X 8 x 5 0: Решите неравенство (x-5)*(x+8)

Содержание

Калькулятор квадратного уравнения онлайн

Квадратное уравнение-многочлен уравнения второй степени. Общий вид: ax2 + bx + c = 0, где ≠ 0

Пример ,Введите a=1, b=8 and c=16. ax2 + bx + c = 0

Формула квадратного уравнения

x =(- b ±√ (b2 — 4 * a * c)) / 2 * a

Квадратное уравнение это полиномиальное уравнение второй степени. Общий вид которого  ax2+bx+c=0, где a ≠0.

Формула квадратного уравнения:

ax2 + bx + c = 0,

где,

  • a = коэффициент x2
  • b = коэффициент x
  • c = константа.

 

Квадратное уравнение решение:

x = (- b ± √ (b2 — 4 * a * c)) / 2 * a

 

Пример 1:

Вычислите корни (x1, x2) из квадратного уравнения, x2 + 2x — 8 = 0.

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значение a = 1, b = 2 и c = — 8.

Шаг 2:

Найдем  X: Подставим значения в формулу x = (- b ±√ (b

2 — 4 * a * c)) / 2 * a

Шаг 3:

Получаем корни, x = (- 2 ±√ 22 — 4 * 1 * — 8) / 2 * 1,  x = — 4 и x = 2 , соответственно x1 = — 4 и x2 = 2.

Пример 2 :

Вычислите корни (x1, x2) квадратного уравнения, x2 — 10x + 25 = 0

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значение a = 1, b = — 10 and c = 25.

Шаг 2:

Найдем  X: Подставим значения в приведенную формулу x = (- b ±√ (b2 — 4 * a * c)) / 2 * a

Шаг 3:

Получили корни, x = (- 2 ±√(22 — 4 * 1 * — 8)) / 2 * 1 x = 5 и x = 5, соответственно x1 = 5 и x2 = 5. Здесь х = 5, называется двойным корнем.

людей нашли эту статью полезной. А Вы?

Решатель примеров онлайн

Введите в форму ниже уравнение, функцию или неравенство и подобное и нажмите Enter

Синтаксис программы:

Графики

Чтобы построить график функции, необходимо использовать оператор plot, например plot x^3-6x^2+4x+12 или plot sin x + cos (sqrt(3)x)

График функции с заданной областью определения plot e^x from x=0 to 10

График функции двух переменных с заданной областью определения plot x^2 y^3, x=-1.3-2x+1 приведёт выражение к (x – 1)(x2 +x +1).

Оператор expand раскроет скобки и разложит выражение, например expand (x – 1)(x2+x+1) приведёт выражение к x3 -2x +1.

Оператор partial fractions разложит отношение многочленов в сумму простейших дробей.

minimize минимизирует функцию, а maximize максимизирует

Число «Пи» записывается, как pi

Тригонометрические функции: sin, cos, tan, ctan, arcsin, arccos, arctan, arcctan

Команда series раскладывает функцию в ряд, например: taylor series sinx at x=0 даст нам разложение функции sin(x) в ряд Тейлора в точке x=0

Производные и интегралы

Чтобы найти предел, необходимо в начале функции подставить lim, а после записать саму функцию, в конце указать к чему стремится предел: as-> далее число (бесконечность записывается infinity).8

Оператор factor раскладывает число на множители

! выводит факториал, например 123!

Оператор gcd выводит наибольший общий делитель, например gcd 164, 88 выводит наибольший общий делитель чисел 164 и 88

Линейные неравенства, решение и примеры

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

  • ax + b < 0,
  • ax + b > 0,
  • ax + b ≥ 0,
  • ax + b ≤ 0,

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье. 

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Типы неравенств

 
  1. Строгие — используют только больше (>) или меньше (<):
  • a < b — это значит, что a меньше, чем b.
  • a > b — это значит, что a больше, чем b.
  • a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.
  1. Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно):
  • a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
  • a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
  • знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.
  1. Другие типы:
  • a ≠ b — означает, что a не равно b.
  • a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
  • a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
  • знаки >> и << противоположны.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

 
  1. Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.

  2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.

  3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.

 
  1. Если а > b и c > d, то а + c > b + d.

Если а < b и c < d, то а + c < b + d.

Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять из-за возможных исключений. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

 
  1. Если а > b и c < d, то а – c > b – d.

Если а < b и c > d, то а – c < b – d.

Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

 
  1. Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и 

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и 

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

 
  1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.

Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.

Следствие данного правила или квадратный пример: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

 
  1. Если а > b, где а, b > 0, то 

Если а < b , то 

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Важно знать

Два неравенства можно назвать равносильными, если у них одинаковые решения.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

 
  1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.
  • 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.
  • Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
  • Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x < 4,5.

Решение линейных неравенств

Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  • ax + b < 0,
  • ax + b > 0,
  • ax + b ≤ 0,
  • ax + b ≥ 0,

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Для решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

Алгоритм решения ax + b < 0 при a ≠ 0

  • перенесем число b в правую часть с противоположным знаком,
  • получим равносильное: ax < −b;
  • произведем деление обеих частей на число не равное нулю.

Когда a положительное, то знак неравенства остается без изменений, если a — отрицательное, знак меняется на противоположный.

Рассмотрим пример: 4x + 16 ≤ 0.

Как решаем: В данном случае a = 4 и b = 16, то есть коэффициент при x не равен нулю. Применим вышеописанный алгоритм.

  • Перенесем слагаемое 16 в другую часть с измененным знаком: 4x ≤ −16.
  • Произведем деление обеих частей на 4. Не меняем знак, так как 4 — положительное число: 4x : 4 ≤ −16 : 4 ⇒ x ≤ −4. 
  • Неравенство x ≤ −4 является равносильным. То есть решением является любое действительное число, которое меньше или равно 4.

Ответ: x ≤ −4 или числовой промежуток (−∞, −4].

При решении ax + b < 0, когда а = 0, получается 0 * x + b < 0. На рассмотрение берется b < 0, после выясняется верное оно или нет.

Вернемся к определению решения неравенства. При любом значении x мы получаем числовое неравенство вида b < 0. При подстановке любого t вместо x, получаем 0 * t + b < 0 , где b < 0. Если оно верно, то для решения подойдет любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда данное уравнение не имеет решений, так как нет ни одного значения переменной, которое может привести к верному числовому равенству.

Числовое неравенство вида b < 0 (≤, > , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

Ответ: промежуток (− ∞ , + ∞).

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов заключается в следующем:

  • вводим функцию y = ax + b;
  • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
  • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
  • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

Алгоритм решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

  • если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если < или ≤ — над отрицательным промежутком.

Рассмотрим пример: −6x + 12 > 0.

Как решаем:

  1. В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

    −6x = −12,

    x = 2.

    Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  2. Определим знаки на промежутках.

    Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

    Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным.

  3. Штриховку сделаем над положительным промежутком.

    По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 2) или x < 2.

Ответ: (−∞, 2) или x < 2.

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b < 0 определить промежуток, где график изображен ниже оси Ох;
  • во время решения ax + b ≤ 0 определить промежуток, где график изображается ниже Ох или совпадает с осью;
  • во время решения ax + b > 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x < −√3 : 5.

Линейные неравенства в 8 классе — это маленький кирпич, который будет заложен в целый фундамент знаний. Мы верим, что у все получится!



§ Как решать уравнения по теореме Виета

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью формулы для корней можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в определении коэффициентов «a», «b» и «с» в квадратных уравнениях. Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Запомните!

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом:

x2 + px + q = 0

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0» в том, что в приведённом уравнении «x2 + px + q = 0» коэффициент «а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x2 + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0», то становится видно,
что «p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Уравнение Коэффициенты Вывод
x2 − 7x + 1 = 0

Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета.

3x2 − 1 + x = 0

Приведем уравнение к общему виду:

3x2 + x − 1 = 0

Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета.

−x2 = −3 + 2x

Приведем уравнение к общему виду:

−x2 + 3 − 2x = 0
−x2 − 2x + 3 = 0

Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Запомните!

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

x1 + x2 = −p
x1 · x2 = q
, где «x1» и «x2» — корни этого уравнения.

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» — значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».


Рассмотрим пример.

x2 + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение считается приведённым, значит, можно использовать метод Виета. Выпишем коэффициенты «p» и «q».

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

x1 + x2 = −4
x1 · x2 = −5

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения «x1 = −5» и «x2 = 1». Запишем ответ.

Ответ: x1 = −5; x2 = 1


Рассмотрим другой пример.

x2 + x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1 = −3» и «x2 = 2». Запишем ответ.

Ответ: x1 = −3; x2 = 2

Важно!

Если у вас не получается решить уравнение с помощью теоремы Виета, не отчаивайтесь. Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней.


Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x2 − 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2», поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2». Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x2 − 16x − 18 = 0            | (:2)
2x2(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x2 − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

x1 + x2 = −(−8)
x1 · x2 = −9
x1 + x2 = 8
x1 · x2 = −9

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1 = 9» и «x2 = −1». Запишем ответ.

Ответ: x1 = 9; x2 = −1


Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x1» и «x2» квадратного уравнения «x2 + px + 3 = 0» удовлетворяют условию «x2 = 3x1». Найти «p», «x1», «x2».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

x2 + px + 3 = 0
x1 + x2 = −p
x1 · x2 = 3

По условию дано, что «x2 = 3x1». Подставим это выражение в систему вместо «x2».

x1 + 3x1 = −p
x1 · 3x1 = 3
4x1 = −p
3x12 = 3     |(:3)

Решим полученное квадратное уравнение «x12 = 1» методом подбора и найдем «x1».

   x12 = 1
  • (Первый корень) x1 = 1
  • (Второй корень) x1 = −1

Мы получили два значения «x1». Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x1 = 1
Найдем «x2»
x1 · x2 = 3
1 · x2 = 3
x2 = 3
Найдем «p»
x1 + x2 = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4; (Второй корень) x1 = −1
Найдем «x2»
x1 · x2 = 3
−1 · x2 = 3
                 −x2 = 3         | ·(−1)
x2 = −3
Найдем «p»
x1 + x2 = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4 Ответ: (x1 = 1; x2 = 3; p = −4)     и     (x1 = −1; x2 = −3; p = 4)

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений, где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3x2 + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1 = −3» и «x2 = 2». Запишем ответ.

Ответ: x1 = −3; x2 = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в которых «a = 1». Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.


