа 10010001, записанного
в прямом коде, 8-разрядном формате со знаком:

1) 17
2) -17
3) 145
4) -145

3. В 8-разрядном формате не может быть сохранено число:

1) 28010
2) 10112
3) 3468
4) 4516

4. Положительное число, записанное в 8-разрядном прямом коде

1) 11111001
2) 00010000
3) 11110110
4) 10000001

5. Представление числа 5438,9 в экспоненциальной фор­ме с нормализованной мантиссой:

1) 5,4389 · 103
2) 0,54389Е+04
3) 543,89Е01
4) 0,0543893Е+05

6. Естественная форма записи числа 0,345Е+04:

1) 3450
2) 3,45 · 103
3) 0,345 · 104
4) 345

7. Впишите пропущенные слова.

Положительные числа хранятся в компьютере в ___________ коде, отрицательные — в __________ коде.

Ответы на тест по информатике Представление чисел в компьютере 8 класс
Вариант 1
1-1
2-2
3-2
4-2
5-2
6-1
7. 8, 16, 32, 64
Вариант 2
1-2
2-2
3-1
4-2
5-2
6-1
7. прямом, дополнительном

формальных языков — Грамматика и действительные числа

Почему нельзя иметь набор реалов в терминальных символах? Потому что вам придется перечислить их ВСЕ, а там бесконечное количество реалов. Однако мы можем (и делаем) строить сами вещественные числа из конечных символов, поэтому мы просто возвращаемся к построению действительных чисел. Прежде чем мы рассмотрим, могут ли вещественные числа быть выражены в виде формального языка, помните, что действительные числа состоят из:

  • Целые числа
  • Рационы
  • Иррациональность

, и поэтому формальный язык должен учитывать все эти типы, поскольку каждый тип должен быть представлен для того, чтобы были представлены все.Использование регулярных выражений:

Пусть D := {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, d := {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

ℤ := 0 | (+|-)dD*
ℚ := 0/(+|-)dD* | (+|-)dD*/(+|-)dD*
𝕁 := (+|-)DD*.D*

Следовательно, наш алфавит

.

Σ := {+,-,/,.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Это почти язык, однако обратите внимание, что у нас не может быть пустой строки, представляющей действительное число L , которое на формальном языке технически является предложением, поэтому:

Σ+ = Σ* — {λ} (где λ — пустая строка)

Что означает, что r ∈ ℝ в теоретико-множественной нотации является эквивалентом L ∈ Σ+ в формальных языках.Таким образом, Σ+ — это совокупность всех действительных чисел, и поэтому по построению существует. Отсюда мы можем использовать Σ+ в качестве генератора примитивов для других грамматик, где примитивом является просто . Везде, где встречается терминальный символ , мы можем сгенерировать или проверить, соответствует ли строка символов определению .

Таким образом, хотя технически мы не можем построить грамматику из актуальной бесконечности действительных чисел, мы можем построить ее окольными путями как потенциальную бесконечность.В этом отличие математики и информатики, поскольку машина Тьюринга бесконечна только в математической теории, а не в физической практике.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Читайте комментарии ниже, пока я не обновлю пост с результатами туда и обратно.

Почему числа с плавающей запятой неточны?

1. Введение

Объем памяти компьютера ограничен. Однако действительные числа в , вообще говоря, не имеют конечного равномерного представления.Например, представьте рациональное число как десятичное значение: это невозможно сделать точно! Поскольку в памяти компьютера может храниться только конечное число цифр, действительные числа должны быть каким-то образом аппроксимированы (округлены или усечены) при представлении на компьютере.

В этом руководстве мы рассмотрим основные идеи представления с плавающей запятой и изучим пределы точности с плавающей запятой при выполнении практических численных вычислений.

2. Округление и измельчение

Существует два различных способа округления вещественного числа до заданного количества десятичных знаков.

При дроблении мы просто опускаем все десятичные знаки справа от й цифры . Например, усеченный до десятичного знака дает .

