Диапазон вещественных чисел: float вещественные числа | Python

Содержание

3.2.3. Внутренний формат вещественных чисел. О чём не пишут в книгах по Delphi

3.2.3. Внутренний формат вещественных чисел

Рассмотрим тип Single, т. к. он самый короткий и, следовательно, самый простой для понимания. Остальные типы отличаются от него только количественно. В дальнейшем числа в формате Single мы будем записывать как s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm, где s означает знаковый бит, е — бит экспоненты, m — бит мантиссы. Порядок хранения битов в типе Single показан на рис. 3.1, б (по принятым в процессорах Intel правилам байты в многобайтных значениях переставляются так. что младший байт идет первым, а старший — последним, и вещественных чисел это тоже касается В мантиссе хранится двоичное число. Чтобы получить истинное значение мантиссы, к ней надо мысленно добавить слева единицу с точкой (т. е., например, мантисса 1010000000000000000000 означает двоичную дробь 1.101). Таким образом, имея 23 двоичных разряда, мы записываем числа с точностью до 24-х двоичных разрядов.

Экспонента — по определению всегда целое число. Но способ записи экспоненты в вещественных числах не совпадает с рассмотренным ранее способом записи чисел со знаком. Ноль в этом представлении записывается как 01111111 (в обычном представлении это равно 127). Соответственно. 10000000 (128 в обычном представлении) означает единицу, а 01111110 (126) означает -1, и т. д. (т. е. из обычного беззнакового числа надо вычесть 127, и получится число, закодированное в экспоненте). Такая запись чиста называется

нормализованной.

Из описанных правил есть исключения. Так, если все биты экспоненты равны нулю (т. е. там стоит число -127), то к мантиссе перед ее началом надо добавлять не «1.», а «0.» (денормализованная запись). Это позволяет увеличить диапазон вещественных чисел. Если бы этого исключения не было, то минимально возможное положительное число типа Single было бы равно примерно 5,9?10-39. А так появляется возможность использовать числа до 1,4?10-45. Побочным эффектом этого является то, что числа, меньшие чем 1,17?10

-38, представляются с меньшей, чем 24 двоичных разряда, точностью. Если все биты в экспоненте равны единице, а в мантиссе — нулю, то мы получаем комбинацию, известную как INF (от англ. Infinity — бесконечность). Эта комбинация используется тогда, когда результат вычислений превышает максимально допустимое форматом число. В зависимости от значения бита s бесконечность может быть положительной или отрицательной. Если же при такой экспоненте в мантиссе хоть один бит не равен нулю, такая комбинация называется NAN (Not A Number — не число). Попытки работы с комбинациями NAN или INF приводят к ошибке времени выполнения.

Для задания нуля все биты мантиссы и экспоненты должны быть равны нулю (формально это означает 0?10-127). С учетом описанных правил, если хотя бы один бит экспоненты не будет равен нулю (т. е. экспонента будет больше -127), запись будет считаться нормализованной, и нулевая мантисса будет рассматриваться как единица. Поэтому никакие другие комбинации значений мантиссы и экспоненты не могут дать ноль.

Тип Double устроен точно так же, разница только в количестве разрядов и в том, какое значение экспоненты берется за ноль. Итак, мы имеем 11 разрядов для экспоненты. За ноль берется значение 1023.

Несколько иначе устроен Extended. Кроме количественных отличий добавляется еще и одно качественное: в мантиссе явно указывается первый разряд. Это означает, что мантисса 1010… интерпретируется как 1.01, а не как 1.101, как это было в типах Single и Float. Поэтому если 23-битная мантисса типа Single обеспечивает 24-знаковую точность, а 52-битная мантисса Double — 53-битную, то 64-битная мантисса Extended обеспечивает 64-х, а не 65-битную точность. Соответственно, при денормализованной форме записи первый разряд мантиссы явно содержит 0. За ноль экспоненты принимается значение 16 383.

Тип Real, как уже упоминалось, стоит особняком. Во-первых, в нем биты следуют в другом порядке, а во-вторых, нет денормализованной формы. Мы не будем касаться внутреннего устройства типа Real, т. к. эта информация уже перестала быть актуальной.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

О точности float в Python

Хочу пописать немного про математику, статистику, анализ данных и машинное обучение. Но для этого надо начать с небольшой базы по представлению вещественных чисел в Python.

Кто-то, вероятно, слышал о проблеме 0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3. Вкратце, вбейте в интерпретаторе Python:

>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3
False

Здравый смысл подсказывает нам, что здесь что-то не так, должно же равняться! Новичков это вообще может вбить в ступор. Программисты поопытнее могут объяснить это ошибками округления float-чисел. Давайте же разберемся, что на самом деле там происходит.

Экспоненциальное представление чисел

Стандарт IEEE-754 регулирует, как должны представляться вещественные числа в железе (процессорах, сопроцессорах и так далее) и программном обеспечении. Так много вариантов представлений, но на практике почти везде сейчас используются числа с плавающей точкой одинарной или двойной точности, причем оба варианта с основанием 2, это важно.

Плавающая точка

Почему точка плавающая? Потому что числе представлены внутри компьютера экспоненциальном формате:

Число = ±мантисса * основаниеэкпонента

Меняя экспоненту можно двигать положение точки в любую сторону. Например, если основание было бы 10, то числа 1,2345678; 1 234 567,8; 0,000012345678; 12 345 678 000 000 000 отличались бы только экспонентой.

float в Python

float – встроенные тип в Python (CPython) и представляет собой число с плавающей точкой двойной точности, независимо от системы и версии.

float в Python – это double из C, C++, C# или Java и имеет 64 бита (8 байт) для хранения данных о числе.

Примечание: сторонними библиотеками можно получить и другие типы, а еще есть Decimal.

В эти 64 бита упакованы как 11 бит на экспоненту и 52 бита на мантиссу (+ 1 бит на знак, итого 53). Вот так:

Думаете, любое реальное число можно представить, используя эти 64 бита? Конечно, нет. Простая комбинаторика скажет, что у нас может быть не более 264 разных чисел (64 позиции по 2 варианта), а на деле их и того меньше. Диапазон чисел, представимых таким форматом составляет: ±1.7*10-308 до 1.7*10

+308. То есть от очень малых по модулю чисел, до очень больших. Допустимые числа на числовой прямой распределены неравномерно: гуще в районе нуля и реже в районе огромных чисел.

Здесь про 0.6, но смысл тот же.
Источник ошибок

Откуда же берутся ошибки?

Дело в том, что числа 0.1 – нет! Действительно, нет способа представить это немудреное число в формате с плавающей точкой с основанием 2!

0.1 – это просто текст, для которого Python должен подобрать максимально близкое представление в памяти компьютера. Можно найти число поменьше или побольше, но точно 0.1 – не получится. Все дело в основании 2 – именно двойка фигурирует под степенью. Надо подобрать такие J и N, чтобы получить число максимально близкое к 0.1:

0.1 = 1 / 10 ≈ J / (2**N) или J ≈ 2**N / 10

При этом в J должно быть ровно 53 бита. Наиболее подходящие N для такого случая равняется 56.

>>> 2**52 <= 2**56 // 10 < 2**53
True

>>> divmod(2**56, 10)
(7205759403792793, 6)

Остаток от деления – 6 чуть больше половины делителя (10), поэтому наилучшее приближение будет, если мы округлим частное вверх, то есть добавим к 7205759403792793 + 1 = 7205759403792794. Таким образом, это будет ближайшее к 0.1 число, возможное в представлении float. Доказательство проверкой:

>>> 7205759403792794 / 2 ** 56 == 0.1 True

Оно чуть больше, чем реальное 0.1. Если бы мы не прибавили единицу, то получилось бы число чуть меньшее, чем 0.1, но никакое сочетание J и N не даст нам ровно 0.1 ни в едином случае!

>>> format(7205759403792793 / 2 ** 56, '.56f')
'0.09999999999999999167332731531132594682276248931884765625'

>>> format(7205759403792794 / 2 ** 56, '.56f')
'0.10000000000000000555111512312578270211815834045410156250'

Это два соседних числа. Между ними не может быть других промежуточных чисел, в том числе и самого

0.1! Множество чисел, представимых числом с плавающей точкой дискретно и конечно, в нем нет всех возможных чисел.

Теперь понятно, что 0.1 и 0.3 аппроксимируются к каким-то ближайшим представлениям в экспоненциальной форме в памяти компьютера. Поэтому и возникает эта разница:

>>> format(0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.3, '.56f')
'0.00000000000000005551115123125782702118158340454101562500'

Она мала, но она есть! Именно поэтому никогда не советуют точно сравнивать числа типа float, даже если для вас они равны, их представления могут отличаться, если числа получены разным путем. Могут отличаться, а могут и совпадать! Так что это может сыграть злую шутку.

