Что значит вещественное число: Что такое вещественные числа? — Хабр Q&A — ПКРЕГИОН компьютерный магазин в Екатеринбурге недорогой техники каталог и цены с доставкой

Содержание

Вещественное число — это… Что такое Вещественное число?

Веще́ственное, или действи́тельное число ^[1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений ^[2].

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия^[3]. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере

[3] была создана строгая теория вещественных чисел.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), или (англ. blackboard bold «R») от лат. realis — действительный.

История становления понятия вещественного числа

Наивная теория вещественных чисел

Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании — рациональные числа). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом

[4].

Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях — например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др.

[5]

Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным»^[6]. После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе^[7], где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил^[6]:

Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью.

Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные.

Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону^[8]:

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.

Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало

[9]. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.

Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.

Создание строгой теории

Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана

[10]. В более поздней работе^[11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств^[12], но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.

Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.

Конструктивные способы определения вещественного числа

При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел ), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и

пока не являются строго определённым математическим понятием.

Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.

Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда

[3]^[13].

Теория фундаментальных последовательностей Кантора

В данном подходе вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши:

Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными.

Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел , обозначим .

Два вещественных числа

и ,

определённые соответственно фундаментальными последовательностями и , называются равными, если

Если даны два вещественных числа и , то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей и :

Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число

по определению больше числа , то есть , если

Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.

Теория бесконечных десятичных дробей

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида

где есть один из символов или , называемый знаком числа, — целое неотрицательное число, — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества .

Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида

и для всех

Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа

Если , то ; если то . В случае равенства переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если , то после конечного числа шагов встретится первый разряд , такой что . Если , то ; если то .

Однако, при этом следует учитывать, что число . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.

Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[14] соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Теория сечений в области рациональных чисел

В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.

Сечением в множестве рациональных чисел называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний и верхний , так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:

Если существует число , которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества и : числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от . Говорят также, что рациональное число производит данное сечение множества рациональных чисел.

Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества и . В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число , которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:

Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами.

Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:

Аксиоматический подход

Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Кантора вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.

В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.

Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации, модели абстрактного понятия «число три».

Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.

Здесь уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:

Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках. Давид Гильберт^[15]

Аксиоматика вещественных чисел

Множество называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

Аксиомы поля

На множестве определено отображение (операция сложения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент из того же множества , называемый суммой и ( эквивалентная запись элемента множества ).

Также, на множестве определено отображение (операция умножения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент , называемый произведением и .

При этом имеют место следующие свойства.

Коммутативность сложения. Для любых

Ассоциативность сложения. Для любых

Существование нуля. Существует элемент , называемый нулём, такой, что для любого

Существование противоположного элемента. Для любого существует элемент , называемый противоположным к , такой, что

Коммутативность умножения. Для любых

Ассоциативность умножения. Для любых

Существование единицы. Существует элемент , называемый единицей, такой, что для любого

Существование обратного элемента. Для любого существует элемент , обозначаемый также и называемый обратным к , такой, что

Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Для любых

Нетривиальность поля. Единица и ноль — различные элементы :

Аксиомы порядка

Между элементами определено отношение , то есть для любой упорядоченной пары элементов из установлено, выполняется соотношение или нет. При этом имеют место следующие свойства.

Рефлексивность. Для любого

Антисимметричность. Для любых

Транзитивность. Для любых

Линейная упорядоченность. Для любых

Связь сложения и порядка. Для любых

Связь умножения и порядка. Для любых

Аксиомы непрерывности

Каковы бы ни были непустые множества и , такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такое число , что для всех и имеет место соотношение

Этих аксиом достаточно чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел^[16].

На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество является полем. Аксиомы второй группы — что множество является линейно упорядоченным множеством ( — ), причём отношение порядка согласовано со структурой поля — . Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются упорядоченными полями. Наконец, последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности, которое также называют полнотой. Резюмируя, можно дать эквивалентное определение множества вещественных чисел.

Определение. Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.

Непротиворечивость и категоричность аксиоматики

Другие системы аксиом вещественных чисел

Существуют и другие способы аксиоматизации вещественных чисел. Например, вместо аксиомы непрерывности можно использовать любое другое эквивалентное ей условие, или группу условий. Например, в системе аксиом, предложенной Гильбертом, аксиомы групп и , по существу, те же, что и в приведённые выше, а вместо аксиомы используются следующие два условия:

Аксиома Архимеда. Пусть ^[17] и . Тогда элемент можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма превзошла :

Аксиома полноты (в смысле Гильберта). Систему невозможно расширить ни до какой системы , так чтобы при сохранении прежних соотношений между элементами , для выполнялись бы все аксиомы —, .

Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение:

Определение. Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле

В качестве другого примера аксиоматизации вещественных чисел можно привести аксиоматику Тарского (англ.), состоящую всего из 8 аксиом.

Свойства

Связь с рациональными числами

Очевидно, что на числовой прямой рациональные числа располагаются вперемешку с вещественными, причём множество вещественных чисел в известном смысле «плотнее» множества рациональных. Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы, основанные, в основном, на аксиоме Архимеда.^[18]

Лемма 1. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на отрезке между этими рациональными числами.

Эта лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами.

Лемма 2. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число.

Очевидным следствием из этой леммы является тот факт, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами содержится целое бесконечное множество рациональных. Кроме того, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное.

Лемма 3. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом.

Эти леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться. Особенно ярко это иллюстрирует лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел.

Теоретико-множественные свойства

Изначально вещественные числа были естественным обобщением рациональных, но у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, т. е. не существует биекции между множествами вещественных и натуральных чисел. Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность интервала .^[18]

Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:

Здесь — -я цифра -ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками.

Далее предлагается рассмотреть следующее число:

Пусть каждая цифра этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:

Такое число действительно существует на указанном промежутке, так как оно является вещественным, не совпадает ни с нулём, ни с единицей, а десятичных цифр достаточно, чтобы третье свойство выполнялось. Кроме этого, интересно тем фактом, что оно не совпадает ни с одним из чисел , выписанных выше, ведь иначе -я цифра числа совпала бы с -ой цифрой числа . Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер.^[18]

Это свидетельствует о том, что множество вещественных чисел не является счётным. Его мощность называется мощностью континуума.

Обобщение вещественных чисел

Поле вещественных чисел постоянно служило в математике источником обобщений, причём в различных практически важных направлениях. Непосредственно к полю примыкают следующие варианты обобщённых числовых систем.

Комплексные числа. Особенно плодотворны в алгебре и анализе.
Интервальные числа. Используются преимущественно в теории приближённых вычислений и в теории вероятностей.
Нестандартный анализ, который добавляет к вещественным числам бесконечно малые и бесконечно большие числа (разных порядков).

Прикладные применения

Математическая модель вещественных чисел повсеместно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. Однако это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Основное назначение этой модели — служить базой для аналитических методов исследования. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин.

Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона. Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными (квантуемыми).

См. также

Примечания

↑ Названия вещественное число и действительное число равнозначны. Исторически в Московской математической школе использовали термин действительное число, а в Ленинградской — вещественное число. В качестве примера можно привести две классические работы:
- Лузин, Н. Н. Теория функций действительного переменного. (Московская школа)
- Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. (Ленинградская школа)
В современных университетских учебниках употребляются оба термина:
- Зорич В. А. Математический анализ. (МГУ, мехмат) — действительное число
- Ильин В. А., Позняк В. Г. Основы математического анализа. (МГУ, физфак) — вещественное число
- Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. (МФТИ) — действительное число
- Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (СПбГУ) — вещественное число
↑ См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1. — С. 35-36., а также Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — С. 146.
↑ ¹ ² ³ Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — С. 287-289.
↑ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 147.
↑ История математики. — Т. I. — С. 96-101.
↑ ¹ ² Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 150-151.
↑ История математики. — Т. I. — С. 190-191, 304-305.
↑ История математики. — Т. II. — С. 35.
↑ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 154.
↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — С. 171-178. — 224 с.
↑ Бернард Больцано.Парадоксы бесконечного.
↑ Рыхлик Карел. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515—532.
↑ Рыбников К. А. История математики. — Т. 2. — С. 196.
↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
↑ Рид К. Гильберт. — С. 79.
↑ См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1.
↑
↑ ¹ ² ³ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 44 — 45, 63 — 64. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

Литература

Использованная литература

Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М.: УЧПЕДГИЗ, 1938.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с франц. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie / пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.

Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — Пер. с франц. — М.: МИР, 1986. — 432 с.

Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — 4-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — XVI+664 с. — ISBN 5-94057-056-9

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трех томах / под ред. Юшкевича. — М.: НАУКА, 1970. — Т. 1.

Кантор Г. Труды по теории множеств / под ред. А. Н. Колмогоров, Ф. А. Медведев, А. П. Юшкевич,. — М.: НАУКА, 1985. — (Классики науки).

Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1

Рид К. Гильберт / пер. с англ. И. В. Долгачева под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М.: НАУКА, 1977.

Рыбников К. А. История математики. — М.: Издательство Московского университета, 1963. — Т. 2.

Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с. — ISBN 5-9221-0008-4

Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X

Что такое действительное число? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Определение действительного числа

Определение

Действительными или вещественными числами называются все положительные числа, отрицательные числа и нуль.

Множество действительных чисел объединяет в себе множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначается множество действительных чисел $R$ .

Например. $\frac{2}{3} ; 0,754 ;-23 ;-\frac{5}{4} ; 113 ;-\sqrt[3]{2} ;-2,34 ; \frac{1}{\pi}$ — все это действительные числа.

На множестве действительных чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое суммой этих чисел. При этом

Свойства операции сложения действительных чисел

Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$
$$a+b=b+a$$
Ассоциативный закон сложения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$
$$(a+b)+c=a+(b+c)$$
Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа $a$
$$a+0=0+a=a$$
Для любого числа $a$ существует число, обозначаемое $(-a)$, такое, что
$$a+(-a)=(-a)+a=0$$
число $(-a)$ называется противоположным числу $a$ ;

Вычитание действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ число $c=a+(-b)$ называется разностью чисел $a$ и $b$, и обозначается

Пример

Задание. Найти сумму и разность действительных чисел $23$ и $12,4$

Решение. Сумма заданных чисел равна $23+12,4=35,4$

Разность: $23-12,4=10,6$

Ответ.

$23+12,4=35,4$

$23-12,4=10,6$

Умножение действительных чисел

На множестве действительных чисел определена операция называемая умножением. Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое их произведением и обозначаемая

Свойства операции умножения действительных чисел

Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$
$$a \cdot b=b \cdot a$$
Ассоциативный закон умножения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$
$$(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$$
Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое символом 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа $a$
$$a \cdot 1=1 \cdot a$$
Для любого числа $a$, отличного от нуля, существует число, обозначаемое $$(1 / a)$$, такое, что
$$a \cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a} \cdot a=1$$
число $$(1 / a)$$ называется обратным числу $a$ ;

Деление действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ ( $b$ отлично от нуля) существует число $c$

$$c=a \cdot \frac{1}{b}$$

называется частным от деления числа $a$ на $b$, и обозначается

Слишком сложно?

Что такое действительное число не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Найти произведение и частное действительных чисел $1,2$ и $5$

Решение. Произведение заданных чисел равно $1,2 \cdot 5=6$

Частное: $1,2 : 5=1,2 \cdot \frac{1}{5}=1,2 \cdot 0,2=0,24$

Ответ.

$1,2 \cdot 5=6$

$1,2 : 5=0,24$

Операции сложения и умножения действительных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

$$(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c$$

Читать дальше: что такое четное число.

Множества, отображения и числа

1.1Множества

1.1.1Примеры множеств

В математике принято давать строгие определения всем вводимым понятиям. Однако, когда мы даём определение новому понятию, мы описываем его с помощью слов, каждое из которых, по идее, также нуждается в определении. Поскольку этот процесс не может продолжаться до бесконечности, в какой-то момент мы вынуждены остановиться, и сказать, что некоторые понятия мы не будем определять формально.

Как бы определение 1. Множество — это набор каких-то элементов.

Это как бы определение даёт мало информации — фактически, в нём сказано, что множество — это набор, а что такое набор — так же непонятно. Чтобы стало чуть более понятно, давайте приведём пару примеров:

Пример 1. Определим множество A:={1,2,3}, которое состоит из трёх элементов — чисел 1, 2 и 3. (Когда какой-то объект впервые определяется, мы часто будем использовать знак := вместо обычного равно, чтобы подчеркнуть, что мы таким образом определяем значение того символа, который стоит со стороны двоеточия.) Чтобы задать множество, можно перечислить его элементы, заключив их в фигурные скобки. (Так, конечно, можно задать не все множества, а только конечные, в которых число элементов конечно; чуть позже мы столкнёмся с бесконечными множествами.) Важно отметить, что порядок следования элементов при перечислении не имеет значения: я мог бы написать {2,1,3} или {3,2,1} и получить ровно то же самое множество A. Ещё одно важное замечание: каждый элемент либо входит в множество, либо не входит, нельзя «дважды входить» в множество. Если бы я написал {1,1,2,3}, я бы получил то же множество из трёх элементов, что и выше: единица написана дважды, но входить в множество она может ровно один раз. (Именно так это будет интерпретировать, например, язык программирования Python, умеющий работать с множествами.)

Пример 2. Бывает пустое множество, которое обозначается ∅ (в другом стиле выглядит как ∅). Оно не содержит ни одного элемента: ∅={}.