Почему нельзя делить на ноль?

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Ответил: Александр Сергеев

Различные методы решения уравнений

I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax2 + bx + c = 0,  a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным.

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax2n + bxn + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2  

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a =  0, a ≠ 0, коэффициенты  a b c b a или

ax4 + bx3 + cx2  – bx + a =  0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a 

Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x2, тогда получаем: .

Произведя замену решаем квадратное уравнение a(t2 – 2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x4 –  2x3x2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x2,

, после замены получаем уравнение t2 – 2t – 3 = 0

– уравнение не имеет корней.

Ответ:

4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax2, коэффициенты ab = cd

Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x2. Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x2 + 14x + 24)(x2 +11x + 24) = 4x2, разделим обе части уравнения на x2, получим:

имеем  (t + 14)(t + 11 ) = 4.

5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Ответ: -2; -0,5; 0

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?

Пусть дан многочлен Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + …+a1x + a0 , где an≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и an = 1 , то целые корни уравнения Pn(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a0. Например, x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P4(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P4(x) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

P4(x) = (x – 1)(x3 + 3x2 + x – 5).

Аналогично, P3(1) = 0, тогда P4(x) = (x – 1)(x – 1)(x2 + 4x +5), т.е. уравнение P4(x) = 0 имеет корни x1 = x2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).

  1 2 –2 –6 5
1 1 3 1 –5 0
1 1 4 5 0  

 

значит, x1 = 1 значит, x2 = 1.

Итак, (x – 1)2(x2 + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.

а) ax3 + bx2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x5 + 3x4 – 5x3 – 5x2 + 3x + = 0

  2 3 –5 –5 3 2
–1 2 1 –6 1 2 0
1 2 3 –3 –2 0  
1 2 5 2 0    

 

 x = –1

 x = 1

 x = 1

Получаем (x – 1)2(x + 1)(2x2 + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1; –2; –0,5.

VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.

Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…

5)) = 0

Шаг за шагом Решение:

Шаг 1:

Шаг 2:

Вытягивание как Условия:

2.1 Вытащите как факторы:

x 8 — x 5 = X 5 • (x 3 — 1)

 

 
Пытаться к фактору как разницу кубиков:

2.2 Факторинг: x 3 — 1

Теория: Разница в двух идеальных кубиках, 3 — B 3 может быть учтено на
(AB) • (A 2 + AB + B 2 )

Доказательство: (AB) • (A 2 + AB + B 2 ) =
A 3 + A 2 B + A 2 B + AB 2 -BA 2 -B 2 -B 2 AB 3 =
A 3 + (A 2 B-BA 2 ) + (ab 2 -b 2 a)-b 3  =
                    a 3 +0+0-b 3  =
            0028 -b 3

Проверка: 1 — куб 1
Проверка: x 3 — это куб х 1

Факторизация:
(x — 1) • (x 2 + x + 1)

Попытка разложить средний член

 2.3     Разложение на множители  x 2 + x + 1 

Первый член:  x 2  , его коэффициент равен 1 .
Средний член равен  +x , его коэффициент равен 1 .
Последний член, «константа», равен  +1 

Шаг 1: умножьте коэффициент первого члена на константу   1 • 1 = 1 

Шаг 2: найдите два множителя 1, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен   1 .

9
-1 -1 + -1 = -2
1 1 + 1 = 2


Наблюдение : Невозможно найти два таких фактора !!
Вывод: Трехчлен нельзя разложить на множители

Уравнение в конце шага 2 :
 x  5  • (x - 1) • (x  2  + x + 1) = 0
 

Этап 3 :

Теория – корни продукта:

 3.1    Произведение нескольких членов равно нулю.

 Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.

 Теперь мы будем решать каждый термин = 0 отдельно

 Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении

 Любое решение термина = 0 также решает произведение = 0.

 
Уравнение одного переменного уравнения:

3.2 Решить: x 5 = 0

Решение x 5 = 0

 
Решая одноразовое уравнение переменного:

3.3 решить: X-1 = 0

Добавить 1 к обе стороны уравнения:
x = 1

 
Парабола, нахождение вершины:

3.4 Найти вершину y = x 2 + x + 1

Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной . Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).

 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.

Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую ​​информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх.По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

 Для любой параболы, Ax 2 +Bx+C, x-координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата х равна -0,5000  

. Подставляя в формулу параболы -0,5000 для х, мы можем вычислить координату у:

Парабола, графическая вершина и точки пересечения X:

Корневой график для:  y = x 2 +x+1
Ось симметрии (пунктирная)  {x}={-0.50} 
Вершина в  {x,y} = {-0,50, 0,75} 
Функция не имеет действительных корней

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

 3,5     Решение   x 2 +x+1 = 0, заполнив квадрат. .

 Вычтите 1 из обеих частей уравнения:
   x 2 +x = -1

Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент при  x , равный 1, разделите на два, получите 1/2, и, наконец, возведите в квадрат это дает 1/4 

Добавьте 1/4  к обеим частям уравнения:
  В правой части мы имеем:
   -1  +  1/4    или, (-1/1)+(1/4) 
  общий знаменатель двух дробей равен 4    Сложение (-4/4)+(1/4) дает -3/4 
 3/4

Добавление 1/4 завершило левую часть в полный квадрат:
   x 2 +x+(1/4)  =
   (x+(1/2)) • (x+(1/2) )  =
  (x+(1/2)) 2
Вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу.Так как
   x 2 +x+(1/4) = -3/4 и
   x 2 +x+(1/4) = (x+(1/2)) 2
, то по закону транзитивности,
   (x+(1/2)) 2 = -3/4

Мы будем называть это уравнение уравнением #3.5.1  

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
   (x+(1/2)) 2   равен
   (x+(1/2)) 2/2  =
  (x+(1/2)) 1  =
x+(1/2)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению#3.5.1  получаем:
   x+(1/2) = √ -3/4

Вычтем  1/2  с обеих сторон, чтобы получить:
   x = -1/2 + √ -3/4
В математике, i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет   i 2   =-1. Оба  i   и   -i   являются квадратными корнями из   -1 

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное,
   x 2 + x + 1 = 0
   имеет два решения:
  x = -1/ 2 + √ 3/4 • i
   или
  x = -1/2 — √ 3/4 • i

Обратите внимание, что √ 3/4 можно записать как
  √ 3 / √ 4  , что равно √ 3 / 2

7

Решите квадратное уравнение, используя квадратную формулу

 3.6     Решение    x 2 +x+1 = 0 по квадратичной формуле .

Согласно квадратичной формуле, X, решение для AX 2 + Bx + C = 0, где A, B и C являются числами, часто называемыми коэффициентами, задаются:

— B ± √ b 2 -4CAC
x = ———
2a

в нашем случае a = 1
b = 1
c = 1

соответственно, b 2 — 4ac =
1 — 4 =
-3

Применение квадратичной формулы:

-1 ± √ -3
x = ——
2

в наборе реальных чисел, отрицательные числа не имеют квадратных корней.Был изобретен новый набор чисел, называемый комплексным, чтобы отрицательные числа имели квадратный корень. Эти номера написаны (A + B * I)

И я и -i — квадратные корни минус 1

соответственно, √ -3 =
√ 3 • (-1) =
√ 3 • √ -1 =
± √ 3 • i

√ 3, округлые до 4 десятичных цифр, составляет 1,7321
, поэтому теперь мы смотрим:
x = (-1 ± 1,732 I) / 2

Два воображаемых решения:

 x = (-1+√-3)/2=(-1+i√3)/2=-0.3".3+8*x-5)=0  

Пошаговое решение:

Шаг 1 :

Шаг 2 :

Вытягивание одинаковых членов:

 2.1     Вытягивание одинаковых множителей:

 x 

8x + 5  =   -1 • (x 3 + 8x - 5) 

Калькулятор корней полиномов :

 2.2    Найти корни (нули) :       F(x) = x 7 3 800 -  F(x) = x 3 8900 - Калькулятор представляет собой набор методов, предназначенных для нахождения значений x, для которых   F(x)=0  

Rational Roots Test является одним из вышеупомянутых инструментов.Он найдет только рациональные корни, то есть числа x, которые могут быть выражены как частное двух целых чисел

Теорема о рациональных корнях утверждает, что если многочлен равен нулю для рационального числа  P/Q  , то P является множителем замыкающей константы, а  Q является коэффициентом ведущего коэффициента

В этом случае ведущий коэффициент равен 1, а конечная константа равна -5.

 Коэффициент(ы):

ведущего коэффициента:  1
 константы замыкания:  1 ,5

 Проверим ....

P 9 9 Q P / Q P / Q F (P / Q) Divisor
-1 1 -1.00 -1.00 -14.00
-5 1 -500 -170.00
1 1 1,00 4,00
5 1 5,00 160.00    


Калькулятор корней полинома не нашел рациональных корней

Уравнение в конце шага 2  :
 -x  3
 

Шаг 3 :

 
Кубические уравнения :

 3.1     Решить   -x 3 -8x+5 = 0

Будущие версии Tiger-Algebra будут решать уравнения третьей степени напрямую.

Тем временем мы воспользуемся методом деления пополам для аппроксимации одного действительного решения.

Аппроксимация корня с помощью метода деления пополам :

Теперь мы используем метод деления пополам для аппроксимации одного из решений. Метод деления пополам — это итерационная процедура для аппроксимации корня (корень — это другое название решения уравнения).

