Топология — это… Что такое Топология?

Гомеоморфность бублика и кружки

Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) неотличимы.

Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии. Грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний.

История

Раздел математики, который мы теперь называем топологией, берет свое начало с изучения некоторых задач геометрии. Различные источники находят первые топологические по духу результаты в работах Ньютона, Эйлера, Жордана, Кантора, Пуанкаре.

Когда топология еще только зарождалась (конец XIX века), ее называли

геометрия размещения (лат. geometria situs) или анализ размещения (лат. analysis situs). Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике.

Общая топология зародилась в конце XIX в. и оформилась в самостоятельную математическую науку в начале XX в. Основополагающие работы принадлежат Хаусдорфу, Пуанкаре, Александрову, Урысону, Брауэру.

Разделы топологии

Общая топология

Общая топология, или теоретико-множественная топология — раздел топологии, в котором изучается понятие непрерывности в чистом виде. Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии, а также отдельные вопросы, такие как связность и компактность.

Алгебраическая топология

Алгебраическая топология — раздел, в котором происходит изучение непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.

Дифференциальная топология

Дифференциальная топология — раздел, где главным образом изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма и их включения (размещения) в другие многообразия. Этот раздел включает в себя маломерную топологию, в том числе теорию узлов.

Вычислительная топология

Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.

См. также

Литература

• В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная топология выпуск 21 серии «Библиотечка квант» М., Наука, 1982.
• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Я.Стюарт, Топология, Квант, № 7, 1992.
• В. В. Прасолов, Наглядная топология
• С. П. Новиков, И. А. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля, МЦНМО,2005
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука,1986

Ссылки

Международная школа«Торическая топология и комбинаторика»

Приглашаем к участию студентов-бакалавров, магистрантов, аспирантов и молодых ученых, чьи научные интересы лежат в области алгебраической топологии, дискретной и алгебраической геометрии и комбинаторики.

Миссия школы

Собрать молодых исследователей и студентов, уже работающих или планирующих начать научные проекты на стыке эквивариантной топологии и дискретной математики. На школе планируется проведение циклов лекций ведущих ученых о новых достижениях в перечисленных областях, а также проведение неформальных семинаров и обсуждений. Школа следует сразу после международной конференции Topology of Torus Actions and Related Topics, посвященной близкой теме. При желании участвовать также и в конференции — пожалуйста, напишите организаторам.

Лекторы

Mikiya Masuda

Osaka City University

Бухштабер Виктор Матвеевич

НИУ ВШЭ, Международная лаборатория алгебраической топологии и ее приложений, Математический институт имени В. А. Стеклова РАН

 

Мусин Олег

University of Texas Rio Grande Valley

Долбилин Николай Петрович

Математический институт имени В. А. Стеклова РАН

 

Студенты, приглашенные к очному участию в школе

Абрамян	Семен
Айкын	Алишер
Алексеев	Илья
Алексеевс	Русланс
Андреев	Алексей
Бакшеев	Глеб
Бекетов	Максим
Блудов	Михаил
Вахрина	Анастасия
Витковский	Андрей
Вылегжанин	Федор
Гаврилова	Светлана
Голованов	Александр
Горелов	Алексей
Гутерман	Лазарь
Дмитриева	Мария
Жуков	Евгений
Жукова	Алена
Журавлева	Елизавета
Зейникешева	Индира
Исаева	Ксения
Ковыршина	Виктория
Корнев	Михаил
Косовская	Анна
Магай	Герман
Мамаева	Аида
Миллер	Алексей
Михайлов	Михаил
Михеев	Давид
Некрашевич	Максим
Преснова	Екатерина
Рахматуллаев	Темурбек
Рождественский	Василий
Романовский	Владислав
Рухович	Алексей
Самойленко	Иван
Селянин	Федор
Сорокин	Константин
Суханов	Лев
Тароян	Григорий
Толстухин	Илья
Треумова	Вероника
Феклистов	Сергей
Фокин	Алексей
Хорошавкина	Надежда
Цыганков	Дмитрий
Чепакова	Дина
Чернавских	Михаил
Шахматов	Кирилл
Шустова	Евгения

Студентам, подававшим заявки, и не прошедшим отбор, будут высланы ссылки на трансляции и записи лекций школы.

Организаторы

Панов Тарас Евгеньевич

НИУ ВШЭ, Международная лаборатория алгебраической топологии и ее приложений, МГУ, механико-математический факультет

 

Контакты

Задачи топологического анализа

Задачи топологического анализа

ZuluGIS поддерживает линейно-узловую топологию, что позволяет моделировать инженерные и другие сети (дорожная, электрическая и прочие). Топологическая сетевая модель представляет собой граф сети, узлами которого являются точечные (символьные) объекты: колодцы, источники, задвижки, потребители, рубильники, перекрестки и прочие. Рёбрами графа являются линейные объекты — трубопроводы, участки дорожной сети, кабели и так далее.

Используя модель сети можно решать ряд топологических задач:

Топологические задачи также позволяют:

С помощью кнопки Поиск пути пользователь отмечает узловые (символьные) объекты на сети — устанавливает флажки. Далее решается топологическая задача: поиск пути, связанности, колец и прочие. В результате решения топологической задачи, объекты на карте будут выделены красным цветом. Полученные результаты — объекты сети, можно выделить или добавить/исключить из уже существующей группы.

В том случае, если между объектами существует разрыв, то путь не будет найден и отобразится соответствующее сообщение.

Также можно указать участки, по которым не будет проходить маршрут. Для этого, удерживая клавишу Ctrl, щелкните левой кнопкой мыши по тем участкам, по которым не будет проходить маршрут, они отметятся красным крестиком.

	Подсказка
	Цвет и стиль выделения результатов топологического анализа можно изменить в диалоге Параметы (Сервис|Параметры), вкдадка Карта.

Возможно быстро получить список отключающих (изолирующих) устройств, для выделенного объекта сети.

Для анализа изменений вследствие отключения задвижек или участков сети предназначен продукт Коммутационные задачи.

Как выбрать топологию сети — Ответы на вопросы

В первую очередь определитесь с типом несущей.

Дело в том, что использование коаксиального кабеля или витой пары подразумевает принципиально различные архитектуры локальной сети.

В первом случае сеть будет строиться по принципу «общей шины» — все входящие в нее компьютеры последовательно соединяются друг с другом в цепочку при помощи отрезков кабеля, образуя единую магистраль.

Это довольно удобно, если все пользователи вашей сети живут на одной лестничной площадке или в квартирах, расположенных одна под другой.

Однако, если компьютеры разбросаны по всему подъезду (или дому), коаксиальный кабель будет петлять, что неудобно уже на этапе первичной прокладки сети.

Если же потребуется подключить к ней еще несколько новых пользователей, проблемы возрастут в геометрической прогрессии.
К тому же «общая шина» опасна: если будет испорчен отрезок сети между двумя компьютерами, то отключается вся сеть.

Скорость передачи по тонкому коаксиальному кабелю (по своей структуре он аналогичен тому, который применяется в телеантеннах — только сопротивление в нем составляет 50 Ом) ограничена.
Она не более 10 Мбит/с.

Витая пара позволяет создать совершенно иную сетевую архитектуру.
Кабель витой пары аналогичен обычному телефонному, только вместо 2 (или 4) проводов в нем используется 8, разделенных на 4 пары.

Витая пара — более гибкий и практичный кабель, удобный в укладке и хорошо защищенный от внешнего воздействия.

Однако главный плюс этого варианта в другом: на витой паре основывается локальная сеть типа «звезда» или «дерево» — в центре ее находится коммуникационное устройство (в простейшем случае — концентратор) с несколькими портами, к каждому из которых посредством кабеля присоединяется конечный компьютер …

При помощи витой пары можно создавать сети с пропускной способностью в 10 Мбит/с, 100 Мбит/с (Fast Ethernet) и 1000 Мбит/с (Gigabit Ethernet).

Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Фоменко Т.М. Введение в топологию

Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Фоменко Т.М. Введение в топологию

На главную страницу | Топология

Титул

Оглавление

Предисловие

Глава I. Первые понятия топологии.

§ 1. Что такое топология?

§ 2. Обобщение понятий пространства и функции.

1. Метрическое пространство. 2. Сходящиеся последовательности и непрерывные отображения.

§ 3. От метрического пространства к топологическому (наглядный материал).

1. Метод «склейки». 2. О понятии топологического пространства. 3. Склейка двумерных поверхностей.

§ 4. Понятие римановой поверхности.

§ 5. Немного об узлах.

§ 6. О некоторых приложениях топологии в физике.

Обзор рекомендуемой литературы.

Глава II. Общая топология

§ 1. Топологическое пространство и непрерывное отображение.

1. Определение топологического пространства. 2. Окрестности. 3. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм. 4. Подпространство топологического пространства.

§ 2. Топология и непрерывные отображения метрических пространств. Пространства Rⁿ, S^n-1 Dⁿ.

1. Топология в метрическом пространстве. 2. Пространство Rⁿ(70). 3. Диск D^m гомеоморфен R^m.

§ 3. Факторпространство и фактортопология.

1. Определение фактортопологии. 2. Примеры факторпространств. 3. Отображения факторпространств.

§ 4. Классификация поверхностей.

1. Поверхности и их триангуляция. 2. Развертка поверхности. 3. Классификация разверток. 4. Эйлерова характеристика и тополо¬гическая классификация поверхностей.

§ 5. Пространства орбит; проективные и линзовые пространства.

1. Определение пространства орбит. 2. Проективные пространства RPⁿ, CPⁿ. 3. Линзовые пространства.

§ 6. Операции над множествами в топологическом пространстве.

1. Замыкание множества. 2. Внутренность множества. 3. Граница множества.

§ 7. Операции над множествами в метрическом пространстве. Шар и сфера. Полнота.

1. Операции над множествами в метрическом пространстве. 2. Шар и сфера в Rⁿ. 3. Шар и сфера в произвольном метрическом, пространстве. 4. Полнота метрических пространств.

§ 8. Свойства непрерывных отображений.

1. Эквивалентные определения непрерывного отображения. 2. Три задачи о непрерывных отображениях.

§ 9. Произведение топологических пространств.

1. Топология в прямом произведении пространств. 2. Непрерывные отображения в произведение пространств.

§ 10. Связность топологических пространств

1. Понятие связности топологического пространства. 2. Свойства связных пространств. 3. Связные компоненты.

§ 11. Аксиомы счетности и отделимости.

1. Аксиомы счетности. 2. Свойства отделимости пространства. 3. Хаусдорфовы пространства с первой аксиомой счетности.

§ 12. Нормальные пространства и функциональная отделимость.

1. Эквивалентное определение нормального пространства. 2. Функциональная отделимость. Теоремы Урысона о продолжении числовых функций.

§ 13. Компактные, локально компактные и паракомпактные пространства и их отображения.

1. Понятие компактного пространства. 2. Отображения компактных пространств. 3. Произведение компактных пространств. 4. Компактность в метрическом пространстве.

§ 14. Компактные расширения топологических пространств. Метризация.

1. Компактные расширения. 2. Метризуемость топологических пространств. 3. Топология пространств подмножеств и многозначные отображения. Обзор рекомендуемой литературы.

Глава III. Теория гомотопий

§ 1. Пространство отображений. Гомотопия, ретракция, деформация.

1. Пространство непрерывных отображений. 2. Гомотопия. 3. Продолжение отображений. 4. Ретракция. 5. Цилиндр отображения.

§ 2. Категория, функтор и алгебраизация топологических задач.

1. Категория. 2. Функторы.

§ 3. Функторы гомотопических групп.

1. Гомотопическая группа пространства. 2. Фундаментальная группа.

§ 4. Вычисление фундаментальных и гомотопических групп некоторых пространств

1. Линейчатые пути на поверхности и их комбинаторные гомотопии. 2. Комбинаторные аппроксимации путей и гомотопий. 3. Фундаментальная группа окружности. 4. Фундаментальная группа поверхности. 5. Топологическая инвариантность эйлеровой характеристики поверхности. 6. О вычислении высших гомотопических групп. 7. Некоторые применения. 8. Степень отображения. 9. Некоторые результаты о гомотопических группах конкретных пространств (186). Обзор рекомендуемой литературы.

Глава IV. Многообразия и расслоения

§ 1. Основные понятия дифференциального исчисления в n-мерном пространстве.

1. Гладкие отображения. 2. Ранг отображения. 3. Теорема о неявной функции. 4. «Криволинейные» системы координат. 5. Теорема о выпрямлении. 6. Лемма о представлении гладких функций.

§ 2. Гладкие подмногообразия в евклидовом пространстве.

1. Понятие гладкого подмногообразия в R^N. 2. Примеры подмногообразий.

§ 3. Гладкие многообразия.

1. Понятие гладкого многообразия. 2. Проективные пространства. 3. Индуцированные структуры. 4. Многообразия матриц. 5. Многообразия Грассмана. 6. Многообразия Штифеля. 7. Произведение многообразий. 8. Группы Ли. 9. Риманова поверхность. 10. Конфигурационное пространство. 11. Многообразия с краем. 12. Существование гладких структур.

§ 4. Гладкие функции на многообразии и гладкое разбиение единицы

1. Понятие гладкой функции на многообразии. 2. Разбиение единицы. 3. Алгебра С^r-функций на многообразии.

§ 5. Отображения многообразий.

1. Понятие гладкого отображения. 2. Классификация одномерных многообразий. 3. Регулярные и нерегулярные точки гладкого отображения. 4. Иммерсии, субмерсии, вложения, подмногообразия. 5. Степень отображения по модулю 2.

§ 6. Касательное расслоение и касательное отображение.

1. Идея касательного пространства. 2. Понятие касательного пространства к многообразию. 3. Касательное расслоение. 4. Риманова метрика. 5. Касательное отображение. 6. Ориентация многообразия.

§ 7. Касательный вектор как дифференциальный оператор. Дифференциал функции и кокасательное расслоение

1. Новое определение вектора. 2. Касательное расслоение. 3. Касательное отображение. 4. Дифференциал функции и касательное расслоение.

§ 8. Векторные поля на гладких многообразиях.

1. Касательный вектор к гладкому пути. 2. Динамическая группа физической системы и ее инфинитезимальная образующая. 3. Гладкое векторное поле. 4. Алгебра Ли векторных полей. 5. Ковекторные поля.

§ 9. Расслоения и накрытия.

1. Подготовительные примеры. 2. Определение расслоения. 3. Векторные расслоения. 4. Накрытия. 5. Разветвленные накрытия.

§ 10. Гладкая функция на многообразии и клеточная структура многообразия (пример).

1. Пример функции на торе. 2. Клеточный комплекс.

§ 11. Невырожденная критическая точка и ее индекс.

1. Невырожденные критические точки. 2. Лемма Морса. 3. Поле градиента.

§ 12. Критические точки и гомотопический тип многообразия.

1. Строение лебеговых множеств гладких функций. 2. Условия гомотопической эквивалентности лебеговых множеств. 3. Изменение гомотопического типа при переходе через критическое значение. 4. Гомотопический тип многообразия. 5. Понятие точной последовательности расслоения (дополнение к § 9). Обзор рекомендуемой литературы.

Глава V. Теория гомологии

§ 1. Вступительные замечания.

§ 2. Гомологии цепных комплексов.

§ 3. Группы гомологии симплициальных комплексов.

1. Симплициальные комплексы и полиэдры. 2. Гомологии симплициальных комплексов и полиэдров. 3. Вычисление гомологии конкретных полиэдров. 4. Барицентрические подразделения. Симплициальные отображения.

§ 4. Сингулярная теория гомологии.

1. Группы сингулярных гомологии. 2. Свойства групп сингулярных гомологии. 3. Гомологии и гомотопии.