Утверждение «элемент x входит в множество X» кратко записывается таким образом:

x∈X

То есть, например, справедливо сказать, что 1∈A для множества A, определенного в примере 1, а 4∉A.

Определение 1. Пусть есть два множества, X и Y. Говорят, что X является подмножеством множества Y (пишут X⊂Y или Y⊃X), если всякий элемент множества X также является и элементом множества Y.

Например, множество {1,2} является подмножеством множества A из примера 1, а множество {1,2,3,4} — не является.

Пример 3. Множества могут быть сами элементами множеств. Например, можно рассмотреть множество всех подмножеств множества A: получится такое множество (обозначим его через B):

B:={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

Обратите внимание на разницу между знаками ∈ и ⊂. Например, для множества A, справедливо утверждение 1∈A, справедливо утверждение {1}⊂A, но неверно, что {1}∈A, поскольку элементами A являются числа, а не множества. Для множества B, наоборот, 1∉B, зато {1}∈B.

Вопрос 1. Кстати, а верно ли, что {1}⊂B? Верно

Неверный ответ. Нет, {1} не является подмножеством множества B: оно содержит это множество как элемент. Если вы хотите создать множество, единственным элементом которого является множество {1}, оно будет записываться как {{1}}.

Неверно

Верный ответ. Действительно, {1} не является подмножеством множества B: оно содержит это множество как элемент. Если вы хотите создать множество, единственным элементом которого является множество {1}, оно будет записываться как {{1}}.

Как мы видим из примера 3, множества могут содержать в себе другие множества. Тут может возникнуть соблазн рассмотреть «множество всех возможных множеств», однако это приводит к проблемам (подробнее можно посмотреть в статье про парадокс Рассела в Википедии). Таких проблем удаётся избегать, если мы разрешаем рассматривать лишь множества, которые понятным образом строятся из уже определенных ранее множеств. Так мы и будем поступать. Есть более аккуратные способы определения множеств путём ввода некоторой системы аксиом, но для всех практических целей нам будет достаточно «наивного» понятия о множествах, которое обсуждается здесь.

1.1.2Операции над множествами

Нам понадобятся некоторые известные операции с множествами.

Определение 2. Для произвольных множеств X и Y, определим их пересечение, то есть новое множество (обозначается X∩Y), которое состоит из всех элементов, которые есть одновременно и в X, и в Y.

Определение 3. Для произвольных множеств X и Y, определим их объединение, то есть новое множество (обозначается X∪Y), которое состоит из всех элементов, которые есть хотя бы в одном из множеств X, или в Y (или в обоих).

Определение 4. Для произвольных множеств X и Y, разностью X∖Y (также пишут просто X−Y) называется множество всех элементов X, не содержащихся в Y. Иногда говорят дополнение Y до X (вероятно, наиболее корректным этот термин является, если Y является подмножеством X).

1.2Отображения

Вы наверняка встречались с понятием функции. В математике есть два набора терминов, которые описывают одно и то же — в одних случаях используется слово «функция», в других — «отображение». Слово «отображение» выглядит чуть более универсальным термином. Его можно было бы определить формально, опираясь только на понятие множества, но мы ограничимся неформальным описанием.

Как бы определение 2. Рассмотрим два произвольных множества X и Y. Пусть мы каждому элементу из множества X поставили в соответствие какой-то элемент из множества Y. Тогда говорят, что мы задали отображение из X в Y.

Пример 4. Рассмотрим отображение из множества A={1,2,3} в множество L:={a,b,c,d} (здесь a, b, c и d — не переменные, а просто буквы английского алфавита — множества ведь могут содержать не только числа), заданное следующим образом (см. рис 1.4: числу 1 поставили в соответствие букву b, числу 2 — букву c и числу 3 — букву b. Таким образом мы задали отображение из A в L. Это отображение можно обозначить какой-нибудь буквой, например, буквой g. Тогда можно записать: g(1)=b, g(2)=c и g(3)=b. Говорят также, что под действием отображения g, число 1 переходит в букву b и т.д. Также можно сказать, что буква b является образом числа 1 под действием отображения g, и наоборот, число 1 является одним из прообразов буквы b. Если задано отображение f из множества X в множество Y, пишут:

f:X→Y.

Можно представить себе отображение f:X→Y как такую картинку, в которой из каждого элемента множества X выходит стрелочка, которая ведёт к какому-то элементу множества Y. При этом стрелочки обязаны выходить из всех элементов X, но не обязаны входить во все элементы Y. Важно также, что из каждого элемента X выходит ровно одна стрелочка, то есть каждый элемент множества X отображается ровно в один элемент множества Y.

Определение 5. Отображение f:X→Y называется инъективным (или просто инъекцией), если оно «не склеивает точки», то есть не переводит две разные точки в одну и ту же. Если представлять отображение в виде картинки со стрелочками, это соответствует тому, что нет двух стрелочек, ведущих в одну и ту же точку.

Рис. 1.5: Не инъективное (слева) и инъективное (справа) отображения.

Определение 6. Отображение f:X→Y называется сюръективным (или просто сюръекцией), если в любую точку множества Y что-то переходит. Иными словами, у любой точки множества Y есть хотя бы один прообраз под действием f. Если представлять отображение в виде картинки со стрелочками, это соответствует тому, что в каждую точку Y ведёт хотя бы одна стрелочка.

Рис. 1.6: Не сюръективное (слева) и сюръективное (справа) отображения.

Определение 7. Отображение f:X→Y называется биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением), если оно одновременно является инъективным и сюръективным. В этом случае не только каждому элементу множества X поставлен в соответствие ровно один элемент Y (как всегда бывает, когда отображение задано), но и наоборот, каждому элементу множества Y поставлен в соответствие ровно один элемент множества X — тот, который в него переходит под действием отображения. Он существует (потому что отображение сюръективно) и единственный (потому что инъективно).

Рис. 1.7: Биективное отображение. Определение 8. Множества, между которыми существует взаимно однозначное соответствие, называются равномощными. Очевидно, если два множества равномощны, у них одинаковая мощность. Но что такое эта мощность? Для конечных множеств, мощность определяется просто как число элементов. Для бесконечных всё сложнее, мы поговорим об этом позже.

1.3Числа

Основным строительным материалом для всего последующего курса будут различные числовые множества.

1.3.1Натуральные числа

Множество натуральных чисел {1,2,3,…} обозначается буквой N. Единственный камень преткновения: считать ли ноль натуральным числом. Как правило, натуральные числа «определяются» как «числа, используемые при счёте предметов». В этом случае среди натуральных чисел нет нуля, и это соответствует распространённому в России соглашению. Есть другой подход — сказать, что натуральные числа — это «мощности конечных множеств» (см. определение 8). В этом случае ноль следовало бы считать натуральным, потому что это мощность пустого множества. Такое соглашение принято, например, во Франции. Мы будем использовать соглашение, принятое в России, и не будем считать 0 натуральным числом.

1.3.2Целые числа

Множество целых чисел обозначается буквой Z={0,1,−1,2,−2,…}. Натуральные числа являются подмножеством целых (натуральные числа — это в точности целые положительные числа).

Каких чисел больше: натуральных или целых? Казалось бы, отрицательных целых чисел «столько же», сколько положительных, то есть натуральные числа входит в число целых дважды, да ещё остаётся ноль. То есть целых должно быть вдвое больше, чем натуральных (и ещё чуть-чуть больше). На самом деле, для бесконечных множеств такая логика не работает: легко придумать взаимно однозначное соответствие между натуральными и целыми числами (например, можно воспользоваться тем, как эти множества записаны выше: 1 отобразить в 0, 2 в 1, 3 в −1, 4 в 2, 5 в −2 и т.д.), так что с тем же успехом можно сказать, что их «поровну». Аккуратное утверждение состоит в том, что множества целых и натуральных чисел равномощны.

1.3.3Рациональные числа

Множество рациональных чисел Q состоит из всевозможных обыкновенных дробей вида {pq∣p∈Z,q∈N}, то есть дробей с целым числителем и натуральным знаменателем. Конечно, мы знаем, что бывают разные дроби, задающие одно и то же число: например, 24=12. Вообще, для любого целого m≠0, дроби pq и pmqm задают одно и то же число.

Арифметические операции с рациональными числами задаются с помощью стандартных правил действий с обыкновенными дробями.

Целые числа входят в множество рациональных чисел — это в точности рациональные числа со знаменателем 1.

Определение 9. Целые числа m и n называются взаимно простыми, если они не имеют общих натуральных делителей, кроме 1.

Если числа m и n взаимно просты, дробь mn является несократимой. (Если бы у m и n были натуральные делители, отличные от 1, на них можно было сократить, а так сокращать не на что.)

Теорема 1. Любое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби pq, p∈Z, q∈N. Иными словами, если есть другое представление, pq=mn, где m и n взаимно просты и n натурально, то обязательно p=m и q=n.

Эта теорема кажется очевидной, но на самом деле таковой не является. Например, если бы мы разрешили знаменателю принимать не только натуральные, но и любые целые ненулевые значения, теорема была бы неверна: 12=−1−2, хотя обе дроби несократимы. Её аккуратное доказательство требует либо веры в основную теорему арифметики (о том, что любое целое число однозначно задаётся в виде произведения простых сомножителей), которая имеет не очень короткое доказательство, либо использования алгоритма Евклида. Второй подход приведён в виде серии задачи в семинарских листочках.

1.3.4Вещественные числа

С вещественными (действительными) числами всё сложно. Интуитивно, вещественные числа — это длины отрезков, площади фигур и т.д. Но чтобы аккуратно их ввести в математику, человечество потратило несколько тысяч лет: тот факт, что длины отрезков могут не выражаться рациональными числами, был известен ещё Древним Грекам за несколько сотен лет до нашей эры, но аккуратно вещественные числа были введены в математику только в XIX веке.

В рамках лекций мы будем следовать «школьному» определению: вещественное число — это бесконечная десятичная дробь, то есть бесконечная вправо последовательность цифр, у которой на каком-то месте стоит десятичная запятая (в англоязычной традиции — десятичная точка). Множество вещественных чисел обозначается буквой R (от слова real, действительный).

Чтобы какое-то множество можно было с полным правом называть числовым, нужно, чтобы на нём были определены арифметические операции. Для конечных десятичных дробей это делается с помощью стандартных алгоритмов сложения и умножения (столбиком) и деления (уголком), которые проходят в школе. Для бесконечных десятичных дробей так просто это сделать не получается, и мы не будем этим заниматься — скажем только, что сделать это возможно, и результат будет соответствовать нашим интуитивным представлениям об этих операциях. (Для желающих у нас заготовлена серия задач, в которых вещественные числа определяются несколько иначе — как некоторые множества рациональных чисел — мы их дадим, когда все будут к этому готовы.)

Рациональные числа входят в множество вещественных чисел. Этот факт, вообще говоря, не прямо следует из определения, но его можно доказать, воспользовавшись алгоритмом деления уголком и свойствами геометрических прогрессий.

Определение 10. Вещественные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Специального обозначения для иррациональных чисел нет, обычно просто пишут R∖Q.

Чтобы не казалось, что мы зря возимся с вещественными числами, давайте докажем, что иррациональные числа существуют. Для этого предъявим по крайней мере одно такое число: √2.

(Конечно, можно было бы не верить в существование иррациональных чисел, и сказать, что раз √2 не является рациональным, то просто нет такого числа, нельзя вычислить квадратный корень из двух, и всё тут; проблема в том, что тогда мы не могли бы никак измерить длину диагонали квадрата со стороной 1, которая, по теореме Пифагора, равна как раз √2. Это было бы неудачно.)

Доказательство. Докажем от противного. Пусть является, то есть существует такая несократимая дробь pq, которая равна √2. По определению, √2 это такое число, которое при возведении в квадрат даёт 2. Значит, (pq)2=2;p2q2=2;p2=2q2. Из этого следует, что p2 — четное число. Если бы p было нечётным, оно бы представлялось в виде p=(2k+1) и его квадрат был бы нечётным: p2=(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1. Значит, p обязательно чётно. Пусть p=2k. Имеем: (2k)2=2q2;4k2=2q2;2k2=q2. Из таких же рассуждений получаем, что q должно быть чётным. Но по предположению, дробь pq несократима, и значит её числитель и знаменатель не могут быть одновременно чётными. Противоречие.∎

Следующая глава →

§ 2. Вещественные числа

2.1. Множество R вещественных чисел

Мы будем пользоваться следующими традиционными обозначениями:

N  { 1, 2,  } – множество натуральных чисел

Z  {  , –2, –1, 0, 1, 2,  } – множество целых чисел;

– множество рациональных чисел, т.е., чисел вида , где Z, N.

Всякое натуральное число является целым, всякое целое число является рацио- нальым: N  Z  Q. Всякое рациональное число , поделив числитель на знамена- тель, можно представить единственным образом в виде бесконечной десятичной пери- одической дроби ( конечную десятичную дробь можно рассматривать как бесконечную периодическую, период которой равен 0 ). И обратно, для всякой заданной бесконеч- ной десятичной периодической дроби существует и при том только одно рациональное число такое, что при делении р на q получается заданная десятичная дробь (здесь надо учитывать правило отождествления десятичных дробей с периодом (9) с дробями, имеющими период (0) ; например, 0,5(0) = 0,4(9) , и обе эти дроби являются представ- лениями рационального числа ). Таким образом, множество Q рациональных чисел можно определить как совокупность всевозможных бесконечных десятичных периоди- ческих дробей.