Функция   F(x) = -x 3 - 8x + 5

At   x=   1.00   F(x)  равно -4,00 
При   x=  0,00   F(x)  равно  5,00 

Интуитивно мы чувствуем, и справедливо, что, поскольку F(x) отрицательно с одной стороны интервала, а положительно

Процедура:
(1) Найдите точку «Слева», где F (Слева) < 0

(2) Найдите точку «Справа», где F(Right) > 0

(3) Вычислить 'Middle' среднюю точку интервала [Left,Right]

(4) Вычислить значение = F(Middle)

(5) Если значение достаточно близко к нулю перейти к Шагу (7)

Иначе:
Если Значение < 0, то: Слева <- Середина
Если Значение > 0, то: Справа <- Середина

(6) Возврат к Шагу (3)

(7) Готово! ! Найденное приближение: Среднее

Следуйте средним движениям, чтобы понять, как это работает:

 Левое значение (левое) Правое значение (правое)

 1.000000000 -4,000000000 0,000000000 5,000000000
 1,000000000 -4,000000000 0,000000000 5,000000000
 1,000000000 -4,000000000 0,500000000 0,875000000
 0,750000000 -1,421875000 0,500000000 0,875000000
 0,625000000 -0,244140625 0,500000000 0,875000000
 0,625000000 -0,244140625 0,562500000 0,322021484
 0,625000000 -0,244140625 0,5

000 0,040679932 0,60

00 -0,101284027 0,5

000 0,040679932 0,601562500 -0,0301

0,5

000 0,040679932 0.601562500 -0,0301

0,597656250 0,005271375 0,599609375 -0,012453400 0,597656250 0,005271375 0,598632812 -0,003589300 0,597656250 0,005271375 0,598632812 -0,003589300 0,598144531 0,000841466 0,598388672 -0,001373810 0,598144531 0,000841466 0,598266602 -0,000266145 0,598144531 0,000841466 0,598266602 -0,000266145 0,598205566 0,000287667 0,598266602 -0,000266145 0,598236084 0,000010762 0,598251343 -0,000127691 0,598236084 0,000010762 0.598243713 -0,000058464 0,598236084 0,000010762 0,598239899 -0,000023851 0,598236084 0,000010762 0,598237991 -0,000006544 0,598236084 0,000010762 0.598237991 -0.0000065491 -0.000006544 0.598237038 0.598237038 0.598237038 0.000002109


Следующая середина приведет нас достаточно близко к нулю:

f (0.598237276) IS -0.000000054

Желаемое приближение решения:

x ≓ 0.598237276

Примечание, ≓ - приближение символ

Было найдено одно решение:

                         x ≓ 0.{2}+\влево(а+b\вправо)x+ab=\влево(x+a\вправо)\влево(x+b\вправо). Чтобы найти a и b, составим решаемую систему.

-1,-16 -2,-8 -4,-4

Так как ab положительно, a и b имеют одинаковый знак. Поскольку a + b отрицательно, a и b оба отрицательны. Перечислите все такие целочисленные пары, которые дают произведение 16.

-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8

Подсчитайте сумму для каждой пары.

a=-8 b=-2

Решением является пара, которая дает сумму -10.

\left(x-8\right)\left(x-2\right)

Переписать факторизованное выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right), используя полученные значения.{2}-4ac}}{2a}.

x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 16}}{2}

Квадрат -10.

x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2}

Умножить -4 на 16.

x=\frac{-\left(-10\) right)±\sqrt{36}}{2}

Прибавьте 100 к -64.

x=\frac{-\left(-10\right)±6}{2}

Извлеките квадратный корень из 36.

x=\frac{10±6}{2}

Противоположность -10 равно 10.

x=\frac{16}{2}

Теперь решите уравнение x=\frac{10±6}{2}, когда ± равно плюсу.{2}}=\sqrt{9}

Возьмите квадратный корень из обеих частей уравнения.

x=8 x=2

Добавьте 5 к обеим частям уравнения.

Графические уравнения и системы уравнений с пошаговым решением математических задач

ВВЕДЕНИЕ В QUADRATICS

Цели

В этом разделе вы будете складывать, вычитать, умножать и строить квадратичные графики.

Словарь : Стандартный формат квадратного уравнения : y = ax 2 + bx + c ; а, b, с — константы; x — независимая переменная, y — зависимая переменная.Квадратичные числа также называются полиномами второй степени , потому что наивысший показатель степени равен 2. Уравнение пересечения наклона из второй главы, y = mx + b, называется полиномом первой степени , потому что старший показатель равен единице.

Зачем изучать квадратику? Графики квадратных уравнений представляют собой параболы (графики U-образной формы, открывающиеся вверх или вниз). Эта особенность квадратичных уравнений делает их хорошими моделями для описания пути объекта в воздухе или описания прибыли компании (примеры которых вы можете увидеть в конечной математике или в микроэкономике.)

Пример 1. Лежащий на спине мальчик выстреливает из пращи камень прямо в воздух с начальной скоростью (сила, которую мальчик использует для выстрела камня) 64 фута в секунду. Квадратное уравнение, моделирующее высоту скалы, равно

.

ч = -16t 2 +64t.

а. Найдите высоту скалы при t = 0,

.

В формуле h = -16t 2 + 64t заменить t на 0.

ч = -16(0) 2 +64(0)
ч = 0

Камень находится в воздухе ноль футов за ноль секунд.(Это момент прямо перед тем, как он выстрелит камнем в воздух.)

б. Найдите высоту скалы при t = 1,

.

В формуле h = -16t 2 + 64t заменить t на 1.

В одну секунду камень находится в воздухе на высоте 48 футов.

Объяснение : Возводится в квадрат только "1". -16 умножается на 1 2

в. Найдите высоту скалы при t = 2,

.

В формуле h = -16t 2 + 64t замените t на 2.

Камень находится в воздухе на высоте 64 фута за 2 секунды.

Объяснение : Порядок операций требует применения показателей степени перед умножением.

д. Найдите высоту скалы при t = 3,

.

В формуле h = -16t 2 + 64t заменить t на 3.

Камень находится в воздухе на высоте 48 футов за 3 секунды.

эл. Найдите высоту скалы при t = 4,

.

В формуле h = -16t 2 +64t замените t на 4.

Камень находится в воздухе на ноль футов через 4 секунды; то есть камень ударился о землю.

ф. Нанесите на график точки, полученные в частях от a до e.

Высота скалы зависит от времени, поэтому h — зависимая переменная, а t — независимая переменная. Точки имеют вид (t, h).

Согласно графику, камень достигает наибольшей высоты за 2 секунды. Максимальная высота составляет 64 фута. Максимальная или минимальная точка квадратного называется вершиной.Вы узнаете, как найти вершину, в Разделе 4.3, Квадратичные приложения и графы.

Согласно графику, камень находится на земле через ноль секунд (непосредственно перед тем, как мальчик выстрелит в него) и через 4 секунды (когда камень приземлится). Эти точки являются временными перехватами. Вы узнаете, как их найти, в следующем Разделе 4.2, «Применения квадратичной формулы».

Сложение и вычитание квадратичных чисел:

Словарь : Чтобы сложить или вычесть квадратичные числа, объедините одинаковые термины. Подобные термины , первоначально представленные в разделе 1.3 «Упрощение алгебраических выражений», имеют ту же переменную и тот же показатель степени. Например, 2x 2 и 5x 2 похожи, а 3x 2 и 7x - нет.

Коэффициент , первоначально представленный в Разделе 1.3 «Упрощение алгебраических выражений», представляет собой число, умножающее переменную. Например, коэффициент 2x равен 2, а коэффициент -x 2 равен -1.

Правило: Чтобы объединить одинаковые термины, сложите их коэффициенты

Вспомним распределительное свойство : определение a(b + c) = ab + ac.


Не удалось объединить непохожие термины внутри круглых скобок, поэтому мы использовали распределительное свойство. После этого мы умножили 6x на 3, а затем -5 на 3.

Использовали свойство дистрибутивности и комбинировали подобные термины.

Пример 5. Уравнение прибыли: Прибыль = Доход - Затраты

Если уравнение дохода для компании:

и уравнение стоимости:

найдите уравнение прибыли компании.


Подставил уравнения выручки и затрат в формулу прибыли. Необходимо использовать скобки.

Использовал свойство распределения и умножил уравнение доходов на 1, а уравнение затрат на -1.

Комбинированные термины.

Подставил уравнения доходов и затрат в формулу прибыли. Необходимо использовать скобки. Используется распределительное свойство. Умножил уравнение дохода на 1 и уравнение затрат на -1. Комбинированные подобные термины.

Умножение двух двучленов.

Словарь : Бином состоит из двух членов (так же, как велосипед имеет два колеса).

Правило: Чтобы умножить два двучлена, умножьте каждый член первого на каждый член второго.

Пример 7. Умножить (х + 2)(5х + 3).


Умножить x на 5x и 3 и умножить 2 на 5x и 3.

Объединить одинаковые термины.

ФОЛЬГА — простая мнемоника, помогающая запомнить, как умножать два двучлена.

Пример 8.Умножьте (8x + 6) (x + 7).

Учебный совет: Напишите карточку с объяснением мнемоники ФОЛЬГА. Чаще просматривайте карту.

Резюме

Квадратичные уравнения являются важными уравнениями в физике и микроэкономике. Техника сложения и вычитания квадратичных чисел та же самая, которую мы практиковали весь семестр; то есть добавить или вычесть подобные термины. Чтобы умножить, используйте распределительное свойство или FOIL. Вершина квадратичного уравнения будет объяснена более подробно в разделе «Построение графиков квадратичных чисел и их применение»." Вершина - это максимальная или минимальная точка на графике квадратичного уравнения.

ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМУЛЫ

Цель

В этом разделе показано, как решать квадратные уравнения.

Словарь : Квадратное уравнение равно ax 2 + bx + c = 0 . a, b и c — константы, а x — переменная.

Квадратная формула , , используется для решения квадратного уравнения.

Анализ

Учебный совет: Напишите квадратное уравнение и формулу квадратного уравнения на карточках для заметок, чтобы вы могли обращаться к ним, когда будете делать домашнюю работу.

Пример 1. Предположим, вы стоите на вершине утеса на высоте 375 футов над дном каньона и подбрасываете в воздух камень с начальной скоростью 82 фута в секунду. Уравнение, которое моделирует высоту скалы над дном каньона:

ч = -16t 2 + 82t + 375.

Найдите время, за которое камень упадет на дно каньона.

Найдите t при h = 0.
Решите 0 = -16t 2 +82t + 375.
Определите константы a, b и c.

Объяснение : Одна часть квадратного уравнения должна быть равна нулю.

а = -16, б = 82, с = 375

Объяснение :
a — коэффициент переменной, возведенный в квадрат
b — коэффициент переменной в первой степени.
с — константа.

Используйте квадратичную формулу

с a = -16, b = 82 и c = 375.

T = -2,916 — бессмысленный ответ, поскольку t — это время, которое требуется камню, чтобы удариться о дно каньона, а время не может быть отрицательным.

T = 8,041 секунды — это время, за которое камень достигает дна каньона.

Камень упадет на дно каньона через 8,041 секунды.

Пример 2. Владелец ранчо имеет 500 ярдов забора, чтобы оградить два смежных загона для свиней, примыкающих к сараю. Если площадь двух загонов должна составлять 20 700 квадратных ярдов, то каковы должны быть размеры загонов?

