Хранение в памяти вещественных чисел

В $60$-х и $70$-х гг. не было единопризнанного стандарта представления чисел с плавающей запятой, из-за чего программы того времени не были переносимыми приложениями. Также большой проблемой были «странности» разных компьютеров, которые нужно было знать и учитывать при создании программ.

В $1976$ году была появилась инициатива создать единый стандарт для представления чисел с плавающей запятой, что существенно упростило работу с числами.

Вычисления компьютера ограничены его памятью, поэтому дробная часть вещественных чисел не является бесконечной и хранится в памяти с определенной точностью.

Числа в нормализованном виде чаще всего записываются только на экране компьютера, поэтому принято запятую в них заменять на точку.

Принятый способ хранения вещественных (действительных) чисел в памяти компьютера использует нормализованную (экспоненциальную) запись действительных чисел.

Для хранения вещественных чисел (как и для целых) используется двоичная система.{8-1}-1=128+128-1=255.\]

Алгоритм представления вещественного числа:

1. Перевести число в двоичную систему счисления.

2. Привести число к нормализованной записи.

3. Найти смещённый порядок числа.

4. Поместить знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды.

Пример 4

Представим число $-25.625$ в $4$-байтовом представлении ($1$ бит отводится под знак числа, $8$ бит — под смещённый порядок, остальные биты — под мантиссу).

Будем действовать по алгоритму:

1. Переведем число $-25.625$ в двоичный код:

   Рисунок 1.

   \[{25}_{10}={11001}_2\]

   Рисунок 2.

   \[{25}_{10}={11001}_2\] \[{0.625}_{10}={0.101}_2\] \[{-25.625}_{10}={-11001.101}_2\]

2. Приведем число к нормализованному виду:

   \[{-11001.4\]

3. Найдем смещенный порядок числа:

   \[СП=127+4=131\]

4. Поместим знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды:

   Рисунок 3.

Представление чисел в компьютере. Представление целых и вещественных чисел в памяти компьютера

Любому, кто хоть раз задумывался в жизни о том, чтобы стать «айтишником» или системным администратором, да и просто связать судьбу с вычислительной техникой, знание о том, как происходит представление чисел в памяти компьютера, абсолютно необходимо. Ведь именно на этом основываются языки программирования низкого уровня, такие как Assembler. Поэтому сегодня мы рассмотрим представление чисел в компьютере и их размещение в ячейках памяти.

Система счисления

Если вы читаете данную статью, то, скорее всего, уже знаете об этом, но повторить стоит. Все данные в персональном компьютере хранятся в двоичной системе счисления. Это означает, что любое число необходимо представить в соответствующей форме, то есть состоящим из нулей и единиц.

Чтобы перевести привычные для нас десятичные числа к виду, понятному компьютеру, нужно воспользоваться описанным ниже алгоритмом. Существуют и специализированные калькуляторы.

Итак, для того чтобы перевести число в двоичную систему счисления, нужно взять выбранное нами значение и поделить его на 2. После этого мы получим результат и остаток (0 или 1). Результат опять делим 2 и запоминаем остаток. Данную процедуру нужно повторять до тех пор, пока в итоге также не окажется 0 или 1. Затем записываем конечное значение и остатки в обратном порядке, как мы их получали.

Именно так и происходит представление чисел в компьютере. Любое число записывается в двоичной форме, а потом занимает ячейку памяти.

Память

Как вам должно быть уже известно, минимальная единица измерения информации составляет 1 бит. Как мы уже выяснили, представление чисел в компьютере происходит в двоичном формате. Таким образом, каждый бит памяти будет занят одним значением – 1 или 0.

Для хранения больших чисел используются ячейки. Каждая такая единица содержит до 8 бит информации. Поэтому можно сделать вывод, что минимальное значение в каждом отрезке памяти может составлять 1 байт или быть восьмизначным двоичным числом.

Целые

Наконец мы подобрались к непосредственному размещению данных в компьютере. Как было уже сказано, первым делом процессор переводит информацию в двоичный формат, а только затем размещает в памяти.

Начнем мы с самого простого варианта, коим является представление целых чисел в компьютере. Память ПК отводит под этот процесс до смешного малое количество ячеек – всего одну. Таким образом, максимум в одном слоте могут быть значения от 0 до 11111111. Давайте переведём максимальное число в привычную нам форму записи.
Х = 1 × 2⁷ + 1 × 2⁶ + 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 1 × 2⁸ — 1 = 255.

Теперь мы видим, что в одной ячейке памяти может располагаться значение от 0 до 255. Однако это относится исключительно к целым неотрицательным числам. Если же компьютеру понадобится записать отрицательное значение, всё пройдет немного по-другому.

Отрицательные числа

Теперь давайте посмотрим, как происходит представление чисел в компьютере, если они являются отрицательными. Для размещения значения, которое меньше нуля, отводится две ячейки памяти, или 16 бит информации. При этом 15 уходят под само число, а первый (крайний левый) бит отдается под соответствующий знак.

Если цифра отрицательная, то записывается «1», если положительная, то «0». Для простоты запоминания можно провести такую аналогию: если знак есть, то ставим 1, если его нет, то ничего (0).

Оставшиеся 15 бит информации отводятся под число. Аналогично предыдущему случаю, в них можно поместить максимум пятнадцать единиц. Стоит отметить, что запись отрицательных и положительных чисел существенно отличается друг от друга.

Для того чтобы разместить в 2 ячейках памяти значение больше нуля или равное ему, используется так называемый прямой код. Данная операция производится так же, как и было описано, а максимальное А = 32766, если использовать десятичную систему счисления. Сразу хочется отметить, что в данном случае «0» относится к положительным.

Примеры

Представление целых чисел в памяти компьютера не является такой уж трудной задачей. Хотя она немного усложняется, если речь идет об отрицательном значении. Для записи числа, которое меньше нуля, используется дополнительный код.

Чтобы его получить, машина производит ряд вспомогательных операций.

1. Сначала записывается модуль отрицательного числа в двоичном счислении. То есть компьютер запоминает аналогичное, но положительное значение.
2. Затем проводится инвертирование каждого бита памяти. Для этого все единицы заменяются нулями и наоборот.
3. Прибавляем «1» к полученному результату. Это и будет дополнительный код.

Приведем наглядный пример. Пусть у нас есть число Х = — 131. Сначала получаем его модуль |Х|= 131. Затем переводим в двоичную систему и записываем в 16 ячеек. Получим Х = 0000000010000011. После инвертирования Х=1111111101111100. Добавляем к нему «1» и получаем обратный код Х=1111111101111101. Для записи в 16-битную ячейку памяти минимальным числом является Х = — (2¹⁵) = — 32767.

Длинные целые

Как видите, представление вещественных чисел в компьютере не так уж и сложно. Однако рассмотренного диапазона может не хватать для большинства операций. Поэтому, для того чтобы разместить большие числа, компьютер выделяет из памяти 4 ячейки, или 32 бита.

Процесс записи абсолютно не отличается от представленного выше. Так что мы просто приведем диапазон чисел, которые могут храниться в данном типе.

Х_мах=2 147 483 647.

Х_min=- 2 147 483 648.

Данных значений в большинстве случаев достаточно для того, чтобы записывать и проводить операции с данными.

Представление вещественных чисел в компьютере имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, данная методика позволяет проще производить операции между целочисленными значениями, что значительно ускоряет работу процессора. С другой стороны, данного диапазона недостаточно для решения большинства задач экономики, физики, арифметики и других наук. Поэтому теперь мы рассмотрим очередную методику для сверхвеличин.

Плавающая запятая

Это последнее, что вам необходимо знать про представление чисел в компьютере. Поскольку при записи дробей возникает проблема определения положения запятой в них, для размещения подобных цифр в компьютере используется экспоненциальная форма.

Любое число может быть представлено в следующей форме Х = m * р^п. Где m – это мантисса числа, р – основание системы счисления и п – порядок числа.

Для стандартизации записи чисел с плавающей запятой используется следующее условие, согласно которому модуль мантиссы должен быть больше или равен 1/п и меньше 1.

Пусть нам дано число 666,66. Приведём его к экспоненциальной форме. Получится Х = 0,66666 * 10³. Р = 10 и п = 3.

На хранение значений с плавающей запятой обычно выделяется 4 или 8 байт (32 или 64 бита). В первом случае это называется числом обычной точности, а во втором – двойной точности.

Из 4 байт, выделенных под хранение цифр, 1 (8 разрядов) отдается под данные о порядке и его знаке, а 3 байта (24 разряда) уходят на хранение мантиссы и её знака по тем же принципам, что и для целочисленных значений. Зная это, мы можем провести нехитрые расчеты.

Максимальное значение п = 1111111²_{= 127¹⁰. Исходя из него, мы можем получить максимальный размер числа, которое может храниться в памяти компьютера. Х=2¹²⁷. Теперь мы можем вычислить максимально возможную мантиссу. Она будет равна 2²³ – 1 ≥ 2²³ = 2^{(10 × 2,3)} ≥ 1000^2,3 = 10^{(3 × 2,3)} ≥ 10⁷. В итоге, мы получили приближенное значение.}

Если теперь мы объединим оба расчета, то получим значение, которое может быть записано без потерь в 4 байта памяти. Оно будет равно Х = 1,701411 * 10³⁸. Остальные цифры были отброшены, поскольку именно такую точность позволяет иметь данный способ записи.

Двойная точность

Поскольку все вычисления были расписаны и объяснены в предыдущем пункте, здесь мы расскажем всё очень коротко. Для чисел с двойной точностью обычно выделяется 11 разрядов для порядка и его знака, а также 53 разряда для мантиссы.

П = 1111111111²_{= 1023¹⁰.}

М = 2⁵² -1 = 2^(10*5.2) = 1000^5.2 = 10^15.6. Округляем в большую сторону и получаем максимальное число Х = 2¹⁰²³ с точностью до «м».

Надеемся, информация про представление целых и вещественных чисел в компьютере, которую мы предоставили, пригодится вам в обучении и будет хоть немного понятнее, чем то, что обычно пишут в учебниках.

Целые и вещественные числа в памяти компьютера

Рассматриваемая тема не обязательно связана с объединением, она представляет также самостоятельный интерес. Здесь этот материал нужен для понимания некоторых примеров этого и последующих параграфов.

Вещественное число (число с плавающей запятой) состоит из двух частей: мантиссы и порядка. Например, число в десятичной системе счисления 0,000123 можно записать одним из следующих способов: 0.0000123*10; 0,123*10 -3 ; 1,23*10 -4 и т.д. Аналогично 78900=0,789*10 5 =78,9*10 3 и т.д. Термин “число с плавающей запятой” и связан с тем, что десятичная запятая перемещается (плывёт) по числу. Из такого рода различных записей в десятичной системе счисления нас будет интересовать нормализованное число, соответственно 0,123*10 -3 и 0,789*10 5 . Первая его часть называется мантиссой (0,123 и 0,789), а числа -3 и 5 – порядком.