Числа, представленные бесконечными десятичными непериодическими дробя- ми называют иррациональными . Рациональные и иррациональные числа образуют множество вещественных чисел, которое принято обозначать буквой R. Множество R состоит из всевозможных бесконечных десятичных дробей, периодических и неперио- дических.

Подробное изложение свойств множества R можно найти в учебниках [1] и [2].

Удобной геометрической интерпретацией множества R является координатная прямая или числовая ось. Опишем это понятие.

На прямой выберем некоторую точку, обозначим ее через O и назовем началом отсчета. Одно из двух возможных направлений на прямой назовем положительным. Каждой точке M, лежащей на прямой и отличной от точки O, сопоставим веществен- ное число x, которое назовем координатой точки M и которое определим так: если направление вектора совпадает с положительным направлением на прямой, x равно длине вектора : ; если же направление противоположно положительному, то . Координатой точки O назовем число нуль. Таким образом, каждой точке на прямой соответствует ее координата – вещественное число, положительное, отрицательное или нуль, причем несовпадающие точки и имеют, очевидно, различные координаты и , . Верно и обратное: для любого вещественного числа x на прямой существует единственная точка M, коорди- ната которой есть x.

Итак, если каждой точке на прямой поставить в соответствие вещественное чис- ло – координату этой точки, то между множеством всех точек прямой и множеством R вещественных чисел будет установлено взаимно однозначное соответствие. Когда та- кое соответствие установлено, прямую называют координатной прямой или числовой осью. В дальнейшем мы нередко будем называть вещественное число x точкой, имея ввиду возможность геометрической интерпретации этого числа с помощью точки M на числовой оси, координата которой есть x. На чертеже такую точку будем обычно обозначать через x.

2.2 . Промежутки

Пусть a и b – вещественные числа, причем a  b.

Определение 1. Множество чисел , удовлетворяющих нестрогим не- равенствам , называют замкнутым промежутком или сегментом и обознача- ют символом [a; b] : .

Определение 2. Множество чисел , удовлетворяющих строгим нера- венствам , называют открытым промежутком или интервалом и обозначают символом (a; b) :

Если a  b, то содержит только одно число a, а – пустое множе- ство. Кроме замкнутого промежутка и открытого промежутка рассматри- вают и полуоткрытые промежутки и , которые определяют так:

; .

Введенные выше множества называют ограниченными промежутками; числа a и b называют их граничными точками или концами. Мы будем употреблять также символ a; b для обозначения промежутка любого из указанных выше типов с конца- ми a и b.

Пусть a  R. Обозначим:

; ;

Эти множества чисел будем называть неограниченными промежутками. Множе- ство R также будем считать неограниченным промежутком, обозначая его иногда сим- волом (– ; ).

2.3. Точные грани числового множества

Пусть X – некоторое непустое множество вещественных чисел.

Определение 1. Будем говорить, что множество X ограничено сверху, если можно указать некоторое число A такое, что для всякого x  X справедливо неравен- ство x  A. Число A при этом будем называть верхней гранью множества X.

Определение 2. Будем говорить, что множество X ограничено снизу, если можно указать некоторое число A такое, что для всякого x  X справедливо неравен- ство x  A. Число A при этом будем называть нижней гранью множества X.

Определение 3. Множество X называют ограниченным, если оно ограниче- но и сверху, и снизу.

Если множество X не является ограниченным, его называют неограниченным множеством.

Пример 1. Ограниченный промежуток есть ограниченное множество: для множества a; b число a является его нижней гранью, а число b – верхней гранью.

Пример 2. Пусть , т.е. , где . Так как при всех , то X есть ограниченное множество: число 0 является его нижней гранью, а число 1 – верхней. Любое отрицательное число также является нижней гранью X; любое число, большее единицы, – верхняя грань множества X.

Пример 3. Неограниченный промежуток есть неограниченное множество.

Если число A является верхней гранью множества X, то любое число В, В>A, также является верхней гранью Х. Аналогично, если А – нижняя грань Х , то и любое В, В<A, также есть нижняя грань множества Х.

Определение 4. Пусть X – ограниченное сверху множество. Точной верх- ней гранью множества X называют наименьшую из его верхних граней.

Обозначается это число символами и .

Определение 5. Пусть X – ограниченное снизу множество. Точной нижней гранью множества X называют наибольшую из его нижних граней.

Обозначается это число символами и .

Пример 4. Пусть множество X представляет собой ограниченный промежу- ток a; b, где a  b. Тогда , . В самом деле, число a является нижней гранью множества X, а любое число , , нижней гранью для a; b уже не будет, так как числа, принадлежащие интервалу , принадлежат и a; b, и любое из них меньше . Следовательно, a – наибольшая из нижних граней, т.е. . Аналогично можно показать, что .

Пример 5. Пусть . Число 0 является его нижней гранью, а любое   0 нижней гранью X уже не будет. Действительно, для любого заданного можно подобрать натуральное число так, чтобы выполнялось , значит, для всякого   0 в множестве X можно указать число, меньшее . Отсюда следует : . Очевидно, что .

Точные грани множества могут принадлежать этому множеству, но могут ему и не принадлежать. Так, сегмент [a; b] содержит обе свои точные грани a и b; интер- валу (a; b) не принадлежит ни одна из его точных граней. Множество X примера 5 содержит свою точную верхнюю грань – число 1, но не содержит своей точной ниж- ней грани, числа 0, ибо все числа этого множества положительны.

Пусть . Если принадлежит X, то, очевидно, число является наименьшим в множестве X числом. Если же не принадлежит X, в множестве X нет наименьшего числа, т. е., всякое число, принадлежащее Х , не является наименьшим в этом множестве. Так, число a является точной нижней гранью и наименьшим чис- лом множества X  [a; b], а всякое число, принадлежащее множеству примера 5, не яв- ляется наименьшим в этом множестве.. Аналогично, если число принадле- жит X, то – наибольшее число в множестве X; если же не принадлежит X, в этом множестве наибольшего числа нет.

Пусть множество X не ограничено сверху; это значит, что у этого множества нет верхних граней, поэтому у него нет и точной верхней грани. Тем не менее, условимся говорить в таком случае, что точная верхняя грань множества Х равна  и записы- вать . Аналогично, если множество X не ограничено снизу, будем гово- рить, что его точная нижняя грань равна – и записывать при этом .

2.4. Конечные и бесконечные множества

Элементы множеств, рассматриваемых в этом пункте, не обязательно вещест- венные числа , они могут быть обьектами любой природы.

Множество X, состоящее из одного элемента, из двух элементов, вообще из n, где n – некоторое натуральное число, элементов, называют конечным множеством.

Пусть X – конечное множество, состоящее из n элементов. Перенумеруем принадлежащие X элементы с помощью первых n натуральных чисел (двум различ- ным элементам присваиваются обязательно различные номера). Рассматривая элемен- ты X в порядке возрастания их номеров, мы получим конечную последовательность: , ,  , , состоящую из всех элементов множества.

Множества, не относящиеся к конечным, называют бесконечными. Бесконечным является, например, множество N  {1, 2,  }, поскольку количество содержащихся в нем элементов (натуральных чисел) нельзя выразить каким-либо натуральным числом.

Различают счетные и несчетные бесконечные множества. Бесконечное множест- во X называют счетным, если существует взаимно однозначное отображение множе- ства X на множество N натуральных чисел. Иными словами, бесконечное множество X называют счетным, если все принадлежащие ему элементы можно перенумеровать так, чтобы любым двум различным элементам присваивались обязательно различные номера. Рассматривая элементы счетного множества X в порядке возрастания присво- енных им номеров, получим бесконечную последовательность , ,  , ,  ., составленную из всех элементов множества Х.

Простейшим примером счетного множества является множество N натураль- ных чисел. Счетным является множество Q рациональных чисел ( доказательство можно найти, например, в [1]).

Не всякое бесконечное множество является счетным. Существуют бесконечные множества такие, что перенумеровать все принадлежащие им элементы не удается: ка- ким бы ни был способ присваивания элементам такого множества натуральных номе- ров, всегда часть элементов остается без номеров. Такие множества называют несчет- ными . Допуская вольность речи, о разнице между счетными и несчетными бесконеч- ными множествами можно сказать так: счетное множество содержит столько же эле- ментов, сколько имеется натуральных чисел в множестве N ; несчетное множество содержит “ больше “ элементов, чем имеется чисел в множестве N .

Выше было отмечено, что, перенумеровав элементы счётного множества, можно получить бесконечную последовательность, содержащую все элементы этого множест- ва. Но построить последовательность, содержащую все элементы несчётного множест- ва, невозможно.

Несчетным является множество R всех вещественных чисел ; доказательство этого факта можно найти в [1]. Более того, можно доказать, что любой промежуток с концами a и b , a< b , есть несчетное множество.

Помогите решить / разобраться (М)

Комплексные числа были изобретены по причине того, что нельзя возвести отрицательное вещественное число в любую вещественную степень.
И только с комплексными числами можно делать любые математические операции.
Скажем, число нельзя возвести в степень , это извлечение квадратного корня, и он из отрицательных чисел не извлекается, как вещественное число,
т.е. извлекается, но дает в итоге комлексное число.
То же число , можно возвести в степень , т.к. кубический корень из отрицательных вещественных чисел дает именно вещественное число.
Я попробовал возвести в степени с помощью вещественного калькулятора Windows 7, и действительно

в степень — результат — Invalid input. (значит результат комплексное число)
в степень … — (т.е. степень ) результат: …

А как же дело обстоит с другими степенями?? Могут же быть произвольные вещественные степени, скажем . Я и попробовал:

в степень результат: …
в степень результат: Invalid input. (значит результат комплексное число).
в степень результат: …

Т.е. при возведении вещественного отрицательного числа в произвольную вещественную степень, оказывается,
могут быть получены как комплексные числа, так и вещественные, причем и положительные и отрицательные!

И какая же общая формула для этого используется? Формула с экпонентой явно не подходит, т.е. она не для
общего случая, и если ее использовать в таких случаях, то вообще никакие отрицательные вещественные числа
не могут быть возведены в дробную степень, т.к. логарифм от отрицательного числа не существует.

И какие границы степеней, разделяют результаты, когда в итоге получается вещественное число, и комплексное число?

Может быть, переопределив эту формулу для возведения в степень так, чтобы в итоге всегда было вещественное
число, мы получим поле вещественных чисел, такое, над которым можно проводить любые математические операции,
и нам вообще не понадобятся эти комплексные числа, которые всё усложняют?
Тогда многие доказательства, которые используют комплексные числа, сильно упростились бы, а возможно, были бы
получены новые доказательства каких то теорем, гипотез, которые пока не доказаны, из-за более сложного анализа
над полем комплексных чисел.
Скажем, для решения гипотезы, нужно решить какое нибудь дифференциальное уравнение с комплексными переменными, и тут
нельзя найти решение. А если свести его к дифференциальному уравнению с вещественными числами, то решение
будет найдено. (т.к. дифференциальное уравнение станет проще для анализа)

Можно ли переопределить так математические операции возведения в степень, и создать более продвинуную теорию
вещественных чисел. (другое поле вещественных чисел, укладывающееся на прямой, а не на плоскости).

Разница между действительным числом и целым числом — Разница Между

Разница Между 2021

Ключевая разница: Вещественное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это может быть любое из рациональных и иррациональных чисел. Рациональное число — это число,

Содержание:

Ключевая разница: Вещественное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это может быть любое из рациональных и иррациональных чисел. Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, но с ненулевым знаменателем. Целые числа — это типы целых чисел, которые не имеют форму дроби. Целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Вещественные числа состоят из всех рациональных, а также иррациональных чисел. Вещественные числа могут быть записаны в десятичной записи. Они включают в себя даже те, которые требуют бесконечного десятичного расширения. Действительное число относится к любому числу, которое можно найти в числовой строке. Числовая линия может быть выражена как фактическая геометрическая линия, где точка выбрана в качестве начала координат. Точки, попадающие в правую сторону от начала координат, считаются положительными числами, а числа, лежащие в левой части от начала координат, считаются отрицательными. Следовательно, они состоят из целых (0, 1, 3, 9, 26), рациональных (6/9, 78,98) и иррациональных чисел (квадратный корень из 3, пи). Бесконечность не попадает в категорию действительных чисел. Квадратный корень из -1 также не является действительным числом, и поэтому его называют мнимым числом.

Целые числа — это типы целых чисел, которые не представлены в виде дробей. Целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными. Целые числа на самом деле являются подмножеством действительных чисел. Важно отметить, что 0 также включен в список целых чисел. Ноль считается нейтральным, что означает, что он не является ни отрицательным, ни положительным. Исследование целых чисел в основном делается в теории, известной как теория чисел. Целые числа в основном используются для представления сценариев, где целые числа не могут быть представлены в математике. Например, банковские счета связаны как с добавлением, так и снятием денег. Целые числа представлены в числовой строке. Каждый номер в числовой строке имеет противоположный номер, кроме нуля. Поэтому целые числа также включают в список противоположные числа.