§ 5. Аксиомы теории гомологии. Когомологии.

1. Аксиома гомотопии. 2. Аксиома точности. 3. Аксиома вырезания. 4. Аксиома размерности.

§ 6. Гомологии сфер. Степень отображения.

1. Группы гомологии сферы. 2. Степень отображения. 3. Вращение векторного поля.

§ 7. Гомологии клеточного комплекса.

§ 8. Эйлерова характеристика и число Лефшеца.

1. Число Лефшеца симплициального отображения. 2. Число Лефшеца непрерывного отображения. 3. Эйлерова характеристика многообразия и особые точки векторного поля. 4. Число Лефшеца как сумма индексов неподвижных точек. Обзор рекомендуемой литературы.

§ 33. Комментарии к иллюстрациям

§ 33. Список литературы

На главную страницу | Топология

Используются технологии uCoz

ХиМиК.ru — ТОПОЛОГИЯ — Химическая энциклопедия

ТОПОЛОГИЯ (от греч. topos-место и logos-слово, учение) в химии. Как мат. дисциплина м. б. разделена на две части: теоретико-множественную топологию и геометрическую топологию. Первая дает химии аппарат для описания молекул и процессов на языке графов и матриц. Представление структурных ф-л в виде графов позволяет пользоваться достижениями графов теории; на основе аддитивных схем предложено неск. десятков топологич. индексов, описывающих парциальную электронную плотность, хим. сдвиг в спектрах ЯМР и др. физ.-хим. характеристики как молекулы в целом, так и отдельных атомов. Матрица смежности переводит граф молекулы в матричную форму. Построение матричных элементов по более сложным законам открывает другие возможности, напр, описания реакц. способности (матрицы Уги, 1960), Представление об односторонней пов-сти- ленте Мёбиуса-нашло применение в концепции мёбиусовских замкнутых p-электронных систем, как альтернативе хюк-келевским системам (Э. Хейльброннер, 1964), что тесно связано с альтернативной фотохим. или термич. реакц. способностью.

Закономерности геометрической, или структурной, топологии применяют к анализу мол. полиэдров (полиэдрических соединений)-молекул, имеющих форму тетраэдра, куба, додекаэдра и т. д. Важными достижениями явились синтезы орг. молекул, имеющих форму фрагментов винтовой пов-сти (гелицены), замкнутых сфероидальных многогранников углерода С₆₀ и С₇₀ (фуллерены),. а также соед., обладающих т. наз. топологич. связью, т.е. мех. связью между двумя фрагментами молекулы, как, напр., в катена-нах-двух моноциклич. молекулах, продетых одна сквозь другую (ф-ла I). Имеющаяся в них топологич. связь определяется не хим. взаимодействием, а специфич. расположением ее компонентов. Критическим является достаточно большой размер цикла, не менее 26 атомов С. Катенан-то-пологич. изомер двух моноциклов. Аналогично моноцикл еще большего размера (ок. 60 атомов и выше) имеет топологич. изомер-трилистный узел (II). Нижний предел в числе атомов для существования топологич. изомеров обусловлен стерич. препятствиями, возникающими вследствие реальных размеров атомов, в отличие от идеальных геом. точек и линий. Это же отличие вызывает существование ротаксанов- молекул, в к-рых топологич. связь появляется благодаря пространств. препятствиям, мешающим конечным группам большого размера на концах линейной молекулы пройти через цикл достаточно малого размера.

Структурная топология сформировалась в 1960-х гг., когда были разработаны направленные синтезы [2]- и [3]-катенанов (Г. Шилл). В 1980-е гг. получены молекулы, имеющие геометрию «мёбиусовской лестницы» (III), т.е. перекрученной мол. полоски, структура к-рой поддерживается тремя или четырьмя перемычками (Д. Вальба, 1984). Реализована стратегия синтеза, основанная на использовании комплексов металлов, к-рая привела к получению катенанов и трилист-ного узла после удаления атомов металла (Ж.-П. Соваж, 1988). Установлено, что катенановые и узловые структуры встречаются в природных ДНК. Трилистный узел, мёбиусовская лестница и нек-рые катенаны хиральны. Мат. анализ узлов привел к возникновению концепции топологич. хиральности (Вальба, 1989).

Лит.: Соколов В. И., Введение в теоретическую стереохимию, М., 1979.

В. И. Соколов.

Аддитивные технологии для оптимизации геометрии детали

Геометрия без ограничений | Создание ячеистых и сетчатых структур | Сокращение числа единиц в сборке

Если говорить сухим академическим языком, топологическая оптимизация – это процесс изменения конструкции, структуры детали и ее варьирующихся параметров при заданном критерии оптимальности с сохранением или улучшением ее функционала.

Объясним более доступно на конкретном примере. Возьмем две детали, выполняющие одну и ту же функцию с определенными нагрузками и имеющие определенный ресурс (см. рисунок ниже). По сути, это одна и та же деталь, но с разной геометрией. Геометрия первой детали оптимизирована для изготовления стандартными методами производства: на фрезерном, токарном станке и средствами других технологий металлообработки. Это простая и плоская геометрия, ее легко добиться при обработке на станке. У второй детали геометрия более сложная, и сделать ее на станке представляет серьезные трудности.

Оптимизация геометрии детали средствами аддитивных технологий

Геометрия без ограничений

Когда еще не существовало аддитивных технологий, а были только субтрактивные, то вопрос геометрии не стоял так остро и решался доступными способами. Топологическая оптимизация позволяет изменить стандартную геометрию на геометрию, специально адаптированную под определенную технологию. И это может быть и традиционная технология (например, литье), и аддитивный процесс.

Согласно данным, у второй детали меньше напряжение, меньше перемещение под нагрузкой и, самое главное, вес уменьшился на 1 кг. Для одной детали немного, но если их выпускают сто тысяч в год, то суммарно мы можем сэкономить сто тонн металла только на одной детали.

---

Эксперты iQB Technologies рекомендуют статью: Подготовка моделей к 3D-печати: самый полный гид по Magics

---

Использование метода топологической оптимизации при реинжиниринге

Программное обеспечение для топологической оптимизации не строит модель объекта с нуля. В него загружается геометрическая модель изделия, ранее изготовленного другим методом. На рисунке приведен пример изделия с простыми плоскими формами и заклепками, болтами, приваренными ребрами. Когда мы загрузили модель, мы отмечаем места, которые не полежат изменению. В данном случае это крепления. Все остальное, что не попало в эти зоны, но принадлежит детали, является так называемой design space, то есть той зоной, где программа может менять геометрию.

Затем мы в соответствии со служебным назначением изделия накладываем нагрузки, которые деталь должна выдерживать, то есть создаем силовую схему нагрузок. И далее, на основе заданных нами параметров, программа начинает создавать новую оптимизированную геометрию. Между двумя неизменными местами для крепления она выстраивает новую модель. Она анализирует напряжение в каждом сечении – выдерживает его сечение или нет. Если не выдерживает, то программа меняет сечение.

Процесс построения новой модели довольно затратный по времени и требует больших вычислительных ресурсов. Этот метод моделирования называется методом конечных элементов. Для каждой точки изделия программа составляет и решает интегральные уравнения, учитывая при этом взаимосвязи между всеми точками. В результате расчета получается новая геометрия. Затем конструктор может изменить что-то в модели, если это необходимо. В итоге получается CAD-модель.

Далее для верификации модель загружается в другое программное обеспечение, в котором она проходит финальную проверку на максимальные деформации, напряжения и пр. Затем геометрия утверждается и может быть передана в производство. При этом программа умеет оптимизировать геометрию под разные виды производства: под литье, штамповку, ковку или под аддитивное производство.

Топологическая геометрия, как правило, имеет аморфные формы, в ней нет плоских, прямых линий, могут быть сплайны второго порядка. При соблюдении тех же самых свойств и нагрузочных характеристик такое моделирование позволяет уменьшить массу изделия, и, следовательно, сократить издержки на производство. Понижение массы изделия при сохранении функционала изделия – это задача номер один в самолетостроении, авиакосмической отрасли и автомобилестроении.