Аналогично различные варианты записи (на бумаге, а не в памяти компьютера) вещественного числа имеют место и в двоичной системе счисления. Например, рассмотрим десятичное число 12,375. Для его перевода в двоичную систему счисления отдельно переводим целую часть (см. гл. 4 файла Lections1Semestr) и отдельно дробную часть. В качестве вспомогательной системы счисления можно использовать шестнадцатеричную. Для перевода дробной части из 10 с.с в 16 с.с выполняем следующее:

дробную часть числа умножаем на 16;

полученную целую часть результата (число от 0 до 15) переводим в 16-ю с.с и берём в качестве первой после запятой 16-й цифры результата;

дробную часть результата, если она не равна нулю, повторно умножаем на 16;

полученную целую часть переводим в 16-ю с.с и берём в качестве следующей 16-й цифры;

дробную часть результата снова умножаем на 16;

это продолжаем, пока не наступит одна из следующих ситуаций:

a) на некотором шаге, не обязательно в самом начале, получим в дробной части нуль. В этом случае перевод выполнили точно. Это имеет место в нашем примере: 0,375*16=6.0;

b) получим в дробной части число, которое было раньше. Например, 0,15*16=2,4; 0,4*16=6,4. Если продолжать умножение 0,4*16, будем получать одно и то же, т. е 6,4. В таком случае получаем следующий результат: 0,15₁₀= 0,2666…₁₆=0,2(6)₁₆. Круглые скобки означают, что записанное в них одно или несколько разных чисел будут повторяться бесконечное число раз. Говорят, что это число в периоде, т.е. 6 в периоде;

c) если не получаем ни нуль, ни повторяющиеся числа, то ограничиваемся заданным предварительно количеством двоичных или шестнадцатеричных цифр. Для числа типа float необходимо получить 24 двоичные цифры, считая от первой значащей, или не менее 7 шестнадцатеричных цифр, не считая первые 16-е нули.

Для перевода дробной части из 16-й в 2-ю с.с. записываем каждую 16-ю (но не 10-ю!) цифру в виде тетрады, т.е. четырёх двоичных цифр. Получим 12.375₁₀=С.6₁₆=1100,0110. При этом последнюю цифру ‘0’ можем не писать. Как и в 10-й с.с., этот нуль незначащий. Остальные нули рядом с десятичной запятой обязательны!

Это двоичное число, как и в 10-й с.с., записать можно по-разному: 11,00011*2 2 ; 1100011*2 -3 ; 1.100011*2 3 . Из приведенных вариантов нас будет интересовать последняя нормализованная запись, в которой в целой части записана одна первая значащая единица. Получим: m= памяти не хранится, но 1.100011; p=3₁₀=11₂, где m —нормализованная мантисса, p — порядок в 2 с.с.

Пусть число объявлено как float. Тогда 4 байта (32 бита) распределяются следующим образом:

один самый “левый” бит отводится под знак мантиссы, или, что то же самое, под знак всего числа. Записывается 0, если мантисса, а, значит и само вещественное число, положительное, и 1 в противном случае. Никакого дополнительного кода для отрицательного вещественного числа, как это было для целых чисел, получать не надо;

следующие 8 разрядов (бит) занимает изменённый порядок записи числа в 2-й с.с., который называется характеристикой числа. Обозначим её x. Знак порядка нигде не хранится. Чтобы он всегда был неотрицательным, порядок увеличивается на 127₁₀, т. е. x=p+127₁₀=p+7F₁₆. (1)

Для нашего примера здесь будет храниться число x=3₁₀+127₁₀= 130₁₀=82₁₆=10000010₂. Это же можно вычислить и так: x=3₁₆+7F₁₆=82₁₆ =10000010₂ ;

последние 23 (32-1-8) разряда занимает мантисса. При этом целая её часть, равная 1, в памяти не хранится, но учитывается при вычислениях. Если дробная часть числа переведена в 16-ю, а, значит и в двоичную с.с не точно, т. е. имели место варианты b) и c) (см. выше перевод), последняя 2-я цифра округляется по обычным правилам. Если первая отбрасываемая 2-я цифра равна 1, то прибавляем двоичную единицу, в противном случае оставляем без изменения.

Таким образом, число 12,375 в формате float будет представлено следующим образом: 01000001010001100000000000000000. Иногда в литературе можно встретить шестнадцатеричную запись этого результата: 41460000₁₆.

Упражнение. Представить число -0.01 как число с плавающей точкой в формате float.

Переводим модуль числа в шестнадцатеричную, а затем в двоичную системы счисления описанным выше способом:

Так как под мантиссу отводится 23 разряда, то должны получить 25 двоичных цифр, не считая первых после десятичной точки подряд идущих нулей. Почему? По правилу нормализации самая первая значащая единица (в примере в десятичной цифре 2) в память не записывается, а ещё одна дополнительная двоичная цифра нужна для того, чтобы определить, как округлять число. Так как первая отбрасываемая двоичная цифра =0, то получаем

Если число “маленькое”, т.е. целая часть =0, а в дробной части после запятой несколько подряд идущих нулей, то получим отрицательный порядок. Так как 0.000000101000111101011100001010₂ = 1.01000111101011100001010*2 -7 ,

В результате получим ответ: 10111100001000111101011100001010.

Рассмотрим обратную задачу. Пусть в ячейке размером 4 байта хранится следующая последовательность нулей и единиц, шестнадцатеричное представление которой такое: С215999A₁₆. Известно, что здесь хранится вещественное число, т.е. в программе записано, например, объявление: float a. Что это за число в 10-й системе счисления?

Для ответа на этот вопрос в обратном порядке выполняем действия, описанные выше.

1) Запишем двоичное представление числа: 11000010000101011001100110011010.

2) Единица в старшем бите (самая “левая”) означает, что всё вещественное число отрицательное.

3) В следующих 8 битах находится характеристика числа, т.е. x=10000100₂=84₁₆. Из формулы (1) получаем двоичный порядок числа: p=x-7F₁₆=84₁₆-7F₁₆ =5₁₆=5₁₀.

4) Из последних 23 разрядов получаем m=0.00101011001100110011010₂.

5) Поэтому искомое число

a=1.00101011001100110011010*2 5 =100101.011001100110011010₂@25.(6) ₁₆@37.4₁₀.

Перевод дробной части выполняли следующим образом:

0.(6) ₁₆ = 0.66666₁₆ = 6*16 -1 +6*16 -2 +6*16 -3 +6*16 -4 +6*16 -5 @0.4₁₀.

Т.к. это отрицательное число, то получаем ответ: – 37.4₁₀

5.2. Объявление объединения.(+)

Объявление типа объединения, которые ещё называют смеси, похоже на объявление структурного типа. Только вместо ключевого слова struct используется union. Как и для структурной переменной, возможны три способа объявления переменной типа объединения: раздельное, совместное и анонимное (см. 1.1).

Для изучения объединения сначала рассмотрим следующий код для работы со структурой.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8557 – | 7410 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Доброго времени суток уважаемый пользователь. На этой страничке мы поговорим на такие темы, как: Вещественные числа, Вещественные числа в памяти компьютера.

Предположим, в компьютер встроили устройство, кото­рое переводит числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно.к. Здесь к — количество разрядов в ячейке памяти. Например, дополнительный код числа 255 будет следующим: 1111111100000001.

Это и есть представление отрицательного числа -255. Сложим коды чисел 255 и —255:

Вычитание.

Представление чисел с плавающей запятой в компьютере. Формат представления чисел с плавающей запятой

| Планирование уроков на учебный год (ФГОС) | § 1.2. Представление чисел в компьютере

Ключевые слова:

Разряд
беззнаковое представление целых чисел
представление целых чисел со знаком
представление вещественных чисел

1.2.1. Представление целых чисел

Оперативная память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов — разряда двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Ячейка памяти

Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел, отрицательные числа представляются только в знаковом виде.

Беззнаковое представление используется для таких объектов, как адреса ячеек, всевозможные счётчики (например, число символов в тексте), а также числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях и т. д.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2 n -1. Минимальное число соответствует п нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю.

Ниже приведены максимальные значения для беззнаковых целых n-разрядных чисел:

Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести число в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

Пример 1 . Число 53 10 = 110101 2 в восьмиразрядном представлении имеет вид:

Это же число 53 в шестнадцати разрядах будет записано следующим образом:

При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел называется прямым кодом.

В компьютере прямые коды используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/) размещён информационный модуль «Число и его компьютерный код». С помощью этого ресурса вы можете получить дополнительную информацию по изучаемой теме.

Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код, позволяющий заменить операцию вычитания сложением. Узнать алгоритм образования дополнительного кода вы можете с помощью информационного модуля «Дополнительный код», размещённого на сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/).

1.2.2. Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в экспоненциальной форме:

где:

m — мантисса числа;

p — порядок числа.

Например, число 472 ООО ООО может быть представлено так: 4,72 10 8 , 47,2 10 7 , 472,0 10 6 и т. д.

С экспоненциальной формой записи чисел вы могли встречаться при выполнении вычислений с помощью калькулятора, когда в качестве ответа получали записи следующего вида: 4.72Е+8.

Здесь знак «Е» обозначает основание десятичной системы счисления и читается как «умножить на десять в степени».

Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться.

Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 ООО ООО будет представлено как 0,472 10 9 .

Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Пример:

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Максимальное значение порядка числа для приведённого выше примера составляет 1111111 2 = 127 10 , и, следовательно, максимальное значение числа:

0,11111111111111111111111 10 1111111

Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.

Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Вместе с тем следует понимать, что алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.

Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Бели число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1. Положительные числа хранятся в компьютере в прямом коде, отрицательные — в дополнительном.

При хранении в компьютере вещественных чисел выделяются разряды на хранение знака порядка числа, самого порядка, знака мантиссы и мантиссы. При этом любое число записывается так:

где:

m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Используйте эти материалы при подготовке ответов на вопросы и выполнении заданий.

2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?

3. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.

4. Представьте число 63 10 в беззнаковом 8-разрядном формате.

5. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:

а) 01001100;
б) 00010101.

6. Какие из чисел 443 8 , 101010 2 , 256 10 можно сохранить в 8-разрядном формате?

7. Запишите следующие числа в естественной форме:

а) 0,3800456 10 2 ;
б) 0,245 10 -3 ;
в) 1,256900Е+5;
г) 9,569120Е-3.

8. Запишите число 2010,0102 10 пятью различными способами в экспоненциальной форме.

9. Запишите следующие числа в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:

а) 217,934 10 ;
б) 75321 10 ;
в) 0,00101 10 .

10. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.

Если бы мы могли заглянуть в содержание компьютерной памяти, то мы бы увидели следующее:

Данный рисунок отражает Правило №1: Данные (и программы) в памяти компьютера хранятся в двоичном виде, т.е. в виде цепочек ноликов и единичек.

Правило №2: представление данных в компьютере дискретно.

Что такое дискретность?