Сравнение между действительным числом и целым числом:

	Настоящий номер	целое число
Определение	Вещественное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это могут быть любые рациональные и иррациональные числа.	Целые числа могут быть описаны как целые числа, означающие, что они не имеют дробных частей.
Номерная строка	Может быть нанесен на номерной линии.	Может быть нанесен на номерной линии.
Включает в себя	Это включает (но не ограничивается) положительные и отрицательные числа, целые и рациональные числа, квадратные корни, кубические корни, π (pi) и т. Д.	Положительные целые числа — они также известны как неотрицательные целые числа. (3,5,90) Отрицательные целые числа — они противоположны положительным целым числам и имеют префиксный знак «-». (-3, -5, -90)
Важные моменты для запоминания	Объединение множеств рациональных чисел и иррациональных чисел. Действительные числа включают ноль.	Целые числа включают ноль. Целые числа не в форме дроби.
происхождения	В 17 веке Декарт ввел термин «реальный», чтобы определить корни многочлена, чтобы отделить его от «мнимых».	От латинского целое число (буквально означающее «нетронутый», следовательно, «целое»: слово «целое» происходит от того же происхождения, но через французский.

Вещественные типы

В языке Паскаль существует несколько типов для представления действительных (вещественных) чисел. Чаще всего используется тип Real.

Вещественные типы в Pascal

Тип	Диапазон	Число цифр	Память, байт
Real	зависит от платформы	???	4 или 8
Single	1.5e-45 … 3.4e38	7-8	4
Double	5.0e-324 …1.7e308	15-16	8
Extended	1.9E-4932 .. 1.1E4932	19-20	10
Comp	-2E64+1 .. 2E63-1	19-20	8
Currency	-922337203685477.5808 .. 922337203685477.5807	19-20	8

Число цифр определяет точность, с которой будет храниться вещественное число. Например, для Real разрядность мантиссы может составлять не более восьми десятичных знаков. Тип Comp содержит только целые значения, которые представляются в вычислениях как вещественные.

Над действительными числами выполнимы операции сложения (+), вычитания (-), умножения (*) и деления (/). Результатом этих операций является также действительное число. Даже если хотя бы один из операндов вещественный, то результат этих операций также будет вещественным.

Операция деления (/) дает вещественный результат и в случае двух целых операндов. Например, 6 / 2 = 3.0.

Для действительных чисел допустимы такие же операции отношения (сравнения), что и для целых чисел.

Стандартная функция abs(x) – модуль x – от целого аргумента дает целый результат, а от вещественного – вещественный, как и sqr(x) – квадрат x.

Функции, которые дают вещественный результат, как для вещественного, так и для целого аргумента:

sin(x) – синус x (x в радианах),
cos(x) – косинус x (x в радианах),
ln(x) – натуральный логарифм x,
exp(x) – экспонента x,
sqrt(x) – корень квадратный из x,
arctan(x) – арктангенс x

Функция int возвращает в виде действительного значения целую часть аргумента, frac возвращает дробную часть аргумента.

var
    x: real;
 
begin
    x := 4.7389;
    writeln(x:10:4);
 
    writeln(int(x):10:4);
    writeln(frac(x):10:4);    
end.

Результат выполнения:

Функции trunc и round возвращают результат целого типа. Первая отсекает дробную часть от аргумента, а вторая выполняет округление до ближайшего целого.

Функция random без аргументов возвращает равномерно распределенное случайное число от 0 до 1.

Не имеющая аргументов функция pi возвращает число Пифагора.

Нельзя использовать переменные и константы вещественного типа:

в функциях pred, succ, ord;
в качестве индексов массивов;
в операторах передачи управления в качестве меток.

Что такое действительные числа? | HowStuffWorks

Математика довольно сбивает с толку — по крайней мере, для людей, которые ее не понимают. А это большинство из нас.

Суть математики в том, что вам нужно выучить термины, чтобы понимать, что такое числа, какие типы чисел существуют и характеристики каждого типа. Числа — это просто математические символы, которые используются для подсчета и измерения. Но не все числа одинаковы.

Например, возьмем понятие «действительные числа».«Если числа могут быть действительными, существуют ли еще и фальшивые числа? Ну, да — по крайней мере, есть действительные числа и мнимые числа. Но что это значит?

Реальные числа — это все числа

Реальные числа — это, по сути, все числа вы могли бы подумать, если бы кто-то сказал вам придумать число. Реальные числа основаны на концепции числовой линии: положительные числа находятся справа от нуля, а отрицательные числа находятся слева от нуля. Любое число, которое На этой числовой прямой может быть нанесено действительное число.Цифры 27, -198,3, 0, 32/9 и 5 миллиардов являются действительными числами. Как ни странно, числа, такие как √2 (квадратный корень из 2, значение которого составляет 1,14142 …) и π (3,1415 …), также могут быть нанесены на числовую линию, даже если они не являются конечными десятичными числами. . Таким образом, даже если число после десятичной дроби никогда не заканчивается, они все равно могут быть нанесены на числовую линию.

Действительные числа также можно описать как все числа, которые являются рациональными или иррациональными. Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби, которая включает целые числа, все из которых могут быть записаны в виде дроби: 3/8, 5/1, 9/10 и т. Д.Десятичные дроби также могут быть рациональными — это просто числа, которые имеют либо завершающие, либо повторяющиеся десятичные дроби. Итак, 8.372 — это завершающее десятичное число, а 5.2222222 … — повторяющееся десятичное число. Это рациональные числа, которые также являются действительными числами. Иррациональные числа также являются действительными числами: это десятичные дроби, которые не являются конечными, как π и √2.

Напротив, мнимое число — это значение квадратного корня отрицательного числа. Вы можете помнить это специальное небольшое математическое правило, но нет числа, возведение которого в квадрат дает отрицательное число.Но это не мешает математикам делать это, пока они признают, что результат является воображаемым. Бесконечность — тоже мнимое число.

1.1: Действительные числа и числовая строка

РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ

Постройте числовую линию и точки на ней.
Используйте числовую строку, чтобы определить порядок действительных чисел.
Определяет противоположность действительного числа.
Определите абсолютное значение действительного числа.

Определения

Набор — это набор объектов, обычно сгруппированных в фигурных скобках \ (\ {\) \ (\} \), где каждый объект называется элементом .Например, \ (\ {\ text {красный, зеленый, синий} \} \) — это набор цветов. Подмножество — это набор, состоящий из элементов, принадлежащих данному набору. Например, \ (\ {\ text {зеленый, синий} \} \) — это подмножество цвета, указанного выше. Набор без элементов называется пустым набором и имеет свое собственное специальное обозначение \ (\ {\) \ (\} \) или \ (\ varnothing \).

Изучая математику, мы ориентируемся на специальные наборы чисел. Набор из натуральных (или счетных) чисел , обозначенных \ (\ mathbb {N} \), равен

\ (\ {1,2,3,4,5, \ dots \} \ quad \ color {Cerulean} {Natural \: Numbers} \)

Три точки \ ((\ точки) \) называются многоточием и указывают на то, что числа продолжаются неограниченно.Набор целых чисел , обозначаемый \ (\ mathbb {W} \), представляет собой набор натуральных чисел в сочетании с нулем.

\ (\ {0,1,2,3,4,5, \ dots \} \ quad \ color {Cerulean} {Whole \: Numbers} \)

Набор из целых чисел , обозначаемый \ (\ mathbb {Z} \), состоит как из положительных, так и отрицательных целых чисел, а также нуля.

\ (\ {\ dots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ dots \} \ quad \ color {Cerulean} {Целые числа} \)

Обратите внимание, что наборы натуральных и целых чисел являются подмножествами набора целых чисел.

Рациональные числа , обозначаемые \ (\ mathbb {Q} \), определяются как любое число в форме \ (\ dfrac {a} {b} \), где \ (a \) и \ (b \) являются целыми числами и \ (b \) отлично от нуля. Десятичные дроби, которые повторяются или заканчиваются, рациональны. Например,

\ (0,7 = \ frac {7} {10} \ quad \ text {and} \ quad 0. \ overline {3} = 0,3333 \ dots = \ frac {1} {3} \)

Набор целых чисел является подмножеством набора рациональных чисел, потому что каждое целое число может быть выражено как отношение целого числа к \ (1 \).Другими словами, любое целое число может быть записано над \ (1 \) и может считаться рациональным числом. Например,

\ (5 = \ frac {5} {1} \)

Иррациональные числа определяются как любое число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел. Неповторяющиеся десятичные дроби, которые не повторяются, иррациональны. Например,

\ (\ pi = 3,14159 \ точки \ quad \ text {и} \ quad \ sqrt {2} = 1,41421 \ точки \)

Набор из действительных чисел , обозначаемый \ (\ mathbb {R} \), определяется как набор всех рациональных чисел в сочетании с набором всех иррациональных чисел.Следовательно, все числа, определенные до сих пор, являются подмножествами множества действительных чисел. Таким образом,

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Действительные числа

Числовая строка

Строка вещественных чисел или просто числовая строка позволяет нам визуально отображать действительные числа, связывая их с уникальными точками на линии. Действительное число, связанное с точкой, называется координатой . Точка на линии вещественного числа, связанная с координатой, называется ее графиком .

Чтобы построить числовую линию, нарисуйте горизонтальную линию со стрелками на обоих концах, чтобы указать, что она продолжается без границ. Затем выберите любую точку, представляющую число ноль; эта точка называется исходной точкой .

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

Отметьте одинаковую длину по обе стороны от исходной точки и пометьте каждую галочку, чтобы определить масштаб. Положительные действительные числа лежат справа от начала координат, а отрицательные действительные числа — слева. Число ноль \ ((0) \) не является ни положительным, ни отрицательным.Обычно каждая отметка представляет собой одну единицу.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)

Как показано ниже, масштаб не всегда должен составлять одну единицу. В первой числовой строке каждая отметка представляет две единицы. Во втором случае каждая отметка представляет собой \ (\ frac {1} {7} \) единицы.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

График каждого действительного числа показан точкой в соответствующей точке числовой прямой. Частичный график набора целых чисел \ (\ mathbb {Z} \) следует:

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \)

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Изобразите следующий набор действительных чисел:

Решение

Изобразите числа на числовой прямой со шкалой, где каждая отметка представляет \ (\ frac {1} {2} \) единицы.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)

Реальные числа для заказа

При сравнении действительных чисел в числовой строке большее число всегда будет находиться справа от меньшего. Ясно, что \ (15 \) больше, чем \ (5 \), но может быть не так ясно видеть, что \ (- 1 \) больше, чем \ (- 5 \), пока не построим график каждого числа на числовая строка.

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)

Мы используем символы, чтобы помочь нам эффективно передавать отношения между числами в числовой строке. Символы, используемые для описания отношения равенства между числами, следующие:

\ [\ begin {align *} & = \ quad \ color {Cerulean} {is \ equal \ to} \\ & \ neq \ quad \ color {Cerulean} {is \ not \ equal \ to} \\ & \ приблизительно \ quad \ color {Cerulean} {\ приблизительно \ равно \ to} \ end {align *} \]

Эти символы используются и интерпретируются следующим образом:

\ [\ begin {align *} & 5 = 5 \ qquad && \ color {Cerulean} {5 \ is \ equal \ to \ 5} \\ & 0 \ neq 5 \ qquad && \ color {Cerulean} {0 \ is \ не \ равно \ к \ 5} \\ & \ пи \ приблизительно 3.14 \ quad && \ color {Cerulean} {pi \ is \ приблизительно \ equal \ to \ 3.14} \ end {align *} \]

Далее мы определяем символы, которые обозначают отношение порядка между действительными числами.

\ [\ begin {align *} & <\ quad \ color {Cerulean} {Less \ than} \\ &> \ quad \ color {Cerulean} {Greater \ than} \\ & \ leq \ quad \ color {Cerulean } {Меньше \ чем \ или \ равно \ to} \\ & \ geq \ quad \ color {Cerulean} {Больше \ чем \ или \ равно \ to} \ end {align *} \]

Эти символы позволяют сравнивать два числа.Например,

Поскольку график \ (- 120 \) находится слева от графика \ (- 10 \) на числовой прямой, это число меньше \ (- 10 \). Мы могли бы написать эквивалентное утверждение следующим образом:

Аналогично, поскольку график нуля находится справа от графика любого отрицательного числа на числовой прямой, ноль больше любого отрицательного числа.

Символы \ (<\) и \ (> \) используются для обозначения строгих неравенств , а символы и используются для обозначения включительных неравенств .В некоторых ситуациях можно правильно нанести более одного символа. Например, оба следующих утверждения верны:

Кроме того, компонент инклюзивного неравенства «или равно» позволяет нам правильно записать следующее:

Логическое использование слова «или» требует, чтобы выполнялось только одно из условий: «меньше чем» или «равно».

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Заполните пустое поле с помощью \ (<, = \) или \ (>: −2 \) ____ \ (- 12 \).

Решение

Используйте>, потому что график \ (- 2 \) находится справа от графика \ (- 12 \) на числовой прямой. Следовательно, \ (- 2> −12 \), что означает «отрицательные два больше, чем отрицательные двенадцать».

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

Ответ:

\ (- 2> -12 \)

В этом тексте мы часто будем указывать на эквивалентные обозначения, используемые для электронного выражения математических величин с использованием стандартных символов, доступных на клавиатуре.Начнем с эквивалентного текстового обозначения неравенств:

\ [\ begin {align *} & \ geq && «> =» \\ & \ leq && «<=" \\ & \ neq && "! =" \ End {align *} \]

Многие калькуляторы, системы компьютерной алгебры и языки программирования используют эту нотацию.

Противоположности

напротив любого действительного числа \ (a \) есть \ (- a \). Противоположные действительные числа находятся на одинаковом расстоянии от начала координат на числовой прямой, но их графики лежат по разные стороны от начала координат, а числа имеют противоположные знаки.