L представляет собой длину обеих ручек.

а. Используя таблицу, найдите уравнение площади ручек.

б. Упростите уравнение площади.

в. Найдите W, если A = 20 700.

Ширина 76,67 или 90 ярдов.

д. Найдите длину ручек.

Из таблицы в части а, L = 500 - 3 Вт. Подставьте W = 76,67 и W = 90 в уравнение для длины, L = 500 - 3w.

Размеры загонов для свиней, площадь которых составляет 20 700 квадратных ярдов, составляют 76,67 на 270 ярдов и 90 на 230 ярдов.

Пример 3. В ходе эксперимента необходимо контролировать температуру кислорода. Используя данные эксперимента, следующую квадратичную модель можно смоделировать для температуры кислорода

Т = 0,26 м 2 -4,1 м + 7,9

, где T измеряется в градусах Цельсия, а m представляет минуты, в течение которых эксперимент выполнялся. Определите, когда температура кислорода равна 0 градусов Цельсия.

Задача требует найти m при T = 0.

Температура кислорода будет 0 градусов Цельсия через 2.246 минут и 13,52 минуты.

Совет по изучению: Ключевая идея, продемонстрированная в примере 3, заключается в том, как обращаться с отрицательным значением b в квадратном уравнении.

Резюме

В этом разделе показано, как решать новый тип уравнения — квадратное. Они имеют важные приложения во многих областях, таких как бизнес, физика и инженерия. Учиться разница между квадратным уравнением и квадратной формулой.

Квадратное уравнение: ax 2 + bx + c = 0.

  • Одна часть уравнения должна быть равна нулю.
  • а - коэффициент x .
  • b — коэффициент при x.
  • c — постоянный член.

Квадратная формула решает квадратное уравнение.

  • Формула дает два решения.
  • Калькулятор используется для поиска ответов.
  • Первым шагом в вычислении формулы является упрощение квадратного корня.

КВАДРАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ГРАФЫ

Цели

В этом разделе исследуются дополнительные ключевые точки на графике квадратного уравнения, вершины и точки пересечения.Эти точки будут интерпретироваться в приложениях.

Пример 1. Лежащий на спине мальчик выстреливает из пращи камень прямо в воздух с начальной скоростью (сила, которую мальчик использует, чтобы выстрелить в камень) 64 фута в секунду. Квадратное уравнение, моделирующее высоту скалы, равно

.

ч = -16т 2 + 64т.

(Этот пример взят из Раздела 4.1 «Введение в квадратику», стр. 317.)

На странице 318 мы сгенерировали следующие значения:

Мы использовали точки, чтобы получить график ниже.Вершина и пересечения также помечены на графе.

Объяснение : Точка (0, 0) является точкой пересечения и времени, и высоты.

Вершина , (2,64) представляет собой максимальную высоту скалы. Скала достигает максимальной высоты 64 фута за 2 секунды.

Пересечения времени , (0, 0) и (4, 0) представляют, когда камень находится на земле. Камень находится на земле за ноль секунд до выстрела (это перехват высоты ) и через 4 секунды, когда он возвращается на землю.

Чтобы построить квадратное уравнение, указанное уравнением y = ax 2 + bx + c, освойте следующие термины:

Словарь : Вершина: Вершина — это максимальная или минимальная точка на графике. Чтобы найти вершину:

а. Найдите координату x:
б. Найдите координату y: подставьте значение x, полученное в части a, в формулу y = ax 2 + bx + c.

Пересечение X : Установите y = 0 и решите 0 = ax 2 + bx + c, используя квадратичную формулу,

Пересечение Y : Установите x = 0 и найдите y.y всегда будет c, константой.

Учебный совет: Запишите процедуру и определения на трех карточках для удобства.

Пример 2. Компания D++ делает компьютерные игры. Стоимость создания g игр в месяц составляет C = 0,4g 2 - 32g + 625 . Доход от продажи g игр в месяц равен R = -0,6g 2 +52g. Единицы измерения g — сотни, а C и R — тысячи долларов.

а. Найдите уравнение прибыли.

б.Найдите вершину и объясните, что эта вершина означает с точки зрения создания компьютерных игр.

Формула для координаты g:

Из уравнения прибыли а = -1, b = 84.

Вершина (42,1139). Если D+++ продаст 4 200 игр, то они получат максимальную прибыль в размере 1 139 000 долларов.

в. Найдите g и и объясните, что они означают с точки зрения создания компьютерных игр.

Чтобы найти точку пересечения g, установите P = 0.

Решить 0 = -g 2 + 84g - 625 .

Используйте квадратичную формулу, a = -1, b = 84, c = -625.

Отрезки g равны (8.251, 0) и (75.75, 0).

Если они продадут 825 или 7575 игр, они окупятся.

д. Найдите P и и объясните, что они означают с точки зрения создания компьютерных игр.

Чтобы найти точку пересечения P, установите g = 0.
P = -0 2 +84*0-625
P = -625
Значение точки P равно (0, -625).
Начальные затраты компании составляют 625 000 долларов.

эл. График функции.

Нанесите точки:
Вершина. (42, 1139).
Г перехватывает. (8,251, 0) и (75,75, 0).
Перехват P. (0, -625).

Объяснение : Одним из объяснений наличия двух точек безубыточности является то, насколько эффективно компания производит продукт. Изготовление очень небольшого количества предметов обычно неэффективно. В какой-то момент фабрика становится очень эффективной в производстве продукта, но если фабрика пытается производить слишком много изделий, компания становится неэффективной в производстве своей продукции.

Помните, что единицы g измеряются в сотнях, а единицы P — в тысячах.

Предположим, что D+++ должен получать прибыль в размере 500 000 долларов (P = 500) в месяц. Нарисуйте эту линию на графике, полученном в части б, и найдите, где линия пересекает график квадратичного уравнения. Напишите предложение, объясняющее, что означают ответы.

Эскиз P = 500 на предыдущем графике.

P = 500 — горизонтальная линия.

Если D+++ хочет получить прибыль в размере 500 000 долларов, им нужно сделать и продать 1 672 или 6 728 игр.

Объяснение : На графике показано, где пересекаются горизонтальная линия P = 500 и уравнение прибыли P = -g 2 +84g-625. Алгебра дает точную точку, где они пересекаются.

г. Используя график и ответы к части c, определите, сколько компьютерных игр необходимо создать и продать, чтобы гарантировать прибыль более 500 000 долларов.

Компания получит прибыль более 500 000 долларов, если график прибыли окажется выше горизонтальной линии P = 500.Эта задача аналогична примеру 2d на стр. 203 в разделе 2.9 «Применение графов».

Это происходит между точками g = 16,72 и g = 67,28 или

16,72

Компания заработает более 500 000 долларов, когда создаст и продаст от 1 672 до 6 728 компьютерных игр.

Пример 3. Владелец питомника хочет пристроить к стене три соседних загона для собак одинакового размера. У него 96 метров забора.

а. Найдите формулу площади.

Объяснение : Самая сложная часть таблицы - найти значение длины.Если фермер использует 10 метров для ширины загонов, а их ширина 4, то он использовал 4 раза по 10, или 40 метров ограждения. Чтобы узнать, сколько ограждений осталось для длины, вычтите 40 из 96, общего количества ограждений, доступных фермеру.

Формула площади загона для собак:

б. Найдите вершину и объясните, что она означает в терминах собачьих загонов.

Формула для координаты W:

Из уравнения прибыли а = -4, b = 96.

Вершина (12, 576).

Вершина , (12, 576) представляет максимальную площадь трех загонов для собак. Когда W = 12, максимальная площадь будет 576. (Длина всех трех загонов будет 48 или длина одного загона для собак будет 16.) Будет три загона для собак, каждое 12 на 16 метров.

в. Найдите W и и объясните, что они означают в терминах собачьих загонов.

Чтобы найти точку пересечения W, установите A = 0.

Решить 0 = -4Вт 2 + 96Вт.

Используйте квадратичную формулу, a = -4, b = 96, c = 0.

Пересечения W: (0, 0) и (24, 0).

Отрезки W, (0, 0) и (24, 0) представляют собой ширину собачьих загонов, которые дадут нулевую площадь.

д. Найдите A перехват и объясните, что это значит с точки зрения собачьих загонов.

Чтобы найти точку пересечения A, установите W = 0.

Объяснение : Если ширина прямоугольника равна нулю, то и площадь должна быть равна нулю.

Точка пересечения A равна (0, 0).

Точка пересечения A, (0, 0) — это площадь, когда W = 0.

эл. Нарисуйте уравнение

Нанесите точки:
Вершина. (12, 576).
Перехват W. (0, 0) и (24, 0).
Перехват А. (0, 0).

ф. Предположим, что общая площадь должна быть 400 квадратных метров. Постройте график A = 400 и найдите размеры загонов для собак.

Эскиз A = 400 на предыдущем графике.

А = 400 — это горизонтальная линия.

Поскольку ширина W известна, длину L можно найти по формуле A = LW.

Найдите L, разделив обе части на W.

Размеры загонов для собак, которые дадут площадь 400 квадратных метров, составляют 5,367 на 74,53 и 18,63 на 21,47.

Пример 4. В ходе эксперимента необходимо контролировать температуру кислорода. Используя данные эксперимента, следующую квадратичную модель можно смоделировать для температуры кислорода

Т = 0.26 м 2 -4,1 м + 7,9

, где T измеряется в градусах Цельсия, а m представляет минуты, в течение которых эксперимент выполнялся. Постройте уравнение, найдя вершину и точки пересечения. Отметьте эти точки на графике и объясните, что означают вершины и точки пересечения с точки зрения модели.

Вернуться: Это та же самая модель, которая использовалась в примере 3 на стр. 332. Этот пример работал при нулевой температуре.

Найдите вершину T = 0.26 м 2 - 4,1 м + 7,9 .

Формула для m-координаты вершины: .

Вершина (7,885, -8,263).

Найдите пересечения м точки T = 0,26 м 2 -4,1 м+ 7,9

Чтобы найти m точек пересечения, установите T = 0.

Решить 0 = 0,26 м 2 -4,1 м+ 7,9 .

Используйте квадратичную формулу, a = 0,26, b = -4,1, c = 7,9.

m точек пересечения (13.52, 0) и (2.246, 0).