>>> 0.15 + 0.15 == 0.3
True
>>> 0.1 + 0.15 + 0.05 == 0.1 + 0.1 + 0.1
False
>>> 0.1 + 0.15 + 0.05
0.3
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1
0.30000000000000004

Там есть функция, которая делает более аккуратное сложение IEEE-754 чисел, но она тоже работает не идеально. На примере из документации – отлично и проваливается на нашем пресловутом триплете из 0.1:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True

# не тут то было!
>>> math.fsum([0.1] * 3) == 0.3
False

Поверьте, это не единственная особенность такого представления чисел. Я обязательно расскажу больше. Будьте на связи!

Специально для канала @pyway. Подписывайтесь на мой канал в Телеграм @pyway 👈 

8 937

%d0%98%d0%bd%d1%845. %d0%9f%d1%80%d0%b5%d0%b4%d1%81%d1%82%d0%b0%d0%b2%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5 %d0%b2%d0%b5%d1%89%d0%b5%d1%81%d1%82%d0%b2%d0%b5%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d1%85 %d1%87%d0%b8%d1%81%d0%b5%d0%bb %d0%b2 %d0%ad%d0%92%d0%9c.

Представление вещественных чисел

С плавающей запятой

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений.

Лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые

  • знак
  • порядок (экспонента; показатель степени)
  • мантиссу

В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа.

  • Порядок записывается как целое число в коде со сдвигом
  • Мантисса — в нормализованном виде, своей дробной частью в двоичной системе счисления

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел.

Фиксированная точка

Более простым вариантом представления вещественных чисел является вариант с фиксированной точкой, когда целая и вещественная части хранятся отдельно.

Например, на целую часть отводится всегда X бит и на дробную отводится всегда Y бит. Такой способ в архитектурах процессоров не присутствует. Отдаётся предпочтение числам с плавающей запятой, как компромиссу между диапазоном допустимых значений и точностью.

Конспект урока по Информатике «Кодирование вещественных чисел. Представление чисел в формате с плавающей запятой» 10 класс

МОУ СОШ 3 18 г.Пензы

Кодирование вещественных чисел. Представление чисел в формате с плавающей запятой.

Цели:

  • научить учащихся представлять вещественные числа в памяти компьютера;

  • развивать логическое мышление, умение анализировать и обобщать;

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

Учащиеся должны уметь:

Ход урока

Актуализация знаний

Какие наибольшие и наименьшие значения чисел с фиксированной запятой можно представить в компьютере в одно-, двух- и четырехбайтовой разрядной сетке?

Сформулируйте алгоритм внутреннего представления в памяти компьютера целых чисел без знака.

Проверка Д/З.

Анализ проверочной работы предыдущего урока.

Кодирование вещественных чисел

Недостатком представления чисел в формате с фиксированной запятой яв­ляется конечный диапазон представления величин, недостаточный для реше­ния математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа. Поэтому для пре­ставления вещественных чисел (конечных и бесконечных десятичных дробей) используется другой формат — формат с плавающей точкой (запятой).

Формат чисел с плавающей точкой основывается на экспоненциальной форме записи чисел, в которой любое число может быть представлено в следующей форме:

А = m • qn, где:

m—мантисса числа, которая для однозначности представления чисел с пла­вающей точкой должна иметь нормализованную форму, а именно представ­лять собой правильную дробь с цифрой после запятой, отличной от нуля;

q — основание системы счисления;

n — порядок числа.

Примеры нормализованного представления.

  1. 3,1415926 = 0, 31415926 * 101;

  2. 1000=0,1 * 104;

  3. 0,123456789 = 0,123456789 * 100;

  4. 0,00001078 = 0,1078 * 8-4; (порядок записан в 10-й системе)

  5. 1000,00012 = 0, 100000012 * 2100(порядок 1002=410).

  6. 0,0000112=0,112*2-100 (порядок -1002=-410)

  7. Так как число ноль не может быть записано в нормализованной форме в том виде, в каком она была определена, то считаем, что нормализованная запись нуля в 10-й системе будет такой:
    0 = 0,0 * 100.

Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти компьютера четыре (число обычной точности) байта или восемь (число двойной точности) байта. Для записи чисел в разрядной сетке выделяются разряды для знака, для порядка и для мантиссы.

Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выде­лено к разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2 к-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого ме­няются от 0 до 255. Использование смещенной формы позволяет про­изводить операции над порядками как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также операцию сравнения самих нормализованных чисел.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Стандартные форматы представления вещественных чисел:

  1. Одинарный — 32-разрядное нормализованное число со зна­ком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет толь­ко 23 разряда).

  2. Двойной — 64-разрядное нормализованное число со зна­ком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда).

3) Расширенный — 80-разрядное число со знаком, 15-разряд­ным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.

Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т. е. любое двоичное целое число, содержащее не более т разря­дов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.

Заполним таблицу интервалов чисел различных форматов (вместе с учащимися):

Формат с плавающей точкой

Пояснение: количество разрядов, отведенных для хранения порядка числа, определяет диапазон изменения чисел, а количество значащих цифр опре­деляется количеством разрядов, отводимое для хранения мантиссы.

Диапазон вещественных чисел значительно шире диапазона целых чисел. Положительные и отрицательные числа расположены симметрично относительно нуля. Следовательно, максимальное и минимальное числа равны между собой по модулю.

Наименьшее по абсолютной величине число равно нулю. Наибольшее по абсолютной величине число в форме с плаваю­щей точкой это число с самой большой мантиссой и самым большим порядком.

Для 4-х байтового машинного слова таким числом будет:

0,111111111111111111111111 * 1021111111

После перевода в десятичную систему счисления получим: (1 — 2-24) * 263 ≈ 1019.

Множество вещественных чисел, представимых в памяти компьютера в форме с плавающей точкой, является ограничен­ным и дискретным. Количество вещественных чисел, точно представимых в памяти компьютера, вычисляется по форму­ле: N = 2t * (U — L + 1) + 1.

Здесь t — количество двоичных раз­рядов мантиссы; U — максимальное значение математического порядка; L — минимальное значение порядка. Для рассмотрен­ного нами варианта (t = 24, U = 63, L = -64) получается: N = 2 146 683 548.

Пример 1. Записать внутреннее представление числа 250,187510 в форме с плавающей точкой.

1. Переведем число в 2-СС с 24 значащими цифрами:

250,187510 = 11111010, 00110000000000002

2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

0,1111101000110000000000002 * 1021000 (210 = 102, 810 = 10002)

3. Вычислим машинный порядок в 2-СС: Mp2 = n2 + 10000002 (в 10-CC: Mp10 = n10 + 6410)

Mp2 = 1000 + 1000000 = 1001000

4. Запишем представление числа в 4-х байтовой ячейке памяти с учетом знака числа:

Порядок

Шестнадцатеричная форма: 487D1800

Алгоритм представления числа с плавающей запятой

(формулируют учащиеся по разобранному примеру).

  1. Перевести число из p-ричной системы счисления в двоичную;

  2. представить двоичное число в нормализованной экспоненциальной форме;

  3. рассчитать смещённый порядок числа;

  4. разместить знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды сетки.

Пример для самостоятельного выполнения с последующей проверкой у доски.

А) -1101,00112 .

Б) 123,12510

Ответ:

А) 01000100 11101001 10000000 00000000 (44E9800016)

Б) 01000111 01111011 00100000 00000000 (477B200016)

Итоги урока, выставление оценок.

Д/З: записать внутреннее представление вещественных числа в 8-байтовой разрядной сетке и их 16-ричную форму: 0,000111012; — 185,7510 .

Тулаева Е.А., учитель информатики высшей категории

Знак порядка

Порядок

Знак мантиссы

Мантисса

Количест­во разрядов (n), отво­димое для хранения числа

Коли­чество разрядов, отводимое под поря­док

Коли­чество разрядов, отводимое под ман­тиссу

Точность

вычислений

(количество

значащих

цифр)

Максима­льное значение порядка

Максимальное число

4 байта

(32 разряда)

8 разрядов

24 разряда

223 – 1 ≈ 107

(7 разрядов)

011111112=

=12710

2127= 1,701411*1038

8 байтов

(64 разряда)

11 разрядов

53 разряда

252-1 ≈ 1015,6

(15 или 16 разрядов)

011111111112= 102310

21023=

=8,98846567431157 * 10 307

Знак и Мантисса

0

1001000

0

1111101

00011000

00000000

Домен и диапазон

Домен и диапазон функции — это все возможные значения независимой переменной x, для которых определено y. Диапазон функции — это все возможные значения зависимой переменной y.

В приведенном ниже примере показаны два различных способа представления функции: в виде таблицы функций и в виде набора координат.

или {(2, 4), (3, 8), (5,2), (6,9), (8,3)}

Несмотря на то, что они представлены по-разному, приведенные выше функции являются одной и той же функцией, и домен функции равен x = {2, 3, 5, 6, 8}, а диапазон равен y = {4, 8, 2, 9, 3}.Вот как вы можете определить домен и диапазон для дискретных функций. Порядок, в котором вы перечисляете значения, не имеет значения. Но как определить домен и диапазон для функций, которые не являются дискретными?