---

Рекомендуем программный продукт Materialise 3-matic

---

Создание ячеистых и сетчатых структур

Создание решетчатых структур

В природе такие структуры встречаются очень часто. Кости птиц могут быть почти пустотелыми, а кость млекопитающих представляет из себя жесткую оболочку с губчатой структурой внутри. Это позволяет выдерживать те же нагрузки при меньших затратах организма на выращивание такой кости и меньшем весе.

Топологическая оптимизация дает возможность делать решетчатые структуры разных форм и размеров (например, гексагоновые) или создавать ячеистую структуру, а снаружи – твердую оболочку. Стандартными методами такую структуру нельзя изготовить – только с использованием аддитивных технологий.

Сокращение числа единиц в сборке

Схема смесителя жидкости с газом

Это еще одно преимущество топологической оптимизации вместе с аддитивными технологиями. Пример: на рисунке изображен типичный сатуратор (смеситель жидкости с газом). Внутри трубы стоит маленький фильтр. Чтобы установить его туда, необходимо эту деталь сделать разъемной в двух частях, сделать фланцы для крепления, а также прокладки, болты и т.д.

С помощью аддитивных технологий можно в одном корпусе создать и саму трубу, и мелкий фильтр внутри, и канал вокруг для распределения газа.

Оптимизированный смеситель в цельном корпусе

В итоге, применяя 3D-печать металлом, получаем в цельном корпусе единую деталь, одну единицу хранения. Теперь не требуется операция сборки, нет прокладок, которые могут течь, нет больших фланцев, на которые уходил металл.

При анализе показателей видим, что вес детали уменьшился, прокладок нет, время сборки стало нулевым.

Если мы уменьшаем вес детали в самолете всего на 200 г, а в нем таких деталей 100, то мы экономим 20 кг, а при ресурсе самолета в 25 лет это огромная экономия топлива или лишняя полезная нагрузка.

Таким образом, топологическая оптимизация – это моделирование в специализированном программном обеспечении, которое позволяет создать геометрию без ограничений.

Статья опубликована 10.05.2017 , обновлена 07.10.2021

Что такое топология? | Pure Mathematics

Топология изучает свойства пространств, инвариантных относительно любой непрерывной деформации. Иногда это называют «геометрией резинового листа», потому что объекты можно растягивать и сжимать, как резину, но нельзя сломать. Например, квадрат можно деформировать в круг, не разбивая его, а цифру 8 нельзя. Следовательно, квадрат топологически эквивалентен кругу, но отличается от фигуры 8.

Вот несколько примеров типичных вопросов по топологии: Сколько дыр в объекте? Как определить отверстия в торе или сфере? Что является границей объекта? Связано ли пространство? Имеет ли каждая непрерывная функция из пространства в себя фиксированную точку?

Топология — относительно новый раздел математики; большая часть исследований в области топологии проводилась с 1900 года.Ниже приведены некоторые из подполей топологии.

1. Общая топология или топология набора точек. Общая топология обычно учитывает локальные свойства пространств и тесно связана с анализом. Он обобщает понятие непрерывности для определения топологических пространств, в которых можно рассматривать пределы последовательностей. Иногда в этих пространствах могут быть определены расстояния, и в этом случае они называются метрическими пространствами; иногда понятие расстояния не имеет смысла.
2. Комбинаторная топология. Комбинаторная топология рассматривает глобальные свойства пространств, построенных из сети вершин, ребер и граней. Это самая старая ветвь топологии, восходящая к Эйлеру. Было показано, что топологически эквивалентные пространства имеют один и тот же числовой инвариант, который мы теперь называем эйлеровой характеристикой. Это число (V — E + F), где V, E и F — количество вершин, ребер и граней объекта. Например, тетраэдр и куб топологически эквивалентны сфере, и любая «триангуляция» сферы будет иметь эйлерову характеристику 2.
3. Алгебраическая топология. Алгебраическая топология также рассматривает глобальные свойства пространств и использует алгебраические объекты, такие как группы и кольца, для ответа на топологические вопросы. Алгебраическая топология превращает топологическую проблему в алгебраическую, которую, будем надеяться, легче решить. Например, группа, называемая группой гомологий, может быть связана с каждым пространством, а тор и бутылка Клейна могут отличаться друг от друга, поскольку они имеют разные группы гомологий.

Алгебраическая топология иногда использует комбинаторную структуру пространства для вычисления различных групп, связанных с этим пространством.

4. Дифференциальная топология. Дифференциальная топология рассматривает пространства с некоторой гладкостью, связанной с каждой точкой. В этом случае квадрат и круг не будут гладко (или дифференцированно) эквивалентны друг другу. Дифференциальная топология полезна для изучения свойств векторных полей, таких как магнитное или электрическое поля.

Топология используется во многих областях математики, таких как дифференцируемые уравнения, динамические системы, теория узлов и римановы поверхности в комплексном анализе. Он также используется в теории струн в физике и для описания пространственно-временной структуры Вселенной.

Топология

| Британника

топология , раздел математики, иногда называемый «геометрией резинового листа», в которой два объекта считаются эквивалентными, если они могут непрерывно деформироваться друг в друга посредством таких движений в пространстве, как изгиб, скручивание, растяжение и сжатие во время запрет на разрыв или склейку деталей.Основные темы, представляющие интерес в топологии, — это свойства, которые не меняются при таких непрерывных деформациях. Топология, хотя и похожа на геометрию, отличается от геометрии тем, что геометрически эквивалентные объекты часто разделяют численно измеряемые величины, такие как длина или углы, в то время как топологически эквивалентные объекты похожи друг на друга в более качественном смысле.

Область топологии, имеющая дело с абстрактными объектами, называется общей или точечной топологией. Общая топология пересекается с другой важной областью топологии, называемой алгебраической топологией.Эти области специализации образуют две основные дисциплины топологии, которые развивались в течение ее относительно современной истории.

Британская викторина

Викторина по математике

Ваш учитель алгебры был прав. Вы будете использовать математику после окончания учебы — для этой викторины! Посмотрите, что вы помните из школы, и, возможно, узнайте несколько новых фактов в процессе.

Просто подключено

В некоторых случаях объекты, рассматриваемые в топологии, являются обычными объектами, находящимися в трехмерном (или более низком) пространстве. Например, простая петля на плоскости и граничный край квадрата на плоскости топологически эквивалентны, что можно увидеть, представив петлю как резиновую ленту, которую можно растянуть, чтобы плотно прилегать к квадрату. С другой стороны, поверхность сферы топологически не эквивалентна тору, поверхности твердого кольцевого кольца.Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что любую небольшую петлю, лежащую на неподвижной сфере, можно непрерывно сжимать, пока она остается на сфере, до любого сколь угодно малого диаметра. Говорят, что объект, обладающий этим свойством, является односвязным, а свойство односвязности действительно является свойством, сохраняющимся при непрерывной деформации. Однако некоторые петли на торе нельзя уменьшить, как показано на рисунке.

Тор не односвязен. В то время как небольшая петля c может быть сжата до точки без разрыва петли или тора, петли a и b не могут, поскольку они охватывают центральное отверстие тора.

Британская энциклопедия, Inc.