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

Например, мы говорим, что противоположностью \ (10 \) является \ (- 10 \).

Затем рассмотрим противоположность отрицательного числа. Учитывая целое число \ (- 7 \), целое число на том же расстоянии от начала координат и с противоположным знаком будет \ (+ 7 \), или просто \ (7 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \)

Следовательно, мы говорим, что противоположностью \ (- 7 \) является \ (- (- 7) = 7 \). Эта идея приводит к тому, что часто называют двойным отрицательным свойством . Для любого действительного числа \ (a \),

\ (- (- а) = а \)

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Что противоположно \ (- \ frac {3} {4} \)?

Решение

Здесь мы применяем свойство двойного отрицания.

\ (- (- \ frac {3} {4}) = \ frac {3} {4} \)

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Упростить \ (- (- (4)) \)

Решение

Начните с самых внутренних круглых скобок, найдя противоположность \ (+ 4 \).

\ [\ begin {align *} — (- (4)) & = — (\ color {Cerulean} {- (4)} \ color {Black} {)} \\ & = — (\ color {Cerulean} {-4} \ color {Черный} {)} \\ & = 4 \ end {align *} \]

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Упростить: \ (- (- (- 2)) \).

Решение

Примените двойное отрицательное свойство, начиная с самых внутренних круглых скобок.

\ [\ begin {align *} — (- (- 2)) & = — (\ color {Cerulean} {- (- 2)} \ color {Black} {)} \\ & = — (\ color { Церулеан} {2} \ color {Черный} {)} \\ & = — 2 \ end {align *} \]

Ответ

-2

подсказка

Если число подряд идущих отрицательных знаков четное, результат положительный. Если число подряд идущих отрицательных знаков нечетное, результат отрицательный.

Попробуй!

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Упростить: \ (- (- (- (5))) \).

Ответ

-5

Процедура:

\ [\ begin {align *} — (- (- (5))) & = — (\ color {Cerulean} {- (- (5))} \ color {Black} {)} \\ & = — (\ color {Cerulean} {- (- 5)} \ color {Black} {)} \\ & = — (\ color {Cerulean} {5} \ color {Black} {)} \\ & = -5 \ конец {выравнивание *} \]

Видео решение:

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Абсолютное значение

Абсолютное значение действительного числа \ (a \), обозначенного \ (| a | \), определяется как расстояние между нулем (началом координат) и графиком этого действительного числа на числовой прямой.Поскольку это расстояние, оно всегда положительно. Например,

\ (| -4 | = 4 \ quad \ text {and} \ quad | 4 | = 4 \)

И \ (4 \), и \ (- 4 \) находятся на четыре единицы от начала координат, как показано ниже:

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \)

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Упростить:

а. \ (| -12 | \)

б. \ (| 12 | \)

Решение

И \ (- 12 \), и \ (12 \) находятся в двенадцати единицах от начала координат числовой прямой. Следовательно,

\ (| -12 | = 12 \ quad \ text {and} \ quad | 12 | = 12 \)

Ответ

а.\ (12 \) b. \ (12 \)

Также стоит отметить, что

\ (| 0 | = 0 \)

Абсолютное значение может быть выражено в текстовом виде с помощью записи abs \ ((a) \). Мы часто сталкиваемся с отрицательными абсолютными значениями, такими как \ (- | 3 | \) или \ (- \) abs \ ((3) \). Обратите внимание, что перед символом абсолютного значения стоит знак минуса. В этом случае сначала обработайте абсолютное значение, а затем найдите результат, противоположный результату.

Постарайтесь не путать это с двойным отрицательным свойством, которое гласит, что \ (- (- 7) = + 7 \).

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Simplfy: \ (- | — (- 7) | \).

Решение

Сначала найдите в абсолютном значении противоположность \ (- 7 \). Затем найдите результат, противоположный результату.

\ [\ begin {align *} — | \ color {Cerulean} {- (- 7)} \ color {Black} {|} & = — | \ color {Cerulean} {7} \ color {Black} {| } \\ & = — 7 \ end {align *} \]

Ответ

-7

На этом этапе мы можем определить, какие действительные числа имеют конкретное абсолютное значение.Например,

\ (|? | = 5 \)

Представьте себе действительное число, расстояние от которого до начала координат составляет \ (5 \) единиц. Есть два решения: расстояние справа от начала координат и расстояние слева от начала координат, а именно \ (\ {\ pm 5 \} \). Символ \ ((\ pm) \) читается как «плюс или минус» и указывает на то, что есть два ответа, один положительный и один отрицательный.

\ (| -5 | = 5 \ \ quad \ text {and} \ quad | 5 | = 5 \)

Теперь рассмотрим следующее:

\ (|? | = -5 \)

Здесь мы хотим найти значение, для которого расстояние до начала координат отрицательно.Поскольку отрицательное расстояние не определено, это уравнение не имеет решения. Если уравнение не имеет решения, мы говорим, что решение — это пустое множество: \ (\ varnothing \).

Основные выводы

Любое действительное число может быть связано с точкой на линии.
Создайте числовую линию, сначала указав источник и отметив шкалу, соответствующую данной задаче.
Отрицательные числа лежат слева от начала координат, а положительные числа — справа.
Меньшие числа всегда лежат слева от больших чисел в числовой строке.
Противоположное положительное число отрицательное, а противоположное отрицательному числу положительное.
Абсолютное значение любого действительного числа всегда положительно, потому что оно определяется как расстояние от нуля (начала координат) на числовой прямой.
Абсолютное значение нуля равно нулю.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Используйте обозначение набора, чтобы перечислить описанные элементы.

Часы на часах.
Дни недели.
Первые десять целых чисел.
Первые десять натуральных чисел.
Первые пять четных положительных целых чисел.
Первые пять положительных нечетных целых чисел.

Ответ

1. \ (\ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \} \)

3. \ (\ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)

5.\ (\ {2, 4, 6, 8, 10 \} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Определите, являются ли следующие действительные числа целыми, рациональными или иррациональными.

\ (12 \)
\ (- 3 \)
\ (4.5 \)
\ (- 5 \)
\ (0,3 \ overline {6} \)
\ (0. \ Overline {3} \)
\ (1.001000100001 \ точки \)
\ (1.00 \ overline {1} \)
\ (е = 2,71828 \ точек \)
\ (\ sqrt {7} = 2.645751 \ точки \)
\ (- 7 \)
\ (3,14 \)
\ (227 \)
\ (1,33 \)
\ (0 \)
\ (8 675 309 \)

Ответ

1: целое число, рациональное

3: Рациональный

5: Рациональный

7: Иррациональное

9: Иррациональное

11: целое число, рациональное

13: Рациональный

15: целое число, рациональное

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Верно или неверно.

Все целые числа являются рациональными числами.
Все числа являются целыми числами.
Все рациональные числа являются целыми числами.
Некоторые иррациональные числа рациональны.
Все завершающие десятичные числа являются рациональными.
Все иррациональные числа действительны.

Ответ

1: Верно

3: ложь

5: Верно

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Выберите соответствующий масштаб и нанесите на числовую линию следующие наборы действительных чисел.

\ (\ {- 3, 0, 3 \} \)
\ (\ {- 2, 2, 4, 6, 8, 10 \} \)
\ (\ {- 2, −1/3, 2/3, 5/3 \} \)
\ (\ {- 5/2, −1/2, 0, 1/2, 2 \} \)
\ (\ {- 5/7, 0, 2/7, 1 \} \)
\ (\ {–5, –2, –1, 0 \} \)
\ (\ {−3, −2, 0, 2, 5 \} \)
\ (\ {- 2,5, −1,5, 0, 1, 2,5 \} \)
\ (\ {0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2 \} \)
\ (\ {- 10, 30, 50 \} \)
\ (\ {- 6, 0, 3, 9, 12 \} \)
\ (\ {- 15, −9, 0, 9, 15 \} \)

Ответ

1.\ (\ {- 3, 0, 3 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \)

3. \ (\ {- 2, −1/3, 2/3, 5/3 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \)

5. \ (\ {- 5/7, 0, 2/7, 1 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \)

7. \ (\ {−3, −2, 0, 2, 5 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \)

9. \ (\ {0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {16} \)

11. \ (\ {- 6, 0, 3, 9, 12 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {17} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Заполните пустое поле с помощью \ (<, = \) или \ (> \).

\ (- 7 \) ___ \ (0 \)
\ (30 \) ___ \ (2 \)
\ (10 \) ___ \ (- 10 \)
\ (- 150 \) ___ \ (- 75 \)
\ (- 0,5 \) ___ \ (- 1,5 \)
\ (0 \) ___ \ (0 \)
\ (- 500 \) ___ \ (200 \)
\ (- 1 \) ___ \ (- 200 \)
\ (- 10 \) ___ \ (- 10 \)
\ (- 40 \) ___ \ (- 41 \)

Ответ

1. \ (<\)

3. \ (> \)

5.\ (> \)

7. \ (<\)

9. \ (= \)

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Верно или неверно.

\ (5 ≠ 7 \)
\ (4 = 5 \)
\ (1 ≠ 1 \)
\ (- 5> −10 \)
\ (4 \ leq 4 \)
\ (- 12 \ geq 0 \)
\ (- 10 = -10 \)
\ (3> 3 \)
\ (- 1000 <−20 \)
\ (0 = 0 \)

Ответ

1.Правда

3. Неверно

5. Верно

7. Верно

9. Верно

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Перечислите номера.

Укажите три целых числа меньше \ (- 5 \).
Перечислите три целых числа больше \ (- 10 \).
Перечислите три рациональных числа меньше нуля.
Перечислите три рациональных числа больше нуля.
Перечислите три целых числа от \ (- 20 \) до \ (- 5 \).
Перечислите три рациональных числа от \ (0 \) до \ (1 \).

Ответ

1. \ (- 10, −7, −6 \) (ответы могут отличаться)

3. \ (- 1, −2/3, −1/3 \) (ответы могут отличаться)

5. \ (- 15, −10, −7 \) (ответы могут отличаться)

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Переведите каждое утверждение в предложение на английском языке.

\ (10 <20 \)
\ (- 50 \ leq -10 \)
\ (- 4 \ neq 0 \)
\ (30 \ geq -1 \)
\ (0 = 0 \)
\ (е \ около 2.718 \)

Ответ

1. Десять меньше двадцати.

3. Отрицательная четверка не равна нулю.

5. Ноль равен нулю.

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

Переведите следующее в математическое выражение.

Отрицательная семерка меньше нуля.
Двадцать четыре не равно десяти.
Ноль больше или равен отрицательному.
Четыре больше или равно минус двадцать один.
Отрицательное два равно отрицательному двум.
Отрицательные две тысячи меньше отрицательных одной тысячи.

Ответ

1. \ (- 7 <0 \)

3. \ (0 \ geq −1 \)

5. \ (- 2 = −2 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Упростить.

\ (- (- 9) \)
\ (- (- 35) \)
\ (- (10) \)
\ (- (3) \)
\ (- (5) \)
\ (- (34) \)
\ (- (- 1) \)
\ (- (- (- 1)) \)
\ (- (- (1)) \)
\ (- (- (- 3)) \)
\ (- (- (- (- 11))) \)

Ответ

1.\ (9 \)

3. \ (- 10 \)

5. \ (- 5 \)

7. \ (1 \)

9. \ (1 \)

11. \ (11 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Ответьте на следующие вопросы.

Что противоположно \ (- 12 \)
Что противоположно \ (\ pi \)?
Что наоборот \ (- 0,01 \)?
Противоположность \ (- 12 \) меньше или больше, чем \ (- 11 \)?
Противоположность \ (7 \) меньше или больше, чем \ (- 6 \)?

Ответ

2.\ (- \ пи \)

4. Больше

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

Заполните пустое поле с помощью \ (<, = \) или \ (> \).

\ (- 7 \) ___ \ (- (- 8) \)
\ (6 \) ___ \ (- (6) \)
\ (13 \) ___ \ (- (- 12) \)
\ (- (- 5) \) ___ \ (- (- 2) \)
\ (- 100 \) ___ \ (- (- (- 50)) \)
\ (44 \) ___ \ (- (- 44) \)

Ответ

1.\ (<\)

3. \ (> \)

5. \ (<\)

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

Упростить.

\ (| 20 | \)
\ (| -20 | \)
\ (| -33 | \)
\ (| -0,75 | \)
\ (| — \ frac {3} {5} | \)
\ (| 38 | \)
\ (| 0 | \)
\ (| 1 | \)
\ (- | 12 | \)
\ (- | −20 | \)
\ (- | 20 | \)
\ (- | −8 | \)
\ (- | 7 | \)
\ (- | −316 | \)
\ (- (- | \ frac {8} {9} |) \)
\ (| — (- 2) | \)
\ (- | — (- 3) | \)
\ (- (- | 5 |) \)
\ (- (- | −45 |) \)
\ (- | — (- 21) | \)
абс \ ((6) \)
абс \ ((- 7) \)
\ (- \) абс \ ((5) \)
\ (- \) абс \ ((- 19) \)
\ (- (- \) абс \ ((9)) \)
\ (- \) абс \ ((- (- 12)) \)

Ответ

1.\ (20 \)

3. \ (33 \)

5. \ (\ frac {3} {5} \)

7. \ (0 \)

9. \ (- 12 \)

11. \ (- 20 \)

13. \ (- 7 \)

15. \ (\ frac {8} {9} \)

17. \ (- 3 \)

19. \ (45 \)

21. \ (6 \)

23. \ (- 5 \)

25. \ (9 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

Определить неизвестное.