Пример:

f(x) = x 2

Функция f(x) = x 2 имеет область определения всех действительных чисел (x может быть любым) и диапазон, который больше или равен нулю.

Существует два способа записи области определения и диапазона функции: запись интервала и запись множества.

Обозначение интервала

При использовании записи интервалов домен и диапазон записываются как интервалы значений. Для f(x) = x 2 домен в интервальной нотации:

Д: (-∞, ∞)

D указывает, что вы говорите о домене, а (-∞, ∞), читаемое как от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, — это еще один способ сказать, что домен — это «все действительные числа».

Диапазон f(x) = x 2 в интервальной записи:

Р: [0, ∞)

Р указывает на то, что вы говорите о дальности.Обратите внимание, что скобка используется для 0 вместо круглой скобки. Это связано с тем, что диапазон функции включает 0 при x = 0. Диапазон функции исключает ∞ (каждая функция делает), поэтому мы используем круглую скобку.

На графике вы знаете, когда функция включает или исключает конечную точку, потому что конечная точка будет открытой или закрытой.

Установить обозначение

При использовании нотации набора мы используем символы неравенства для описания домена и диапазона в виде набора значений. Домены и диапазоны, использованные в примерах дискретных функций, были упрощенными версиями обозначений множеств.Существует множество различных символов, используемых в системе обозначений, но здесь будут представлены только самые основные структуры.

Область определения f(x) = x 2 в системе обозначений:

Д: {х | х∈ℝ}

Опять же, D указывает на домен. «|» означает «такой, что», символ ∈ означает «элемент», а «ℝ» означает «все действительные числа».

Собрав все вместе, это утверждение можно прочитать как «область определения — это множество всех x, таких что x является элементом всех действительных чисел».

Диапазон f(x) = x 2 в системе обозначений:

Р: {у | у ≥ 0}

R указывает диапазон.При использовании обозначения набора символы неравенства, такие как ≥, используются для описания домена и диапазона. Следовательно, это утверждение можно прочитать как «диапазон — это набор всех y, таких, что y больше или равен нулю».


Область и диапазон — алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Найдите область определения функции, заданной уравнением.
  • График кусочно определенных функций.

Если вы настроены на фильм ужасов, вы можете посмотреть один из пяти самых популярных фильмов ужасов всех времен — Я легенда , Ганнибал , Кольцо , Проклятие , и Заклятие .(Рисунок) показывает сумму в долларах, которую каждый из этих фильмов собрал в прокате, а также продажи билетов на фильмы ужасов в целом по годам. Обратите внимание, что мы можем использовать данные для создания функции суммы, заработанной каждым фильмом, или общих продаж билетов на все фильмы ужасов по годам. При создании различных функций с использованием данных мы можем идентифицировать различные независимые и зависимые переменные, а также анализировать данные и функции для определения домена и диапазона. В этом разделе мы исследуем методы определения области определения и диапазона таких функций.

Рисунок 1. На основе данных, собранных www.the-numbers.com.

Нахождение области определения функции, заданной уравнением

В разделе «Функции и обозначения функций» мы познакомились с понятиями домена и диапазона. В этом разделе мы попрактикуемся в определении доменов и диапазонов для конкретных функций. Имейте в виду, что при определении доменов и диапазонов нам нужно учитывать, что физически возможно или значимо в реальных примерах, таких как продажи билетов и год в приведенном выше примере с фильмом ужасов.Мы также должны рассмотреть, что математически разрешено. Например, мы не можем включать какое-либо входное значение, которое приводит к извлечению четного корня из отрицательного числа, если домен и диапазон состоят из действительных чисел. Или в функции, выраженной в виде формулы, мы не можем включить какое-либо входное значение в домен, который привел бы нас к делению на 0.

Мы можем представить домен как «область хранения», которая содержит «сырье» для «функциональной машины», а ассортимент — как еще одну «область хранения» для продуктов машины.См. (Рисунок).

Рисунок 2.

Мы можем записать домен и диапазон в интервальной нотации, которая использует значения в квадратных скобках для описания набора чисел. В обозначении интервала мы используем квадратную скобку [, когда набор включает конечную точку, и круглую скобку (, чтобы указать, что конечная точка либо не включена, либо интервал не ограничен. Например, если у человека есть 100 долларов, которые он может потратить, он или она нужно выразить интервал, который больше 0 и меньше или равен 100, и написать. Обозначение интервала мы обсудим более подробно позже.

Обратимся к поиску области определения функции, уравнение которой приведено. Часто для нахождения области определения таких функций необходимо запомнить три разные формы. Во-первых, если функция не имеет знаменателя или четного корня, подумайте, могут ли доменом быть все действительные числа. Во-вторых, если в уравнении функции есть знаменатель, исключите значения в области значений, при которых знаменатель равен нулю. В-третьих, если есть четный корень, рассмотрите возможность исключения значений, которые сделали бы подкоренное число отрицательным.

Перед тем, как мы начнем, давайте рассмотрим правила записи интервалов:

  • Первым записывается наименьшее число из интервала.
  • Наибольшее число в интервале записывается вторым после запятой.
  • Круглые скобки ( или ) используются для обозначения того, что значение конечной точки не включено, что называется эксклюзивным.
  • Скобки [ или ] используются для указания того, что значение конечной точки включено, что называется включением.

См. (Рисунок) для краткого изложения обозначения интервалов.

Рисунок 3.

Нахождение области определения функции как набора упорядоченных пар

Найдите домен следующей функции:.

[reveal-answer q=»fs-id1165135329797″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135329797″]

Сначала определите входные значения. Входное значение является первой координатой в упорядоченной паре. Ограничений нет, так как упорядоченные пары просто перечислены. Область определения — это множество первых координат упорядоченных пар.

[/ скрытый ответ]

Попробуйте

Найти домен функции:

[reveal-answer q=»fs-id1165137501477″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137501477″]

[/скрытый ответ]

Как

Дана функция, записанная в виде уравнения, найти область определения.

  1. Определите входные значения.
  2. Определите любые ограничения на ввод и исключите эти значения из домена.
  3. Запишите домен в форме интервала, если это возможно.

Нахождение области определения функции

Найти область определения функции

[reveal-answer q=»fs-id1165135684349″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135684349″]

Входное значение, показанное переменной в уравнении, возводится в квадрат, а затем результат уменьшается на единицу. Любое действительное число можно возвести в квадрат, а затем уменьшить на единицу, поэтому ограничений на область определения этой функции нет.Домен — это множество действительных чисел.

В интервальной форме домен офиса

[/скрытый ответ]

Попробуйте

Найти домен функции:

[reveal-answer q=»fs-id1165137809848″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137809848″]

[/скрытый ответ]

Как

Дана функция, записанная в виде уравнения, включающего дробь, найти область определения.

  1. Определите входные значения.
  2. Определите любые ограничения на ввод. Если в формуле функции есть знаменатель, приравняйте знаменатель к нулю и найдите. Если формула функции содержит четный корень, установите подкоренное число больше или равное 0, а затем решите.
  3. Запишите домен в форме интервала, исключив из домена любые ограниченные значения.

Нахождение области определения функции, включающей знаменатель

Найти область определения функции

Попробуйте

Найти домен функции:

[reveal-answer q=»fs-id1165137436024″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137436024″]

[/скрытый ответ]

Как

Для заданной функции, записанной в виде уравнения с четным корнем, найти область определения.

  1. Определите входные значения.
  2. Поскольку имеется четный корень, исключите все действительные числа, которые приводят к отрицательному числу в подкоренном члене. Установите подкоренную часть больше или равной нулю и найдите
  3. .
  4. Решение(я) являются областью определения функции. Если возможно, запишите ответ в интервальной форме.

Нахождение области определения функции с четным корнем

Найти область определения функции

[reveal-answer q=»fs-id1165137451129″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137451129″]

Если в формуле есть четный корень, мы исключаем любые действительные числа, которые приводят к отрицательному числу в подкоренном члене.

Установите подкоренную часть больше или равной нулю и найдите

.

Теперь мы исключим из домена любое число больше 7. Все ответы представляют собой действительные числа, меньшие или равные

.

[/скрытый ответ]

Попробуйте

Найти область определения функции

[reveal-answer q=»fs-id1165137832331″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137832331″]

[/скрытый ответ]

Могут ли быть функции, в которых домен и диапазон вообще не пересекаются?

Да.Например, функция имеет множество всех положительных действительных чисел в качестве своего домена, но множество всех отрицательных действительных чисел в качестве своего диапазона. Как более крайний пример, входы и выходы функции могут быть совершенно разными категориями (например, названия дней недели в качестве входов и числа в качестве выходов, как на графике посещаемости), в таких случаях домен и диапазон не имеют общих элементов.

Использование нотаций для указания домена и диапазона

В предыдущих примерах мы использовали неравенства и списки для описания области определения функций.Мы также можем использовать неравенства или другие операторы, которые могут определять наборы значений или данных, чтобы описать поведение переменной в нотации построителя наборов. Например, описывает поведение нотации построителя наборов. Фигурные скобки читаются как «набор», а вертикальная черта | читается как «такой, что», поэтому мы должны читать как «набор значений x , таких, что 10 меньше или равно и меньше 30».