Найти T пересекает T = 0,26 м 2 - 4,1 м + 7,9

Чтобы найти точку пересечения T, установите m = 0.

Пересечение T равно (0, 7,9).

Vertex: Минимальная температура будет на 7.885 минуте. Минимальная температура составит -8,263 градуса по Цельсию.

м пересечений: Температура будет равна нулю градусов Цельсия в 2.246 и 13.52 минуты.

Пересечение T: В начале эксперимента температура составляла 7,9 градусов Цельсия.

Советы по изучению: Квадратичные графики представляют собой U-образные графики. В некоторых случаях они имеют U-образную форму, как в приведенном выше примере, или форму, как в примерах с 1 по 3. Если a в уравнении y = ax 2 + bx + c положительно, то график имеет U-образную форму, т. е. есть, открытие. Если a отрицательно, то график имеет форму, т. е. раскрывается вниз. Этот факт должен быть записан на карточке для заметок.

Резюме

Графики квадратичных уравнений появляются в таких разных предметах, как микроэкономика и физика. В этом разделе кратко излагаются основные идеи модуля.

Для построения квадратичного уравнения y = ax 2 + bx + c необходимо найти:

  • Вершина .
    Формула для координаты x:

    Чтобы найти координату y, подставьте свой ответ вместо координаты x в уравнение y = ax 2 + bx + c .
  • x перехватывает .Установите y = 0 и решите уравнение 0 = ax 2 + bx + c , используя квадратичную формулу
  • y перехват .
    Положим в уравнении x = 0, y = ax 2 + bx + c и найдем y. Обратите внимание, когда x = 0, y = c.
  • Если a отрицательное , то обычно график выглядит так:
  • Если а положительно , то график обычно выглядит так:

ФАКТОРИНГ

Цели

Факторинг — это алгебраический метод, используемый для разделения выражения на составные части.Когда составные части перемножаются вместе, результатом является исходное выражение. Иногда это можно использовать для решения квадратных уравнений. Факторинг является важным навыком в MAT 100, Intermediate Algebra.

Словарь : Алгебраическое выражение факторизуется, если последней операцией при вычислении выражения является умножение.

Пример 1. Какое выражение представляет собой факторизованное , х 2 - 5х - 24 или (х - 8)(х + 3)?

Выберите значение x и подставьте его в выражение.

Пусть х = 3.

Поскольку последней операцией для (x - 8)(x + 3) было умножение, то (x - 8)(x + 3) факторизуется.

Объяснение : Менее формально алгебраическое выражение факторизуется, если оно содержит круглые скобки.

Словарь : Распределительное свойство есть a(b + c) = ab + ac. Левая часть факторизуется, а является общим множителем.

Вы должны иметь возможность проверить, используя свойство дистрибутива.

Объяснение : Хотя 8x 3 + 4x равно как 2x(4x 2 + 2), так и 4(2x 3 + x), ни одно из них не считается полностью факторизованным, поскольку в обоих случаях общее кратное 2, in 2x(4x 2 +2) и x in 4(2x 3 +x) все еще можно вывести из условий в скобках.

Разложение трехчленов на множители: (Трехчлен состоит из трех членов.) Чтобы разложить трехчлен на множители, вспомните аббревиатуру FOIL.

Совет по изучению: Проверьте свои карточки для заметок на предмет определения ФОЛЬГИ.

Пример 4. Умножить (x+3)(x+5).

(x+3)(x+5) учитывается, а x 2 + 8x +15 не учитывается. Чтобы разложить трехчлены, вам нужно знать, как были вычислены 8x и 15. 8x получилось из сложения 5x и 3x, а 15 получилось из умножения 5 и 3.

Пример 5. Коэффициент х 2 + 8х +15. (Это из примера 4.)

Нам нужны два числа, которые при сложении равны 8, а при умножении равны 15. 3 и 5 в сумме дают 8, а при умножении дают 15.

Так х 2 + 8х +15 = (х + 3)(х + 5)

Пример 6. Коэффициент x 2 -4x- 12.

Нам нужны два числа, которые при сложении равны -4, а при умножении равны -12. -6 и 2 в сумме дают -4, а при умножении дают -12.

Так х 2 -4х -12 = (х-6)(х + 2).

Пример 7. Коэффициент x 2 - 64 .

Это не трехчлен, но он может стать им, если добавить 0x.

х 2 -64 = х 2 +0х -64

Нам нужны два числа, которые при сложении равны 0, а при умножении равны -64.

-8 и 8 прибавляются к 0 и при умножении дают -64.

Так х 2 -64 = (х-8)(х + 8).

Этот пример называется разложением на множители разности совершенных квадратов, и вы снова увидите его, если возьмете MAT 100, Средняя алгебра.

Словарь : a 2 - b 2 есть разность совершенных квадратов .
Разность полных квадратов имеет специальную формулу факторизации: a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Решение квадратных уравнений методом факторизации:

Если вы умножаете две величины и результат равен нулю, то вы знаете, что одна из величин должна быть равна нулю.В математической нотации

если a.b = 0, то a = 0 или b = 0.

Прежде чем вы подумаете, что факторизация для решения квадратичных уравнений намного проще, чем использование квадратичной формулы, вам нужно знать, что факторизация не всегда работает. Попробуйте изменить пример 8 всего на единицу до x 2 - 11x + 31 = 0. Вы не можете найти два целых числа, которые при сложении равны -11, а при умножении равны 31. Чтобы разложить x 2 - 11x + 31, вы должны использовать квадратичная формула. Вы узнаете, как факторизовать любое квадратное уравнение в Precalculus I, MAT 161.

Резюме

В этом разделе представлены два метода факторинга. Первый - это общие факторы, в которых используется распределительное свойство ab + ac = a (b + c). Другой факторизирует трехчлены. Чтобы разложить трехчлены, вам нужно знать, как работает FOIL. Если вы возьмете MAT 100, средний уровень алгебры, вы увидите больше факторов.

ГЛАВА 4 ОБЗОР

В этой главе вы познакомились с квадратикой. Двумя основными темами являются квадратичные формулы и графики квадратичных уравнений.Эти темы имеют множество приложений в бизнесе, физике и геометрии. Факторинг является важной темой в MAT 100, Intermediate Algebra.

Раздел 4.1: Введение в квадратику

Раздел 4.2: Применение квадратичной формулы

Определение: ax 2 + bx + c = 0 является квадратным уравнением.

Определение: квадратичная формула.

Пример 4. Фермер хочет обнести два соседних курятника против сарая.У него 125 футов забора. Какими должны быть размеры, если он хочет, чтобы общая площадь была 700 квадратных футов.

а. Заполните таблицу, чтобы найти уравнение площади.

б. Найдите W, если A = 700.

Размеры курятника площадью 700 квадратных футов составляют 35 на 20 футов и 6,667 на 105 футов.
(Чтобы получить длину, разделите 700 на 6,667 и 35.)

Раздел 4.3: Квадратичные приложения и графики

Для построения квадратичного уравнения y = ax 2 + bx + c необходимо найти:

  1. Вершина:
    Координата x вычисляется по формуле
    Координата y вычисляется путем подстановки координаты x в y = ax 2 + бх + в.
  2. Пересечение x:
    Установите y = 0 и решите 0 = ax 2 + bx + c, используя квадратичную формулу.
  3. Пересечение y:
    Подставьте x = 0 в y = ax 2 + bx + c . Обратите внимание, что когда x = 0, y = c.

Пример 5. Уравнение затрат на изготовление коробок для сока: C = 0,6B 2 - 24B + 36, а уравнение дохода: R = -0,4B 2 + 18B . B в миллионах, а C и R в тысячах долларов.

а. Найдите уравнение прибыли.

б. Нарисуйте график уравнения прибыли и объясните, что означают точки пересечения вершины, B и P с точки зрения задачи.

Вершина (21, 405).

Найдите перехват B. Установите P = 0,

Точки пересечения B: (0,875, 0) и (41,13, 0).

Найдите точку пересечения P. Установите B = 0,

Точка пересечения P равна (0, -36).

в. Предположим, что компании необходимо получить 200 000 долларов прибыли (P = 200).Нарисуйте линию P = 200 и найдите, сколько коробок сока нужно произвести компании, чтобы заработать 200 000 долларов.

Компании необходимо произвести 6,682 или 35,32 миллиона коробок сока, чтобы заработать 200 000 долларов прибыли.

Вершина (21 405) представляет максимальную прибыль. Компания получит максимальную прибыль в размере 405 000 долларов, когда продаст 21 миллион коробок сока.

Пересечения B (0,875, 0) и (41,13, 0) говорят нам, что компания будет безубыточна, даже если она продаст .875 или 41,13 млн коробок сока.

Точка пересечения P (0,-36) представляет стартовые затраты компании в размере 36 000 долларов.

Раздел 4.4: Факторинг

Общие факторы:

Трехчлен:

Решение квадратных уравнений факторингом.

Если . b = 0, тогда a = 0 или b = 0

Советы по обучению:

  1. Попрактикуйтесь в контрольном тесте, начиная со следующей страницы, поместив себя в реалистичные условия экзамена.
  2. Найдите тихое место и используйте таймер, чтобы имитировать продолжительность урока.
  3. Запишите свои ответы в тетради для домашних заданий или сделайте копию теста. Затем вы можете пересдать экзамен для дополнительной практики.
  4. Проверьте свои ответы.
  5. На веб-странице MAT 011 доступен дополнительный экзамен.
  6. НЕ ждите вечера, чтобы начать заниматься.

Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать в виде

.

ах 2 + бх + с = 0

, когда и 0.

Существует три основных метода решения квадратных уравнений: разложение на множители, использование квадратной формулы и завершение квадрата.

Факторинг

Чтобы решить квадратное уравнение факторингом,

  1. Поместите все члены по одну сторону от знака равенства, оставив ноль по другую сторону.

  2. Фактор.

  3. Установить каждый коэффициент равным нулю.

  4. Решите каждое из этих уравнений.

  5. Проверьте, вставив свой ответ в исходное уравнение.

Пример 1

Решите x 2 – 6 x = 16.

Следуя инструкциям,

x 2 – 6 x = 16 становится x 2 – 6 x – 16 = 0

Фактор.

( х – 8)( х + 2) = 0

Обнуление каждого коэффициента,

Затем проверить,

Оба значения, 8 и –2, являются решениями исходного уравнения.

Пример 2

Решить y 2 = – 6 y – 5.