При округлении до ближайшего мы выбираем десятичное число, ближайшее к . Например, рассмотрим округление до десятичного разряда. Есть два возможных кандидата: и . На действительной числовой прямой находится на расстоянии от , а находится на расстоянии . Итак, ближайший и округляем до .

Интуитивно мы сравниваем дробную часть числа справа от й цифры, то есть с .Как , мы увеличили th цифру, то есть на .

Что если мы хотим округлить до десятичных знаков? Заметьте, что дробная часть равна . Так как оставляем th цифру без изменений. Итак, результат , который действительно ближе всего к .

В общем случае пусть будет дробной частью числа справа от й цифры (после запятой). Если , мы увеличиваем th цифру. Если , мы оставляем th цифру без изменений.

В случае ничьей, когда равноудалено от двух десятичных -значных чисел, мы увеличиваем th десятичное число, если оно нечетное, или оставляем без изменений, если оно четное.Таким образом, ошибка округления десятичного числа одинаково часто бывает положительной или отрицательной.

Давайте посмотрим еще несколько примеров округления и отсечения, чтобы убедиться, что это усвоилось. Предположим, что нас интересует округление всех величин до десятичных знаков:

Разница между измельчением и округлением имеет значение в реальном мире! Индекс Ванкуверской фондовой биржи начал торговаться в 1982 году с базовым значением . Хотя базовые акции вели себя неплохо, в конце 1983 года индекс начал достигать минимума в 500 пунктов.Компьютерная программа пересчитывала значение индекса тысячи раз каждый день, и программа использовала дробление вместо округления до ближайшего. Округленный расчет дал значение .

3. Компьютерные системы нумерации

В повседневной жизни мы представляем числа в десятичной системе счисления с основанием . В десятичной системе мы знаем, что если цифра стоит цифрами справа от десятичной точки, то значение, которое она вносит, равно . Например последовательность цифр означает:

   

На самом деле любое целое число (или может быть использовано в качестве основы.Аналогично, каждое действительное число имеет уникальное представление в виде:

.

   

или компактно, где коэффициенты, цифры в системе, положительные целые числа такие, что .

3.1. Алгоритм преобразования между двумя системами счисления

Рассмотрим задачу преобразования между двумя системами счисления с разными основаниями. Для конкретики попробуем преобразовать в бинарный формат. Мы можем написать:

   

Мы можем вытащить множитель из каждого члена, кроме последнего, и эквивалентно написать:

   

Интуитивно поэтому, если бы мы разделили на , то выражение в скобках, назовем его , будет частным и остатком от деления.Точно так же, поскольку деление на вернет выражение в скобках как частное; назовите его , а в качестве остатка.

В общем случае, если это целое число с основанием и мы хотим определить его представление в системе счисления с основанием , мы выполняем последовательные деления с : множество и

   

— это частное и остаток от деления.

Посмотрим на результат применения алгоритма к:

Следовательно, .

3.2. Преобразование дробей в другую систему счисления

Если действительное число не является целым, мы пишем его как , где целая часть и

   

– дробная часть, которую необходимо определить.

Заметьте, что, умножая обе части на базовые выходы,

   

целое число и дробная часть. Целая часть точно равна первой цифре числа, представленного в базе . Последовательные цифры получаются как целые части при последовательном умножении на .

В общем случае, если дробь должна быть преобразована в другую систему счисления с основанием , мы выполняем последовательное умножение на : set и

   

Рассмотрим пример перевода в двоичную систему счисления:

Следовательно, в двоичной системе.

3.3. Представление с фиксированной и плавающей запятой

Компьютеры оборудованы для обработки фрагментов информации фиксированного размера, называемых словом . Типичная длина слова составляет 32 или 64 бита.

Ранние компьютеры производили численные вычисления в системе счисления с фиксированной точкой. То есть действительные числа представлялись с использованием фиксированного количества двоичных цифр в дробной части. Если длина слова компьютера составляет биты (включая знаковый бит), то разрешены только числа в ограниченном интервале. Это ограничение проблематично, так как, например, даже при и возможно, что находится за пределами интервала .

В системе счисления с плавающей запятой вещественное число представляется как:

   

Дробная часть числа называется мантисса или мантисса.называется показателем и является основанием. Ясно, что , потому что если , то всегда можно уменьшить показатель степени на и сдвинуть запятую на один разряд вправо.

Мантисса и показатель степени ограничены фиксированной длиной слова в компьютерах. округляется до числа с цифрами, а показатель степени лежит в определенном диапазоне.

Таким образом, мы можем представлять только числа с плавающей запятой вида:

   

Система счисления с плавающей запятой полностью характеризуется основанием, точностью, числами и .Так как , множество , содержит, включая число ,

   

номера. Интуитивно, есть выбор для знака. Цифру можно выбрать из набора . Каждая из последовательных цифр может быть выбрана из . Показатель степени можно выбрать из чисел. По правилу умножения есть различимые числа. Включение числа дает нам выражение выше.

3.4. Почему числа с плавающей запятой неточны?

Рассмотрим игрушечную систему счисления с плавающей запятой.В наборе ровно цифры. Положительные числа в наборе показаны ниже:

Очевидно, что не все действительные числа, например в , присутствуют в . Более того, не все числа с плавающей запятой расположены одинаково; интервал прыгает в множитель при каждой степени .

Интервал между числами с плавающей запятой характеризуется машинным эпсилоном , который представляет собой расстояние от до следующего по величине числа с плавающей запятой.

Если действительное число находится в диапазоне системы с плавающей запятой, очевидно, что следует округлить до , где число с плавающей запятой в , ближайшее к . Уже должно быть ясно, что представление by приводит к ошибке .

Один интересный вопрос: насколько велика эта ошибка? Было бы здорово, если бы мы могли гарантировать, что ошибка округления ни в какой точке не превышает определенной величины. Все любят гарантию! Другими словами, мы ищем верхнюю границу относительной ошибки:

   

Вспомните из предыдущего обсуждения, что при округлении до десятичных знаков мы оставляем th десятичный знак без изменений, если часть , числа справа от th десятичного знака, меньше, чем , в противном случае увеличить th десятичного числа на .Здесь мы работаем с общей базой вместо десятичной. Следовательно, ошибка округления в мантиссе ограничена:

   

Таким образом, относительная ошибка округления в ограничена:

   

Современные стандарты операций с плавающей запятой, такие как IEEE, гарантируют эту верхнюю границу. Эта верхняя граница называется единицей округления и обозначается .

4. Стандарт IEEE с плавающей запятой в двух словах

Реальные компьютерные аппаратные реализации систем с плавающей запятой отличаются от игрушечной системы, которую мы только что разработали.Большинство современных компьютеров соответствуют стандарту IEEE 754 для двоичной арифметики с плавающей запятой. Существует два основных основных формата — с одинарной и двойной точностью, требующие 32-битной и 64-битной памяти.

В одинарной точности число с плавающей запятой хранится как знак (бит), показатель степени (биты), мантисса (биты).

При двойной точности биты выделяются для экспоненты , тогда как биты выделяются для мантиссы . Экспонента хранится как .

Значение числа с плавающей запятой в обычном случае:

   

Обратите внимание, что перед двоичной точкой всегда стоит цифра , похожая на научную запись, которую мы изучали в старшей школе.Таким образом, бит получается для мантиссы.

4.1. Особенности арифметики с плавающей запятой

Рассмотрим следующее сравнение:

  (0,10 + 0,20) == 0,30  

Результат этого логического сравнения неверен. Такое резкое поведение ожидается, потому что система с плавающей запятой не работает. Однако давайте посмотрим на происходящее глубже.

Давайте введем формат с двойной точностью. Поскольку положительный, знак бит .