Самый близкий ответ: «Отдельный»

Примечание: Дискретное множество состоит из отделенных друг от друга элементов. Например, песок дискретен, поскольку он состоит из отдельных песчинок. А вода или масло непрерывны (в рамках наших ощущений, поскольку отдельные молекулы мы все равно ощутить не можем)

Например, изображение строится в виде совокупности точек, т.е. дискретно.

Правило №3: множество представимых в памяти величин ограничено и конечно.

Представление чисел в компьютере.

Целые числа в компьютере. (Формат с фиксированной запятой)

Любое вычислительное устройство (компьютер, калькулятор) может работать только с ограниченным множеством целых чисел. Посмотрите на табло калькулятора, на нем помещается 10 знаков. Самое большое положительное число, которое помещается на табло:

Самое большое по абсолютной величине отрицательное число:

Аналогично дело обстоит и в компьютере.

Например, если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 битов, то самое большое положительное число будет таким:

В десятичной системе счисления оно равно:

2 15 -1=32767

Здесь первый бит играет роль знака числа. Ноль — признак положительного числа. Самое большое по модулю отрицательное число равно -32768.

Как получить его внутреннее представление:

1) перевести число в 32768 в двоичную систему счисления, он равно
1000000000000000 — получили прямой код.

2) инвертировать этот двойчный код, т.е. заменить нули на единицы, а единицы на нули — получили обратный код .

0111111111111111

3) Прибавить единицу к этому двоичному числу, в результате получим:

Единица в первом бите обозначает знак «минус».

(не нужно думать, что полученный код — это «минус ноль». Этот код представляет число -32768.)

Таковы правила машинного представления целых чисел. Данное внутреннее представление числа называется дополнительным кодом .

Если под целое число в памяти компьютера отводится N бит, то диапазон значений целых чисел: [-2 N-1 -1, 2 N -1]

Мы рассмотрели формат представления целых чисел со знаком, т.е. положительных и отрицательных. Бывает, что нужно работать только с положительными целыми числами. В таком случае используется формат представления целых чисел без знака.

В этом формате самое маленькое число — ноль, а самое большое число для 16-разрядной ячейки:

В десятичной системе счисления это 2 16 — 1 = 65535, в два раза больше по модулю, чем в представлении со знаком.

Целые числа в компьютере. (Формат с плавающей запятой)

Самое большое число у разных калькуляторов может оказаться разным. У самого простого калькулятора — 999999999. Если прибавить к нему еще единицу, то калькулятор выдаст сообщение об ошибке. А на более «умном» калькуляторе прибавление единицы приведет к такому результату:

Данную запись на табло понимают так: 1 x10 9 .

Такой формат записи числа называется форматом с плавающей запятой .

В компьютере числа могу и представляться как в формате с фиксированной запятой так и в формате с плавающей запятой.

Любому, кто хоть раз задумывался в жизни о том, чтобы стать «айтишником» или системным администратором, да и просто связать судьбу с знание о том, как происходит представление чисел в абсолютно необходимо. Ведь именно на этом основываются языки программирования низкого уровня, такие как Assembler. Поэтому сегодня мы рассмотрим представление чисел в компьютере и их размещение в ячейках памяти.

Система счисления

Если вы читаете данную статью, то, скорее всего, уже знаете об этом, но повторить стоит. Все данные в персональном компьютере хранятся в двоичной Это означает, что любое число необходимо представить в соответствующей форме, то есть состоящим из нулей и единиц.

Чтобы перевести привычные для нас десятичные числа к виду, понятному компьютеру, нужно воспользоваться описанным ниже алгоритмом. Существуют и специализированные калькуляторы.

Итак, для того чтобы перевести число в двоичную систему счисления, нужно взять выбранное нами значение и поделить его на 2. После этого мы получим результат и остаток (0 или 1). Результат опять делим 2 и запоминаем остаток. Данную процедуру нужно повторять до тех пор, пока в итоге также не окажется 0 или 1. Затем записываем конечное значение и остатки в обратном порядке, как мы их получали.

Именно так и происходит представление чисел в компьютере. Любое число записывается в двоичной форме, а потом занимает ячейку памяти.

Память

Как вам должно быть уже известно, минимальная единица измерения информации составляет 1 бит. Как мы уже выяснили, представление чисел в компьютере происходит в двоичном формате. Таким образом, каждый бит памяти будет занят одним значением — 1 или 0.

Для хранения используются ячейки. Каждая такая единица содержит до 8 бит информации. Поэтому можно сделать вывод, что минимальное значение в каждом отрезке памяти может составлять 1 байт или быть восьмизначным двоичным числом.

Целые

Наконец мы подобрались к непосредственному размещению данных в компьютере. Как было уже сказано, первым делом процессор переводит информацию в двоичный формат, а только затем размещает в памяти.

Начнем мы с самого простого варианта, коим является представление целых чисел в компьютере. Память ПК отводит под этот процесс до смешного малое количество ячеек — всего одну. Таким образом, максимум в одном слоте могут быть значения от 0 до 11111111. Давайте переведём максимальное число в привычную нам форму записи.
Х = 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 1 × 2 8 — 1 = 255.

Теперь мы видим, что в одной ячейке памяти может располагаться значение от 0 до 255. Однако это относится исключительно к целым неотрицательным числам. Если же компьютеру понадобится записать отрицательное значение, всё пройдет немного по-другому.

Отрицательные числа

Теперь давайте посмотрим, как происходит представление чисел в компьютере, если они являются отрицательными. Для размещения значения, которое меньше нуля, отводится две ячейки памяти, или 16 бит информации. При этом 15 уходят под само число, а первый (крайний левый) бит отдается под соответствующий знак.

Если цифра отрицательная, то записывается «1», если положительная, то «0». Для простоты запоминания можно провести такую аналогию: если знак есть, то ставим 1, если его нет, то ничего (0).

Оставшиеся 15 бит информации отводятся под число. Аналогично предыдущему случаю, в них можно поместить максимум пятнадцать единиц. Стоит отметить, что запись отрицательных и положительных чисел существенно отличается друг от друга.

Для того чтобы разместить в 2 ячейках памяти значение больше нуля или равное ему, используется так называемый прямой код. Данная операция производится так же, как и было описано, а максимальное А = 32766, если использовать Сразу хочется отметить, что в данном случае «0» относится к положительным.

Примеры

Представление целых чисел в памяти компьютера не является такой уж трудной задачей. Хотя она немного усложняется, если речь идет об отрицательном значении. Для записи числа, которое меньше нуля, используется дополнительный код.

Чтобы его получить, машина производит ряд вспомогательных операций.

1. Сначала записывается модуль отрицательного числа в двоичном счислении. То есть компьютер запоминает аналогичное, но положительное значение.
2. Затем проводится инвертирование каждого бита памяти. Для этого все единицы заменяются нулями и наоборот.
3. Прибавляем «1» к полученному результату. Это и будет дополнительный код.

Приведем наглядный пример. Пусть у нас есть число Х = — 131. Сначала получаем его модуль |Х|= 131. Затем переводим в двоичную систему и записываем в 16 ячеек. Получим Х = 0000000010000011. После инвертирования Х=1111111101111100. Добавляем к нему «1» и получаем обратный код Х=1111111101111101. Для записи в 16-битную ячейку памяти минимальным числом является Х = — (2 15) = — 32767.

Длинные целые

Как видите, представление вещественных чисел в компьютере не так уж и сложно. Однако рассмотренного диапазона может не хватать для большинства операций. Поэтому, для того чтобы разместить большие числа, компьютер выделяет из памяти 4 ячейки, или 32 бита.

Процесс записи абсолютно не отличается от представленного выше. Так что мы просто приведем диапазон чисел, которые могут храниться в данном типе.

Х мах =2 147 483 647.

Х min =- 2 147 483 648.

Данных значений в большинстве случаев достаточно для того, чтобы записывать и проводить операции с данными.

Представление вещественных чисел в компьютере имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, данная методика позволяет проще производить операции между целочисленными значениями, что значительно ускоряет работу процессора. С другой стороны, данного диапазона недостаточно для решения большинства задач экономики, физики, арифметики и других наук. Поэтому теперь мы рассмотрим очередную методику для сверхвеличин.

Плавающая запятая

Это последнее, что вам необходимо знать про представление чисел в компьютере. Поскольку при записи дробей возникает проблема определения положения запятой в них, для размещения подобных цифр в компьютере используется экспоненциальная форма.

Любое число может быть представлено в следующей форме Х = m * р п. Где m — это мантисса числа, р — основание системы счисления и п — порядок числа.

Для стандартизации записи чисел с плавающей запятой используется следующее условие, согласно которому модуль мантиссы должен быть больше или равен 1/п и меньше 1.

Пусть нам дано число 666,66. Приведём его к экспоненциальной форме. Получится Х = 0,66666 * 10 3 . Р = 10 и п = 3.

На хранение значений с плавающей запятой обычно выделяется 4 или 8 байт (32 или 64 бита). В первом случае это называется числом обычной точности, а во втором — двойной точности.

Из 4 байт, выделенных под хранение цифр, 1 (8 разрядов) отдается под данные о порядке и его знаке, а 3 байта (24 разряда) уходят на хранение мантиссы и её знака по тем же принципам, что и для целочисленных значений. Зная это, мы можем провести нехитрые расчеты.

Максимальное значение п = 1111111 2 = 127 10 . Исходя из него, мы можем получить максимальный размер числа, которое может храниться в памяти компьютера. Х=2 127 . Теперь мы можем вычислить максимально возможную мантиссу. Она будет равна 2 23 — 1 ≥ 2 23 = 2 (10 × 2,3) ≥ 1000 2,3 = 10 (3 × 2,3) ≥ 10 7 . В итоге, мы получили приближенное значение.

Если теперь мы объединим оба расчета, то получим значение, которое может быть записано без потерь в 4 байта памяти. Оно будет равно Х = 1,701411 * 10 38 . Остальные цифры были отброшены, поскольку именно такую точность позволяет иметь данный способ записи.

Двойная точность

Поскольку все вычисления были расписаны и объяснены в предыдущем пункте, здесь мы расскажем всё очень коротко. Для чисел с двойной точностью обычно выделяется 11 разрядов для порядка и его знака, а также 53 разряда для мантиссы.

П = 1111111111 2 = 1023 10 .

М = 2 52 -1 = 2 (10*5.2) = 1000 5.2 = 10 15.6 . Округляем в большую сторону и получаем максимальное число Х = 2 1023 с точностью до «м».

Надеемся, информация про представление целых и вещественных чисел в компьютере, которую мы предоставили, пригодится вам в обучении и будет хоть немного понятнее, чем то, что обычно пишут в учебниках.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно

целых неотрицательных чисел . Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно нулю. Максимальное число соответствует восьми единицам и равно

А = 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 1 × 2 8 — 1 = 255 10 .

Диапазон изменения целых неотрицательных чисел чисел: от 0 до 255.

Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное — 1).

Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом числа. Например, число 2002 10 = 11111010010 2 будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно:

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код . Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.

Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в n ячейках, равен 2 n — |A|.

Дополнительный код представляет собой дополнение модуля отрицательного числа А до 0, так как в n-разрядной компьютерной арифметике:

2 n — |А| + |А| = 0,

поскольку в компьютерной n-разрядной арифметике 2 n = 0. Действительно, двоичная запись такого числа состоит из одной единицы и n нулей, а в n-разрядную ячейку может уместиться только n младших разрядов, то есть n нулей.

Для получения дополнительного кода отрицательного числа можно использовать довольно простой алгоритм:

1. Модуль числа записать в прямом коде в n двоичных разрядах.

2. Получить обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).

3. К полученному обратному коду прибавить единицу.

Запишем дополнительный код отрицательного числа -2002 для 16-разрядного компьютерного представления:

При n-разрядном представлении отрицательного числа А в дополнительным коде старший разряд выделяется для хранения знака числа (единицы). В остальных разрядах записывается положительное число

Чтобы число было положительным, должно выполняться условие

|А| £ 2 n-1 .

Следовательно, максимальное значение модуля числа А в га-разрядном представлении равно:

Тогда минимальное отрицательное число равно:

Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате длинных целых чисел со знаком (для хранения таких чисел отводится четыре ячейки памяти — 32 бита).

Максимальное положительное целое число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно:

А = 2 31 — 1 = 2 147 483 647 10 .

Минимальное отрицательное целое число равно:

А = -2 31 = — 2 147 483 648 10 .

Достоинствами представления чисел в формате с фиксированной запятой являются простота и наглядность представления чисел, а также простота алгоритмов реализации арифметических операций.

Недостатком представления чисел в формате с фиксированной запятой является небольшой диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа.

Представление чисел в формате с плавающей запятой. Вещественные числа хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой . В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться.

Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любое число. Так число А может быть представлено в виде:

Для единообразия представления чисел с плавающей запятой используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию:

1/n £ |m|

Это означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля.

Преобразуем десятичное число 555,55, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой:

555,55 = 0,55555 × 10 3 .

Здесь нормализованная мантисса: m = 0,55555, порядок: n = 3.

Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 (число обычной точности ) или 8 байтов (число двойной точности ). При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Определим максимальное число и его точность для формата чисел обычной точности , если для хранения порядка и его знака отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака — 24 разряда:

Максимальное значение порядка числа составит 1111111 2 = 127 10 , и, следовательно, максимальное значение числа составит:

2 127 = 1,7014118346046923173168730371588 × 10 38 .

Максимальное значение положительной мантиссы равно:

2 23 — 1 » 2 23 = 2 (10 × 2,3) » 1000 2,3 = 10 (3 × 2,3) » 10 7 .

Таким образом максимальное значение чисел обычной точности с учетом возможной точности вычислений составит 1,701411 × 10 38 (количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограничено 7 разрядами).

Задания

1.26. Заполнить таблицу, записав отрицательные десятичные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах в 16-разрядном представлении:

1.27. Определить диапазон представления целых чисел со знаком (отводится 2 байта памяти) в формате с фиксированной запятой.

1.28. Определить максимальное число и его точность для формата чисел двойной точности , если для хранения порядка и его знака отводится 11 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака — 53 разряда.

Правила ввода чисел

1. Числа в десятичной системе счисления могут вводиться как без дробной, так и с дробной частью (234234.455).
2. Числа в двоичной системе счисления состоят только из цифр 0 и 1 (10100.01).
3. Числа в шестнадцатеричной системе счисления состоят из цифр 0 … 9 и букв A … F .
4. Можно также получать обратное представление кода (из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, 40B00000)

Пример №2 . Представить двоичное число 101.10 2 в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Решение .
Представление двоичного числа с плавающей точкой в экспоненциальном нормализованном виде .
Сдвинем число на 2 разрядов вправо. В результате мы получили основные составляющие экспоненциального нормализованного двоичного числа:
Мантисса M=1.011
Экспонента exp 2 =2
Преобразование двоичного нормализованного числа в 32 битный формат IEEE 754 .
Первый бит отводится для обозначения знака числа. Поскольку число положительное, то первый бит равен 0
Следующие 8 бит (с 2-го по 9-й) отведены под экспоненту.
Для определения знака экспоненты, чтобы не вводить ещё один бит знака, добавляют смещение к экспоненте в половину байта +127. Таким образом, наша экспонента: 2 + 127 = 129
Переведем экспоненту в двоичное представление.
Оставшиеся 23 бита отводят для мантиссы. У нормализованной двоичной мантиссы первый бит всегда равен 1, так как число лежит в диапазоне 1 ≤ M Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
01100000000000000000000 = 2 22 *0 + 2 21 *1 + 2 20 *1 + 2 19 *0 + 2 18 *0 + 2 17 *0 + 2 16 *0 + 2 15 *0 + 2 14 *0 + 2 13 *0 + 2 12 *0 + 2 11 *0 + 2 10 *0 + 2 9 *0 + 2 8 *0 + 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 0 + 2097152 + 1048576 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3145728
В десятичном коде мантисса выражается числом 3145728
В результате число 101.10 представленное в IEEE 754 c одинарной точностью равно.
Переведем в шестнадцатеричное представление.
Разделим исходный код на группы по 4 разряда.
2 = 0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000 2
Получаем число:
0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000 2 = 40B00000 16

Рекомендуем также

Представление чисел в компьютере

Обычно входные и выходные данные представляются в форме, удобной для

человека. Числа люди привыкли изображать в десятичной системе счисления. Длякомпьютера удобнее двоичная система. Это объясняется тем, что технически гораздопроще реализовать устройства (например, запоминающий элемент) с двумя, а не сдесятью устойчивыми состояниями (есть электрический ток — нет тока, намагничен —не намагничен и т.п.). Можно считать, что одно из двух состояний означает единицу,другое — ноль.

Любые данные (числа, символы, графические и звуковые образы) в компьютере представляются в виде последовательностей из нулей и единиц. Эти последовательности можно считать словами в алфавите {0,1}, так что обработку данных внутри компьютера можно воспринимать как преобразование слов из нулей и единиц по правилам, зафиксированным в микросхемах процессора. Такой взгляд роднит вычислительные машины с абстрактными вычислителями. Вспомните машины Тьюринга или нормальные алгоритмы Маркова. Элемент последовательности из нулей и единиц (член такой последовательности) называют битом. Именительный падеж — бит.

Отображение внешней информации во внутреннее представление называется

кодированием. Кодом ( франц. code, от лат. codex — свод законов) называют как сам способ отображения, так и множество слов (кодовых комбинаций), используемых при кодировании.

Числа в памяти компьютера

Существуют два способа представления чисел в памяти ЭВМ. Они называются так: форма с фиксированной точкой и форма с плавающей точкой. Форма с фиксированной точкой применяется к целым числам, форма с плавающей точкой — к вещественным числам (целым и дробным). Под точкой здесь подразумевается знак-разделитель целой и дробной части числа.

Целые отрицательные числа.

Разберемся, как представляются отрицательные числа. Казалось бы, для этого достаточно заменить 0 на 1 в старшем (31-м) разряде ячейки памяти. Однако реально это делается несколько сложнее. Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код.

Дополнительным кодом двоичного числа X в N-разрядной ячейке является число, дополняющее его до значения 2.

Получить дополнительный код можно следующим путем:

1. записать внутреннее представление положительного числа X;

2. записать обратный код этого числа заменой во всех разрядах 0 на 1 и 1 на 0;

3. к полученному числу прибавить 1.

Определим по этим правилам внутреннее представление числа -562810 в 32-разрядной ячейке.

Шестнадцатеричная форма результата: FF FF ЕА 04.

Старший разряд в представлении любого отрицательного числа равен 1. Следовательно, он указывает на знак числа и поэтому называется знаковым разрядом.

Почему отрицательные числа представляются в дополнительном коде? Дело в том, что в этом случае операция вычитания двух чисел сводится к сложению с дополнительным кодом вычитаемого, и процессору достаточно уметь лишь складывать числа. В самом деле: А — В = А + (-В).

Если значение (-В) будет иметь форму дополнительного кода, то в памяти ЭВМ получится правильный результат.

Проверим, действительно ли в ячейке памяти получится О в результате сложения числа 5628 с числом -5628 в форме дополнительного кода.

00000000 00000000 00010101 11111100 + 11111111 11111111 11101010 000000100 = 1 00000000 00000000 00000000 00000000

Что и требовалось доказать! Единица в старшем разряде, получаемая при сложении, выходит за границу разрядной сетки машинного слова и исчезает.

Двоичное 32-разрядное число 231 является «отрицательным самому себе». Получим его дополнительный код:

Определим по этим правилам внутреннее представление числа -562810 в 32-разрядной ячейке.

Полученный код используется для представления значения -231 = -2147483648.

Следовательно, диапазон представления целых чисел в 32-разрядном машинном слове: -231 <= Х <= 231-1, или -2147483648 <= Х <= 2147483647.

В общем случае для N-разрядного машинного слова этот диапазон такой:

-2N-1 <= X <= 2N-1-1.

В современных компьютерах часто используется 16- разрядное представление целых чисел. В этом случае их диапазон следующий:

-215 <= Х <= 215-1, или -32768 <= Х <= 32767.

Выход результатов вычислений за границы допустимого диапазона называется переполнением. Переполнение при вычислениях с фиксированной точкой не вызывает прерывания работы процессора. Машина продолжает считать, но результаты могут оказаться неправильными.

Вещественные числа. Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с веществен-ными числами. Как же такие числа представляются в памяти компьютера?

Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой.

Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления р в некоторой целой степени n, которую называют порядком: R = m * рn

Например, число 25,324 можно записать в таком виде: 0.25324х102. Здесь m=0.25324 — мантисса, n=2 — порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная точка в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка».

Однако справедливы и следующие равенства: 25,324 = 2,5324*101 = 0,0025324*104 = 2532,4*102 и т.п.

Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализован-ном представлении должна удовлетворять условию: 0,1p <= m < 1p.

Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль. Значит для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0.25324 * 102. В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим один из возможных. Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (р=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:

Если обозначить машинный порядок Мр, а математический — р, то связь между ними ыразится такой формулой: Мр = р + 64 .

Итак, машинный порядок смещен относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает.

Полученная формула записана в десятичной системе. Поскольку 6410=4016 (проверьте!), то в шестнадцатеричной системе формула примет вид: Мр16 = р16 + 4016

И, наконец, в двоичной системе: Мр2 = р2+100 00002

Теперь мы можем записать внутреннее представление числа 25,324 в форме с плавающей точкой.

1. Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами.

25,32410= 11001,01010010111100011012

2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

0,110010101001011110001101*10101

Здесь мантисса, основание системы счисления (210=102) и порядок (510=1012)записаны в двоичной системе.

3. Вычислим машинный порядок.