Установка всех членов равными нулю,

у 2 + 6 у + 5 = 0

Фактор.

( г + 5)( г + 1) = 0

Установка каждого коэффициента на 0,

Проверить, г 2 = –6 г – 5

Квадратное число с отсутствующим членом называется неполным квадратным числом (если член ось 2 не отсутствует).

Пример 3

Решите x 2 – 16 = 0,

Фактор.

На проверку, x 2 – 16 = 0

Пример 4

Решите x 2 + 6 x = 0,

Фактор.

На проверку, х 2 + 6 х = 0

Пример 5

Решить 2 х 2 + 2 х – 1 = х 2 + 6 х – 5.

Во-первых, упростите, поместив все термины на одну сторону и объединив похожие термины.

Теперь фактор.

На проверку, 2 x 2 + 2 x – 1 = x 2 + 6 x – 5

Квадратичная формула

Многие квадратные уравнения не могут быть решены с помощью факторизации. Обычно это верно, когда корни или ответы не являются рациональными числами. Второй метод решения квадратных уравнений предполагает использование следующей формулы:

a, b, и c взяты из квадратного уравнения, записанного в общем виде

ах 2 + бх + с = 0

, где a — это число, которое стоит перед x 2 , b — это число, которое стоит перед x , а c — это число, рядом с которым нет переменной (a .к. а., «постоянная»).

При использовании квадратичной формулы следует учитывать три возможности. Эти три возможности различаются частью формулы, называемой дискриминантом. Дискриминант — это значение под знаком радикала, b 2 — 4 ac . Квадратное уравнение с действительными числами в качестве коэффициентов может иметь следующее число:

  1. Два различных действительных корня, если дискриминант b 2 – 4 ac является положительным числом.

  2. Один действительный корень, если дискриминант b 2 – 4 ac равен 0.

  3. Нет реального корня, если дискриминант b 2 – 4 ac является отрицательным числом.

Пример 6

Решите для x : x 2 – 5 x = –6.

Установка всех членов равными 0,

х 2 – 5 х + 6 = 0

Затем подставьте 1 (которая понимается как стоящая перед x 2 ), –5 и 6 вместо a , b и c , соответственно, в квадратную формулу и упростите.

Поскольку дискриминант b 2 – 4 ac положителен, вы получаете два разных действительных корня.

Пример дает рациональные корни. В примере , квадратичная формула используется для решения уравнения, корни которого не являются рациональными.

Пример 7

Решить для y : y 2 = –2y + 2.

Установка всех членов равными 0,

г 2 + 2 г – 2 = 0

Затем подставьте 1, 2 и -2 вместо a , b и c , соответственно в формуле квадрата и упростите.

Обратите внимание, что два корня иррациональны.

Пример 8

Решите для x : x 2 + 2 x + 1 = 0,

Подстановка в квадратную формулу,

Поскольку дискриминант b 2 – 4 ac равен 0, уравнение имеет один корень.

Квадратную формулу также можно использовать для решения квадратных уравнений, корни которых являются мнимыми числами, то есть они не имеют решения в действительной системе счисления.

Пример 9

Решите для x : x ( x + 2) + 2 = 0, или x 2 + 2 x + 2 = 0.

Подстановка в квадратную формулу,

Поскольку дискриминант b 2 – 4 ac отрицателен, это уравнение не имеет решения в действительной системе счисления.

Но если бы вы выразили решение с помощью мнимых чисел, решения были бы .

Завершение квадрата

Третий метод решения квадратных уравнений, который работает как с действительными, так и с мнимыми корнями, называется завершением квадрата.

  1. Запишем уравнение в виде x 2 + bx = – c .

  2. Убедитесь, что a = 1 (если a ≠ 1, перед продолжением умножьте уравнение на ).

  3. Используя значение b из этого нового уравнения, прибавьте к обеим частям уравнения, чтобы сформировать идеальный квадрат в левой части уравнения.

  4. Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения.

  5. Решите полученное уравнение.

Пример 10

Решите для x : x 2 – 6 x + 5 = 0,

Оформить в виде

Поскольку a = 1, добавьте , или 9, к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

x – 3 = ±2

Решить.

Пример 11

Решить для y : y 2 + 2 y – 4 = 0,

Оформить в виде

Поскольку a = 1, добавьте , или 1, к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

Решить.

Пример 12

Решите для x : 2 x 2 + 3 x + 2 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a ≠ 1, умножьте уравнение на .

Добавить или в обе стороны.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

В действительной системе счисления нет решения. Вам может быть интересно узнать, что процесс завершения квадратного уравнения для решения квадратных уравнений использовался для уравнения x 2 + bx + c = 0 для получения квадратной формулы.

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений

Часто необходимо просмотреть несколько функций одного и того же независимого Переменная. Рассмотрим предыдущий пример, где x — количество произведенных изделий. и продано, была независимой переменной в трех функциях, функции затрат, функция дохода и функция прибыли.

            В целом может быть:

п уравнений

v переменные

Решение систем уравнений

            Есть четыре метода решения систем линейных уравнений:

а.графическое решение

б. алгебраическое решение

в. метод исключения

д. метод замены

Графическое решение

Пример 1

            данные два следующих линейных уравнения:

f(x)  =  y  = 1 + .5x

f(x) = y = 11 - 2x

Постройте график первого уравнения , найдя две точки данных.Установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y на вертикальная ось и точка пересечения x с горизонтальной осью.

            Если x = 0, тогда f(0) = 1 + 0,5(0) = 1

            Если y = 0, тогда f(x) = 0 = 1 + 0,5x

-.5x = 1

х =  -2

            Результирующий точки данных: (0,1) и (-2,0)

Постройте график уравнения секунд , найдя две точки данных.От установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y по вертикальной оси и точку пересечения x по горизонтальной оси.

            Если x = 0, тогда f(0) = 11 - 2(0) = 11

            Если y = 0, тогда f(x) = 0 = 11 - 2x

2x = 11

х  =  5,5

            Результирующий точками данных являются (0,11) и (5.5,0)

В точке пересечения двух уравнений x и y имеют одинаковые значения. Из графика эти значения можно прочитать как x = 4 и y = 3.

 

Пример 2

            данные два следующих линейных уравнения:

f(x) = y = 15 -  5x

f(x) = y = 25 - 5x

Постройте график первого уравнения , найдя две точки данных.Установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y на вертикальная ось и точка пересечения x с горизонтальной осью.

            Если x = 0, тогда f(0) = 15 - 5(0) = 15

            Если y = 0, тогда f(x) = 0 = 15 - 5x

5x = 15

х =  3

            Результирующий точки данных: (0,15) и (3,0)

Постройте график уравнения секунд , найдя две точки данных.От установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y по вертикальной оси и точку пересечения x по горизонтальной оси.

            Если x = 0, тогда f(0) = 25 - 5(0) = 25

            Если y = 0, тогда f(x) = 0 = 25 - 5x

5x = 25

х =  5

            Результирующий точки данных: (0,25) и (5,0)

Из графика видно, что эти линии не пересекаются.Они параллельны. У них одинаковый наклон. Уникального решения нет.

 

Пример 3

            данные два следующих линейных уравнения:

21x - 7y = 14

-15x + 5y = -10

            Переписать уравнения, поместив их в форму пересечения наклона.

            Первый уравнение становится

7 лет = -14 + 21 x 90 005

у  = -2 + 3 x 90 005

            Второй уравнение становится

5 лет = -10 + 15 x 90 005

у  = -2 + 3 x 90 005

Постройте график любого уравнения, найдя две точки данных.Установив сначала x и тогда y равны нулю, можно найти точку пересечения y на вертикали ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.

            Если x = 0, тогда f(0) = -2 +3(0) = -2

            Если y = 0, тогда f(x) = 0 = -2 + 3x

3x = 2

х =  2/3

            Результирующий точки данных: (0,-2) и (2/3,0)

Из графика видно, что эти уравнения эквивалентны.Там являются бесконечным числом решений.

 

Алгебраическое решение

Этот метод будет проиллюстрирован с помощью анализа спроса и предложения. Этот тип анализа заимствован из работ великого английского экономиста Альфреда Маршалл.

Q  = количество     и  P  =  цена

P (s) = функция предложения   и P (d)  = функция спроса

При построении графика цена располагается по вертикальной оси. Таким образом, цена является зависимая переменная.Было бы логичнее рассматривать количество как зависимая переменная, и именно этот подход использовал великий французский экономист, Леон Вальрас. Однако по соглашению экономисты продолжают строить графики, используя Анализ Маршалла, который называют маршаллианским крестом.

Цель состоит в том, чтобы найти равновесную цену и количество, т.е. решение где цена и количество будут иметь одинаковые значения в обеих функциях предложения и функция цены.

            Q E = равновесное количество P E   = равновесная цена

            Для равновесия 
предложение = спрос
или Р(с) = Р(д)

Учитывая следующие функции

            P (с) = 3Q + 10 и P (d) = -1/2Q + 80

Приравняйте уравнения друг к другу и найдите Q.

            П (с) =  3Q + 10  =   -1/2Q + 80  = P (d)

3,5Q =  70

Q =  20 Равновесное количество равно 20.

Подставьте это значение вместо Q в любое уравнение и найдите P.

            П (с) = 3(20) + 10

            P (с) = 70

            P (г) = -1/2(20) + 80

            P (г) =  70 Равновесная цена 70.


Метод исключения

Этот метод включает удаление переменных из уравнений. Переменные удаляются последовательно до тех пор, пока не останется только одна последняя переменная, т. е. пока не останется одно уравнение с одним неизвестным. Затем это уравнение решается для одного неизвестного. Затем решение используется для нахождения второго последняя переменная. Процедура повторяется путем добавления обратных переменных в качестве их решений. найдены.

Пример 1

2x + 3y = 5

-5x   - 2y  = 4

Процедура: устранить y.Коэффициенты y неодинаковы в два уравнения, но если бы они были, можно было бы добавить два уравнения и члены y сократятся. Однако можно через умножение каждого уравнения, чтобы заставить члены y иметь одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.