\ (|? | = 9 \)
\ (|? | = 15 \)
\ (|? | = 0 \)
\ (|? | = 1 \)
\ (|? | = −8 \)
\ (|? | = -20 \)
\ (|? | −10 = −2 \)
\ (|? | + 5 = 14 \)

Ответ

1.\ (\ pm 9 \)

3. \ (0 \)

5. \ (\ varnothing \), решения нет

7. \ (\ pm 8 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)

Заполните пустое поле с помощью \ (<, = \) или \ (> \).

\ (| −2 | \) ____ \ (0 \)
\ (| −7 | \) ____ \ (| −10 | \)
\ (- 10 \) ____ \ (- | −2 | \)
\ (| −6 | \) ____ \ (| — (- 6) | \)
\ (- | 3 | \) ____ \ (| — (- 5) | \)
\ (0 \) ____ \ (- | — (- 4) | \)

Ответ

1.\ (> \)

3. \ (<\)

5. \ (<\)

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)

Темы дискуссионной доски.

Изучите и обсудите историю числа ноль.
Изучите и обсудите различные системы нумерации на протяжении всей истории.
Изучите и обсудите определение и историю \ (\ pi \).
Изучите историю иррациональных чисел. Кому приписывают доказательство иррациональности квадратного корня из \ (2 \) и что с ним случилось?
Изучите и обсудите историю абсолютных ценностей.
Обсудите определение абсолютного значения «просто положительно».

Понимание действительных и комплексных чисел в алгебре

Ключевые термины

o Реальное число

o Комплексное число

o Натуральное число

o Рациональное число

o Иррациональное число

o Коммутативность

o Ассоциативность

o Распределение

o Идентификационный номер

o Обратный

Цели

o Узнайте, что такое набор действительных чисел

o Распознавать некоторые из основных подмножеств действительных чисел

o Знать свойства действительных чисел и их применимость

Действительные и комплексные числа

Числа, с которыми мы имеем дело в реальном мире (игнорируя любые связанные с ними единицы, такие как доллары, дюймы, градусы и т. Д.) обычно являются действительными числами. Действительное число — это любое число, которое может быть помещено в числовую линию, которая простирается до бесконечности как в положительном, так и в отрицательном направлениях. Эта числовая линия проиллюстрирована ниже с номером 4.5, отмеченным закрытой точкой в качестве примера. Набор действительных чисел часто обозначается символом _.

На приведенном выше рисунке, конечно, показана только часть числовой строки (было бы невозможно показать все это целиком), и только определенные числа помечены (–1, 0, 1 и т. Д.)). Таким образом, действительное число может быть 8, 4,357, –3/5, π, или любым другим таким числом. Конкретное представление, будь то дробное, десятичное или другое представление, не имеет значения. Возможно, лучший способ описать действительное число — это определить числа, которые не являются действительными числами . Бесконечность (∞) — это , а не действительное число, хотя оно больше любого заданного действительного числа; кроме того, не является действительным числом, поскольку нет числа, квадрат которого равен –1.

Вкратце, давайте определим мнимое число (так называемое, потому что не существует эквивалентного «действительного числа»), используя букву i ; Затем мы можем создать новый набор чисел, называемый комплексными числами. Комплексное число — это любое число, которое включает i . Таким образом, 3 i , 2 + 5.4 i и –π i являются комплексными числами. (Фактически, действительные числа являются подмножеством комплексных чисел — любое действительное число r может быть записано как r + 0 i , что является комплексным представлением.) Комплексные числа — важная часть алгебры, и они действительно имеют отношение к таким вещам, как решения полиномиальных уравнений. Символ _{часто используется для набора комплексных чисел.}

Подмножества действительных чисел

Действительные числа включают в себя диапазон явно различных чисел: например, числа без десятичных знаков, числа с конечным числом десятичных знаков и числа с бесконечным числом десятичных знаков.Давайте рассмотрим некоторые из подмножеств реальных чисел, начиная с самых простых.

Дети сначала учатся «счетным» числам: 1, 2, 3 и т. Д. Их формально называют натуральными числами , , а набор натуральных чисел часто обозначается символом _{. Если мы добавим к этому набору число 0, мы получим целых чисел . Помимо положительных чисел есть еще и отрицательные числа: если мы включим отрицательные значения каждого целого числа в набор, мы получим так называемые целые числа .Набор целых чисел часто обозначается символом _.}

Помимо целых, набор действительных чисел также включает дробные (или десятичные) числа. Между любыми двумя целыми числами существует бесконечное количество дробных значений. Рассмотрим, например, 1 и 2; между этими числами находятся значения 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111 и т. д. Очевидно, мы можем добавить столько десятичных знаков, сколько захотим. Набор действительных чисел делится на два принципиально разных типа чисел: рациональные числа и иррациональные числа.Рациональное число — это число, которое может быть эквивалентно выражено в виде дроби , где a и b являются целыми числами, а b не равно 0. Таким образом, рациональные числа включают как целые, так и конечные десятичные дроби. и повторяющиеся десятичные дроби (например, 0,126126126.). Символ _{часто используется для набора рациональных чисел. С другой стороны, иррациональное число представляет собой неповторяющееся десятичное число без завершения. Набор действительных чисел полностью состоит из рациональных и иррациональных чисел.}

Давайте рассмотрим эти подмножества реальных чисел:

Натуральные числа, =

Целые числа

Целые числа,

Рациональные числа,

Иррациональные числа

Комплексные числа,

Практическая задача: Определите, какой из следующих номеров принадлежит _{: {0, i , 3.54, , ∞}.}

Решение: Если число можно записать как , где a и b — целые числа, то это число является рациональным (т.е. оно входит в набор _{). Обратите внимание на следующее:}

Таким образом, каждое из этих чисел является рациональным. Число i мнимое, поэтому оно не относится к действительным числам.Точно так же ∞ не является действительным числом; i и ∞, следовательно, не входят в набор _.

Свойства вещественных чисел

Теперь, когда вы знаете немного больше о действительных числах и некоторых их подмножествах, мы можем перейти к обсуждению некоторых свойств действительных чисел (и операций с действительными числами). Хотя некоторые свойства очевидны, они, тем не менее, полезны при обосновании различных шагов, необходимых для решения проблем или доказательства теорем.Помните: переменные — это просто неизвестные значения, поэтому они действуют так же, как числа, когда вы складываете, вычитаете, умножаете, делите и т. Д.

Одно из свойств состоит в том, что умножение и сложение действительных чисел коммутативно. Коммутативность утверждает, что порядок умножения или сложения двух чисел не влияет на результат. Мы можем записать это символически ниже, где x и y — два действительных числа (обратите внимание, что . может использоваться вместо для обозначения умножения):

Представьте, что у вас есть группа из x бананов и группа из x бананов; неважно, как вы их сложите, у вас всегда будет одинаковое общее количество бананов, которое составляет либо x + y , либо y + x .Точно так же, если у вас есть прямоугольник длиной x и шириной y , не имеет значения, умножаете ли вы x на y или y на x ; площадь прямоугольника всегда такая же, как показано ниже.

Еще одно свойство, аналогичное коммутативности, — ассоциативность. Ассоциативность утверждает, что порядок, в котором добавляются три числа, или порядок, в котором они умножаются, не влияет на результат.Если рассматривать действительные числа x , y и z , то

Напомним, что операции в круглых скобках выполняются перед операциями вне скобок.

Распределимость — это еще одно свойство действительных чисел, которое в данном случае относится к комбинации умножения и сложения. Это свойство выражено ниже.

Мы можем понять это свойство, еще раз посмотрев на группы бананов. Скажем, например, что у нас есть 3 группы по 6 бананов и 3 группы по 5 бананов. Если мы объединим эти группы один к одному (одна группа из 6 с одной группой из 5), мы получим 3 группы по 11 бананов.

Последние два свойства, которые мы обсудим, — это идентичность и инверсия. Свойство identity просто утверждает, что сложение любого числа x с 0 составляет просто x , а умножение любого числа x на 1 равно x .

Свойство инвертирует для действительного числа x утверждает следующее:

Обратите внимание, что обратное свойство тесно связано с идентичностью.

Эти свойства сами по себе могут показаться немного эзотерическими. Хотя когда они полностью вырваны из контекста, они могут показаться менее чем полезными, оказывается, что вы будете использовать их регулярно, даже если вы явно не признаете это в каждом конкретном случае.

Практическая задача: Определите свойство действительных чисел, которое оправдывает каждое равенство:

a + i = i + a ; ; 5 r + 3 с — (5 r + 3 с ) = 0,

Решение: В первом случае a + i = i + a , равенство явно оправдывается коммутативностью.Для второго равенства мы также можем записать его так:

Таким образом, этот пример иллюстрирует использование ассоциативности. Последний пример оправдан свойством инверсии.

Классификация действительного числа | Колледж алгебры

Числа, которые мы используем для подсчета или перечисления элементов, — это натуральные числа : 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Мы описываем их в обозначениях множества как {1, 2, 3,…}, где многоточие (…) указывает, что числа продолжаются до бесконечности.Натуральные числа, конечно, также называются счетными числами . Каждый раз, когда мы перечисляем членов команды, считаем монеты в коллекции или подсчитываем деревья в роще, мы используем набор натуральных чисел. Набор целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: {0, 1, 2, 3,…}.

Набор из целых чисел добавляет противоположности натуральных чисел к набору целых чисел: {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}. Полезно отметить, что набор целых чисел состоит из трех различных подмножеств: отрицательных целых чисел, нуля и положительных целых чисел.В этом смысле положительные целые числа — это просто натуральные числа. Другой способ думать об этом — это то, что натуральные числа являются подмножеством целых чисел.

[латекс] \ begin {array} {lll} {\ text {отрицательные целые числа}} \ hfill & {\ text {zero}} \ hfill & {\ text {положительные целые числа}} \\ {\ dots, -3, -2, -1,} \ hfill & {0,} \ hfill & {1,2,3, \ dots} \ end {array} [/ latex]

Набор из рациональных чисел записывается как [латекс] \ left \ {\ frac {m} {n} | m \ text {и} {n} \ text {являются целыми числами и} {n} \ ne {0 } \ right \} [/ латекс].Обратите внимание на определение, что рациональные числа — это дроби (или частные), содержащие целые числа как в числителе, так и в знаменателе, а знаменатель никогда не равен 0. Мы также можем видеть, что каждое натуральное число, целое число и целое число является рациональным числом с знаменатель 1.

Поскольку это дроби, любое рациональное число также может быть выражено в десятичной форме. Любое рациональное число может быть представлено как:

завершающий десятичный разделитель: [латекс] \ frac {15} {8} = 1.875 [/ латекс] или
повторяющееся десятичное число: [latex] \ frac {4} {11} = 0,36363636 \ dots = 0. \ Overline {36} [/ latex]

Мы используем линию, проведенную над повторяющимся блоком чисел, вместо того, чтобы писать группу несколько раз.

Пример 1: Запись целых чисел в виде рациональных чисел

Запишите каждое из следующих чисел в виде рациональных чисел.

7
0
–8

Решение

Запишите дробь с целым числом в числителе и единицей в знаменателе.

[латекс] 7 = \ frac {7} {1} [/ латекс]
[латекс] 0 = \ frac {0} {1} [/ латекс]
[латекс] -8 = — \ frac {8} {1} [/ латекс]

Попробуй 1

Запишите каждое из следующих чисел в виде рациональных чисел.

а. 11
г. 3
г. –4

Решение

Пример 2: Определение рациональных чисел

Запишите каждое из следующих рациональных чисел как завершающее или повторяющееся десятичное число.

[латекс] — \ frac {5} {7} [/ латекс]
[латекс] \ frac {15} {5} [/ латекс]
[латекс] \ frac {13} {25} [/ латекс]

Решение

Запишите каждую дробь как десятичную дробь, разделив числитель на знаменатель.

[латекс] — \ frac {5} {7} = — 0. \ overline {714285} [/ latex], повторяющееся десятичное число
[latex] \ frac {15} {5} = 3 [/ latex] (или 3,0), завершающее десятичное число
[латекс] \ frac {13} {25} = 0,52 [/ latex],
завершающий десятичный знак

Попробуй 2

Запишите каждое из следующих рациональных чисел как завершающее или повторяющееся десятичное число.

а. [латекс] \ frac {68} {17} [/ латекс]
б. [латекс] \ frac {8} {13} [/ латекс]
c. [латекс] — \ frac {17} {20} [/ латекс]

Решение

Иррациональные числа

В какой-то момент в древнем прошлом кто-то обнаружил, что не все числа являются рациональными числами.Строитель, например, мог обнаружить, что диагональ квадрата с единичными сторонами не равна 2 и даже не [латекс] \ frac {3} {2} [/ latex], а что-то другое. Или производитель одежды мог заметить, что отношение длины окружности к диаметру рулона ткани было немного больше 3, но все же не рациональное число. Такие числа называются иррациональными , потому что они не могут быть записаны в виде дробей. Эти числа составляют набор из иррациональных чисел . Иррациональные числа нельзя выразить дробью двух целых чисел.Невозможно описать этот набор чисел одним правилом, кроме как сказать, что число иррационально, если оно нерационально. Итак, мы пишем это, как показано.