Мр2 = 101 + 100 0000 = 100 0101

4. Запишем представление числа в ячейке памяти.

Это и есть искомый результат. Его можно переписать в более компактной шестнадцатеричной форме:

Для того, чтобы получить внутреннее представление отрицательного числа -25,324,достаточно в полученном выше коде заменить в разряде знака числа 0 на 1.

Получим:

А в шестнадцатеричной форме:

Никакого инвертирования, как для отрицательных чисел с фиксированной точкой, здесь не происходит.

Рассмотрим, наконец, вопрос о диапазоне чисел, представимых в форме с плавающей точкой. Очевидно, положительные и отрицательные числа расположены симметрично относительно нуля. Следовательно, максимальное и минимальное числа равны между собой по модулю: Rmax = |Rmin|. Наименьшее по абсолютной величине число равно нулю. Чему же равно Rmax? Это число с самой большой мантиссой и самым большим порядком: 0,111111111111111111111111*1021111111

Если перевести в десятичную систему, то получится Rmax = (1 — 2-24) * 264 = 1019

Очевидно, что диапазон вещественных чисел значительно шире диапазона целых чисел. Если в результате вычислений получается число по модулю большее, чем Rmax, то происходит прерывание работы процессора. Такая ситуация называется переполнением при вычислениях с плавающей точкой. Наименьшее по модулю ненулевое значение равно: (1/2) * 2-64=2-66.

Любые значения, меньшие данного по абсолютной величине, воспринимаются процессором как нулевые.

Как известно из математики, множество действительных чисел бесконечно и непрерывно. Множество же вещественных чисел, представимых в памяти ЭВМ в форме с плавающей точкой, является ограниченным и дискретным. Каждое следующее значение получается прибавлением к мантиссе предыдущего единицы в последнем (24-м) разряде. Количество вещественных чисел, точно представимых в памяти машины, вычисляется по формуле: N = 2t * ( U — L+ 1) + 1.

Здесь t — количество двоичных разрядов мантиссы; U — максимальное значение математического порядка; L — минимальное значение порядка. Для рассмотренного нами варианта (t = 24, U = 63, L = -64) получается: N = 2 146 683 548.

Все же остальные числа, не попадающие в это множество, но находящиеся в диапазоне допустимых значений, представляются в памяти приближенно (мантисса обрезается на 24-м разряде). А поскольку числа имеют погрешности, то и результаты вычислений с этими числами также будут содержать погрешность. Из сказанного следует вывод: вычисления с вещественными числами в компьютере выполняются приближенно.

Презентация: http://www.slideshare.net/Moravskiy/ss-9083291

Источники информации

http://7sch.ucoz.ru/index/puteshestvie_v_istoriju_chisel_sistemy_schislenija/0-147

http://uchebnik1.narod.ru/chislo.html

http://www.slideshare.net/Moravskiy/ss-9083291

Практическая работа №3 Представление чисел

Практическая работа 3

(2 часа)

Представление информации в различных системах счисления

Цель работы. Изучение методов перевода чисел из одной системы счисления в другую. Изучение способов представления числовой информации в компьютере

План

1. Изучить методы перевода целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

1. Изучить методы перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

1. Изучить методы перевода вещественных чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

2. Изучить методы перевода чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему счисления

3. Изучить методы перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и наоборот

4. Изучить представление целых и вещественных чисел в компьютере

5. Ответить на контрольные вопросы

Краткие сведения

В двоичной системе счисления все числа записываются с помощью двух цифр 0 или 1, основание (базис) двоичной системы счисления q=2.

В восьмеричной системе счисления все числа записываются с помощью восьми цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, основание восьмеричной системы счисления q=8.

В десятичной системе счисления все числа записываются с помощью десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В шестнадцатеричной системе счисления все числа записываются с помощью шестнадцати цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (количественный эквивалент числа 10), B (11), C (12), D(13), E (14), F (15), базис шестнадцатеричной системы счисления q=16. Рассмотрим соотношение цифр и чисел в различных системах счисления (Таблица 1).

Для того, чтобы выполнить перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную необходимо последовательно умножать правильную дробь и получаемые дробные части произведений на основание системы q до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.

Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 2. Перевести число 0,65625₁₀ в восьмеричную систему счисления.

Получаем: 0,65625₁₀ = 0,52₈

Перевод вещественных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

Таким образом, 9С₁₆+0,5В216=9С,5В2₁₆. Получаем: 156,356₁₀ 9С,5В2₁₆

При переводе чисел из системы счисления с основанием q в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо – начальный номер -1. Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание q системы счисления в степени, равной номеру разряда

Пример 4. Перевести число 10110110111,101₂ в десятичную систему счисления

+1*2⁰+1*2^-1+0+2^-2+1*2^-3= =512+0+128+64+0+16+8+0+2+1+0,5+0+0,125=731,625₁₀

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени. При этом в целой части числа группировка производится справа налево, а в дробной слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываются нули: в целой части — слева, в дробной – справа. Затем каждая группа заменяется цифрой новой системы счисления (Таблица 1).

При переводе чисел из системы счисления, основанием которой является степень двойки, в двоичную систему счисления необходимо каждую цифру заменить группой по столько цифр двоичной системы счисления, каков показатель степени. Затем записать цифры слева направо.

Пример 5. Перевести число 1011010010111,1011₂ в восьмеричную систему счисления

Разбиваем число на тройки цифр и заменяем каждую триаду восьмеричной цифрой:

001 011 010 010 111,101 100₂

^{1 3 2 2 7 5 4}

Получим 1011010010111,101100₂=13227,54₈

Пример 6. Перевести число 801А9Е,3F₁₆ в двоичную систему счисления

Заменим каждую цифру четверкой двоичных цифр: 8 0 1 А 9 Е, 3 F₁₆

^{1000 0000 0001 1010 1001 1110 0011 1111}

Получим 801А9Е,3F16=100000000001101010011110,00111111₂

Задания к практической работе

1) Выполнить перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

2) Выполнить перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

3) Выполнить перевод вещественных чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

4) Выполнить перевод чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему счисления

а) Выполнить перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную:

б) Выполнить перевод числа из восьмеричной системы счисления в десятичную:

в) Выполнить перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную:

5) Выполнить перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и наоборот.

а) Выполнить перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную:

б) Выполнить перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную:

в) Выполнить перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

Контрольные вопросы

Обязательная часть

1. Чем отличаются позиционные система счисления от непозиционных?

2. Почему в компьютере используется двоичная система счисления?

3. Какие формы записи применяются в компьютерной технике для кодирования целых чисел со знаком?

4. В чем заключается преимущество экспоненциальной формы числа?

Дополнительная часть

1. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт): 31; 65;-63;-128

2. Запишите числа в обратном коде (формат 1 байт): -9; -127; -15; -128

3. Запишите числа в дополнительном коде (формат 1 байт): -9; -127; -15; -128

4. Переведите пары чисел в двоичную систему счисления и произведите арифметические операции: 36 и 4; 75 и 5; 12 и 4. Ответы проверьте.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ПАМЯТИ КОМПЬЮТЕРА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ПАМЯТИ КОМПЬЮТЕРА

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Любая информация в ЭВМ представляется в виде двоичных кодов. Отдельные элементы двоичного кода, принимающие значение 0 или 1, называют разрядами или битами. Память компьютера условно делиться на отсеки или ячейки, каждая из которых имеет свой номер. Нумерация начинается с нуля. Минимальной адресуемой ячейкой памяти называется байт – 8 двоичных разрядов. порядковый номер байта называется его адресом. Наибольшую последовательность битов, которую процессор может обрабатывать как единое целое, называют машинным словом. Длина машинного слова может быть разной — 8 , 16 , 32 бит и т. д. Двоичные разряды в любой ячейке памяти нумеруются справа налево, начиная с нуля. Существуют два основных формата представления чисел в памяти компьютера. Один из них используется для кодирования целых чисел, второй (так называемое представление числа в формате с плавающей точкой) используется для задания некоторого подмножества действительных чисел. Для положительных и отрицательных чисел существует знаковый способ представления числа. Под знак отводится старший разряд ячейки: 0 — для положительных чисел, 1 — для отрицательных чисел. 2

Для упрощения реализации арифметических операций в компьютере целые числа представляются специальными кодами — прямым, обратным и дополнительным. Для положительного числа прямой, обратный и дополнительный коды выглядят одинаково. Прямой код двоичного числа — это само двоичное число, причем значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел -1. Обратный код отрицательного числа получается из прямого кода путем замены нулей единицами, а единиц нулями, исключая знаковый разряд. Дополнительный код отрицательного числа образуется как результат суммирования обратного кода с единицей младшего разряда. Перенос в знаковый разряд при этом теряется. Примечание. Дополнительный код основан на понятии дополнения числа величины, которую надо добавить к числу, чтобы получить переход единицы в старшем разряде. Дополнением k-разрядного целого числа Z в системе счисления с основанием q называется величина: D = q k — Z. 3

Пример 1. Определить прямой, обратный и дополнительный коды следующих двоичных чисел: а)100100; б) -100011; в) -100100. Решение Будем считать, что число размещается в двух байтах. Старший бит – знак разряда. Незначащие нули добавляются слева от числа. Результат представим в виде таблицы: Прямой код Обратный код Дополнительный код 100100 0000000000100100 -100011 100000100011 11111011100 11111011101 -100100 100000100100 11111011011 11111011100 Число 4

Пример 2. Как будет представлено в памяти компьютера целое число 1234510 ? Решение Для размещения числа возьмем два байта. Поскольку число положительное, то в старшем (15 -м) бите будет 0. Переведем число в двоичную систему счисления: 1234510 = 110000001110012. Результат: 0 Знак числа 0110000 00111001 число 5

ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА В ЭВМ 6

Особенности двоичной системы счисления позволяют создавать специфические алгоритмы вычитания и умножения двоичных чисел, наиболее подходящие для аппаратной реализации. Целочисленная двоичная арифметика используется при изучении программирования, в процессе освоения операторов цикла, оператора выбора, стандартных процедур val и str, операций над целыми числами div и mod, операций над строковыми величинами. Сложение чисел производится в дополнительных кодах поразрядно. При выполнении арифметических операций число может выйти за указанные границы. Произойдет переполнение разрядной сетки, поэтому при работе с большими целыми числами под них выделяется больше места, например 4 байта. Чтобы избежать ситуации переполнения, в языках программирования предусмотрено строгое описание типа переменной, которым определяется набор возможных ее значений. Вычитание целых чисел эквивалентно сложению с отрицательным числом. Отрицательное число может быть представлено в прямом коде. Однако использование прямого кода усложняет структуру команд процессора. При выполнении сложения чисел с разными знаками требуется выбрать из них большее по модулю, затем вычесть из него меньшее, выяснить знак большего и присвоить этот знак остатку. По этой причине в компьютерах используется представление отрицательного числа в дополнительном коде. Таким образом, операция вычитания выполняется как сложение с дополнительным кодом вычитаемого. 7