в базовой научной нотации можно записать как .Это означает, что мы должны учитывать число в диапазоне и степень . Если мы разделим на разные степени , мы получим:

   

Следовательно, . Показатель степени хранится как , поэтому битовый шаблон в части показателя степени равен .

Мантисса — это дробная часть в двоичной форме. Последовательное умножение на быстро дает . Однако формат двойной точности распределяет биты по мантиссе, поэтому мы должны округлить до цифр. Дробная часть , после й цифры, превышает .Таким образом, мы повышаем th десятичной на . Таким образом, округленная мантисса равна .

Наконец, мы расставили двоичные строки в правильном порядке. Итак, в формате двойной точности IEEE это:

   

Этот номер машины находится примерно в базе. Аналогичным образом ближайший машинный номер в системе с плавающей запятой равен примерно . Поэтому, . Справа ближайший номер машины к . Так, .

Подводя итог, можно сказать, что алгебраически эквивалентных утверждений не обязательно являются числовыми эквивалентами .

5. Заключение

В этой статье мы узнали, как работают правила нарезки и округления до ближайшего. Мы разработали алгоритм преобразования между системами счисления. Мы также узнали, что любая система с плавающей запятой характеризуется четверкой ). Например, формат двойной точности IEEE задается как . Поскольку объем памяти компьютеров ограничен, набор номеров машин является лишь подмножеством действительных чисел . Расстояние между машинными номерами на техническом языке называется машинным эпсилоном.

Кроме того, любое действительное число всегда округляется до ближайшего машинного числа на компьютере. Стандарты IEEE гарантируют, что относительная ошибка округления не превышает определенной величины. Более того, как программисты, мы должны проявлять должную осторожность при выполнении операций с плавающей запятой.

Авторы Внизу

Если у вас есть несколько лет опыта работы в области компьютерных наук или исследований, и вы хотите поделиться этим опытом с сообществом, ознакомьтесь с нашим Руководством по участию .

Числа с плавающей запятой

Дениз Кребс на Flickr

Хотя многие люди знакомы с числами с плавающей запятой в школьных математических задачах, они очень полезны в вычислениях.

Что такое числа с плавающей запятой?

Начнем с определения чисел с плавающей запятой. Действительные числа выражаются как числа с фиксированной запятой или числа с плавающей запятой. Число с фиксированной запятой имеет точку счисления или десятичную точку в фиксированном месте где-то в наборе чисел.Например:

100.22

Это число представляет собой 100 с двумя цифрами или сотыми долями значения, в данном случае двумя нулями справа от десятичной точки. Мы привыкли видеть такое число с фиксированной запятой, когда видим или записываем суммы денег.

В числах с плавающей запятой десятичная точка может появляться во многих возможных местах набора чисел. Числа с плавающей запятой содержат набор чисел, базовое число и показатель степени, чтобы помочь определить, где разместить десятичную точку.Например:

100,22 = 10022 х 10 -2

В этом примере наше денежное значение 100,22 может быть представлено на компьютере как 10022 (называемое мантиссом) умноженное на 10 (основное число) с -2 в качестве показателя степени. Относительное положение десятичной точки указывается показателем степени. Показатель степени -2 говорит компьютеру размещать десятичную точку через 2 пробела, считая от правого наименее значащего края числа, в результате чего получается 100,22. Если бы показатель степени был положительным числом, мы бы считали слева.

Числа с плавающей запятой упрощают работу с очень большими и маленькими числами. Например, астроном может захотеть провести расчеты со скоростью, измеряемой в секундах движения Луны вокруг планеты.

Вот еще пример:

100,220011 = 10022 х 10 -6

В этом примере показатель степени -6 помещает десятичную точку на шесть пробелов, считая от правого края числа, или 100,220011. Хотя в этих двух примерах мы использовали основание 10, компьютеры могут использовать 2 (двоичное), 10 (десятичное) или 16 (шестнадцатеричное) в качестве основного числа.В некоторых случаях вы также можете рассчитывать с основанием 3. Базу 10 проще всего продемонстрировать здесь.