{ч | h не рациональное число}

Пример 3: Дифференциация рациональных и иррациональных чисел

Определите, является ли каждое из следующих чисел рациональным или иррациональным. Если это рационально, определите, является ли это завершающей или повторяющейся десятичной дробью.

[латекс] \ sqrt {25} [/ латекс]
[латекс] \ frac {33} {9} [/ латекс]
[латекс] \ sqrt {11} [/ латекс]
[латекс] \ frac {17} {34} [/ латекс]
[латекс] 0.3033033303333 \ точки [/ латекс]

Решение

[латекс] \ sqrt {25}: [/ latex] Это можно упростить как [латекс] \ sqrt {25} = 5 [/ latex]. Следовательно, [latex] \ sqrt {25} [/ latex] рационально.
[latex] \ frac {33} {9}: [/ latex] Поскольку это дробь, [latex] \ frac {33} {9} [/ latex] является рациональным числом. Затем упростите и разделите.
[латекс] \ frac {33} {9} = \ frac {{{11} \ cdot {3}}} {{{3} \ cot {3}}} = \ frac {11} {3} = 3 . \ overline {6} [/ latex]
Итак, [latex] \ frac {33} {9} [/ latex] является рациональным и повторяющимся десятичным числом.
[latex] \ sqrt {11}: [/ latex] Это нельзя упростить дальше. Следовательно, [latex] \ sqrt {11} [/ latex] — иррациональное число.
[latex] \ frac {17} {34}: [/ latex] Поскольку это дробь, [latex] \ frac {17} {34} [/ latex] является рациональным числом. Упростите и разделите.
[латекс] \ frac {17} {34} = \ frac {{1} {\ overline {) 17}}} {\ underset {2} {\ overline {) 34}}} = \ frac {1} { 2} = 0,5 [/ латекс]
Итак, [latex] \ frac {17} {34} [/ latex] является рациональным и завершающим десятичным числом.
0.3033033303333… не является конечным десятичным числом. Также обратите внимание, что здесь нет повторяющегося шаблона, потому что группа из трех увеличивается каждый раз. Следовательно, это не завершающее и не повторяющееся десятичное число и, следовательно, не рациональное число. Это иррациональное число.

Попробовать 3

а. [латекс] \ frac {7} {77} [/ латекс]
б.[латекс] \ sqrt {81} [/ латекс]
c. [латекс] 4.27027002700027 \ точки [/ латекс]
д. [латекс] \ frac {91} {13} [/ латекс]
e. [латекс] \ sqrt {39} [/ латекс]

Решение

Реальные числа

Для любого числа n мы знаем, что n либо рационально, либо иррационально. Не может быть и того, и другого. Наборы рациональных и иррациональных чисел вместе составляют набор из действительных чисел . Как мы видели с целыми числами, действительные числа можно разделить на три подмножества: отрицательные действительные числа, ноль и положительные действительные числа.Каждое подмножество включает дроби, десятичные дроби и иррациональные числа в соответствии с их алгебраическим знаком (+ или -). Ноль не считается ни положительным, ни отрицательным.

Действительные числа можно визуализировать на горизонтальной числовой строке с произвольной точкой, выбранной как 0, с отрицательными числами слева от 0 и положительными числами справа от 0. Затем используется фиксированное единичное расстояние, чтобы отметить каждое целое число ( или другое базовое значение) по обе стороны от 0. Любое действительное число соответствует уникальной позиции в числовой строке.Верно и обратное: каждое место в числовой строке соответствует ровно одному действительному числу. Это называется взаимно-однозначным соответствием. Мы называем это строкой действительного числа , как показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Строка вещественных чисел

Пример 4: Классификация действительных чисел

Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное. Число находится слева или справа от 0 на числовой прямой?

[латекс] — \ frac {10} {3} [/ латекс]
[латекс] \ sqrt {5} [/ латекс]
[латекс] — \ sqrt {289} [/ латекс]
[латекс] -6 \ pi [/ латекс]
[латекс] 0.{2}} = — 17 [/ latex] — это отрицательно и рационально. Он находится слева от 0.
[латекс] -6 \ пи [/ латекс] отрицательно и нерационально. Он находится слева от 0.
[латекс] 0,615384615384 \ точки [/ латекс] — повторяющееся десятичное число, поэтому оно рационально и положительно. Он находится справа от 0.

Попробовать 4

а.[латекс] \ sqrt {73} [/ латекс]
б. [латекс] -11.411411411 \ точки [/ латекс]
c. [латекс] \ frac {47} {19} [/ латекс]
г. [латекс] — \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ латекс]
e. [латекс] 6.210735 [/ латекс]

Решение

Наборы чисел как подмножества

Начиная с натуральных чисел, мы расширили каждый набор, чтобы сформировать более крупный набор, что означает, что между наборами чисел, с которыми мы столкнулись до сих пор, существует связь подмножества. Эти отношения становятся более очевидными, если рассматривать их в виде диаграммы.

Рисунок 2. Наборы чисел. N : набор натуральных чисел W : набор целых чисел I : набор целых чисел Q : набор рациональных чисел Q´ : набор иррациональных чисел

Общее примечание: наборы чисел

Набор из натуральных чисел включает числа, используемые для подсчета: [латекс] \ {1,2,3, \ точки \} [/ латекс].

Набор из целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: [latex] \ {0,1,2,3, \ dots \} [/ latex].

Набор из целых чисел добавляет отрицательные натуральные числа к набору целых чисел: [latex] \ {\ dots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ dots \} [/ латекс].

Набор из рациональных чисел включает дроби, записанные как [латекс] \ {\ frac {m} {n} | m \ text {и} n \ text {являются целыми числами и} n \ ne 0 \} [/ latex] .

Набор иррациональных чисел — это набор чисел, которые не являются рациональными, неповторяющимися и неповторяющимися: [latex] \ {h | h \ text {не рациональное число} \} [/ latex].

Пример 5: Дифференцирование наборов чисел

Классифицируйте каждое число как натуральное число ( N ), целое число ( W ), целое число ( I ), рациональное число ( Q ) и / или иррациональное число ( Q ’).

[латекс] \ sqrt {36} [/ латекс]
[латекс] \ frac {8} {3} [/ латекс]
[латекс] \ sqrt {73} [/ латекс]
[латекс] -6 [/ латекс]
[латекс] 3,2121121112 \ точки [/ латекс]

Решение

	N	Вт	Я	К	Q ’
1.[латекс] \ sqrt {36} = 6 [/ латекс]	Х	Х	Х	Х
2. [латекс] \ frac {8} {3} = 2. \ Overline {6} [/ latex]				Х
3. [латекс] \ sqrt {73} [/ латекс]					Х
4. –6			Х	Х
5. [латекс] 3,2121121112 \ точки [/ латекс]					Х

Попробуй 5

а. [латекс] — \ frac {35} {7} [/ латекс]
б. [латекс] 0 [/ латекс]
c. [латекс] \ sqrt {169} [/ латекс]
d. [латекс] \ sqrt {24} [/ латекс]
e. [латекс] 4,763763763 \ точки [/ латекс]

Решение

5 фактов о действительных числах в математике

Что такое действительные числа? По сути, это любое число, которое вы можете использовать для измерения расстояния, включая все положительные, отрицательные и нулевые значения — как целые, так и дробные. Практически любое число, которое вы можете придумать, 8, -5, 3/4, -9.21523, √2, π («пи») — действительные числа.

Так как же, черт возьми, выглядит нереальное число? Что ж, хотите верьте, хотите нет, но на самом деле числа мнимые, и обо всем этом мы поговорим ниже.

А теперь давайте рассмотрим пять основных фактов, которые вы должны знать о действительных числах в математике!

Хотя π определенно реально, «мнимая единица» i не является действительным числом.

1. Действительные числа включают целые, рациональные и иррациональные числа

Хорошо, сначала давайте поговорим о том, как математики классифицируют числа.

натуральных чисел — мы рассчитываем на вас!

Обычные счетные числа 1, 2, 3, 4, 5,… называются натуральными числами .

Натуральные числа, ну, натуральные ! Это первые математические концепции, которые изучают малыши. Они помогали нашим далеким предкам отслеживать количество овец и коз, которыми они владели, и способствовали торговле. Номер вашей улицы (вероятно) натуральный, как и номер вашего телефона. Они повсюду вокруг нас !!!

«Хм… сколько у меня овец? Я сбился со счета!

_{Image By John Carnemolla}

Какими бы простыми ни были натуральные числа, у них есть удивительное свойство: они никогда не заканчиваются! Не существует «наибольшего» натурального числа.На языке математики мы говорим, что набор натуральных чисел (и, следовательно, набор действительных чисел) равен бесконечным .

В бездну — Негативы и ноль

Когда вы начнете считать более абстрактные вещи, например деньги, вы можете обнаружить, что натуральных чисел недостаточно.

Например, предположим, что у вас есть банковский счет со 100 долларами. Вы можете рассматривать этот депозит как запись о том, что банк должен вам 100 долларов.

Каждый день вы используете свою банковскую карту, чтобы купить обед на 10 долларов.Давайте будем ежедневно отслеживать деньги на вашем счете.

100, 90, 80, 70, 60,…

Вы правильно поняли дрейф? Пока что мы можем представить сумму денег, используя натуральные числа.

Однако что происходит через десять дней после покупки обеда? Ваш желудок может быть полным, но ваш банковский счет пуст! Все 100 долларов пропали, на вашем банковском счете ничего не осталось. Мы представляем это «ничто» числом 0.

Тогда что будет, если на следующий день вы решите провести карту в буфете? Если в банке нет денег, вы должны ему 10 долларов.И вместо того, чтобы видеть красивое натуральное число долларов на своем балансе, вы увидите либо — 10 долларов, либо (10 долларов), в зависимости от того, как банк решит записать это число. Поздравляем: ваш баланс теперь минус .

Похоже, теперь я буду собирать обеды.

_{Изображение schuldnerhilfe}

Итак, суть в том, что нам нужны специальные числа, такие как 0 и отрицательные числа, чтобы помочь измерить определенные виды величин, такие как прибыль и убыток.

Натуральные числа, их отрицательные значения и ноль составляют набор целых чисел.

Чтение между строк — рациональные и иррациональные числа

Целые числа довольно хорошо отслеживают отдельные вещи, такие как овцы или доллары. Но они не так хороши с длинами и расстояниями.

Если вы когда-либо строили что-нибудь из дерева, вы знаете, что пропил должен быть очень точным. Что, если вы хотите, чтобы ножки стола были на немного больше, чем на больше 2 футов? Что такое «немного»? Без возможности точно измерить доли фута, ни одна из четырех ножек стола не будет соответствовать друг другу по длине!

Плотники давно решили эту проблему, разбив свои измерения на более мелкие и мелкие фракции.Дюймы — это дробная часть стопы. Затем дюймы делятся еще дальше на восьмые, шестнадцатые и т. Д.

Точно так же существуют дробные числа между любыми двумя целыми числами. На самом деле числовая линия завалена ими! Между любыми двумя дробями существует другая дробь.

Набор всех целых и дробных чисел между ними составляет набор из рациональных чисел .

Но мы еще не закончили! Даже рациональные числа не охватывают всего.

Например, рассмотрим прямоугольный треугольник, длина основания и высота которого равны одной единице. Теорема Пифагора говорит нам, что длина гипотенузы (длинной стороны) должна составлять √2 единицы.

Правые треугольники могут быть довольно иррациональными!

Можно показать (доказать), что √2 не равно любой дроби целых чисел. Другими словами, это число не входит в набор рациональных чисел.

Любое нерациональное число на числовой прямой называется иррациональным.

Теперь все вместе!

Итак, теперь мы можем ответить на вопрос, что такое реальные числа?

Действительное число — это любое число, которое измеряет длину, включая их отрицательные значения и ноль (0).
Набор действительных чисел делится на два типа: рациональные и иррациональные.

Набор действительных чисел

2. Числовая строка содержит все действительные числа (и ничего больше)

Если мы определим действительные числа как числа, измеряющие длину, то, естественно, мы получим геометрическую интерпретацию множества действительных чисел.

Каждое действительное число может быть представлено точкой на непрерывной числовой прямой. И наоборот, каждая точка на числовой прямой соответствует определенному действительному числу.

Строка действительного числа с обозначенными целыми числами. Другие действительные числа представлены на числовой прямой как точки между целыми числами. Например, √2 ≈ 1,414 находится почти на полпути между 1 и 2 на числовой прямой.

Фактически, вы можете думать о числовой строке целиком (или действительной числовой строке ) как о графическом представлении абсолютно каждого существующего действительного числа!

3.Каждое действительное число имеет десятичное представление

Каждое действительное число может быть представлено числовой цепочкой цифр, которая может длиться бесконечно. Это называется десятичным представлением числа.

Целые числа, такие как 3, -2, 0, 42 и -5 658 142 235, уже находятся в их десятичном представлении. Однако иногда целое число маскируется в другие формы. Например, 10 ⁶ является целым числом, но его нужно расширить, чтобы получить десятичную форму: 10 ⁶ = 1000000.

Рациональные числа также имеют десятичное представление. Но вы должны использовать десятичную точку, если число не целое.

Например, число 1/20 — действительное число, которое оказывается рациональным. В десятичном формате 1/20 = 0,05. Мы называем это десятичным числом , завершающим .

Действительное число -4/3 (также рациональное) имеет повторяющееся десятичное представление : -1,33333… = -1,3.

Реальные числа часто имеют десятичные представления, которые не заканчиваются и не повторяются.Например, 3,1415926… — это десятичное представление , не завершающееся, для действительного числа π.