Операции умножения и деления выполняются в прямом коде с использованием итерационных алгоритмов (ряда повторяющихся шагов). Умножение двоичных чисел сводится к двум операциям: сложения и сдвига. Операция деления для целых чисел однозначно не определена, поскольку в общем случае приводит к появлению нецелых (вещественных) чисел. Существуют различные методы и алгоритмы реализации этой операции в разных процессорах. Пример 1. Выполнить операцию вычитания 25 -34. Учтем, что 25 -34 = 25+ (-34). Переведем числа 25 и 34 в двоичную систему счисления: 2510 = 110012 и 3410 = 1000102. Запишем прямые, обратные и дополнительные коды, воспользовавшись 8 -разрядной сеткой: Число Прямой код Обратный код Дополнительный код 25 00011001 -34 10100010 11011110 После сложения дополнительных кодов получим код 11110111. Единица в старшем бите полученного кода означает, что число отрицательное. Следовательно, результат надо перевести в обратный, а затем в прямой код: 11110111 -> 10001001. Полученный результат интерпретируется как десятичное число: -10012= -910. 8

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 9

В отличие от целых чисел, которые представляются в памяти машины абсолютно точно, значения вещественных чисел являются приближенными. В некоторых областях вычислений требуются очень большие или малые действительные числа. Для получения большей точности применяют запись чисел с плавающей точкой. В общем случае в формате с плавающей точкой число представляется в виде произведения двух сомножителей: R=m*Pn где m -мантисса числа; Р — основание системы счисления; n — порядок, указывающий, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться точка, отделяющая дробную часть в мантиссе. Например, число 5, 14 может быть записано 0, 514∙ 101 или 51, 4∙ 10 -1 и т. д. Запятая (десятичная точка) перемещается, или «плавает» , вправо и влево в зависимости от порядка числа. При работе с числами в языках программирования и вычислительных системах используется экспоненциальная форма записи: R = m∙E±n, где Е — десятичное основание системы. Например, 3, 1467890000 Е + 2 = 314, 6789 Нормализованная мантисса меньше единицы и первая значащая цифра не ноль. 10

РАЗМЕЩЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ 11

Метод представления вещественных чисел в памяти компьютера предполагает хранение двух чисел: мантиссы и порядка. Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон чисел, представимых в машине при заданном формате. Правила кодирования мантиссы и порядка отличаются для различных типов машин. Рассмотрим для начала один из вариантов представления вещественных чисел. Для размещения вещественного числа могут использоваться четыре байта (32 бита) — короткий формат, 8 байтов длинный формат, 16 байтов — формат повышенной точности. В любом случае старший байт остается постоянным, а изменяется область, отведенная под мантиссу. Старший байт включает в себя: один бит (старший) — знак числа; один бит — знак порядка; шесть битов — порядок числа. В таком представлении максимальный порядок числа равен 1111112 = 6310. Следовательно, 1063 — максимальное число, которое можно закодировать таким образом: Третий байт порядок знак порядка знак мантиссы Второй байт Первый байт Нулевой байт мантисса 12

Пример 1. Как будет представлено в памяти компьютера число — 123, 4510 ? Решение Представим число в 4 байтах. Нормализованный вид: -0, 12345∙ 103. Число отрицательное, поэтому старшим (31 -й) бит равен 1. Порядок равен 3, он положительный, значит, З 0 -й бит равен 0. Число 3 в двоичной системе счисления имеет вид 11. Чтобы записать его в оставшихся 6 битах старшего байта, необходимо добавить незначащие нули. Таким образом, старший байт имеет вид: 10000011. Найдем двоичное представление мантиссы 0, 12345 по алгоритму перевода дробной части, 24 раза умножив ее на 2. Результат: Пример 2. Раскодировать содержимое четырех байтов памяти: а) как два целых числа; б) как одно вещественное: 01000101 10000000 Решение а) 17793; -128; б) приблизительно 0, 5058593 • 10 -3 (порядок записан в дополнительном коде). 13

Положительные и отрицательные значения порядка существенно усложняют обработку вещественных чисел. Поэтому во многих современных компьютерах используют не прямое значение порядка, а смещенное. Его называют характеристикой числа. Для разных типов ЭВМ существуют разные варианты смещения порядка. Рассмотрим один из вариантов. Запись вещественного числа имеет структуру следующего вида: n-1 n-2 ∙∙∙ Знак мантиссы Смещенный порядок ∙∙∙ Абсолютная величина мантиссы Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка прибавляют смещение, равное 2 k-1. Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от -64 до +63, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 127. Прокомментируем этот случай. В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа от 0000000 до 1111111. В десятичной системе счисления это числа от 0 до 127. Всего 128 значений, которые разделяются поровну между положительными и отрицательными значениями порядка в диапазоне от -63 до 63. Связь между смещенным порядком S и математическим Р в данном случае выражается формулой: S = Р + 6410 = P + 100 00002. 14

Пример 3. Записать внутреннее представление числа 250, 1875 в форме с плавающей точкой в 4 -х байтовом машинном слове. Решение: 1. Переведем число в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами (3 байта под мантиссу): 250. 187510= 11111010, 00110000002. 2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой: 0, 111110100011000000∙ 1010002. Здесь мантисса, основание системы счисления (210 = 102) и порядок (810 = 10002) записаны в двоичной системе. 3. Вычислим характеристику: S 2 =1000 + 1000000 = 1001000. 4. Запишем представление числа в 4 -байтовой ячейке памяти с учетом знака числа: 0 1001000 11111010 00110000 Шестнадцатеричная форма: 48 FA 3000. 15

СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ 16

Выполнение арифметических действий над числами с плавающей запятой гораздо сложнее целочисленной арифметики. Для некоторых процессоров (в частности Intel) операции над вещественными числами вынесены в отдельный узел, который называют математическим сопроцессором. Сложение чисел с плавающей запятой выполняется в соответствии со следующим алгоритмом. 1. Представить числа А и В в нормализованном виде, записав отдельно значения мантисс и порядков. 2. Выровнять порядки по числу с большим порядком. 3. Выровнять число цифр в мантиссах по числу, порядок которого не изменился. 4. Сложить числа. 5. Нормализовать сумму, оставив число цифр в мантиссе таким, как у числа, порядок которого не изменялся. 17

Пример. Найти сумму чисел А = 9, 6098 и В = 98, 009 по правилу сложения чисел с плавающей запятой. Решение: Результат представим в виде таблицы: Шаг Число Нормализованное число Порядок Мантисса Число цифр в мантиссе 1 А=9, 6098 0, 96098∙ 101 1 96098 5 В=98, 009 0, 98009∙ 102 2 98009 5 2 А 0, 096098∙ 102 2 096098 6 3 А 0, 09609∙ 102 2 09609 5 4 А+В 1, 07618∙ 102 2 — — 5 А+В 0, 101761∙ 103 3 10761 5 18

Действительные числа и числовая точность

Введение

Важным аспектом вычислительной физики является числовая точность. Спроектировать хороший алгоритм, нужно иметь базовое представление о распространении неточностей и ошибки, связанные с расчетами. Нет волшебного рецепта для борьбы с недостаточным потоком , избыточным потоком , накопление ошибок и потеря точности , и только тщательный анализ функций участие может спасти от серьезных проблем.

Поскольку нас интересует точность численного исчисления, нам нужно понимать как компьютеры представляют действительные и целые числа. Большинство компьютеров работают с действительными числами в двоичной системе, или восьмеричной и шестнадцатеричной, в отличие от десятичной системы, которую мы люди предпочитают использовать. В двоичной системе за основу берется 2, почти так же, как и в двоичной системе. В десятичной системе используется 10. Поскольку обычный компьютер общается с нами в десятичной системе, но работает внутренне, например, в двоичной системе, должны выполняться процедуры преобразования. на компьютере, и эти преобразования, как мы надеемся, включают только небольшие ошибки округления

Компьютеры также не могут работать с действительными числами, выраженными более чем фиксированное количество цифр, а возможный набор значений — это только подмножество математических целые или действительные числа.Так называемая длина слова, которую мы резервируем для данного числа, помещает ограничение на точность представления данного числа. Это, в свою очередь, означает что, например, плавающие числа всегда округляются до машинно-зависимой точности, обычно с 6-15 ведущими цифрами справа от десятичной точки. Кроме того, каждый такой Набор значений имеет наименьшее отрицательное и наибольшее положительное значение, зависящее от процессора. Почему мы вообще заботимся о округлении и точности станка?

Пример: потеря точности при вычитании почти равных чисел

Предположим, что мы можем представить плавающее число с точностью до 5 цифр только справа от десятичной точки.Это не что иное, как наш выбор, он имитирует способ представления чисел в машине. Затем мы пытаемся оценить функцию

f (x) = 1 − cos⁡xsin⁡x {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1- \ cos x} {\ sin x}}}

для малых значений x {\ displaystyle x}. Обратите внимание, что мы также можем переписать это выражение, умножив знаменатель и числитель на 1 + cos (x) {\ displaystyle 1 + cos (x)}, чтобы получить эквивалентное выражение

f (x) = sin⁡x1 + cos⁡x {\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ sin x} {1+ \ cos x}}}.{-2}}

, что также является точным результатом. В первом выражении из-за нашего выбора точности у нас есть только одна значимая цифра в числителе после вычитания. Это приводит к потере точности и неверному результату из-за отмены двух почти равных чисел . Если бы мы выбрали точность в шесть ведущих цифр, оба выражения дали бы один и тот же ответ. Если бы мы оценили x∼π {\ displaystyle x \ sim \ pi}, то второе выражение для f (x) {\ displaystyle f (x)} может привести к потенциальной потере точности из-за отмены почти равных чисел.

Этот простой пример демонстрирует потерю числовой точности из-за ошибок округления, , где количество ведущих цифр теряется при вычитании двух почти равных чисел . Урок, который следует извлечь, состоит в том, что мы не можем вычислить функцию вслепую. Нам всегда нужно будет тщательно анализировать наш алгоритм в поисках потенциальных ловушек. Однако волшебного рецепта не существует, единственным ориентиром является понимание того факта, что машина не может правильно отображать все числа.{2} + bx + c = 0}

, где a = 1 {\ displaystyle a = 1}, b = −12,4 {\ displaystyle b = -12,4} и c = 0,494 {\ displaystyle c = 0,494}, вычисляя квадратную формулу с использованием трехзначной десятичной арифметики и беспристрастное округление. Точные корни, округленные до 6 цифр, составляют 0,0399675 и 12,3600.

Этот пример иллюстрирует важную числовую проблему, называемую отменой или потерей значимости, которая проявляется при вычитании значений почти равной величины. Отмена происходит, когда цифры, необходимые для точного определения разницы, были отброшены округлением в предыдущих вычислениях из-за конечной точности машинной арифметики.Проблемы возникают, когда эта разница является промежуточным результатом, который необходимо использовать для завершения вычисления — большинство значащих цифр, которые остаются после округления, удаляются вычитанием.