Числа с плавающей запятой и компьютеры

В аппаратном и программном обеспечении компьютеров числа с фиксированной точкой могут вызвать проблемы при их вычислении и сохранении. Например, наше число с фиксированной точкой 100,22 будет преобразовано компьютером в двоичное число. Компьютер также должен будет управлять информацией о десятичной точке при выполнении вычислений с числом. В то время как числа с плавающей запятой включают число с базовым числом и показателем степени — например, 10022 x 10 -2 — для указания местоположения десятичной точки, обработка этой информации требует ресурсов компьютера.

Каждый компьютер имеет специальную микросхему, называемую FPU или блоком с плавающей запятой. Скорость компьютера также может быть измерена с точки зрения FLOPS или операций с плавающей запятой в секунду, скорости, с которой компьютер может обрабатывать числа с плавающей запятой.

Что приводит к интересному моменту: существуют разные способы вычисления чисел с плавающей запятой. С 1990-х годов большинство компьютеров использовали стандарт IEEE 754, чтобы гарантировать, что компьютеры возвращают одинаковые результаты при вычислении этих чисел.

Вот еще один интересный момент о том, как компьютеры хранят и вычисляют числа: результаты не обязательно должны быть точными.Только они должны быть разумными. Программисты, которые кодируют числа с плавающей запятой, например, для хранения и извлечения чисел в базе данных, должны внимательно следить за тем, чтобы их код случайно не менял эти числа.

Как это работает в реальном мире? Банк может использовать компьютер для хранения транзакции на сумму 100,22 доллара в виде фиксированного числа или 10022 x 10 -2 в виде числа с плавающей запятой, а затем использовать код для представления значения в долларах и центах только при отображении на веб-странице или в другом месте. программное обеспечение.Компьютер сохраняет число таким образом, который лучше всего подходит для компьютеров, в то время как люди видят значение, которое они распознают как валюту.

Разумеется, числа с плавающей запятой и вычисления — это гораздо больше. Перейдите по ссылкам ниже, чтобы узнать больше деталей.

Узнать больше

Числа с плавающей запятой

http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point
http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html

Стандарт чисел с плавающей запятой IEEE 754

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=4610933
http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating_point
http://steve.hollasch.net/cgindex/coding/ieeefloat.html

Что можно сделать с языками программирования, чтобы избежать ловушек с плавающей запятой?

http://programmers.stackexchange.com/questions/62948/what-can-be-done-to-programming-languages-to-avoid-floating-point-pitfalls

Арифметика с плавающей запятой на 19 языках программирования

http://itreallymatters.net/post/386327451/арифметика с плавающей запятой в программировании 19

Модель Денежные данные

В этом руководстве показано, как обрабатывать денежные данные и числа с плавающей запятой с помощью базы данных MongoDB. Это отличный практический пример того, как кодеры продумывают проблему.
http://docs.mongodb.org/manual/tutorial/model-monetary-data/

Блок вычислений с плавающей запятой (FPU)

http://en.wikipedia.org/wiki/Floating-point_unit
http://www.website.masmforum.com/tutorials/fptute/index.html

Операций с плавающей запятой в секунду (FLOPS)

http://en.wikipedia.org/wiki/FLOPS

Что должен знать каждый программист об арифметике с плавающей запятой

http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html

(PDF) Насколько реальны действительные числа?

НАСКОЛЬКО РЕАЛЬНЫ РЕАЛЬНЫЕ ЦИФРЫ? 121

И в зависимости от того, что вы найдете в числе Бореля, вы делаете наоборот. Вам останется только смириться с тем, что один день не будете пить кофе, возможно,

, чтобы опровергнуть всезнайку.

Таковы некоторые парадоксальные аспекты идеи Бореля. Другая проблема

заключается в том, как составить список всех возможных вопросов «да/нет» в

, чтобы дать номер каждому вопросу?

На самом деле каждый вопрос легко пронумеровать. Что вы делаете, так это составляете

список всех возможных текстов, взятых из алфавита интересующего вас языка

, и у вас есть десять возможных вариантов для каждой цифры в

числа оракула Бореля, и пока у нас есть только использовал цифры 1 и 2.

Таким образом, вы можете использовать другие цифры, чтобы сказать, что эта последовательность символов

из этого конкретного национального алфавита не является грамматической, или это не

вопрос, или это вопрос, но это не вопрос да/нет, или это

вопрос да/нет, на который нет ответа, потому что это парадоксально, и

может быть, это вопрос да/нет, на который есть ответ, но я не хочу

рассказывать вам о будущем, потому что я хочу избежать проблема с кофе.

Еще один способ попытаться исправить число Бореля — ограничить его числом

, дающим ответ на математические вопросы.Вы можете представить себе бесконечный

список математических вопросов, вы выбираете формальный язык, на котором вы

задаете да/нет математические вопросы, вы выбираете нотацию для постановки таких

вопросов, и, конечно же, нет никаких проблем с тем, чтобы Борелев знал —

это-все номера отвечают только на математические вопросы. Это избавит

от парадоксов. Вы можете заставить это работать просто потому, что можете

упаковать бесконечное количество информации в реальное число.4

И это волшебное число в принципе может быть представлено двумя металлическими стержнями

, если верить в бесконечную точность длины. У вас есть стержень

длиной ровно в одну единицу, длиной один метр, и у вас есть другой стержень

, поменьше, длина которого как раз и есть всезнайка. Вы

4 До тех пор, пока мы избегаем самореференции, т. е. даем этому всезнайке имя

, а затем заставляем цифру спрашивать о себе таким образом, который требует, чтобы

сама цифра была другой.Например, соответствует ли цифра борелевского всезнайки

этому вопросу цифра 2?

Manuscrito — Rev. Int. Fil., Campinas, т. 34, н. 1, с. 115-141, янв.-июнь. 2011.

Вычислимость действительных чисел – занимательные математические факты

Мы можем написать компьютерную программу, которая будет последовательно выводить цифры десятичного представления числа Пи. Мы также можем написать программу, которая будет перечислять цифры десятичного разложения квадратного корня из 2. Точно так же существуют компьютерные программы, которые вычисляют квадратные корни целых чисел, те, которые вычисляют кубические корни и т. д.На самом деле, для иррациональных чисел, с которыми вы сталкиваетесь в повседневной жизни, существуют компьютерные программы, которые вычисляют их, если их определяющие характеристики могут быть «описаны» каким-либо разумным образом.

Итак, для каждого заданного иррационального числа всегда ли существует компьютерная программа, которая будет перечислять цифры этого числа?

Удивительно, но нет! Есть некоторые иррациональные числа, десятичное разложение которых невозможно вычислить!

Предложения по презентации:
Это хороший забавный факт, который можно сделать после забавных фактов. Сколько рациональных фактов? и Диагонализация Кантора, которые дают представление о счетных и несчетных множествах.

Математика, стоящая за фактом:
Доказательство этого факта на самом деле довольно просто, если вы знаете разницу между счетными и несчетными множествами.

Сначала мы покажем, что множество всех возможных компьютерных программ является счетным множеством. Почему? Каждая компьютерная программа представляет собой конечную строку конечного набора символов. Таким образом, множество всех компьютерных программ длины N конечно. Объединение всех N таких множеств есть множество всех компьютерных программ, и поэтому оно счетно, поскольку его можно «перечислить» как счетное объединение конечных множеств.

Однако множество всех иррациональных чисел несчетно, поэтому должно быть какое-то иррациональное число, десятичное разложение которого невычислимо! На самом деле, поскольку можно вычислить только счетное число иррациональных чисел, «большинство» иррациональных чисел не поддаются вычислению!

Этот факт шокирует студентов и наглядно демонстрирует важность понимания разницы между счетными и несчетными множествами.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.