4. Действительные числа могут выполнять арифметические операции

С действительными числами можно делать много интересных вещей.

Для любых двух вещественных чисел x и y их сумма x + y также является действительным числом. Их разница в x — y и их произведение x · y также являются действительными числами.

Частное , x / y двух реалов является действительным числом до тех пор, пока y ≠ 0. С другой стороны, x /0 равно , а не реальному — фактически, деление на 0 — это undefined по математике.

Вы также можете использовать степени действительных чисел. Однако с корнями нужно быть очень осторожными.

Любой корень положительного действительного числа или нуля дает действительное число.
Нечетный корень отрицательного действительного числа дает отрицательное действительное число.
Корень даже (который включает квадратный корень) отрицательного действительного числа не превращается в действительное число. Вместо этого четные корни отрицательных чисел — это мнимых числа .

Итак,

реально и равно -2.
Но √-9 — это , а не действительное число. Вместо этого √-9 = 3 i , что является мнимым числом .
Это подводит нас к заключительному важному факту.
5. Есть числа, которые не соответствуют действительности
Вы должны быть готовы мыслить нестандартно, или, по крайней мере, вне числовой строки , если вы хотите найти числа, которые не соответствуют действительности.
Выше я упоминал, что даже корни отрицательных действительных чисел называются мнимыми числами. В частности, самым известным мнимым числом является i , которое определяется как квадратный корень из -1. В числовой строке, соответствующей i , нет точки. Просто он вроде как живет в своей собственной вселенной (технически мнимые числа находятся на их собственной числовой прямой, которая находится под прямым углом к действительной числовой прямой!)
Любое другое мнимое число просто кратно i .Итак, 3 i , -6,52 i и π i — все мнимые. Однако будьте осторожны: 0 i реально, потому что 0 i = 0.
Комплексное число — это любая сумма действительного и мнимого числа. То есть все в форме a + bi , где a и b сами по себе реальны.
Комплексные числа не являются действительными, если b = 0.
Вы обычно видите комплексные числа при решении некоторых квадратных уравнений.Но они возникают и в других местах математики. Фактически, они играют значительную роль в физике, в областях электромагнетизма, физики элементарных частиц и этот список можно продолжить.
Сводка
Итак, вот ваши пять основных фактов о реальных числах еще раз.
Действительные числа включают целые, рациональные и иррациональные числа.
В числовой строке записаны все действительные числа и ничего больше.
Каждое действительное число имеет десятичное представление.
Вещественные числа могут выполнять арифметические операции.
Есть числа, которые не являются действительными (воображаемыми, сложными).
Шон получил докторскую степень по математике в Университете штата Огайо в 2008 году (Go Bucks !!). В 2002 году он получил степень бакалавра математики и информатику в Оберлинском колледже.Кроме того, Шон получил B. Mus. из Консерватории Оберлина в том же году по специальности «музыкальная композиция». Шон по-прежнему любит музыку — почти так же сильно, как математику! — и он (думает, что он) может играть на пианино, гитаре и басу. Шон обучал и обучал студентов математике около десяти лет и надеется, что его опыт поможет вам добиться успеха!
Просмотреть все сообщения
Классификация чисел [Видео и практические вопросы]
Почему мы классифицируем числа? Почему мы даем им имена, например, целые, иррациональные или отрицательные числа? По той же причине, по которой мы все классифицируем, мы хотим убедиться, что каждый понимает, какие конкретные числа называются и что они означают.6 \).
В этом видео о Mometrix мы предоставляем обзор чисел и их классификацию.
Цифры — наш способ поддерживать порядок. Считаем, сколько денег у нас есть. Измеряем расстояние. Мы используем процента для обозначения продажи. Числа являются неотъемлемой частью нашей повседневной жизни, будь то целые числа, рациональные числа, или первый тип чисел, на которые мы собираемся взглянуть, действительные числа.
Действительные числа
Действительное число — это любое значение непрерывной величины, которое может представлять расстояние на числовой прямой.По сути, это любое число, которое вы можете придумать. Пятьдесят (50) — действительное число. Один миллиард (1 000 000 000) — очень большое действительное число. Действительные числа включают три классификации чисел, о которых мы поговорим чуть позже. Целые числа, рациональные числа и иррациональные числа — все это действительные числа.
Мнимые числа
Мнимые числа не являются действительными числами. Это комплексные числа, которые записываются как действительное число, умноженное на мнимую единицу (\ (i \)). Например, \ (\ sqrt {-1} \) вычисляется как мнимое число «\ (i \)» и \ (\ sqrt {-25} = 5i \).Хотя мнимые числа не являются «действительными числами», они имеют ценность. Электрики используют мнимые числа при работе с токами и напряжением. Мнимые числа также используются в сложных вычислительных вычислениях. Поэтому то, что эти числа называются «воображаемыми», не означает, что они бесполезны.
Целые числа
Целые числа — это числа, которыми мы считаем. 1, 2, 3, 4 и 5 — все целые числа. Таковы -17 и 0. Целые числа не имеют дробей и десятичных знаков.
Все целые числа называются целыми числами .Целые числа могут быть положительными или отрицательными целыми числами.
Рациональные и иррациональные числа
Все целые числа и целые числа являются частью большей группы, называемой рациональными числами . В эту группу также входят дроби и десятичные знаки. Это означает, что \ (\ frac {3} {5} \) и 7.25 — рациональные числа. Рациональные числа также могут быть положительными или отрицательными.
Рациональные числа имеют противоположности, которые называются иррациональными числами . Эти числа нельзя записать в виде простой дроби.Пи (\ (\ pi \)) — самое известное иррациональное число. У нас есть близкое приближение к тому, как вычислить пи, но это всего лишь близкое приближение. Пи известен тем, что продолжается вечно. Вот почему это иррациональное число. Вы не можете легко записать это дробью.
Натуральные и отрицательные числа
Натуральные числа — это те, которые являются положительными целыми числами, хотя есть некоторые споры относительно того, начинаются ли натуральные числа с 0 или 1. Отрицательные числа — это именно то, что вам нужно.Это числа ниже 0.
Четные и нечетные числа
Есть также несколько других классификаций чисел. Числа делятся на четные и нечетные. Если вы можете разделить число на 2, это число будет четным. Итак, 24, 36 и 74 — все четные числа, потому что если вы разделите их на 2, вы получите 12, 18 и 37. Четные числа всегда заканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8.
Нечетные числа могут не делить на 2 и оставлять целое число. Любое нечетное число, разделенное на 2, даст дробь.Итак, 17 ÷ 2 = 8,5, а 23 ÷ 2 = 11,5. Все нечетные числа оканчиваются на 1, 3, 5, 7 или 9.
Дроби
Числители и знаменатели образуют дроби, состоящие из двух целых чисел. Число вверху — числитель; число внизу — знаменатель. Числитель , верхнее число, показывает, сколько деталей у нас есть. Знаменатель , нижнее число, показывает, сколько частей составляет единое целое.
Допустим, у вас есть 6 яблок, и 3 из них съедены.Количество оставшихся у вас яблок будет отображаться как \ (\ frac {3} {6} \).
Затем вы разделите 3, верхнее число, на 6, нижнее число, чтобы определить процент оставшихся яблок. В этом случае цифра составляет 50%.
Итак, вот наш взгляд на числа и их классификацию. От целых чисел до иррациональных чисел нам нужно знать, как называть числа, чтобы знать, что они означают.
Надеюсь, этот обзор был вам полезен!
Наборы действительных чисел | eMathZone
Группировка или классификация — это знакомый в естествознании метод работы с огромным разнообразием вещей в реальном мире.Например, в биологии растения и животные делятся на различные типы, а затем на классы, отряды, семейства, роды и виды. Точно так же действительные числа можно сгруппировать или классифицировать, выделив важные особенности, которыми обладают одни числа, но не другие. Используя идею набора набора , классификация действительных чисел может быть выполнена с ясностью и точностью.
Набор можно рассматривать как набор объектов. Большинство рассматриваемых в этом руководстве наборов представляют собой наборы действительных чисел.Любой из объектов в наборе называется элементом или элементом набора. Наборы обозначаются заглавными буквами, такими как $$ A $$, $$ B $$ и $$ C $$, или фигурными скобками $$ \ {\ cdots \} $$, заключающими символы для элементов в наборе. Таким образом, если мы пишем $$ \ {1,2,3,4,5 \} $$, мы имеем в виду набор, элементами которого являются числа $$ 1,2,3,4 $$ и $$ 5 $$. Два набора называются равными , если они содержат точно такие же элементы.

Наборы чисел и отношения между такими наборами часто можно визуализировать с помощью числовой линии или оси координат .Числовая линия строится путем фиксации точки $$ O $$, называемой исходной точкой , и другой точки $$ U $$, называемой единичной точкой , на прямой $$ L $$. Расстояние между $$ O $$ и $$ U $$ называется расстоянием единиц и может составлять $$ 1 $$ дюйм, $$ 1 $$ сантиметр или $$ 1 $$ единиц любой выбранной вами меры. Если линия $$ L $$ горизонтальна, принято размещать $$ U $$ справа от $$ O $$.

Каждой точке $$ P $$ в строке $$ L $$ теперь присвоен «числовой адрес» или координата $$ x $$, представляющая назначенное ей расстояние от начала координат, измеренное в единицах данной единицы.Таким образом, для $$ x = \ pm d $$, где $$ d $$ — это расстояние между $$ O $$ и $$ P $$, знак плюс или минус используется, чтобы указать, действительно ли $$ P $ $ должен быть справа или слева от $$ O $$. Конечно, исходной точке $$ O $$ присваивается координата $$ 0 $$ (ноль), а единичной точке $$ U $$ присваивается координата $$ 1 $$. На итоговой числовой шкале каждая точка $$ P $$ имеет соответствующую числовую координату $$ x $$, а каждое действительное число $$ x $$ является координатой однозначно определенной точки $$ P $$. На числовой прямой удобно использовать стрелку, чтобы указать направление увеличения числовых координат.

Набор чисел можно проиллюстрировать на числовой прямой, закрашивая или раскрашивая точки, координаты которых являются членами наборов.

Например:

Натуральные числа , также называемые счетными числами или натуральные числа , представляют собой числа $$ 1,2,3,4,5, $$ и т. Д., Полученные путем многократного прибавления $$ 1 $$. . Множество $$ \ {1,2,3,4,5, \ cdots \} $$ всех натуральных чисел обозначается символом $$ \ mathbb {N} $$.
Целые числа состоят из всех натуральных чисел, отрицательных значений натуральных чисел и нуля. Множество всех целых чисел $$ \ {\ cdots, — 4, — 3, — 2, — 1,0,1,2,3,4, \ cdots \} $$ обозначается символом $$ \ mathbb { Z} $$.
Рациональные числа — это числа, которые можно записать в форме $$ \ frac {a} {b} $$, где $$ a $$ и $$ b $$ — целые числа, а $$ b \ ne 0 $$. Поскольку $$ b $$ может равняться $$ 1 $$, каждое целое число является рациональным числом.Другие примеры рациональных чисел: $$ \ frac {{13}} {2} $$, $$ \ frac {3} {4} $$ и $$ — \ frac {{22}} {7} $$. Множество всех рациональных чисел обозначается символом $$ \ mathbb {Q} $$ (который напоминает нам, что рациональные числа — это частных целых чисел). Рациональные числа в десятичной форме либо завершают , либо начинают до повторять один и тот же образец до бесконечности.
Иррациональные числа — это числа, которые не являются рациональными. Их десятичное представление — без завершения, и без повторения. Примеры: $$ \ sqrt 2 = 1.4142135 \ cdots $$, $$ \ sqrt 3 = 1.7320508 \ cdots $$ и $$ \ pi = 3.1415926 \ cdots $$.
Объединение или комбинация рациональных и иррациональных чисел — это действительных чисел . Положительные действительные числа соответствуют точкам справа от начала координат, а отрицательные действительные числа соответствуют точкам слева от начала координат. Набор всех действительных чисел обозначается символом $$ \ mathbb {R} $$.

Рациональные числа и десятичные дроби

Используя дробное деление, вы можете выразить рациональное число как десятичное.Например, если вы разделите $$ 2 $$ на $$ 5 $$, вы получите $$ \ frac {2} {5} = 0.4 $$, завершающую десятичную дробь. Точно так же, если вы разделите $$ 2 $$ на $$ 3 $$, вы получите $$ \ frac {2} {3} = 0,66666 \ ldots $$, непрерывную повторяющуюся десятичную дробь. Повторяющееся десятичное число, например $$ 0.66666 \ ldots $$, часто записывается как $$ 0. \ Overline 6 $$, где черта наверху указывает цифру или цифры, которые повторяются; следовательно, $$ \ frac {2} {3} = 0. \ overline 6 $$.

Пример :

Выразите каждое рациональное число в виде десятичной дроби.
(a) $$ — \ frac {3} {5} $$
(b) $$ \ frac {3} {8} $$
(c) $$ \ frac {{17}} {6} $ $
(d) $$ \ frac {3} {7} $$

Решение :

(a) $$ — \ frac {3} {5} = — 0,6 $$
(b) $$ \ frac {3} {8} = 0,375 $$
(c) $$ \ frac {{17} } {6} = 2,83333 \ ldots = 2,8 \ overline 3 $$
(d) $$ \ frac {3} {7} = 0,428571428571428571 \ ldots = 0.