Чтобы усложнить ситуацию, цифры, которые становятся значимыми после вычитания, могут иметь точность только до нескольких разрядов из-за предыдущих ошибок округления в двух вычитаемых значениях. {2} -4ac}}}. .{2} + bx + c = 0}, произведение корней, r1r2 = c / a {\ displaystyle r_ {1} r_ {2} = c / a}. Таким образом, второй корень может быть получен путем деления, что позволяет обойти проблему отмены, описанную выше.

Два разных алгоритма решения квадратного уравнения закодированы в функциях gquad_solver.m и bquad_solver.m на странице примеров кода.

Представление действительных чисел в цифровых компьютерах: одинарная и двойная точность

Действительные числа хранятся с десятичной точностью (или мантиссой) и диапазоном десятичной экспоненты.{-5}}

, и он имеет точное представление машинного номера, поскольку нам нужно конечное число битов для представления этого числа. Однако это представление не очень практично. Скорее, мы предпочитаем использовать научную нотацию. В десятичной системе мы записали бы число вроде 9,

ВСЕ О ЦЕЛОМ ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВЕ.
---------------------------------

Компьютеры работают с двоичными значениями (в результате того, что они построены из
транзисторы).


есть разные двоичные представления для целых чисел
возможные квалификации:
  1.только положительные числа
  2. положительные и отрицательные числа
  3. легкость восприятия человеком
  4. скорость компьютерных операций

есть 4 общеизвестных (1 не распространенных) целочисленных репрентации.
Все они использовались в разное время по разным причинам.
   1. без знака
   2. величина знака
   3. дополнение
   4. дополнение до двух
   5. предвзятый (малоизвестный)

практически все современные компьютеры работают по системе до двух.
 представление. Почему?
   1. оборудование быстрее
   2. железо проще (что делает его быстрее)


НЕ ПОДПИСАНО
--------
стандартная двоичная кодировка уже указана

только положительные значения

диапазон: от 0 до 2 ** n - 1, для n бит

пример: 4 бита, значения от 0 до 15
n = 4, 2 ** 4-1 это 15

двоичный десятичный шестнадцатеричный двоичный десятичный шестнадцатеричный
0000 0 0 1000 8 8
0001 1 1 1001 9 9
0010 2 2 1010 10 а
0011 3 3 1011 11 б
0100 4 4 1100 12 в
0101 5 5 1101 13 дн.
0110 6 6 1110 14 e
0111 7 7 1111 15 ж



ЗНАК МАГНИТУДА
--------------

удобочитаемый способ получения как положительных, так и отрицательных целых чисел.Hw, который выполняет арифметические операции с целыми числами знаковой величины
не быстро, и он сложнее, чем hw, который выполняет арифметические операции
на 1 комп. и 2-е комп. целые числа.

используйте 1 бит целого числа для представления знака целого числа

    пусть знаковый бит 0 будет положительным,
1 быть отрицательным.

остальная часть целого числа является величиной с использованием той же кодировки
как целые числа без знака

пример: 4 бита
0101 это 5

1101 это -5

чтобы получить аддитивное обратное число, просто переверните
  (не, инвертировать, дополнять, отрицать) знаковый бит.диапазон: - (2 ** (n-1)) + 1-2 ** (n-1) -1
               где n - количество бит
      
4 бита, от -7 до +7
n = 4, - 2 ** 3 + 1 до 2 ** 3 - 1
От -8 + 1 до 8-1


из-за знакового бита есть 2 представления для 0.
Это проблема оборудования. . .

    0000 - 0, 1000 - 0
    компьютер должен производить все вычисления таким образом, чтобы они
    выходят правильно и одинаково, независимо от того, какое представление используется.



ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
----------------

исторически важны, и мы используем это представление, чтобы получить
  Целые числа с дополнением до 2.Сейчас никто не строит машины, основанные на 1-х комп. целые числа.
В прошлом ранние компьютеры, созданные Семуром Крэем (в CDC)
были основаны на 1 комп. целые числа.


положительные целые числа используют то же представление, что и беззнаковые.
     
     00000 это 0
     00111 - 7 и т. Д.

отрицание (нахождение аддитивного обратного) выполняется побитовым
дополнение к положительному представлению.

  ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ. ИНВЕРТИРОВАТЬ. НЕТ. КУВЫРОК. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ.
       логическая операция, выполняемая с одним битом
дополнение до 1 равно 0.дополнение 0 равно 1.


-1 -> дубль +1, 00001
дополнить каждый бит 11110

              то есть -1.

не добавляйте и не убирайте биты.



ПРИМЕРЫ: 11100 это должно быть отрицательное число.
чтобы узнать что, найдите добавку
обратный!
00011 - +3 на вид,
поэтому 11100 должно быть -3


  на что следует обратить внимание: 1. любое отрицательное число будет иметь 1 в старшем разряде.
2. есть 2 представления для 0,
00000 и 11111.



ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
----------------

вариант 1 дополнения, который НЕ имеет двух представлений для
0.Это делает оборудование, которое выполняет арифметические операции, быстрее, чем
другие представления.

  3-битный пример:
  битовая комбинация: 100101110111 000 001010 011

  Комбинация 1: -3-2-1 0 0 1 2 3

  2-х комп .: -4-3-2-1 0 1 2 3

  все отрицательные значения "скользят" вниз на единицу, устраняя
  дополнительное нулевое представление.



  как получить целое число в 2 комп. представление:

    положительные значения такие же, как для sign / mag и 1's comp.
    у них будет 0 в MSB (но это НЕ знаковый бит!)


    положительный: просто запишите значение, как раньше
    отрицательный:
примите положительное значение 00101 (+5)
возьмите 1 комп.11010 (-5 в 1 комп.)
добавить 1 + 1
------
11011 (-5 в 2-х комп.)

  чтобы получить аддитивную инверсию целого числа comp 2,
      1. возьмите 1 комп.
      2. добавить 1

  добавить 1, не зная, как добавить:
    начинать с LSB для каждого бита (работая справа налево)
      пока бит равен 1, измените его на 0.
      когда встречается 0, измените его на 1 и остановитесь.
      остальные биты остаются такими же, как были.

  ПРИМЕР:
       какое десятичное значение представляет два дополнения 110011?

       Это должно быть отрицательное число, так как самый старший бит
       это 1.Следовательно, найдите аддитивный обратный:

110011 (2 комп.?)

001100 (после дополнения до 1)
+1
------
001101 (2 комп. +13)

Следовательно, его аддитивная инверсия (110011) должна быть -13.



НЕМНОГО НА ДОБАВЛЕНИЕ
----------------------
  мы увидим, как это сделать на самом деле, в следующей главе, но вот
  краткий обзор.


нести в сумме выполнять
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1

       0011
      + b +0001
      - -----
     сумма 0100


  это действительно так же, как мы делаем для десятичных чисел!
    0 + 0 = 0
    1 + 0 = 1
    1 + 1 = 2, что равно 10 в двоичном формате, сумма равна 0 и несет 1.1 + 1 + 1 = 3 сумма равна 1 и несет 1.




ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
---------------------

целочисленное представление, которое искажает битовые шаблоны так, чтобы
выглядят как беззнаковые, но на самом деле представляют собой отрицательные числа.

    примеры: даны 4 бита, мы значения смещаем на 2 ** 3 (8)

ИСТИННАЯ СТОИМОСТЬ, которая будет представлена ​​3
добавить в смещение +8
----
беззнаковое значение 11

так что битовая комбинация 3 в 4-битном смещенном 8-представлении
будет 1011

      

идя другим путем, предположим, что нам дали
предвзятое представление-8 как 0110

беззнаковый 0110 представляет 6
вычесть смещение - 8
----
ИСТИННОЕ ЗНАЧЕНИЕ представлено -2


    это представление позволяет выполнять операции со смещенными числами
    быть таким же, как для целых чисел без знака, но фактически представляет
    как положительные, так и отрицательные значения.выбор предвзятости:
      выбираемое смещение чаще всего основано на количестве бит
      доступно для представления целого числа. Чтобы получить прибл.
      равное распределение истинных значений выше и ниже 0,
      смещение должно быть 2 ** (n-1) или (2 ** (n-1)) - 1




РАСШИРЕНИЕ ЗНАКА
--------------
как преобразовать целое число с меньшим количеством битов в
такое же целое число (такое же представление) с большим количеством бит.

это должно быть сделано много с помощью арифметических устройств, поэтому лучше всего
пройти через это.по представлению:
  без знака: xxxxx -> 000xxxxx
скопируйте исходное целое число в младшие биты и поместите 0 в другое место

  величина знака: sxxxx -> s000xxxx
скопируйте исходную целочисленную величину в младшие биты,
поместите исходный знак в MSB и поставьте 0 в другом месте

  Комбинации 1 и 2: так называемое РАСШИРЕНИЕ ЗНАКА.
скопируйте исходное целое число в младшие биты,
возьмите MSB исходного целого числа и скопируйте его в другое место.

пример: 0010101
000 0010101

11110000
11111111 11110000


ПЕРЕПОЛНЕНИЕ
--------

иногда значение не может быть представлено в ограниченном количестве
разрешенных бит.Примеры:
    беззнаковый, 3 бита: для 8 потребуется как минимум 4 бита (1000)
    знаковая магн., 4 бита: для 8 потребуется не менее 5 бит (01000)


когда значение не может быть представлено в разрешенном количестве битов,
мы говорим, что произошло переполнение. Переполнение происходит при выполнении
арифметические операции.

      пример: 3-битное представление без знака

011 (3)
+ 110 (6)
---------
? (9) для представления
значение 9 в беззнаковой репутации.



ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЖА
------------------------

все, что представлено компьютером, представлено двоичными последовательностями.Обычное нецелое число, которое необходимо представить, - это символы.
Мы используем стандартные кодировки (двоичные последовательности) для представления символов.

ПОМНИТЕ: битовые шаблоны НЕ подразумевают представление


Многие устройства ввода-вывода работают с 8-битными величинами.
Стандартный код ASCII (Американский стандарт компьютерной информации
Interchange) определяет, какой символ представлен каждой последовательностью.