(рисунок) сравнивает нотацию неравенства, нотацию построителя множеств и нотацию интервала.

Рисунок 5.

Чтобы объединить два интервала, используя нотацию неравенства или нотацию построителя множеств, мы используем слово «или». Как мы видели в предыдущих примерах, мы используем символ объединения, чтобы объединить два несвязанных интервала. Например, объединение наборов
и
представляет собой набор Это набор всех элементов, принадлежащих одному или другому (или обоим) из двух исходных наборов. Для наборов с конечным числом таких элементов элементы не обязательно должны быть перечислены в порядке возрастания числового значения.Если исходные два набора имеют некоторые общие элементы, эти элементы должны быть перечислены только один раз в объединенном наборе. Для наборов действительных чисел на интервалах другим примером объединения является

.

Как

Имея линейный график, опишите набор значений, используя интервальную запись.

  1. Определите интервалы, которые необходимо включить в набор, определив, где толстая линия накладывается на реальную линию.
  2. В левом конце каждого интервала используйте [ для каждого конечного значения, которое должно быть включено в набор (сплошная точка), или ( для каждого исключенного конечного значения (незаштрихованная точка).
  3. В правом конце каждого интервала используйте ] для каждого конечного значения, которое должно быть включено в набор (закрашенная точка), или ) для каждого исключенного конечного значения (незаштрихованная точка).
  4. Используйте символ объединения, чтобы объединить все интервалы в один набор.

Описание множеств на линии действительных чисел

Опишите интервалы значений, показанных на (Рисунок), используя нотацию неравенства, нотацию построителя множеств и нотацию интервала.

Рисунок 6.

Попробуйте

Дано (рисунок), укажите графически множество в

  1. слов
  2. нотация конструктора наборов
  3. обозначение интервала
Рис. 7.
  1. значения меньше или равные –2 или значения больше или равные –1 и меньше 3;

  2. ;

Поиск домена и диапазона по графикам

Еще один способ определить область и диапазон функций — использовать графики. Поскольку домен относится к набору возможных входных значений, домен графика состоит из всех входных значений, показанных на оси x . Диапазон представляет собой набор возможных выходных значений, которые показаны на оси и .Имейте в виду, что если график выходит за пределы видимой части графика, домен и диапазон могут быть больше, чем видимые значения. См. (Рисунок).

Рисунок 8.

Мы можем заметить, что график простирается по горизонтали справа без границ, поэтому домен равен Вертикальный размер графика — это все значения диапазона и ниже, поэтому диапазон равен Обратите внимание, что домен и диапазон всегда записываются от меньших значений к большим или от слева направо для домена и от нижней части графика к верхней части графика для диапазона.

Попробуйте

Дано (рисунок), определите домен и диапазон, используя интервальную нотацию.

Рисунок 12. [reveal-answer q=»fs-id1165137705252″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137705252″]

домен = [1950,2002] диапазон = [47,000,000,89,000,000]

[/скрытый ответ]

Могут ли домен и диапазон функции совпадать?

Да. Например, область определения и диапазон функции кубического корня — это множество всех действительных чисел.

Поиск доменов и диапазонов функций набора инструментов

Теперь мы вернемся к нашему набору функций инструментария, чтобы определить домен и диапазон каждой из них.

Рисунок 14. Для функции тождества f(x)=x ограничений на x нет. И домен, и диапазон являются набором всех действительных чисел. Рисунок 15. Для функции абсолютного значения ограничений нет. Однако, поскольку абсолютное значение определяется как расстояние от 0, выходное значение может быть только больше или равно 0. Рисунок 16. Для квадратичной функции областью определения являются все действительные числа, поскольку горизонтальная протяженность графика представляет собой всю линию действительных чисел. Поскольку график не содержит отрицательных значений диапазона, диапазон состоит только из неотрицательных действительных чисел. Рисунок 17. Для кубической функции областью определения являются все действительные числа, поскольку горизонтальная протяженность графика представляет собой всю линию действительных чисел. То же самое относится к вертикальному размеру графика, поэтому домен и диапазон включают все действительные числа. Рисунок 18. Для обратной функции мы не можем делить на 0, поэтому мы должны исключить 0 из области определения. Кроме того, 1, деленная на любое значение, никогда не может равняться 0, поэтому диапазон также не будет включать 0. В нотации построителя множеств мы могли бы также написать множество всех действительных чисел, которые не равны нулю. Рисунок 21. Для функции кубического корня домен и диапазон включают все действительные числа. Обратите внимание, что нет проблем с извлечением кубического корня или любого корня из нечетного целого числа из отрицательного числа, и результирующий результат будет отрицательным (это нечетная функция).

Как

Зная формулу функции, определите область определения и область значений.

  1. Исключить из домена любые входные значения, которые приводят к делению на ноль.
  2. Исключить из домена любые входные значения, которые имеют недействительные (или неопределенные) числовые выходы.
  3. Используйте допустимые входные значения для определения диапазона выходных значений.
  4. Посмотрите на график функции и табличные значения, чтобы подтвердить фактическое поведение функции.

Поиск домена и диапазона с помощью функций набора инструментов

Найти домен и диапазон

[reveal-answer q=»fs-id1165135458670″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135458670″]

Ограничений по домену нет, так как любое действительное число можно возвести в куб, а затем вычесть из результата.

Домен и диапазон тоже

[/скрытый ответ]

Поиск домена и диапазона

Найти домен и диапазон

[reveal-answer q=»fs-id1165137871182″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137871182″]

Мы не можем вычислить функцию at, потому что деление на ноль не определено. Домен is Поскольку функция никогда не равна нулю, мы исключаем 0 из диапазона. Диапазон

[/скрытый ответ]

Поиск домена и диапазона

Найти домен и диапазон

Анализ

(рисунок) представляет функцию

Рисунок 22.

Попробуйте

Найти домен и диапазон

[reveal-answer q=»fs-id1165137833252″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137833252″]

домен:диапазон:

[/скрытый ответ]

Графики кусочно-определяемых функций

Иногда мы сталкиваемся с функцией, которая требует более одной формулы для получения заданного вывода. Например, в функциях инструментария мы ввели функцию абсолютного значения. С доменом всех действительных чисел и диапазоном значений, большим или равным 0, абсолютное значение может быть определено как величина или модуль значения действительного числа независимо от знака.Это расстояние от 0 на числовой прямой. Все эти определения требуют, чтобы результат был больше или равен 0,

.

Если мы вводим 0 или положительное значение, вывод будет таким же, как ввод.

Если мы вводим отрицательное значение, вывод будет противоположен вводу.

Поскольку для этого требуются два разных процесса или части, функция абсолютного значения является примером кусочной функции. Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей области.

Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяются, когда входное значение пересекает определенные «границы». Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда цена за единицу определенного товара снижается, когда количество заказанного товара превышает определенное значение. Налоговые скобки — еще один реальный пример кусочных функций. Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доходы до 10 000 долларов облагаются налогом по ставке 10%, а любой дополнительный доход облагается налогом по ставке 20%.Налог на общий доход был бы

Кусочная функция

Кусочная функция — это функция, в которой для определения выходных данных используется более одной формулы. У каждой формулы есть свой домен, а домен функции представляет собой объединение всех этих меньших доменов. Обозначим эту идею так:

В кусочной записи функция абсолютного значения равна

Как

Для заданной кусочной функции напишите формулу и определите область определения для каждого интервала.

  1. Определите интервалы, для которых применяются разные правила.
  2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
  3. Используйте фигурные скобки и операторы if для записи функции.

Как

По заданной кусочной функции нарисуйте график.

  1. Укажите на оси x границы, определяемые интервалами на каждой части области.
  2. Для каждой части домена постройте график на этом интервале, используя соответствующее уравнение, относящееся к этой части.Не изображайте две функции на одном интервале, потому что это нарушит критерии функции.

График кусочной функции

Нарисуйте график функции.

[reveal-answer q=»fs-id1165135487148″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135487148″]

Каждая функция компонента взята из нашей библиотеки функций инструментария, поэтому мы знаем их формы. Мы можем представить график каждой функции, а затем ограничить график указанной областью.В конечных точках домена мы рисуем открытые кружки, чтобы указать, где конечная точка не включена из-за неравенства меньше или больше; мы рисуем замкнутый круг, где конечная точка включена из-за неравенства «меньше или равно» или «больше или равно».

(рисунок) показывает три компонента кусочной функции в виде графика в отдельных системах координат.

Теперь, когда мы нарисовали каждую деталь по отдельности, мы объединим их в одной координатной плоскости.См. (Рисунок).

Рисунок 26.

[/hidden-answer]

Попробуйте

Постройте график следующей кусочной функции.

[reveal-answer q=»fs-id1165137784656″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ a=”fs-id1165137784656″][/скрытый ответ]

Можно ли применить более одной формулы кусочной функции к значению в области?