Многие результаты топологии связаны с такими простыми объектами, как упомянутые выше. Однако важность топологии как раздела математики проистекает из ее более общего рассмотрения объектов, содержащихся в многомерных пространствах, или даже абстрактных объектов, которые являются наборами элементов очень общей природы. Чтобы облегчить это обобщение, необходимо уточнить понятие топологической эквивалентности.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.Подпишитесь сейчас

Движения, связанные с непрерывной деформацией от одного объекта к другому, происходят в контексте некоторого окружающего пространства, называемого окружающим пространством деформации. Когда непрерывная деформация от одного объекта к другому может выполняться в конкретном окружающем пространстве, два объекта называются изотопными по отношению к этому пространству. Например, рассмотрим объект, состоящий из круга и изолированной точки внутри круга. Пусть второй объект состоит из круга и изолированной точки вне круга, но в той же плоскости, что и круг.В двухмерном окружающем пространстве эти два объекта не могут непрерывно деформироваться друг в друга, потому что потребуется разрезать круги, чтобы позволить изолированным точкам пройти. Однако, если трехмерное пространство служит окружающим пространством, можно выполнить непрерывную деформацию — просто выньте изолированную точку из плоскости и снова вставьте ее с другой стороны круга, чтобы выполнить задачу. Таким образом, эти два объекта изотопны по отношению к трехмерному пространству, но они не изотопны по отношению к двумерному пространству.

Представление о том, что объекты изотопны по отношению к большему окружающему пространству, дает определение внешней топологической эквивалентности в том смысле, что пространство, в которое вложены объекты, играет роль. Пример выше мотивирует некоторые интересные и занимательные расширения. Можно представить себе камешек, застрявший внутри сферической раковины. В трехмерном пространстве камешек нельзя удалить, не прорезав в скорлупе отверстие, но добавив абстрактное четвертое измерение, его можно удалить без какой-либо операции.Точно так же замкнутая веревка, завязанная как трилистник или узел сверху ( см. Рисунок ) в трехмерном пространстве, может быть развязана в абстрактном четырехмерном пространстве.

В теории узлов узлы образуются путем плавного слияния концов сегмента в замкнутую петлю. Затем узлы характеризуются количеством раз и способом, которым сегмент пересекает сам себя. После основной петли самый простой узел — это узел-трилистник, который является единственным узлом, кроме его зеркального отображения, который может быть образован ровно с тремя пересечениями.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Изменение климата можно предсказать с помощью алгебраической топологии

Краткий обзор результатов. Предоставлено: TiPES / HP.

Климатическая система Земли, похоже, в прошлом резко переходила от более холодного к более теплому режимам. Рискуем ли мы сегодня так же из-за антропогенного изменения климата? Откровенно говоря, климатические модели пока не могут ответить на этот вопрос. Но результат в журнале Chaos Гизелы Д.Чаро, Микаэль Д. Чекроун, Денисс Скиамарелла и Майкл Гил предлагают способ решения проблемы. Анализируя модель, которая объединяет две ведущие теории изменения климата с инструментами алгебраической топологии, авторы показывают, что климатическая система действительно развивается через резкие переходы, также известные как точки перелома. Эти инструменты применимы к сокращенным моделям климата, и они могут помочь оценить, собирается ли климатическая система Земли в целом опрокинуться из-за глобального потепления. Работа является частью проекта TiPES, европейского научного сотрудничества, посвященного переломным моментам в системе Земля.

Как меняется климат?

«Это одна из поистине неразгаданных загадок климатических наук, к которой мы стремимся», — объясняет Майкл Гил, École Normale Supérieure, Париж, Франция.

По сути, существовало два взаимодополняющих взгляда на то, что заставляет климат эволюционировать. Один из них — детерминированный хаотический взгляд на Эдварда Лоренца. Это теория хаоса, широко известная благодаря идее о том, что бабочка, машущая крыльями на одном континенте, может быть источником бушующего шторма на другом континенте.

Другая точка зрения принадлежит Клаусу Хассельманну, недавнему лауреату Нобелевской премии, который сказал, что климатическая система является стохастической и все колеблется, но возвращается к среднему значению.

Комбинация выглядит странно

«Ранее, в 2008 году, мы объединили эти две теории и показали, что все становится намного интереснее, если есть как детерминированный хаос, так и стохастические возмущения», — говорит Майкл Гил.

Результат 2008 года, так называемый случайный аттрактор, можно увидеть на этом видео.

Этот случайный аттрактор меняется со временем. Форма, которую он принимает в данный момент, называемая снимком, определяет, где, скорее всего, будет находиться климатическая система. Однако неясно, как интерпретировать изменения случайного аттрактора во времени. Что означает его изменение пути для нашего понимания климата? Теперь в этом помогает алгебраическая топология.

Резкие изменения

Алгебраическая топология довольно абстрактна, но ее результаты легко понять.Если геометрические объекты двух систем качественно подобны, они содержат одинаковое количество отверстий.

Анализ случайного аттрактора климата в программе Chaos показывает, что со временем дыры появляются и исчезают. Это означает, что система переключается между разными режимами. Переходы кажутся мгновенными. И поскольку анализ, по сути, выявляет изменения в самых фундаментальных свойствах анализируемой физической системы, результаты показывают, что природа климата Земли действительно должна эволюционировать в результате резких переходов, обычно известных как точки перелома.

Раннее предупреждение

Этот метод может иметь значение для прогнозирования возможного опрокидывания климатической системы. Сегодня такой поворот всей климатической системы — слишком сложное явление, чтобы создать систему раннего предупреждения. Однако ответом может быть алгебраическая топология.

«Это довольно надежный метод установления критических условий в очень сложных ситуациях. Поэтому я думаю, что можно использовать эти инструменты, чтобы действительно предвидеть переходы в такой сложной системе, как климатическая система», — говорит Майкл. Гил.

Успех в выполнении этой программы, однако, будет зависеть от того, можно ли уменьшить модели климата до управляемых размеров для анализа с помощью инструментов алгебраической топологии, используемых в этой работе.

---

Исследования усиливают беспокойство по поводу изменения климата

---

Дополнительная информация: Гизела Д.Чаро и др., Топологические изменения в хаотической динамике, вызванные шумом, Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки (2021). DOI: 10.1063 / 5.0059461 Информация в журнале: Хаос Предоставлено Копенгагенский университет

Ссылка : Изменение климата можно предсказать с помощью алгебраической топологии (2021 г., 21 октября) получено 29 октября 2021 г. с https: // физ.org / news / 2021-10-clim-algebraic-topology.html

Этот документ защищен авторским правом. За исключением честных сделок с целью частного изучения или исследования, никакие часть может быть воспроизведена без письменного разрешения. Контент предоставляется только в информационных целях.

Топология

— Викисловарь

Английский [править]

Этимология [править]

Из позднелатинского топология , из древнегреческого τόπος (tópos, «место, местность») + — (o) logy («изучение, отрасль знания»).

Произношение [править]

Существительное [править]

топология ( счетное и несчетное , множественное топологии )

1. (математика, бесчисленное множество) Раздел математики, имеющий дело с теми свойствами геометрического объекта (произвольной размерности), которые не изменяются в результате непрерывных деформаций (таких как растяжение, изгиб и т. Д., Без разрывов или склеивания).
   • 1970 [Аддисон-Уэсли], Стивен Уиллард, Общие Топология , 2012, Довер, стр. V,

     Эта книга предназначена для развития фундаментальных концепций общей топологии , которые являются основными инструментами работающих математиков в различных областях.

   • 1974 [Crane, Russak & Co.], Х. Грэм Флегг, От геометрии к топологии , 2001, Дувр, стр. V,

     Многие университетские курсы по топологии сразу же погружаются в формализованное и полностью абстрактное представление топологических концепций.

2. (топология) Любая коллекция τ подмножеств данного набора X , содержащая как пустое множество, так и X , и которая закрыта для конечных пересечений и произвольных объединений.

   Набор X {\ displaystyle X} с топологией τ {\ displaystyle \ tau} называется топологическим пространством и обозначается (X, τ) {\ displaystyle (X, \ tau)}. {\ displaystyle {\ widehat {V}}} выше для топологии Зарисского и связка функций val⁡ (f), f {\ displaystyle \ operatorname {val} (f), f} регулярна.

3. (медицина) Анатомическое строение части тела.
4. (вычисления) Расположение узлов в сети связи.
5. (технология) Свойства конкретного технологического воплощения, на которые не влияют различия в физической схеме или форме его применения.
6. (топография) Топографическое исследование географических местоположений или данных мест в связи с их историей.
7. (датированный) Искусство или метод оказания помощи памяти путем связывания вещи или предмета, который нужно запомнить, с каким-либо местом.