  Примеры:
    0100 0001 - это 41 (шестнадцатеричное) или 65 (десятичное). Он представляет собой "А"
    0100 0010 - это 42 (шестнадцатеричное) или 66 (десятичное). Он представляет собой `B '


    Для каждого символа используются разные битовые комбинации.
    что нужно представить.У кода есть несколько хороших свойств. Если битовые комбинации сравниваются,
(делая вид, что они представляют собой целые числа), то `A '


    предположим, что пользователь вводит "3"
       результат целое число
   шаги:

      для `3 '5` 4'

      читать "3"
      переведите `3 'в 3

      прочитать "5"
      переведите `5 'в 5
      целое число = 3 * 10 + 5 = 35

      читать "4"
      переведите `4 'в 4
      целое число = 35 * 10 + 4 = 354

  алгоритм:
     
     целое число = 0
     пока есть еще персонажи
       получить характер
       цифра

В реальном мире у нас тоже есть аналогичная проблема, только
имея дело с печатью целых чисел.АЛГОРИТМ: целое число -> символьная строка
   шаги:
   для 354 (целое число) выясните, сколько символов существует (3)

   354 дел. 100 дает 3
   переведите 3 в `3 'и распечатайте его
   354 по модулю 100 дает 54

   54 дел 10 дает 5
   переведите 5 в `5 'и распечатайте
   54 мод 10 дает 4

   4 деление 1 дает 4
   переведите 4 в `4 'и распечатайте его
   4 мод 1 дает 0, так что все готово


ПРИМЕЧАНИЕ. Эти алгоритмы работают одинаково с базами, отличными от 10.
Просто измените 10 на желаемую базу. (Есть некоторые дополнительные
работать в базах> 10, т.к. надо переводить цифры> 9
в персонажей.Например, 12 (десятичное) - это c (шестнадцатеричное).)



ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКИ
----------------------------------------

Компьютеры представляют реальные ценности в форме, аналогичной форме
научная нотация. Существуют стандарты, определяющие, что
Представление означает, что между компьютерами будет согласованность.

Обратите внимание, что это не единственный способ представить числа с плавающей запятой.
чисел, это просто стандартный способ IEEE.

Вот что мы делаем:

представление

-------------------
| S | E | F |
-------------------

    S - один бит, представляющий знак числа
    E - 8-битное целое число со смещением, представляющее показатель степени
    F - целое число без знака

 представленное значение:

              S e
(-1) х f х 2

 куда
e = E - смещение
                   п
f = F / 2 + 1
 
 для чисел с одинарной точностью (акцент в этом классе)
       n = 23
       bias = 127



Что все это значит? (Здесь все для
Представление IEEE с плавающей запятой одинарной точности.)
  -> S, E, F представляют поля в представлении. Каждый
      это просто набор битов.

  -> S - это просто знаковый бит. 0 для положительного, 1 для отрицательного.

  -> E - поле экспоненты. Поле E является предвзятым представлением-127.
      Итак, истинная экспонента представлена ​​(E - смещение). Основание для
      номер ВСЕГДА 2.

      Примечание. Компьютеры, которые не использовали это представление, например
построенные до стандарта, не всегда использовали систему счисления 2.
Пример: некоторые машины IBM имеют систему счисления 16.-> F - мантисса. Он находится в несколько измененном виде. Есть
      Для мантиссы доступно 23 бита. Получается, что если эт. пт.
      числа всегда хранятся в нормализованном виде, тогда ведущие
      бит (тот, что слева, или MSB) всегда равен 1. Итак, зачем хранить
      это вообще? Он возвращается в число (что дает 24 бита
      точности мантиссы) для любых вычислений, но у нас есть только
      хранить 23 бита.

      Этот MSB называется СКРЫТЫМ БИТОМ.


Пример: поставить десятичное число 64.2 в сингл IEEE
точное представление.

первый шаг:
получить двоичное представление для 64,2
для этого получите бинарных повторений. для вещей слева
и справа от десятичной точки отдельно.

64 это 1000000

.2 можно получить, используя алгоритм:

.2 x 2 = 0,4 0 (мсб)
0,4 х 2 = 0,8 0
0,8 х 2 = 1,6 1
0,6 х 2 = 1,2 1

.2 x 2 = 0,4 0, теперь весь этот паттерн (0011) повторяется.
0,4 х 2 = 0,8 0
0,8 х 2 = 1,6 1
0,6 х 2 = 1.2 1


поэтому двоичное представление для .2 будет .001100110011. . .



Снова соединяем половинки:
64.2 - это 1000000.0011001100110011. . .


      второй шаг:
нормализовать двоичное представление. (сделай так, чтобы это выглядело
научная нотация)

6
1.000000 00110011.. . х 2

      третий шаг:
6 - истинный показатель степени. Для стандартной формы необходимо:
быть в предвзятой-127 форме.

6
+ 127
-----
133 (значение смещенной экспоненты)

133 в 8-битном представлении без знака - 1000 0101

это битовая комбинация, используемая для E в стандартной форме.четвертый шаг:
сохраненная мантисса (F) - это материал справа от точки счисления
в нормальном виде. Нам нужно 23 бита.

000000 00110011001100110


      собрать все вместе (и включить правильный знаковый бит):

S E F
0 10000101 00000000110011001100110

      значения часто даются в шестнадцатеричном формате, поэтому здесь

0100 0010 1000 0000 0110 0110 0110 0110

     0x 4 2 8 0 6 6 6 6

     или

     42806666h



Некоторые дополнительные детали:

 -> Поскольку числа с плавающей запятой всегда хранятся в обычном
      форма, как мы представляем 0?

       (Что значит фл.пт. число 0x3f80 0000 представляют?)
       (Что означает номер 0x0080 0000?)

      Берем битовые комбинации 0x0000 0000 и 0x8000 0000
      для представления значения 0.

       (Какие плоские числа из-за этого не могут быть представлены?)

 -> Другие особые значения:

       + бесконечность 0 11111111 00000 ... (0x7f80 0000)
       -infinity 1 11111111 00000 ... (0xff80 0000)

       NaN (не число)? 11111111 ????? ...
(S равно 0 или 1, E = 0xff, а F - что угодно, кроме нулей)

 

  >>> тип (1)
<класс 'int'>
  

  >>> 1000000
1000000

>>> 1_000_000
1000000
  

  >>> тип (1.0)
<класс 'float'>
  

  >>> float ("1.25 дюймов)
1,25
  

  >>> 1000000.0
1000000,0

>>> 1_000_000.0
1000000,0

>>> 1e6
1000000,0
  

  >>> 200000000000000000.0
2e + 17
  

  >>> п = 2e400
>>> п
инф
>>> тип (n)
<класс 'float'>
  

  >>> 1 - 1
0

>>> 5,0 - 3
2.0
  

  >>> 1 - -3
4

>>> 1 --3
4

>>> 1- -3
4

>>> 1--3
4
  

  >>> 3 * 3
9

>>> 2 * 8.0
16.0
  

  >>> 9/3
3.0

>>> 5,0 / 2
2,5
  

  >>> 9 // 3
3

>>> 5.0 // 2
2.0

>>> -3 // 2
-2
  

  >>> 1/0
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ZeroDivisionError: деление на ноль
  

  >>> 2 ** 2
4

>>> 2 ** 3
8

>>> 2 ** 4
16
  

  >>> 3 ** 1,5
5,196152422706632

>>> 9 ** 0,5
3.0
  

  >>> 2 ** -1
0,5

>>> 2 ** -2
0,25
  

  >>> 5% 3
2

>>> 20% 7
6

>>> 16% 8
0
  

  >>> 1% 0
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ZeroDivisionError: целочисленное деление или по модулю нуля
  

  >>> 5% -3
-1

>>> -5% 3
1

>>> -5% -3
-2
  

  >>> 2 * 3 - 1
5

>>> 4/2 + 2 ** 3
10.0

>>> -1 + (-3 * 2 + 4)
-3
  

  >>> 0.1 + 0,2
0,30000000000000004
  

  0.00011001100110011001100110011 ...
  

  0,1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
  

  >>> круглый (2.3)
2

>>> круглый (2.7)
3
  

  >>> круглый (2,5)
2

>>> круглый (3,5)
4
  

  >>> круглый (3,14159, 3)
3,142

>>> круглый (2.71828, 2)
2,72
  

  >>> круглый (2,65, 1,4)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
    круглый (2,65, 1,4)
TypeError: объект float нельзя интерпретировать как целое число
  

  >>> # Ожидаемое значение: 2.68
>>> круглый (2,675, 2)
2,67
  

  >>> абс (3)
3

>>> абс (-5,0)
5.0
  

  >>> число = 2,5
>>> num.is_integer ()
Ложь

>>> число = 2.0
>>> num.is_integer ()
Правда
  

  Введите число: 5,432
5,432 с округлением до 2 знаков после запятой составляет 5,43
  

  user_input = input («Введите число:»)
  

  округленное_число = круглое (число; 2)
  

  print (f "{число} с округлением до 2 десятичных знаков равно {округленное_число}")
  

  >>> п = 7,125
>>> f "Значение n равно {n}"
"Значение n равно 7,125"
  

  >>> п = 7,125
>>> f "Значение n равно {n: .2f}"
"Значение n равно 7,12"
  

  >>> п = 7,126
>>> f "Значение n равно {n: .2f}"
«Значение n равно 7,13».
  

  >>> п = 7,126
>>> f "Значение n равно {n: .1f}"
"Значение n равно 7,1"
  

  >>> п = 1
>>> f "Значение n равно {n :.2f} "
"Значение n равно 1.00"
>>> f "Значение n равно {n: .3f}"
"Значение n равно 1.000"
  

  >>> п = 1234567890
>>> f "Значение n равно {n :,}"
'Значение n равно 1,234,567,890'
  

  >>> п = 1234,56
>>> f "Значение n равно {n:,. 2f}"
"Значение n равно 1234,56".
  

  >>> баланс = 2000,0
>>> потрачено = 256,35
>>> остаток = баланс - потрачено

>>> f "Потратив $ {потрачено: .2f}, у меня осталось $ {осталось:,. 2f}"
«Потратив 256 долларов.35 лет, у меня осталось 1743,65 доллара '
  

  >>> ratio = 0.9
>>> f "Более {ratio: .1%} питонистов говорят:" Настоящий питон - это круто! ""
«Более 90,0% питонистов говорят:« Настоящий питон - это круто! »»

>>> # Отображение процента с двумя десятичными знаками
>>> f "Более {ratio: .2%} питонистов говорят:" Настоящий питон - скала! ""
«Более 90,00% питонистов говорят:« Настоящий питон крут! »»
  

  >>> f "{150000}"
150000
  

  >>> f "{150000: f}"
"150000.000000"
  

  >>> f "{150000 :.2f} "
"150000.00"
  

  >>> f "{150000:,. 2f}"
"150,000.00"
  

  >>> f "$ {150000:,. 2f}"
"150 000 долларов США"
  

  >>> п.реально
1.0

>>> n.imag
2.0
  

  >>> п.сопрягать ()
(1-2j)
  

  >>> a = 1 + 2j
>>> b = 3 - 4j

>>> а + б
(4-2j)

>>> а - б
(-2 + 6j)

>>> а * б
(11 + 2j)

>>> а ** б
(932.13
432212 + 95.9465336603415j)

>>> а / б
(-0,2 + 0,4j)

>>> а // б
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: невозможно принять комплексное число.
  

  >>> х = 42
>>> x.real
42
>>> x.imag
0
>>> x.conjugate ()
42

>>> у = 3,14
>>> y.real
3,14
>>> y.imag
0,0
>>> y.conjugate ()
3,14