            Шаг 1: Умножьте первое уравнение на 2, а второе уравнение умножьте на 3. Это дает

4x + 6y = 10

-15x   - 6y = 12

            Шаг 2: Сложите два уравнения.Это дает

-11x     =     22

х          = -2

            Шаг 3: Найдите y в любом из исходных уравнений

2(-2)  +  3 года  =  5

3 года  =  9

г =  3 или

-5(-2) - 2 года = 4

10 – 2 года  =     4

2 года  =     6

г  =  3

Альтернативная процедура: исключить x.Коэффициенты при х не совпадают в двух уравнениях, но если бы они были, можно было бы добавить два уравнения и члены y сокращаются. Однако это возможно путем умножения каждого уравнения, чтобы заставить члены x имеют одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.

            Шаг 1: Умножьте первое уравнение на 5, а второе уравнение умножьте на 2. Это дает

10x + 15y = 25

-10x   - 4y     = 8

            Шаг 2: Сложите два уравнения.Это дает

11 лет      =     33

у          = 3

            Шаг 3: Найдите x в любом из исходных уравнений

2x + 3(3) = 5

2x = -4

х  = -2 или

-5x     - 2(3)  = 4

           - 5x = 10

х  =     -2

 

Пример 2

2x 1   + 5x 2   +  7x 3   = 2

4x 1   - 4x 2   -  3x 3   = 7

3x 1   - 3x 2   -  2x 3   = 5

В этом примере есть три переменные: x 1 , x 2 и х 3 .Одна из возможных процедур — исключить первый x 1 , , чтобы исключить следующие x 2 , а затем найти x 3 . Значение, полученное для x 3 , используется для решения x 2 и наконец, значения, полученные для x 3 и x 2 , используются для найти х 1 .

Процедура     Часть A  Первое устранение x 1 .

            Шаг 1. Умножение первое уравнение на 2 и вычесть второе уравнение из первого уравнение.Это дает

4x 1   + 10x 2   +  14x 3   = 4 первое уравнение

4x 1 - 4x 2 - - 3x 3 =  7 второе уравнение

14x 2    + 17x 3 = -3 второе уравнение вычитается из первого

            Шаг 2. Умножение первое уравнение на 3, третье уравнение умножить на 2 и вычесть третье уравнение из первого уравнения.Это дает

6x 1   + 15x 2   +  21x 3   = 6 первое уравнение

6x 1   - 6x 2   -  4x 3        = 10 третье уравнение

21x 2    + 25x 3 = -4 третье уравнение вычитается из первого

Процедура     Часть B  Второе исключение x 2 . Из части А осталось два уравнения. Из этих двух уравнений исключить х 2 .

14x 2    + 17x 3      = -3 первое уравнение

21x 2    + 25x 3      = -4 второе уравнение

            Шаг 1. Умножение первое уравнение на 21, второе уравнение умножить на 14. и вычесть второе уравнение из первого уравнения.Это дает

294x 2    + 357x 3      = -63 первое уравнение

294x 2    + 350x 3      = -56 второе уравнение

7x 3   =   -7 второе уравнение вычитается из первого

                                                 x 3 =   -1

Часть С Найдите x 2 , вставив значение, полученное для x 3 , в любое уравнение из части B.

14x 2    + 17(-1)     = -3

1 4x 2    =     14

х 2    =     1 или

21x 2    + 25(-1)    = -4

21x 2 =   21

х 2 =     1  

Часть D Найдите x 1 , подставив полученные значения x 2 andx 3 в любом из трех исходных уравнений.

2x 1   + 5x 2 + 7x 3   =  2 первое исходное уравнение

2x 1   + 5(1) +  7(-1) =  2

2x 1     =  4

x 1     =  2                    или

4x 1 - 4x 2   -  3x 3   =   7                    секунда исходное уравнение

4x 1  - 4(1) -  3(-1) =  7

4x 1     =  8

х 1     =  2 или

3x 1 - 3x 2   -  2x 3   =  5 третье исходное уравнение

3x 1   - 3(1) -2(-1) = 5

3x 1 =  6

х 1     =  2

Метод замены

Это включает в себя выражение одной переменной через другую до тех пор, пока не будет одно уравнение с одним неизвестным.Затем это уравнение решается для этого один неизвестный. Затем результат используется для решения переменной, которая была выражается через переменную, решение которой только что было найдено.

Пример

            12x - 7 лет = 106 первое уравнение

            8x +  у    =  82 второе уравнение

            Решите второе уравнение для y, а затем подставьте значение, полученное для y, в первое уравнение.

            г =   82   -   8x второе уравнение решено для y

            12x - 7(82 – 8х) = 106 первое уравнение, переписанное через x

            12x - 574   +56x =  106

            68x =   680

            х =   10

Подставьте полученное значение x в любое из исходных уравнений.

            12x - 7 лет = 106 первое уравнение

            12(10) - 7 лет =  106

            7 лет =  14

            г =  2

            8(10) +  у    =  82 второе уравнение

            г =  2

 

[Индекс]


Алгебраическое решение уравнений

Алгебраическое решение уравнений

Содержание: Эта страница соответствует § 2.4 (стр. 200) текста.

Предполагаемые проблемы из текста:

р. 212 #7, 8, 11, 15, 17, 18, 23, 26, 35, 38, 41, 43, 46, 47, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 71, 72, 75, 76, 81, 87, 88, 95, 97

Квадратные уравнения

Уравнения с радикалами

Полиномиальные уравнения высшей степени

Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения


Квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет форму ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a — не равно 0.

Факторинг

Такой подход к решению уравнений основан на том, что если произведение двух величин равно нулю, то хотя бы одна из величин должна быть равна нулю. Другими словами, если a*b = 0, то либо a = 0, либо b = 0, либо и то, и другое. Подробнее о факторинговых полиномах см. в обзорном разделе P.3 (стр. 26) текста.

Пример 1.

2x 2 - 5x - 12 = 0.

(2x + 3)(x - 4) = 0.

2x + 3 = 0 или x - 4 = 0.

х = -3/2 или х = 4.

Принцип квадратного корня

Если x 2 = k, то x = ± sqrt(k).

Пример 2.

х 2 - 9 = 0,

х 2 = 9.

х = 3 или х = -3.


Пример 3.


Пример 4.

х 2 + 7 = 0,

х 2 = -7.

х = ± .

Обратите внимание, что = = , поэтому решений

x = ± , два комплексных числа.

Завершение квадрата

Идея завершения квадрата состоит в том, чтобы переписать уравнение в форме, позволяющей применить квадрат принцип корня.

Пример 5.

х 2 +6х - 1 = 0,

х 2 +6х = 1.

х 2 +6х + 9 = 1 + 9.

9, добавленное к обеим частям, получено из возведения в квадрат половины коэффициента x, (6/2) 2 = 9. Причина выбор этого значения заключается в том, что теперь левая часть уравнения представляет собой квадрат бинома (многочлена с двумя членами). Вот почему эта процедура называется , дополняющей квадрат .[Заинтересованный читатель может видеть, что это верно, если учесть (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 . Чтобы получить «а», нужно всего лишь разделить x-коэффициент на 2. Таким образом, чтобы завершить квадрат для x 2 + 2ax, нужно добавить 2 .]

(х + 3) 2 = 10.

Теперь мы можем применить принцип квадратного корня и найти x.

х = -3 ± кв.(10).


Пример 6.

2x 2 + 6x - 5 = 0.

2x 2 + 6x = 5.

Метод заполнения квадрата, продемонстрированный в предыдущем примере, работает, только если старший коэффициент (коэффициент x 2 ) равен 1. В этом примере старший коэффициент равен 2, но мы можем изменить это, разделив обе части уравнения на 2.

х 2 + 3х = 5/2.

Теперь, когда старший коэффициент равен 1, мы берем коэффициент x, который теперь равен 3, делим его на 2 и возводим в квадрат, (3/2) 2 = 9/4. Это константа, которую мы добавляем к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

х 2 + 3х + 9/4 = 5/2 + 9/4.

Левая часть — это квадрат (x + 3/2). [Проверьте это!]

(х + 3/2) 2 = 19/4.

Теперь мы используем принцип квадратного корня и находим x.

x + 3/2 = ± кв. м (19/4) = ± кв. кв. (19)/2.

x = -3/2 ± sqrt(19)/2 = (-3 ± sqrt(19))/2

До сих пор мы обсуждали три метода решения квадратных уравнений. Что лучше? Это зависит от проблема и ваши личные предпочтения. Уравнение, имеющее правильную форму для применения принципа квадратного корня можно переставить и решить с помощью факторизации, как мы видим в следующем примере.

Пример 7.

х 2 = 16.

х 2 - 16 = 0,

(х + 4)(х - 4) = 0,

х = -4 или х = 4.

В некоторых случаях уравнение может быть решено с помощью факторизации, но факторизация не очевидна.

Метод заполнения квадрата будет работать всегда, даже если решения представляют собой комплексные числа, и в этом случае мы возьмем квадратный корень из отрицательного числа.Кроме того, шаги, необходимые для завершения квадрата, всегда одинаковы, поэтому их можно применить к общему квадратному уравнению

ах 2 + Ьх + с = 0.

Результатом заполнения квадрата этого общего уравнения является формула решений уравнения называется квадратичной формулой.

Квадратичная формула

Решения уравнения ax 2 + bx + c = 0 равны

Мы говорим, что заполнение квадрата всегда работает, и мы заполнили квадрат в общем случае, где у нас есть a, b и c вместо чисел.Итак, чтобы найти решение любого квадратного уравнения, запишем его в стандартной форме, чтобы найти значения a, b и c, а затем подставить эти значения в квадратичную формулу.

Одним из следствий этого является то, что вам никогда не придется заполнять квадрат, чтобы найти решения квадратного уравнения. Однако процесс заполнения квадрата важен и по другим причинам, поэтому вам все же нужно знать, как сделай это!

Примеры использования квадратичной формулы:

Пример 8.

2x 2 + 6x - 5 = 0.

В данном случае a = 2, b = 6, c = -5. Подстановка этих значений в квадратичную формулу дает

Обратите внимание, что ранее мы решили это уравнение, заполнив квадрат.

Примечание : Есть два реальных решения. С точки зрения графиков, есть два перехвата для графика функции f(x) = 2x 2 + 6x - 5.


Пример 9.

4x 2 + 4x + 1 = 0

В этом примере a = 4, b = 4 и c = 1.

В этом примере следует обратить внимание на две вещи.

  • Есть только одно решение. С точки зрения графиков это означает, что существует только один x-пересечение.