Синонимы [править]

Гиперонимы [править]

Меронимы [править]

Голонимы [править]

Производные термины [править]

Связанные термины [править]

Переводы [править]

исследование геометрических свойств, не изменяемых растяжением и т. Д.

компоновки вычислительных узлов

См. Также [править]

Дополнительная литература [править]

Анаграммы [править]

авторов / названий алгебраической топологии, недавние поступления

Авторы и названия недавних работ

[всего 23 записи: 1-23 ]
[отображение до 25 записей на странице: меньше | подробнее]

пт, 29 окт 2021

[1] arXiv: 2110.14828 [pdf, ps, другое]

[2] arXiv: 2110.15308 (перекрестный список из math.OA) [pdf, ps, other]

[3] arXiv: 2110.15188 (перекрестный список из cs.LG) [pdf, другие]

[4] arXiv: 2110.15182 (перекрестный список из cs.LG) [pdf, другие]

[5] arXiv: 2110.14989 (перекрестный список из math.AG) [pdf, другие]

[6] arXiv: 2110.14676 (перекрестный список из cs.CG) [pdf, другие]

чт, 28 окт.2021 г.

[7] arXiv: 2110.14261 [pdf, ps, другое]

[8] arXiv: 2110.14062 [pdf, другой]

[9] arXiv: 2110.13954 [pdf, другой]

[10] arXiv: 2110.14359 (перекрестный список из math.KT) [pdf, ps, другое]

[11] arXiv: 2110.14320 (перекрестный список из math.SG) [pdf, ps, другое]

ср, 27 окт.2021 г.

[12] arXiv: 2110.13888 [pdf, ps, другое]

[13] arXiv: 2110.13869 [pdf, ps, другое]

[14] arXiv: 2110.13574 [pdf, ps, другое]

[15] arXiv: 2110.13571 (перекрестный список из cs.CV) [pdf, другой]

Вт, 26 окт 2021

[16] arXiv: 2110.13109 [pdf, ps, другое]

[17] arXiv: 2110.12742 [pdf, ps, другое]

[18] arXiv: 2110.12688 [pdf, другой]

[19] arXiv: 2110.12264 (перекрестный список из math.KT) [pdf, ps, другое]

пн, 25 окт 2021

[20] arXiv: 2110.11732 [pdf, ps, другое]

[21] arXiv: 2110.11717 [pdf, ps, другое]

[22] arXiv: 2110.11928 (перекрестный список из math.GT) [pdf, ps, other]

[23] arXiv: 2110.11754 (перекрестный список из math.SG) [pdf, ps, другое]

[всего 23 записи: 1-23 ]
[отображение до 25 записей на странице: меньше | подробнее]

Отключить MathJax (Что такое MathJax?)

---

Ссылки на: arXiv, интерфейс формы, найти, математика, новый, 2110, контакт, помощь (ключ доступа к информации)

---

Основы топологии — Справка | ArcGIS for Desktop

Происхождение Arc-node и Georelational

Пользователи покрытия ArcInfo Workstation имеют долгую историю и понимают роль, которую топология играет в поддержании пространственной целостности своих данных.

Вот элементы модели данных покрытия.

В покрытии границы объектов и точки хранились в нескольких основных файлах, которыми управляла и принадлежала ArcInfo Workstation. Файл ARC содержал линейную или многоугольную граничную геометрию как топологические ребра, которые назывались дугами. Файл LAB содержал местоположения точек, которые использовались в качестве точек меток для полигонов или как отдельные точечные объекты, например, для слоя пространственных объектов скважин. Другие файлы использовались для определения и поддержания топологических отношений между каждым из ребер и полигонов.

Например, в одном файле под названием PAL file (который расшифровывается как Polygon-arc list) указан порядок и направление дуг в каждом многоугольнике. В ArcInfo Workstation программная логика использовалась для сборки координат каждого многоугольника для операций отображения, анализа и запросов. Упорядоченный список ребер в файле PAL использовался для поиска и сборки координат ребер, содержащихся в файле ARC. При необходимости полигоны были собраны во время выполнения.

Модель покрытия имела несколько преимуществ:

• Она использовала простую структуру для поддержания топологии.
• Это позволило оцифровывать и сохранять края только один раз и использовать их для многих функций.
• Он мог представлять полигоны огромного размера (с тысячами координат), потому что полигоны действительно определялись как упорядоченный набор ребер (дуг).
• Структура хранения топологии покрытия была интуитивно понятной. Его физические топологические файлы были легко поняты пользователями ArcInfo Workstation.

Наследие:

Интересный исторический факт: Arc, в сочетании с менеджером таблиц Info, явился источником названия продукта ArcInfo Workstation, которое привело ко всем последующим продуктам Arc в семействе продуктов Esri — ArcInfo, ArcIMS, ArcGIS , и так далее.

Покрытия также имели некоторые недостатки:

• Некоторые операции выполнялись медленно, потому что многие функции приходилось собирать на лету, когда их нужно было использовать. Это включало все полигоны и составные объекты, такие как регионы (термин покрытия для составных полигонов) и маршруты (термин для составных линейных объектов).
• Топологические объекты (например, полигоны, регионы и маршруты) не были готовы к использованию, пока не была построена топология покрытия. Если ребра редактировались, топологию приходилось перестраивать.(Примечание: в конечном итоге использовалась частичная обработка, которая требовала восстановления только измененных частей топологии покрытия.) В общем, когда редактируются объекты в наборе топологических данных, должен выполняться алгоритм геометрического анализа для восстановления топологических отношений независимо от модель хранения.
• Покрытия были ограничены однопользовательским редактированием. Из-за необходимости обеспечить синхронизацию топологического графа с геометрией пространственных объектов, только один пользователь мог одновременно обновлять топологию.Пользователи будут мозаично размещать свои покрытия и поддерживать плиточную базу данных для редактирования. Это позволило отдельным пользователям заблокировать и редактировать по одной плитке за раз. Для общего использования и развертывания данных пользователи добавляли копии своих листов в мозаичный слой данных. Другими словами, мозаичные наборы данных, которые они редактировали, не использовались напрямую в организации. Их нужно было переоборудовать, а это означало дополнительную работу и дополнительное время.

Шейп-файлы и хранение простой геометрии

В начале 1980-х покрытие считалось значительным улучшением по сравнению со старыми системами на основе полигонов и линий, в которых полигоны удерживались как полные циклы.В этих старых системах все координаты объекта сохранялись в геометрии каждого объекта. До появления покрытия и ArcInfo Workstation использовались эти простые полигональные и линейные структуры. Эти структуры данных были простыми, но имели недостаток в виде двузначных границ. То есть две копии координат смежных частей многоугольников с общими ребрами будут содержаться в геометрии каждого многоугольника. Основным недостатком было то, что программное обеспечение ГИС в то время не могло поддерживать целостность общих границ.Кроме того, затраты на хранение были огромными, и каждый байт хранилища имел большое значение. В начале 1980-х годов диск на 300 МБ был размером со стиральную машину и стоил 30 000 долларов. Хранение двух или более представлений координат было дорогостоящим, а вычисления занимали слишком много вычислительного времени. Таким образом, использование топологии покрытия имело реальные преимущества.

В середине 1990-х годов интерес к простым геометрическим структурам вырос, поскольку стоимость дискового хранилища и оборудования в целом снижалась, а скорость вычислений росла.В то же время существующие наборы данных ГИС были более доступными, и работа пользователей ГИС развивалась, в основном, от деятельности по компиляции данных, чтобы включать использование, анализ и совместное использование данных.

Пользователи хотели повысить производительность при использовании данных (например, не тратить компьютерное время на определение геометрии полигонов, когда они нам нужны. Просто предоставьте координаты пространственных объектов этих 1200 полигонов как можно быстрее). Наличие полной доступной геометрии элементов было более эффективным. Используются тысячи географических информационных систем и легко доступны многочисленные наборы данных.

Примерно в это же время Esri разработала и опубликовала свой формат шейп-файлов. В шейп-файлах используется очень простая модель хранения координат пространственных объектов. Каждый шейп-файл представляет отдельный класс пространственных объектов (точек, линий или полигонов) и использует простую модель хранения для координат объекта. Шейп-файлы можно легко создавать из покрытий, а также из многих других географических информационных систем. Они были широко приняты в качестве стандарта де-факто и до сих пор широко используются и распространяются.

Несколько лет спустя ArcSDE впервые применил аналогичную простую модель хранения в таблицах реляционных баз данных. Таблица объектов может содержать по одному объекту в строке с геометрией в одном из столбцов вместе с другими столбцами атрибутов объекта.

Примерная таблица объектов полигонов состояний показана ниже. Каждая строка представляет состояние. Столбец формы содержит геометрию многоугольника каждого состояния.

Эта модель простых функций очень хорошо подходит для механизма обработки SQL. Благодаря использованию реляционных баз данных мы увидели, что данные ГИС масштабируются до беспрецедентных размеров и количества пользователей без снижения производительности.Мы начали использовать СУБД для управления данными ГИС.

Шейп-файлы стали повсеместными, и с использованием ArcSDE этот простой механизм функций стал фундаментальной моделью хранения функций в СУБД. (Для обеспечения совместимости Esri был ведущим автором спецификации простых функций OGC и ISO).

Простое хранилище элементов имело явные преимущества:

• Полная геометрия каждого элемента хранится в одной записи. Сборка не требуется.
• Структура данных (физическая схема) очень проста, быстра и масштабируема.
• Программистам легко писать интерфейсы.
• Совместимость. Многие написали простые преобразователи для перемещения данных в эти простые геометрические формы и из множества других форматов. Шейп-файлы широко применялись в качестве формата использования и обмена данными.

Его недостатки заключались в том, что поддержание целостности данных, которое легко обеспечивалась топологией, было не так просто реализовать для простых функций. Как следствие, пользователи применяли одну модель данных для редактирования и обслуживания (например, покрытия) и использовали другую для развертывания (например, шейп-файлы или слои ArcSDE).

Пользователи начали использовать этот гибридный подход для редактирования и развертывания данных. Например, пользователи могут редактировать свои данные в покрытиях, файлах САПР или других форматах. Затем они преобразовывали свои данные в шейп-файлы для развертывания и использования. Таким образом, даже несмотря на то, что простая структура функций была отличным форматом для прямого использования, она не поддерживала топологическое редактирование и управление данными общей геометрии. Базы данных прямого использования будут использовать простые структуры, но для редактирования использовалась другая топологическая форма.Это имело преимущества для развертывания. Но недостатком было то, что данные устаревали и их приходилось обновлять. Это сработало, но с обновлением информации было время задержки. Итог — отсутствовала топология.

То, что требовалось ГИС и что теперь реализует модель топологии базы геоданных, — это механизм, который хранит объекты с использованием простой геометрии объектов, но позволяет использовать топологии в этой простой открытой структуре данных. Это означает, что пользователи могут использовать лучшее из обоих миров — модель транзакционных данных, которая позволяет выполнять топологический запрос, редактирование общей геометрии, расширенное моделирование данных и целостность данных, но также и простой, хорошо масштабируемый механизм хранения данных, основанный на открытом, простом геометрия объекта.

Эта модель данных прямого использования является быстрой, простой и эффективной. Его также может напрямую редактировать и поддерживать любое количество одновременных пользователей.

Структура топологии в ArcGIS

Фактически топология рассматривалась как нечто большее, чем проблема хранения данных. Полное решение включает в себя следующее:

• Полная модель данных (объекты, правила целостности, инструменты редактирования и проверки, механизм топологии и геометрии, который может обрабатывать наборы данных любого размера и сложности, а также богатый набор топологических операторов, отображение карты и инструменты запроса)
• Открытый формат хранения, использующий набор типов записей для простых функций и топологический интерфейс для запроса простых объектов, извлечения топологических элементов и навигации по их пространственным отношениям (то есть для поиска смежных областей и их общих границ, маршрут по соединенным линиям)
• Возможность предоставлять объекты (точки, линии и многоугольники), а также топологические элементы (узлы, ребра и грани) и их отношения друг с другом
• Механизм, который может поддерживать следующее
  • Очень большие наборы данных с миллионами функций
  • Возможность выполнять редактирование и обслуживание несколькими одновременными редакторами
  • Готовая к использованию, всегда доступная геометрия объектов
  • Поддержка топологической целостности и поведения
  • Быстрая и масштабируемая система для многих пользователей и множества редакторов
  • Гибкая и простая система
  • Система, использующая механизм SQL RDBMS и структуру транзакций
  • Система, которая может поддерживать несколько редакторов, длинные транзакции, архивирование истории и репликацию

В топологии базы геоданных процесс проверки определяет общие координаты между объектами (как в одном классе объектов, так и во всех классах объектов).Алгоритм кластеризации используется, чтобы гарантировать, что общие координаты имеют одно и то же местоположение. Эти общие координаты хранятся как часть простой геометрии каждого объекта.

Это обеспечивает очень быстрый и масштабируемый поиск топологических элементов (узлов, ребер и граней). Это дает дополнительное преимущество, заключающееся в хорошей работе и масштабировании с механизмом SQL СУБД и структурой управления транзакциями.

Во время редактирования и обновления, по мере добавления функций, их можно использовать напрямую. Обновленные области на карте, грязные области, помечаются и отслеживаются по мере обновления каждого класса пространственных объектов.В любое время пользователи могут выбрать топологический анализ и проверку «грязных» областей для создания чистой топологии. Требуется перестройка только топологии загрязненных областей, что экономит время обработки.

В результате топологические примитивы (узлы, ребра и грани) и их отношения друг к другу и их свойства могут быть эффективно обнаружены и собраны. Это дает несколько преимуществ:

• Простое хранилище геометрии элементов используется для элементов. Эта модель хранения открыта, эффективна и масштабируется для больших размеров и количества пользователей.
• Эта модель данных с простыми функциями является транзакционной и многопользовательской. Напротив, более старые модели топологических хранилищ не масштабируются и испытывают трудности с поддержкой нескольких транзакций редактора и множества других рабочих процессов управления данными ГИС.
• Топологии базы геоданных полностью поддерживают все длинные транзакции и возможности управления версиями базы геоданных. Топологии базы геоданных не должны быть мозаичными, и многие пользователи могут одновременно редактировать топологическую базу данных — даже свои отдельные версии одних и тех же объектов, если это необходимо.
• Классы пространственных объектов могут увеличиваться до любого размера (до сотен миллионов объектов) с очень высокой производительностью.
• Эта реализация топологии является аддитивной. Обычно вы можете добавить это к существующей схеме пространственно связанных классов пространственных объектов. Альтернативой является то, что вы должны переопределить и преобразовать все существующие классы пространственных объектов в новые схемы данных, содержащие топологические примитивы.
• Для редактирования геометрии и использования данных требуется только одна модель данных, а не две или более.
• Он совместим, потому что все хранилища геометрии объектов соответствуют простым спецификациям объектов, разработанным Open Geospatial Consortium и ISO.
• Моделирование данных более естественно, поскольку оно основано на пользовательских характеристиках (таких как участки, улицы, типы почвы и водоразделы), а не на топологических примитивах (таких как узлы, ребра и грани). Пользователи начнут думать о правилах целостности и поведении своих реальных функций, а не о правилах целостности топологических примитивов. Например, как себя ведут посылки? Это позволит более надежно моделировать все виды географических объектов. Это улучшит наши представления об улицах, типах почв, единицах переписи, водоразделах, железнодорожных системах, геологии, лесных насаждениях, формах земель, физических характеристиках и т. Д.
• Топологии базы геоданных предоставляют тот же информационный контент, что и поддерживаемые топологические реализации — либо вы сохраняете топологический линейный график и обнаруживаете геометрию объекта (например, покрытия), либо сохраняете геометрию объекта и обнаруживаете топологические элементы и отношения (например, базы геоданных).

В случаях, когда пользователи хотят сохранить топологические примитивы, легко создавать и размещать топологии и их связи в таблицах для различных целей анализа и взаимодействия (например, пользователи, которые хотят разместить свои функции в хранилище Oracle Spatial, которое хранит таблицы топологических примитивов).

На практическом уровне реализация топологии ArcGIS работает. Он масштабируется до очень больших баз геоданных и многопользовательских систем без потери производительности. Он включает инструменты проверки и редактирования для построения и поддержки топологий в базах геоданных. Он включает богатые и гибкие инструменты моделирования данных, которые позволяют пользователям собирать практичные рабочие системы в файловых системах, в любой реляционной базе данных и в любом количестве схем.

Геометрия и топология | U-M LSA по математике

Курсы

Ежегодно кафедра предлагает четыре курса бакалавриата и девять курсов повышения квалификации по геометрии и топологии.

Бакалавриат,

• Math 433 Введение в дифференциальную геометрию

• Математика 490 Введение в топологию

в основном изучаются студентами-концентраторами по математике, естественным наукам и инженерным наукам.

Бакалавриат,

• Math 531 Группы преобразований в геометрии

• Math 590 Введение в топологию

изучаются студентами-концентраторами по математике, естественным наукам и инженерным наукам, а также аспирантами, обычно с других факультетов, кроме математического.Существует 4-семестровая последовательность вводных курсов для аспирантов по геометрии и топологии.

• Math 591 Дифференцируемые многообразия

• Math 592 Введение в алгебраическую топологию

• Math 635 Дифференциальная геометрия

• Math 695 Алгебраическая топология I

Тематические классы,

• Математика 636 Разделы дифференциальной геометрии

• Математика 696 Темы алгебраической топологии

• Математика 697 Темы топологии

Предлагаются

.Обычно каждый год Math 636 и 697 предлагается дважды, а Math 696 предлагается один раз. Также предлагаются курсы по эпизодическим темам с другими номерами. Последние темы включают:

• Введение в теорию жесткости (W17, Spatzier)

• Разновидности колчана (W17, Ruan)

• Динамика и геометрия (F16, Spatzier)

• Эквивариантная алгебраическая топология (F16, Kriz)

• Знакомство с римановыми поверхностями (F16, Ji)

• Симплектическая геометрия и интегрируемые системы (W16, Бернс)

• Пространство Тейхмюллера против симметричного пространства (W16, Ji)

• Динамика и геометрия (F15, Spatzier)

• Теория Тейхмюллера и ее обобщения (F15, Canary)

Семинары

Группа по геометрии / топологии проводит пять семинаров еженедельно во время осенних и зимних семестров.Это семинар по геометрии, семинар по геометрии и физике, семинар по топологии, семинар по РТГ и семинар по сложной динамике. Это неформальные форумы, на которых приветствуются разговоры на любую геометрическую тему. Среди участников математический факультет и аспиранты. Расписание можно просмотреть, щелкнув название соответствующего семинара.

Студенты текущей диссертации (научный руководитель)

Р. Чен (Криз), М. Гилл (Криз), М. Гринфилд (Джи), Д. Ирвин (Бернс), Дж. Килгор (Джи), Р.Ми (Руан), С. Пинелла (Шпатциер), Дж. Пауэлл (Кох), П. Сатпати (Джи), Ю. Шелах (Кох), С. Сиддики (Шпатциер), Р. Уэбб (Руан), М. Чжан (Жуань), Ф. Чжу (Канарейка).

Ниже приведен список недавних выпускников по геометрии / топологии. Чтобы просмотреть полный список всех недавних выпускников математических факультетов, щелкните здесь.

Недавние выпускники

• Донди Эллис

Диссертация: Мотивные аналоги МО и МСО
Советник: Криз Игорь, 2017
Первая позиция:

• Рохини Рамадас

Диссертация: Динамика в пространстве модулей остроконечных рациональных кривых
Советник: Сара Кох и Дэвид Спейер, 2017
Первое место: Гарвардский университет

• Эндрю Шауг

Диссертация: Двойственности, проистекающие из тройственности Borcea-Voisin
Советник: Юнбинь Руань, 2017
Первая должность: Финансовый консультационный офис EY в Нью-Йорке

• Роберт Сильверсмит

Диссертация: Теорема о зеркале для симметричных произведений проективного пространства
Консультант: Юнбинь Руань, 2017
Первая позиция: Саймонс-центр в Нью-Йорке

• Дэвид Ренарди

Диссертация: Столкновение в деформационных пространствах трехмерных гиперболических многообразий со сжимаемой границей
Советник: Дик Канари, 2016
Первая позиция: Invincea Labs

• Педро Акоста

Диссертация: Переписка генерала Ландау-Гинзбурга / Громова-Виттена
Советник: Юнбинь Руань, 2015
Первая должность: Университет Миннесоты

• Рассел Рикс

Диссертация: Плоские полосы, меры Боуэна-Маргулиса и перемешивание геодезического потока для пространств CAT (0) ранга один
Советник: Ральф Шпатциер, 2015
Первая позиция: Бингемтонский университет

• Брэндон Сьюард

Диссертация: Теорема Кригера для эргодических действий счетных групп
Советник: Ральф Шпатциер, 2015
Первая должность: Еврейский университет Иерусалима

• Tengren Zhang

Диссертация: Вырождение репрезентаций Хитчина
Советник: Дик Кэнэри, 2015
Первое место: Калифорнийский технологический институт

• Эмили Клэдер

Диссертация: Соответствие Ландау-Гинзбурга / Калаби-Яу для некоторых полных перекрестков
Советник: Юнбинь Руань, 2014
Первая позиция: ETH Zurich

• Бич (Бекки) Хоаи

Диссертация: О симплектических инвариантах, ассоциированных с многообразиями Цолля
Советник: Дэн Бернс, 2014
Первая должность: Федеральный резервный банк Санкт-Петербурга.Луи

• Кин Кван Люнг

Диссертация: комплексные геометрические инварианты, ассоциированные с многообразиями Цолля
Советник: Дэн Бернс, 2014
Первая должность: Университет Торонто

• Натан Приддис

Диссертация: Соответствие Ландау-Гинзбурга / Калаби-Яу для зеркального квинтика
Советник: Юнбинь Руан, 2014
Первое место: Leibniz Universitaet Hannover

• Джеффри Скотт

Диссертация: Действия торов и особенности в симплектической геометрии
Советник: Дэн Бернс, 2014
Первая должность: Университет Торонто

• Эндрю Циммер

Диссертация: Жесткость в комплексном проективном пространстве
Советник: Ральф Шпатциер, 2014
Первая должность: Чикагский университет

• Уильям Абрам

Диссертация: Эквивариантный комплексный кобордизм
Советник: Игорь Криз, 2013
Первая должность: Hillsdale College

• Джеффри Мейер

Диссертация: О спектре полностью геодезической соизмеримости арифметических локально-симметричных пространств
Советник: Ральф Шпатциер и Мэтью Стовер, 2013 г.
Первое место: Университет Оклахомы

• Ефэн Шэнь

Диссертация: Теория Громова-Виттена эллиптических орбифолдных проективных прямых
Советник: Юнбинь Руань, 2013
Первая позиция: Кавли ИПМУ

• Марк Шумейкер

Диссертация: Теорема о зеркале для зеркальной Quintic
Советник: Юнбинь Руань, 2013 г.
Первая должность: Университет штата Юта

• Джордан Уоткинс

Диссертация: Теорема ранговой жесткости для многообразий без фокальных точек
Советник: Ральф Шпатциер, 2013 г.
Первая позиция:

.