Нет. Каждое значение соответствует одному уравнению в кусочной формуле.

Ключевые понятия

  • Область определения функции включает в себя все действительные входные значения, которые не заставят нас выполнить неопределенную математическую операцию, такую ​​как деление на ноль или извлечение квадратного корня из отрицательного числа.
  • Область определения функции можно определить, перечислив входные значения набора упорядоченных пар. См. (Рисунок).
  • Область определения функции также можно определить, идентифицируя входные значения функции, записанные в виде уравнения. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Интервальные значения, представленные на числовой прямой, могут быть описаны с использованием записи неравенства, записи построителя множеств и записи интервала. См. (Рисунок).
  • Для многих функций домен и диапазон можно определить по графику.См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Понимание функций инструментария может быть использовано для определения домена и диапазона связанных функций. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Кусочная функция описывается более чем одной формулой. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • График кусочной функции можно изобразить, используя каждую алгебраическую формулу в назначенной подобласти. См. (Рисунок).

Раздел Упражнения

Устный

Почему домен отличается для разных функций?

[reveal-answer q=»fs-id1165134199600″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = «fs-id1165134199600»]

Область определения функции зависит от того, какие значения независимой переменной делают функцию неопределенной или мнимой.

[/скрытый ответ]

Как определить область определения функции, определяемой уравнением?

Объясните, почему домен офиса отличается от домена

При описании наборов чисел с использованием интервальной записи, когда вы используете круглые скобки и когда вы используете квадратные скобки?

Как построить график кусочной функции?

[reveal-answer q=»fs-id1165137574335″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137574335″]

Нарисуйте график каждой формулы кусочной функции в соответствующей области.Используйте один и тот же масштаб для оси и оси для каждого графика. Укажите инклюзивные конечные точки сплошным кружком, а исключительные конечные точки — незаштрихованным кружком. Используйте стрелку, чтобы указать, или Объедините графики, чтобы найти график кусочной функции.

[/скрытый ответ]

Алгебраический

В следующих упражнениях найдите область определения каждой функции, используя интервальную запись.

[reveal-answer q=»fs-id1165137731586″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137731586″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165137451053″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137451053″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165134192936″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134192936″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165134058389″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134058389″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165137454548″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137454548″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165137528909″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137528909″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165135256053″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135256053″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165137647829″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137647829″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165137611238″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137611238″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165135188135″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135188135″]

[/скрытый ответ]

Найти домен функции по:

  1. с помощью алгебры.
  2. построение графика функции подкоренной и определение интервалов на оси x , для которых подкоренная подсистема неотрицательна.
Цифровой

Для следующих упражнений, учитывая каждую функцию, оцените и

[reveal-answer q=»fs-id1165137804494″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137804494″]

[/скрытый ответ]

Для следующих упражнений, учитывая каждую функцию, оценить и

[reveal-answer q=»fs-id1165137476514″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137476514″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165135699157″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135699157″]

[/скрытый ответ]

Для следующих упражнений запишите область определения кусочной функции в интервальной записи.

[reveal-answer q=»fs-id1165135420410″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135420410″]

домен:

[/скрытый ответ]

Технология

Отобразите окно просмотра и определите соответствующий диапазон для окна просмотра. Покажите графики.

[reveal-answer q=»749724″]Показать решение[/reveal-answer]
[hidden-answer a=»749724″]

окно: [−0.5,-0,1]; [-0,5,-0,1]; [-0,5,-0,1]; диапазон: [4, 100]  [4, 100] [4, 100]

окно: [0,1, 0,5]; [0,1, 0,5]; [0,1, 0,5]; диапазон: [4, 100]  [4, 100] [4, 100]

[/скрытый ответ]

Отобразите окно просмотра и определите соответствующий диапазон для окна просмотра. Покажите графики.

Расширение

Допустим, диапазон функции равен Каков диапазон

[reveal-answer q=»fs-id1165134555582″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134555582″]

[/скрытый ответ]

Создайте функцию, диапазоном которой являются все неотрицательные действительные числа.

Создать функцию, в которой домен

[reveal-answer q=»fs-id1165133210812″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165133210812″]

Много ответов. Одна функция

[/скрытый ответ]

Реальные приложения

Стоимость изготовления изделий в долларах задается функцией

  1. Фиксированная стоимость определяется при нулевом производстве изделий. Найдите фиксированную стоимость этого товара.
  2. Сколько стоит изготовление 25 предметов?
  3. Предположим, что максимально допустимая стоимость составляет 1500 долларов США.Каковы домен и диапазон функции стоимости,

Глоссарий

обозначение интервала
способ описания множества, включающего все числа между нижним пределом и верхним пределом; нижние и верхние значения указаны в скобках или круглых скобках, квадратная скобка указывает на включение в набор, а круглая скобка указывает на исключение
кусочная функция
функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных
нотация конструктора наборов
метод описания множества по правилу, которому подчиняются все его элементы; принимает форму

Биоматематика: математические обозначения

Обозначение Set-Builder


Нотация построителя наборов обычно используется для компактного представления набора чисел.Мы можем использовать нотацию построителя наборов, чтобы выразить домен или диапазон функции. Например, набор, заданный

{ х | х ≠ 0},

находится в нотации конструктора наборов. Этот набор читается как

«Набор всех действительных чисел х , таких что х не равно 0»,

(где символ | читается как таковой). То есть это множество содержит все действительные числа, кроме нуля.

Символ

Представляет

{ }

Обозначает набор

|

Такой, что

 

Другой пример нотации конструктора наборов:

.

{ х | − 2 < x ≤ 3} .

Этот набор читается как

«Набор всех действительных чисел x , таких, что x больше -2 и меньше или равно 3».

Как указано выше, мы можем использовать нотацию построителя множеств для выражения домена функции. Например, функция

имеет домен, состоящий из всех действительных чисел, больших или равных нулю, потому что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом.Мы можем записать домен f ( x ) в нотации построителя наборов как

.

{ х | x ≥ 0}.

Если доменом функции являются все действительные числа (т. е. нет ограничений на x ), вы можете просто указать домен как «все действительные числа» или использовать символ для представления всех действительных чисел.

Обозначение интервала

Мы также можем использовать запись интервала для выражения области определения функции.В обозначении интервала используются следующие символы

Символ

Представляет

Объединение двух наборов

( )

Открытый интервал (т.е. мы не включаем конечные точки)

[ ]

Закрытый интервал (т.е. мы включаем конечные точки)

Интервальная нотация может использоваться для выражения различных наборов чисел. Вот несколько распространенных примеров.

Набор, включающий все действительные числа, кроме одного числа.

Символ объединения может использоваться для непересекающихся множеств. Например, мы можем выразить набор

{ х | х ≠ 0},

с использованием обозначения интервала как

(−∞, 0) ∪ (0, ∞).

Мы используем символ объединения (∪) между этими двумя интервалами, потому что мы удаляем точку x = 0,

Мы можем визуализировать вышеуказанное объединение интервалов, используя числовую прямую как

Обратите внимание, что на нашей числовой строке незакрашенная точка указывает на исключение точки, закрытая точка указывает на включение точки, а стрелка указывает на расширение до −∞ или ∞.

 

Открытые и закрытые интервалы

Теперь давайте посмотрим на другой пример.Набор предоставлен,

{ х | − 2 < x ≤ 3},

может быть выражено в виде интервала как

(−2, 3].

Мы можем визуализировать этот интервал, используя числовую прямую как

.

Набор, включающий все действительные числа

Если областью определения функции являются все действительные числа, вы можете представить это с помощью обозначения интервала как (−∞,∞).

 

*****

В следующем разделе мы опишем запись суммирования.

Обозначение суммирования

Диапазон по математике | Определение, как найти и примеры

Что такое диапазон?

В математике диапазон — это статистическое измерение дисперсии, или насколько данный набор данных растянут от наименьшего к наибольшему.В наборе данных диапазон представляет собой разницу между наибольшим и наименьшим значением.

Range — один из четырех простых инструментов статистики:

  • Среднее – Среднее арифметическое набора чисел – это его среднее (сумма чисел, деленная на количество чисел)
  • Медиана — Статистическая медиана — это среднее число в упорядоченном наборе чисел
  • Режим — режим является наиболее часто встречающимся числом в наборе данных
  • Диапазон — диапазон набора данных представляет собой математическую разницу между наибольшим и наименьшим значением

Первые три статистических инструмента измеряют центральную тенденцию или то, насколько похожи числа.

Только диапазон является мерой дисперсии, подчеркивая, насколько различаются числа, и существует простая формула для расчета диапазона.

Диапазон Формула

Диапазон = наибольшее значение – наименьшее значение

Как найти диапазон

Чтобы найти диапазон в наборе чисел, вы должны собрать данные, упорядочить данные от меньшего к большему, а затем вычесть наименьшее значение из наибольшего. Вы можете найти диапазон положительных чисел и отрицательных чисел.

Шаги для расчета диапазона:

  1. Соберите свои данные, чтобы знать все числа, которые нужно изучить.
  2. Упорядочить набор данных в порядке от меньшего к большему.
  3. Напишите предложение на вычитание, чтобы вычесть наименьшее значение из наибольшего (или наибольшего) значения.

Например, если вы читаете биографию и записываете, сколько страниц вы читаете каждый день, вы можете взять диапазон:

  • Понедельник – 12 страниц
  • Вторник – 9 страниц
  • Среда – 11 страниц
  • Четверг – 3 страницы
  • Пятница – 8 страниц

Чтобы найти диапазон, расположите количество страниц в порядке от наименьшего к наибольшему:

3, 8, 9, 11, 12

Вычесть наименьшее значение из наибольшего:

Р = 12 — 3 = 9

Диапазон этого набора данных – 9 страниц.

Давайте вычислим диапазон следующего набора действительных чисел. Ниже приведены пять игр с самым низким результатом в истории НБА с указанием команд и общего количества игровых очков:

.
  • Вашингтон Кэпитолис (49) против Питтсбург Айронмен (40) – 89 очков
  • Форт Уэйн Пистонс (19) против Миннеаполис Лейкерс (18) – 37 очков
  • Вашингтон Кэпитолс (50) против Детройт Фэлконс (33) – 83 очка
  • Бостон Селтикс (46) vs.Питтсбург Айронмен (44) – 90 очков
  • Бостон Селтикс (47) против Вашингтон Кэпитолс (38) – 85 очков

Выполните три шага, чтобы найти диапазон этих пяти игр:

  1. Соберите точки данных, чтобы знать все числа, которые необходимо изучить:
  2. 89 баллов, 37 баллов, 83 балла, 90 баллов, 85 баллов

    89, 37, 83, 90, 85

  3. Упорядочить набор данных в порядке от наименьшего к наибольшему числу
  4. 37, 83, 85, 89, 90

  5. Вычесть наименьшее значение из наибольшего:
  6. Диапазон = 90 — 37 = 53

    Диапазон = 53 точки

Диапазон пяти самых результативных игр в истории НБА составляет 53 очка.

Давайте попробуем это с некоторыми более сложными числами, такими как население страны.

Население Китая составляет 1 420 062 022 человека. Население Мексики составляет 132 328 035 человек. Население Индии составляет 1 368 737 513 человек. Население Соединенных Штатов составляет 329 093 110 человек.

Каков диапазон этого набора данных?

1) Собрать данные:

  • 1 420 062 022
  • 132 328 035
  • 1 368 737 513
  • 329 093 110

2) Расположите набор данных в порядке от меньшего к большему:

  • 132 328 035
  • 329 093 110
  • 1 368 737 513
  • 1 420 062 022

3) Вычесть наименьшее значение из наибольшего (наибольшего) значения:

  • Диапазон = 1 420 062 022 — 132 328 038
  • Диапазон = 1 287 733 987 человек

Как найти диапазон между двумя числами

Диапазон обычно используется для поиска разброса значений в наборе данных, состоящем из нескольких значений.Однако вам не нужны все остальные числа, чтобы найти диапазон между двумя числами.

Поиск диапазона между двумя числами аналогичен поиску диапазона набора данных.

Вот вам набор цифр:

{6,4,10,8}

Чтобы найти диапазон, вы берете наибольшее значение, 10, минус наименьшее значение, 4. Диапазон равен 6.

А что если в вашем наборе есть только два числа 10 и 4:

{10,4}

Диапазон между этими двумя числами одинаков, 10 — 4 = 6

Диапазон по-прежнему 6.

Поиск диапазона набора данных аналогичен поиску диапазона между двумя числами.

Примеры диапазонов

Ниже приведено несколько примеров задач, которые необходимо решить на диапазон.

1) В НБА есть игроки с огромными ногами. Вот размеры обуви некоторых известных игроков НБА:

.
  • Пол Джордж, Размер 12
  • Рассел Уэстбрук, Размер 15
  • Яо Мин, Размер 18
  • Тадж Гибсон, размер 13

Каков диапазон размеров обуви этих четырех игроков НБА?

2) Шкала твердости Мооса для минералов включает следующие образцы:

  • Алмаз, 10
  • Флюорит, 4
  • Тальк, 1
  • Кварц, 7
  • Апатит, 5

Каков диапазон пяти перечисленных минералов?

3) Чистокровная лошадь весит примерно 1100 фунтов.Шетландский пони весит около 200 фунтов. Лошадь Клайдсдейл весит около 2000 фунтов. Каков диапазон веса этих трех пород лошадей?

4) Марко получил оценки за контрольную по математике 67%, 101% (он получил дополнительный балл – всегда пытайтесь получить дополнительный балл!), 93%, 81% и 96%. Каков диапазон оценок Марко за контрольную по математике?

Согласно статистике, большинство людей сразу переходит к ответам, не посчитав сначала. Не будьте статистикой! Сначала решай проблемы!

Вот ответы:

  1. Размеры обуви игроков НБА имеют диапазон 6, разница между Полом Джорджем и Яо Мином.
  2. Шкала твердости Мооса имеет диапазон 9, показанный здесь как разница между алмазом и тальком.
  3. Диапазон веса трех пород лошадей составляет 1800 фунтов.
  4. У Марко диапазон оценок за контрольную по математике составляет 34 процентных пункта.

Использование диапазона в реальной жизни

Диапазон

используется в реальной жизни для выполнения математических расчетов. Диапазон можно использовать для расчета количества прошедшего времени, например, при расчете вашего возраста.

Текущий год 2020, а вы родились в 2005.Сколько тебе лет? Или сколько времени прошло?

2020 — 2005 = 15

Прошло 15 лет, значит, если ваш день рождения 2020 уже прошел, то вам 15 лет.

Диапазон

также используется в реальной жизни, чтобы выяснить разброс результатов тестов старшеклассников, определить диапазон цен на услугу и многое другое.

Область, объем и состав функций

Область, объем и состав функций

Домен, диапазон и состав функций


Студентам было предложено дать решение второй задачи для третья мастерская.Центральным аспектом этой проблемы было рассмотрение сложной формулы, определяющей функцию. Формула была состав из 4 (а может и 5, смотря как «читать» его) функции. Каждое произведение было «легким» или (по крайней мере, я надеялся) будет хорошо известный. Это были:
    ln     arctan     куб  (формула: x 3 )    квадратный корень(ing)  (формула: sqrt(x) или x &frac12 )    минус 1  (формула: x–1)

Основываясь на решениях, которые я прочитал, это был очень сложный проблема.Я не предполагал, что решение будет таким недоступным и сложно писать. Может быть, здесь я могу показать некоторые более простые примеры композицию, и вы можете увидеть, какие трудности. Мастерская проблема была довольно сложной.

Итак, давайте посмотрим на область определения, диапазон и графики двух функций. надеюсь, что то, что следует здесь, знакомо. После этого мы увидим некоторые примеры композиций и обсудить, что происходит с доменами, диапазоны и графики.

синус
График периодический и повторяется каждые 2Π.я Думаю, эта функция должна быть вам знакома.
Домен
Все реальные номера: R , также записывается как (–∞, +∞). Мы можем введите любое действительное число.
Диапазон
Выход из функционального блока «синус» (извините, я действительно думай так!) ограничивается числами от –1 до 1, включая обе конечные точки. Итак, [–1,1].
График
Или достаточно в этом разобраться, надеюсь!

ln
Слева от оси Y ничего нет, и то, что справа, на самом деле довольно «просто» — оно просто идет вверх, от –∞ до +∞.Надеюсь, это тоже знакомо.
Домен
Мы можем ввести только положительные числа. Таким образом, домен равен (0,+∞).
Диапазон
Выход для ln неограниченно: возможно любое действительное число. Итак, диапазон R или (–∞,+∞).
График
Или достаточно в этом разобраться, надеюсь!

Теперь попробуем поработать с этими функциями. я посмотрю на некоторые композиции.

sin(ln(x))
Ну, логический «поток» выглядит примерно так: x→ln(x)→sin(ln(x). Первая стрелка накладывает ограничение на домен. Нам лучше не подавать ничего ≤0. Вторая стрелка будет «принимать» что угодно, потому что областью синуса является вся Р . Следовательно, домен этой композиции (0,∞). Что насчет диапазона? Поскольку вывод ln — это все R , набор входов, «подаваемых» на синус, реален числа. И мы знаем, что сбор выходных данных для этого набор входных данных [–1,1].Так что держу пари, что вывод sin(ln(x)), диапазон равен [–1,1].
Справа есть изображение графика y=sin(ln(x)) , но предупреждение: этот график на самом деле намного сложнее и странно, чем то, что показано на этой картинке. График показан в виде довольно обычное окно, где x от 0 до 5, а y от –1 к 1. Много информации скрыто. Когда x приближается к 0 (в наших обозначениях x→0 ), ln(x) убывает и уменьшается и уменьшается, и дается все больше и больше отрицательных чисел как входы синуса.Но тогда синус колеблется. Мы получаем все результаты соответствующие входным данным синуса (-∞,0). Есть более точные фотографии ниже, которые также более запутанны.


Это менее обычное окно, в котором что происходит для x в интервале [≈0,.5].

В этом окне x находится в диапазоне [≈0,.05]. Там больше шевелится и вниз, поскольку входные параметры синусоидального марша кратны 2Π.
На самом деле существует бесконечно много колебаний вверх и вниз до непосредственно справа от 0.Это все колебания синуса в (–∞,0) как бы переупаковывается, становится все быстрее и быстрее по мере x→0 + .
Я думаю, что «колебание» более достойно, чем «покачивание» но они означают то же самое.

А вот и другая сторона, и сильно измененный горизонтальный масштаб (посмотрите внимательно, пожалуйста). ln(x) возрастает при x→∞, и на самом деле все положительные действительные числа в конечном итоге становятся выходами. Ну, это значит что также бесконечно много колебаний , когда х достигает большой, но волны идут все медленнее и медленнее.Итак, вершины неровности становятся все дальше и дальше друг от друга. Так что это тоже запутанно картина. Эти колебания представляют собой все колебания синуса в (0,∞) как бы перепаковывается с другими часами, становится медленнее и медленнее.

лн(грех(х))
Попробуем так: x→sin(x)→ln(sin(x)). Конечно есть нет ограничения на по входам на синус, но есть сильное ограничение на входы в ln: они должны быть положительными. Таким образом, каждый интервал где значения синуса (то, что я называю выходами ) не являются положительными, должны быть выброшены, чтобы эта композиция была определенный.Посмотрим: в [0,2П] синус положителен ровно в (0,П) (обратите внимание, что конечные точки отсутствуют!) так что домен ln(sin(x)) включает интервал (0,Π). Вещи повторяются для каждого кратно 2П, так как синус периодичен с периодом 2П и поэтому область определения ln(sin(x) включает (2Π, 3Π) и (4П, 5П) и (6П, 7П) и т. д. И, идя в обратном направлении, включает также (–2Π,–Π) и (–4Π,–3Π) и т. д. Итак, домен такой странный набор открытых интервалов длины Π, каждый из которых имеет расстояние Π со следующего куска домена.

Но что может быть более интересным, так это ассортимент. значения синуса на (0,Π) — это просто числа от 0 до 1. Чтобы быть точным, эти числа представляют собой интервал (0,1]. Когда (0,1] скармливается в ln, ну мы только получаем как выводим значения которые соответствуют этим входам. Я знаю, что ln(1) равно 0. И я знаю что ln имеет все отрицательные числа в качестве выходных данных для чисел от 0 до 1. Таким образом, выходы для этой композиции равны (–∞,0]. композиция ln(sin(x)) имеет ли НЕ тот же диапазон, что и просто ln.Его диапазон составляет всего (–∞,0), намного меньший набор чисел.

Что вы должны получить от этого, пожалуйста?
Состав очень странный . Композиция функций может сделать как домен так и диапазон функций меняется странным образом способы. Ниже приводится краткое изложение того, что мы видели.

9001x

7

Функция Домен Диапазон
sin(x) (–&infin,∞) [–1,1]
ln(x) (0,∞) (–&infin,∞)
sin(ln(x)) (0,∞) [–1,1]
0(sin(x)) 0,П) и все интервалы, полученные путем «перемещения» этого интервала на целое число, кратное (положительное или отрицательное) числа 2Π (–∞,0]

Дополнительные комментарии
Учащиеся сделали интересные и полезные комментарии в классе и после него класс об этом обсуждении.Эти комментарии были оценены.

Например, г-жа О’Салливан заметила что ее изображение (на графическом калькуляторе) y=ln(sin(x)) выглядело не так нормально и красиво, как на картинке выше. Этот потому что (по сути) то, что калькулятор делает для отображения графика, оценить функцию по 87 равномерно расположенным по горизонтали значениям в ширину окна по горизонтали, а затем включить «включить» или подсветить, как ну насколько это возможно, пиксели, локации на экране калькулятора, соответствующие этим значениям.Если расстояние между образцами не соответствует красиво с кратными Π, которые важны для функции, тогда изображение не будет выглядеть хорошо или не будет хорошо связано с реальным график функции. Справа график, полученный путем выборки 87 ценности. Вы можете видеть, что части кривой не выглядят такой же. Мой график выше был , а не , моя первая попытка создать картинка для этих заметок. Мне на самом деле нужно было около полдюжины пытается. Картинка, которую я использовал, имела частоту дискретизации около 350 точек, и я выбирал окно очень тщательно, чтобы картина выглядела так должно быть ! Технологии очень мощны, но компьютеры, как правило, именно то, что им говорят делать.Иногда нужен уход!

Другой студент (имя которого я, к сожалению, не знаю) обсуждал мастерская проблема со мной после нашего анализа функций здесь. Задача мастерской требует домен и диапазон (arctan(ln(sqrt(x)-1))) 3 . Он сказал, что, может быть, он мог только «беспокоиться» об арктангенсе и кубах. Мой комментарий был таким рецензия, объясняющая решение проблемы, должна быть рассмотреть все «кусочки» композиции, и что объяснение должно быть довольно осторожным.В двух более простых композиции, обсуждаемые здесь, я попытался объяснить, как соображения область и диапазон требовали от нас рассмотрения обеих задействованных функций и того, как эти функции взаимодействуют друг с другом. Это взаимодействие обеспечивает большинство раздражающих особенностей (извините, «интересные аспекты» могут быть более дипломатичная фраза) примера. Итак, для проблемы с мастерской, некоторое обсуждение взаимодействия каждой части композиции нужно.


Поддерживается гринфи@математика.rutgers.edu и последнее изменение 02.10.2009.

Домен и область действия

Определения домена и диапазона

Домен

Домен домена функция — это полный набор возможных значений независимой переменной.

На простом английском это определение означает:

Домен представляет собой множество всех возможных x — значения, которые сделают функцию «работает» и выводит реальные значения и .

При поиске домена помните:

  • Знаменатель (нижний) дроби не может быть ноль
  • Число под знаком квадратного корня должно быть положительный в этом разделе

Пример 1а

Вот график `y = sqrt(x+4)`:

12345-1-2-3-4123xy

Домен: `x>=-4`

Область определения этой функции `x ≥ −4`, поскольку x не может быть меньше `-4`.Чтобы понять почему, попробуйте ввести в свой калькулятор некоторые числа меньше `-4` (например, `-5` или `-10`) и больше `-4` (например, `-2` или `8`). Единственные, которые «работают» и дают нам ответ, это те, которые больше или равны `-4`. Это сделает число под квадратным корнем положительным.

Примечания:

  1. Заключенный (закрашенный) круг в точке `(-4, 0)`. Это указывает на то, что домен «запускается» в этой точке.
  2. Мы видели, как рисовать подобные графики в разделе 4, График функции.2 = х — 2.

Как найти домен

В общем, мы определяем домен каждой функции, ища те значения независимой переменной (обычно x ), которые нам разрешено использовать. (Обычно мы должны избегать 0 внизу дроби или отрицательных значений под знаком квадратного корня).

Диапазон

Диапазон из функция – это полный набор всех возможных результирующих значений зависимой переменной ( y, обычно ), после того как мы подставили домен.

На простом английском языке определение означает:

Диапазон является результирующим y- значений мы получаем после подстановки всех возможных x -значений.

Как найти диапазон

  • Диапазон функции представляет собой разброс возможных значений y (от минимального значения y до максимального значения y )
  • Подставьте разные значения x в выражение для y , чтобы получить посмотреть, что происходит.(Спросите себя: и всегда положительные? Всегда отрицательные? Или, может быть, не равны определенным значениям?)
  • Убедитесь, что вы ищете минимальное и максимальное значения y .
  • Нарисуй эскиз ! В математике верно то, что картинка стоит тысячи слов.

Пример 1b

Вернемся к примеру выше, `y = sqrt(x + 4)`.

Мы замечаем, что кривая находится либо на горизонтальной оси, либо выше нее.Независимо от того, какое значение x мы попробуем, мы всегда получим нулевое или положительное значение y . Мы говорим, что диапазон в этом случае равен y ≥ 0,

. 12345-1-2-3-4123xy

Диапазон: `y>=0`

Кривая всегда продолжается вертикально, за пределами того, что показано на графике, поэтому диапазон представляет собой все неотрицательные значения `y`.

Пример 2

График кривой y = sin x показывает, что диапазон находится между -1 и 1.

12345-1-2-3-4-5-6-71-1xy

Диапазон: `-1

Домен из y = sin x — это «все значения x «, так как нет ограничений на значения для x . (Поместите любое число в функцию «sin» вашего калькулятора. Любое число должно работать, и вы получите окончательный ответ между −1 и 1.)

Из эксперимента с калькулятором и наблюдения за кривой мы можем видеть, что диапазон равен y между −1 и 1.Мы могли бы записать это как −1 ≤ y ≤ 1,

.

Откуда взялся этот график? Мы узнаем о графиках sin и cos позже в разделе Графики sin x и cos x

Примечание 1: Поскольку мы предполагаем, что для значений x должны использоваться только действительные числа, числа, которые приводят к делению на ноль или к мнимым числам (которые получаются при нахождении квадратного корня из отрицательное число) не включены.В главе «Комплексные числа» рассказывается больше о мнимых числах, но мы не включаем такие числа в эту главу.

Примечание 2: При выполнении примеров с квадратным корнем многие люди спрашивают: «Разве мы не получаем 2 ответа, один положительный и один отрицательный, когда находим квадратный корень?» Квадратный корень имеет не более одного значения, а не двух. См. это обсуждение: Квадратный корень 16 — сколько ответов?

Примечание 3: Мы говорим о домене и диапазоне функций , которые имеют максимум одно y -значение для каждого x -значения, а не отношений (которые могут иметь более одного .).

Поиск домена и диапазона без использования графа

Всегда намного проще определить домен и диапазон, читая его с графика (но мы должны убедиться, что мы увеличиваем и уменьшаем масштаб графика, чтобы убедиться, что мы видим все, что нам нужно видеть). Тем не менее, у нас не всегда есть доступ к программному обеспечению для построения графиков, а набросок графика обычно требует в первую очередь знания о разрывах и так далее.

Как упоминалось ранее, ключевыми моментами для проверки являются:

  1. Нет отрицательных значений под знаком квадратного корня
  2. В знаменателе (нижней части) дроби нет нулевых значений

Пример 3

Найдите домен и диапазон функции `f(x)=sqrt(x+2)/(x^2-9)` без использования графика.2-9`, который, как мы узнаем, можно записать как `(x+3)(x-3)`. Таким образом, наши значения для «x» не могут включать «-3» (из первой скобки) или «3» (из второй).

В любом случае нам не нужно беспокоиться о `-3`, потому что мы решили на первом шаге, что `x >= -2`.

Таким образом, домен для этого случая равен `x >= -2, x != 3`, что можно записать как `[-2,3)uu(3,oo)`.

Чтобы определить диапазон, мы рассматриваем верх и низ дроби отдельно.

Числитель: Если `x=-2`, вершина имеет значение `sqrt(2+2)=sqrt(0)=0`.2-9)` приближается к `0`, так что `f(x)` перейдет к `-oo` по мере приближения к `x=3`.

Для `x>3`, когда `x` немного больше, чем `3`, значение основания чуть больше `0`, поэтому `f(x)` будет очень большим положительным числом.

Для очень больших `x` верхняя часть велика, но нижняя часть будет намного больше, поэтому в целом значение функции будет очень маленьким.

Итак, мы можем заключить, что диапазон равен `(-oo,0]uu(oo,0)`.

Взгляните на график (который мы все равно рисуем, чтобы убедиться, что мы на правильном пути):

Показать график

На следующем графике мы можем видеть, что действительно, областью является `[-2,3)uu(3,oo)` (включая `-2`, но не `3`), а диапазоном являются «все значения из `f(x)`, кроме `F(x)=0`.2-9)`.

Резюме

В общем определяем домен по ищем те значения независимой переменной (обычно x ), которые мы разрешили использовать . (Мы должны избегать 0 внизу дроби или отрицательных значений под знаком квадратного корня).

Диапазон находится путем нахождения результирующих значений и после подстановки возможных значений x .

Упражнение 1

Найдите домен и диапазон для каждого из следующих.2+ 2`.

Ответить

Домен: Функция

f ( х ) = х 2 + 2

определяется для всех реальных значений x (поскольку нет ограничений на значение x ).

Следовательно, домен `f(x)` равен

«все реальные значения x «.

Диапазон: Поскольку x 2 никогда не бывает отрицательным, x 2 + 2 никогда не меньше `2`

Следовательно, диапазон `f(x)` равен

«все действительные числа `f(x) ≥ 2`».

Мы видим, что x может принимать любое значение на графике, но результирующие значения y = f ( x ) больше или равны 2.

123-1-2-312345678910-1xf(x)

Диапазон: `y>=2`

Домен: Все `x`

Примечание

  1. Важно маркировать оси при построении графиков. Это помогает понять, что представляет собой график.
  2. Мы видели, как рисовать такие графики в Графике функции.

(б) `f(t)=1/(t+2)`

Ответить

Домен: Функция

`f(t)=1/(t+2)`

не определен для t = -2, так как это значение приведет к делению на ноль. (Внизу дроби будет 0.)

Следовательно, домен из f ( t ) равен

«все действительные числа кроме -2»

Диапазон: Независимо от того, насколько большим или маленьким станет t , f ( t ) никогда не будет равно нулю.

[ Почему? Если мы попытаемся решить уравнение относительно 0, произойдет следующее:

`0=1/(t+2)`

Умножаем обе части на ( t + 2) и получаем

`0 = 1`

Это невозможно.]

Таким образом, диапазон из f ( t ) равен

«все действительные числа, кроме нуля».

На графике видно, что функция не определена для `t = -2` и что функция (значения и ) принимает все значения, кроме `0`.

1234-1-2-3-4-5-6-712345-1-2-3-4-5tf(t)

Домен: Все `t ≠ -2`

Диапазон: Все `f(t) ≠ 0`

(c) `g(s)=sqrt(3-s)`

Ответить

Функция

`g(s)=sqrt(3-s)`

не определяется по-настоящему числа больше 3, что приведет к мнимым значениям за г ( с ).2+ 4` для `х > 2`

Ответить

Функция `f(x)` имеет домен из «все действительные числа, `x > 2`», как определено в вопросе.(Здесь нет результирующих квадратных корней из отрицательных чисел или деления на ноль.)

Чтобы найти диапазон :

  • Когда `x = 2`, `f(2) = 8`
  • Когда x увеличивается с `2`, `f(x)` становится больше `8` (Попробуйте заменить некоторые числа, чтобы понять, почему.)

Следовательно, диапазон — это «все действительные числа, `f(x) > 8`»

Вот график функции с незакрашенным кружком в `(2, 8)`, указывающим, что домен не включает `x = 2`, а диапазон не включает `f(2) = 8`.

123456510152025xf(x)(2, 8)

Домен: Все `x>2`

Диапазон:
Все `f(x) > 8`

Функция является частью параболы. [Подробнее о параболе.]

Упражнение 2

Мы запускаем мяч в воздух и находим высота h , в метрах, как функция времени t , в секундах, равно

ч = 20 т − 4,9 т 2

Найти домен и диапазон для функции ч ( т ).

Ответить

Как правило, отрицательные значения времени не имеют значение. Кроме того, нам нужно предположить, что снаряд ударяется о землю, а затем останавливается — он не уходит под землю.

Итак, нам нужно рассчитать, когда он упадет на землю. Это будет при ч = 0. Итак, решаем:

20 т − 4,9 т 2 = 0

Факторинг дает:

(20 − 4,9 t ) t = 0

Это верно, когда

`т = 0\»с»`,

или

`t=20/4.9 = 4,082 текста`

Следовательно, домен функции h равен

«все настоящие значения t такие, что `0 ≤ t ≤ 4,082`»

Из выражения функции видно, что это парабола с вершиной вверх. (Это имеет смысл, если вы думаете о броске мяча вверх. Он поднимается на определенную высоту, а затем снова падает.)

Каково максимальное значение ч ? Воспользуемся формулой максимума (или минимума) квадратичной функции.

Максимальное значение t , которое дает

`t = -b/(2a) = -20/(2 xx (-4,9)) = 2,041 с `

Таким образом, максимальное значение равно

.

20(2,041) − 4,9(2,041) 2 = 20,408 м

Наблюдая за функцией ч , мы видим, что по мере увеличения t ч сначала увеличивается до максимума 20,408 м, то ч снова уменьшается до нуля, как и ожидалось.

Следовательно, диапазон из h равен

«все настоящие числа, `0 ≤ h ≤ 20,408`»

Вот график функции ч :

1234565101520-5th(t)

Домен: `0

Диапазон:
`0

Функции, определяемые координатами

Иногда у нас нет непрерывных функций. Что мы делаем в этом случае? Давайте посмотрим на пример.

Упражнение 3

Найти область определения и диапазон функции, определяемой координатами:

`{(−4, 1), (−2, 2.5), (2, −1), (3, 2)}`

Ответить

Домен — это просто заданные значения x : `x = {−4, −2, 2, 3}`

Диапазон состоит из заданных значений `f(x)`: `f(x) = {−1, 1, 2, 2,5}`

Вот график нашей разрывной функции.

1234-1-2-3-41234-1-2-3-й(т)(3, 2)(2,-1)(-4,1)

(-2, 2,5)

Нужна помощь в решении другой проблемы с доменом и диапазоном? Попробуйте решение проблем.

Отказ от ответственности: IntMath.com не гарантирует точность результатов. Решатель задач предоставлен Mathway.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.