  • Решение упрощено таким образом, что в нем не используется квадратный корень. Это означает, что уравнение могло быть решается факторингом. (Все квадратные уравнения могут быть решены с помощью разложения на множители! Я имею в виду, что это могло быть легко решить с помощью факторинга.)

4x 2 + 4x + 1 = 0.

(2x + 1) 2 = 0,

х = -1/2.


Пример 10.

х 2 + х + 1 = 0

а = 1, б = 1, с = 1

Примечание: Реальных решений нет. С точки зрения графиков, для графика нет перехватов функции f(x) = x 2 + x + 1. Таким образом, решения комплексные, поскольку график y = x 2 + x + 1 не имеет x-перехватов.

 

Выражение под радикалом в квадратичной формуле, b 2 - 4ac, называется дискриминантом уравнение.Последние три примера иллюстрируют три возможности для квадратных уравнений.

1. Дискриминант > 0. Два действительных решения.

2. Дискриминант = 0. Одно действительное решение.

3. Дискриминант < 0. Два комплексных решения.

Примечания по проверке растворов

Ни один из методов, представленных до сих пор в этом разделе, не может вводить посторонние решения.(см. пример 3 из раздела «Линейные уравнения и моделирование».) Тем не менее, рекомендуется проверить свои решения, потому что очень легко допустить ошибки по невнимательности при решении уравнений.

Алгебраический метод, заключающийся в подстановке числа обратно в уравнение и проверке того, что результирующее утверждение верно, хорошо работает, когда решение «простое», но не очень практично, когда решение включает радикал.

Например, в нашем предпоследнем примере 4x 2 + 4x + 1 = 0 мы нашли одно решение x = -1/2.

Алгебраическая проверка выглядит как

4(-1/2) 2 +4(-1/2) + 1 = 0.

4(1/4) - 2 + 1 = 0.

1 - 2 + 1 = 0.

0 = 0. Решение проверяется.

В предыдущем примере 2x 2 + 6x - 5 = 0 мы нашли два действительных решения, x = (-3 ± sqrt(19))/2. Проверить это алгебраически, конечно, можно, но не очень просто. В этом случае либо графический проверить или использовать калькулятор для алгебраической проверки быстрее.

Сначала найдите десятичные приближения для двух предложенных решений.

(-3 + кв.(19))/2 = 0,679449.

(-3 - квадрат(19))/2 = -3,679449.

Теперь используйте графическую утилиту, чтобы построить график y = 2x 2 + 6x - 5, и проследите график, чтобы примерно найти, где x-перехваты. Если они близки к приведенным выше значениям, вы можете быть уверены, что у вас есть правильные решения. Вы также можете вставить приближенное решение в уравнение, чтобы увидеть, дают ли обе части уравнения примерно одинаковые значения.Тем не менее, вам все равно нужно быть осторожным, заявляя, что ваше решение правильное, поскольку оно не точное решение.

Обратите внимание, что если вы начали с уравнения 2x 2 + 6x - 5 = 0 и сразу перешли к построению графика утилиты для ее решения, то вы не получите точных решений, потому что они иррациональны. Однако, найдя (алгебраически) два числа, которые вы считаете решениями, если графическая утилита показывает, что перехваты очень рядом с найденными вами числами, то вы, вероятно, правы!

Упражнение 1:

Решите следующие квадратные уравнения.

(а) 3х 2 -5х - 2 = 0. Ответ

(б) (х + 1) 2 = 3. Ответ

(с) х 2 = 3х + 2. Ответ

Вернуться к содержанию

Уравнения с радикалами

Уравнения с радикалами часто можно упростить, возведя в соответствующую степень, возведя в квадрат, если радикал является квадратным корнем, кубирование для кубического корня и т. д. Эта операция может ввести посторонние корни, поэтому все решения должны быть проверены.

Если в уравнении только один радикал, то перед возведением в степень следует договориться, чтобы радикальный член сам по себе на одной стороне уравнения.

Пример 11.

Теперь, когда мы выделили радикал в правой части, мы возводим обе части в квадрат и решаем полученное уравнение для х.

Чек:

х = 0

Когда мы подставляем x = 0 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 0 = 2, что неверно!

Итак, x = 0 не является решением .

х = 3

Когда мы подставляем x = 3 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 3 = 3. Это верно, поэтому x = 3 равно решение .

Решение : х = 3.

Примечание: Решением является координата x точки пересечения графиков y = x и у = кврт(х+1)+1.

Посмотрите, что произошло бы, если бы мы возвели в квадрат обе части уравнения перед , выделив радикал срок.

Это хуже, чем то, с чего мы начали!

Если в уравнении более одного радикального члена, то, вообще говоря, мы не можем исключить все радикалы с помощью возведение в степень один раз. Однако мы можем уменьшить количество радикальных членов, возведя в степень.

Если уравнение включает более одного радикального члена, то мы по-прежнему хотим изолировать один радикал с одной стороны и возвести в степень. Затем мы повторяем этот процесс.

Пример 12.

Теперь возведите в квадрат обе части уравнения.

В этом уравнении всего один радикал, так что мы добились прогресса! Теперь изолируйте радикальный член, а затем возведите его в квадрат. обе стороны снова.

Чек:

Подстановка x = 5/4 в исходное уравнение дает

кв (9/4) + кв (1/4) = 2.

3/2 + 1/2 = 2.

Это утверждение верно, поэтому x = 5/4 является решением.

Примечание по проверке растворов:

Алгебраическую проверку в этом случае выполнить несложно. Однако графическая проверка имеет то преимущество, что показывает, что нет решений, которые мы не нашли, по крайней мере, в рамках прямоугольника просмотра. Решение является x-координатой точки пересечения графиков y = 2 и y = sqrt (x + 1) + sqrt (x-1).

Упражнение 2:

Решите уравнение sqrt(x+2) + 2 = 2x. Ответ

Вернуться к содержанию

Полиномиальные уравнения высшей степени

Мы видели, что любое полиномиальное уравнение второй степени (квадратное уравнение) с одной переменной может быть решено с помощью Квадратичная формула. Полиномиальные уравнения степени больше двух более сложны.Когда мы сталкиваемся такой задачи, то либо полином имеет особый вид, позволяющий нам разложить его на множители, либо мы должны аппроксимировать решения с графической утилитой.

Нулевая постоянная

Одним из частых случаев является отсутствие постоянного члена. В этом случае мы можем исключить одну или несколько степеней x, чтобы начать задачу.

Пример 13.

2x 3 + 3x 2 -5x = 0.

х (2 х 2 + 3 х -5) = 0,

Теперь у нас есть произведение x и квадратного многочлена, равное 0, поэтому у нас есть два более простых уравнения.

х = 0 или 2 х 2 + 3 х -5 = 0,

Первое уравнение несложно решить. x = 0 является единственным решением. Второе уравнение может быть решено факторингом. Примечание: Если бы мы не смогли учесть квадратное выражение во втором уравнении, то мы могли бы прибегнуть к использовать квадратную формулу.[Убедитесь, что вы получаете те же результаты, что и ниже.]

х = 0 или (2х + 5)(х - 1) = 0.

Итак, есть три решения: x = 0, x = -5/2, x = 1.

Примечание: Решение находится из пересечений графиков f(x) = 2x 3 + 3x 2 -5x.

Фактор по группировке

Пример 14.

х 3 -2х 2 -9х +18 = 0.

Коэффициент x 2 в -2 раза больше, чем x 3 , и такое же соотношение существует между коэффициенты третьего и четвертого членов. Сгруппируйте термины один и два, а также термины три и четыре.

х 2 (х - 2) - 9 (х - 2) = 0,

Эти группы имеют общий множитель (x - 2), поэтому мы можем разложить на множители левую часть уравнения.

(х - 2)(х 2 - 9) = 0,

Всякий раз, когда мы находим произведение, равное нулю, мы получаем два более простых уравнения.

х - 2 = 0, или х 2 - 9 = 0.

х = 2, или (х + 3)(х - 3) = 0,

Итак, есть три решения, x = 2, x = -3, x = 3.

Примечание: Эти решения находятся из точек пересечения графика f(x) = x 3 -2x 2 -9x +18.

Квадратичный в форме

Пример 15.

х 4 - х 2 - 12 = 0.

Этот многочлен не квадратичный, он имеет четвертую степень. Однако его можно рассматривать как квадратичное по x 2 .

2 ) 2 - (х 2 ) - 12 = 0.

Это может помочь вам заменить x на z 2 .

z 2 - z - 12 = 0 Это квадратное уравнение относительно z.

(г - 4) (г + 3) = 0,

z = 4 или z = -3.

Мы не закончили, потому что нам нужно найти значения x, которые делают исходное уравнение верным.Теперь замените z на x 2 и решить полученные уравнения.

х 2 = 4.

х = 2, х = -2.

 

х 2 = -3.

x = i или x = - i.

Итак, есть четыре решения, два действительных и два комплексных.

Примечание: Эти решения находятся из точек пересечения графика f(x) = x 4 - х 2 - 12.

График f(x) = x 4 - x 2 - 12 и масштаб, показывающий его локальное экстремумы.

Упражнение 3:

Решите уравнение x 4 - 5x 2 + 4 = 0. Ответ

Вернуться к содержанию

Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения

Пример 16.

Наименьший общий знаменатель равен x(x + 2), поэтому мы умножаем обе части на это произведение.

Это уравнение квадратное. Квадратичная формула дает решения

Необходима проверка, поскольку мы умножили обе части на переменное выражение. С помощью графической утилиты мы убедитесь, что оба этих решения проверяются. Решением является координата x точки пересечения графиков y = 1 и y = 2/x-1/(x+2).

Пример 17.

5 | х - 1 | = х + 11.

Ключ к решению уравнения с абсолютными значениями состоит в том, чтобы помнить, что величина внутри абсолютного значения бары могут быть положительными или отрицательными. У нас будет два отдельных уравнения, представляющих разные возможности, и все решения должны быть проверены.

Дело 1 . Предположим, что x - 1 >= 0.Затем | х - 1 | = x - 1, поэтому мы имеем уравнение

5(х - 1) = х + 11.

5х - 5 = х + 11.

4x = 16.

x = 4, и это решение верно, потому что 5*3 = 4 + 11.

Случай 2. Предположим, что x - 1 < 0. Тогда x - 1 отрицательно, поэтому | х - 1 | = -(х - 1). Этот часто смущает студентов, потому что выглядит так, как будто мы говорим, что абсолютное значение выражения равно отрицательно, но мы не.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *