2.6. Вещественные числа

Вещественные, или действительные, числа — это, грубо говоря, и целые и дробные. Они, конечно, нередко возникают в задачах, но при работе с ними возникают серьезные проблемы, которые не в каждой книге по программированию будут описаны.

На самом деле эта тема неожиданно сложная. Постарайтесь понять всё, что написано в этом разделе, но если что-то не поймете по началу, это не страшно. Главное — два правила работы с вещественными числами, которые я напишу ниже.

2.6.1. Запись чисел с плавающей точкой

Вы точно знаете, что вещественные числа можно записывать в виде «12.34» — это «двенадцать целых тридцать четыре сотых».

Примечание

Иногда вместо точки используется запятая, но даже в обычной жизни сейчас, кажется, чаще используют точку, а уж в программировании и подавно почти всегда используется точка. Вообще, в контексте записи вещественных чисел слова «точка» и «запятая» являются синонимами, например, можно сказать, что в числе 12.34 две цифры после запятой, хотя на самом деле я там написал точку. Или, например, фразы «с плавающей точкой» и «с плавающей запятой» обозначают одно и то же.

Но есть также и другой формат записи — так называемая запись чисел «с плавающей точкой». (По идее это должны проходить в школе классе эдак в 8, поэтому я описываю тут это в первую очередь для младшеклассников, а также для тех, кто успел забыть; ну и чтобы четко обозначить термины «мантисса» и «экспонента».)

При записи чисел с плавающей точкой запись имеет следующий вид: 1.234e1. Она состоит из двух частей, разделенных английской буквой e (может использоваться как маленькая, так и заглавная буква, хотя сейчас вроде чаще используют маленькую). Такая запись обозначает: «возьми число 1.234 и сдвинь в нем точку на 1 позицию направо» — соответственно, получается то же 12.34. Аналогично, возможна запись 0.1234e2 — взять число 0.1234 и сдвинуть точку на две позиции направо, это будет то же 12.34. Число после e может быть быть нулем, это значит, что точку сдвигать не надо: 12.34e0 — это то же самое, что 12.34. Число может быть отрицательным, что значит, что точку надо сдвигать влево, а не вправо: 123.4e-1 или 1234e-2 — это все тоже 12.34. (Обратите внимание, что в записи 1234e-2 вообще отсутствует точка — она тогда, конечно, неявно подразумевается на конце записи числа 1234, точно так же, как 1234 и 1234.0 — это одно и то же.)

То есть еще раз: 0.1234e2, 1.234e1, 12.34e0, 12.34, 123.4e-1, 1234e-2, и даже 123400e-4 и 0.001234e4 — это все записи одного и того же числа 12.34. Записи разные, число одно и то же.

Видно, что одно и то же число можно записать разными способами. Чаще пишут так, чтобы либо перед точкой была ровно одна ненулевая цифра (1.234e1), или чтобы перед точкой был ноль, зато сразу после точки шла ненулевая цифра (0.1234e2), но в целом любая из приведенных в предыдущем абзаце записей является правильной, и есть много правильных записей, которые не приведены выше.

Еще примеры: 1.3703599907444e2 и 13703599907444e-11 — это 137.03599907444.{-1}\) и т.п. Несложно видеть, что это полностью эквивалентные записи, и что умножение на десять в нужной степени полностью эквивалентно сдвигу точки. На самом деле, насколько я понимаю, запись через

e появилась как раз когда появились компьютеры, потому что запись через степень десятки довольно сложно, а иногда и невозможно, набирать на клавиатуре. Но сейчас, благодаря повсеместному распространению компьютеров, запись через e уже нередко встречается и в печатной литературе.

Запись чисел с плавающей точкой особенно удобна, когда вам надо хранить очень большие или очень маленькие числа. Например, расстояние от Земли до Солнца примерно 147 миллионов километров, т.е. 147000000000 метров. Так записывать очень неудобно, потому что надо тщательно считать нолики. Намного удобнее написать 147e9 — сразу понятно, что будет девять ноликов, и сразу понятно, что это 147 миллиардов. Или, например, атом водорода весит примерно 1.66e-24 грамм, т.е. 0.00000000000000000000000166 грамм (если я не ошибся в количестве ноликов 🙂 ). Ясно, что первая запись намного удобнее.

Эти две части, составляющие запись числа с плавающей точкой, называются «мантисса» — это часть до e, — и «экспонента» — это число после e. Например, в записи 1.234e1 мантисса равна 1.234, а экспонента равна 1.

2.6.2. Как компьютер хранит вещественные числа

Вещественные числа, с которыми может иметь дело компьютер, могут быть как очень большими, так и очень маленькими. С другой стороны, вещественные числа в принципе невозможно хранить абсолютно точно, т.к. в них могут быть очень много знаков (даже бесконечно много) после точки.

Поэтому компьютер хранит числа в записи с плавающей точкой, при этом он хранит мантиссу и экспоненту по отдельности (но рядом в памяти, конечно, и в конечном счете, конечно, для вас как для программиста это будет одна переменная, хранящая вещественное число, а не две отдельных переменных, хранящих мантиссу и экспоненту). Более того, поскольку вообще говоря в вещественных числах в мантиссе может быть бесконечно много цифр, компьютер хранит лишь несколько первых цифр мантиссы.

Примечание

Вообще, на самом деле компьютер хранит числа в двоичной системе счисления (т.е. на самом деле компьютер хранит не десятичную экспоненту, как это было описано выше, а двоичную), но это вам будет пока не особенно важно, потому что весь ввод-вывод вещественных чисел использует все-таки десятичную экспоненту.

2.6.3. Типы данных

Все современные компьютеры умеют работать со следующими тремя типами данных:

• single — хранит 7-8 цифр мантиссы, экспоненту до примерно ±40, занимает в памяти 4 байта, работает сравнительно быстро;
• double — хранит 15-16 цифр мантиссы, экспонента до примерно ±300, занимает 8 байт, работает несколько медленнее;
• extended — хранит 19-20 цифр мантиссы, экспонента до примерно ±5000, занимает в памяти 10 байт, работает намного медленнее;

Примечание

Уточню, что значит «столько-то цифр мантиссы» и «такая-то экспонента». Как я писал выше, в мантиссе хранится только несколько первых цифр. Собственно, в single хранится только 7-8 цифр, в double 15-16, в expended 19-20. То есть например, если вы попытаетесь в single записать число 1.234567890123456789e20, то на самом деле запишется примерно 1.234567e20, остальные цифры будут отброшены. (На самом деле все немного сложнее из-за того, что числа хранятся в двоичной системе счисления, собственно поэтому я и пишу 7-8 цифр, потому что на самом деле как повезет в плане двоичной системы счисления.)

Ограничение же на экспоненту обозначает, что числа со слишком большой экспонентой вы просто не сможете записать в нужный тип (например, 1.23e100 не влезет в single), будет или ошибка, или получится специальное значение «бесконечность»; а числа со слишком большой отрицательной экспонентой просто будут считаться равными нулю (если вы попробуете записать 1.23e-100 в single, то получится 0).

Эти типы поддерживаются процессором (т.е. процессор умеет выполнять команду «сложить два числа типа single» или «вычесть два числа типа extended» и т.п.). Поэтому эти типы присутствуют (возможно, с другими названиями) почти во всех существующих языках программирования.

К сожалению, конкретно в питоне нет простой возможности выбрать один из этих трех типов, можно работать только с double, причем в питоне вместо слова double используется название float (что вообще странно, потому что в других языках float — это single, а вовсе не double). Таким образом,

Важно

Стандартные вещественные числа в питоне называются float, хранят 15-16 цифр в мантиссе и экспоненту до примерно ±300.

2.6.4. Про «значащие цифры»

Как мы видели, одно и то же число можно записать с плавающей точкой по-разному. Чисто 12.34 можно записать как 0.0000000001234e11, и как 1234000000000e-11, и т.п. Конечно, компьютер будет хранить число каким-то конкретным образом. Более того, если, например, попробовать записать 0.0000000001234e11 например в single, то вы можете сказать, что будут записаны только нули (потому что мантисса хранит только 7-8 цифр).

На самом деле компьютер хранит числа чуть сложнее. В первом приближении можно считать, что компьютер хранит числа так, чтобы до точки была ровно одна ненулевая цифра (про это я писал выше), т.е. число 12.34 компьютер будет хранить как 1.234e-1 и никак иначе, а например расстояние от Земли до Солнца в метрах — как 1.47e11 и не иначе. (А на самом деле еще сложнее из-за двоичной системы счисления).

Поэтому компьютер никогда не будет хранить в мантиссе ведущих нулей. В этом смысле говорят о «значащих цифрах» — это цифры в записи числа, начиная с первой ненулевой цифры. Например, в числе 12.3405 значащие цифры — это 1, 2, 3, 4, 0, 5, а в числе 0.00000000000000000000000000166 значащие цифры — это 1, 6 и 6 (и компьютер будет хранить это число как 1.66e-27).

Поэтому говорят, что тип single хранит 7-8 значащих цифр, double — 15-16 значащих цифр, extended — 19-20.

2.6.5. Про дырки между числами

(Понимание про «дырки» для начальных задач не особо нужно, но в дальнейшем бывает полезно.)

Из-за того, что компьютер хранит строго определенное количество значащих цифр, получается, что между соседними числами конкретного типа есть «дыры». Например, пусть мы возьмем тип single. В него невозможно записать число 1.2345678901234 — можно записать только 1.234567 или 1.234568. Получается, что между числами 1.234567 или 1.234568 есть целая «дыра» длиной 0.000001, в которой нет ни одного числа, которое может храниться в single.

Когда сами числа не очень большие, то и «дыры» не очень длинные. Но когда числа становятся большими, то и «дыры» тоже становятся больше. Например, число 123456789 тоже невозможно записать в single, можно записать только 123456700 или 123456800 — «дыра» получается уже длины 100!

(На самом деле конкретные числа, которые возможно записать — они немного другие, опять же из-за двоичной системы счисления, и соответственно размеры «дырок» тоже другие, они будут степенями двойки, а не десятки, но качественно все описанное выше верно.)

2.6.6. Базовые операции

С вещественными числами доступны все привычные уже вам операции: +-*/, abs, sqrt, ввод-вывод через float(input()), map(float, …) и print. Также работает деление с остатком (// и %).

При этом в ваших программах, а также при вводе вы можете задавать числа как в записи с фиксированной точкой, так и с плавающей, т.е. вы можете писать, например, a = 1.23 + 2.34e-1;, и при считывании чисел можете вводить значения тоже как в формате 1.23, так и в формате 2.34e-1.

2.6.7. Про вывод подробнее

Часто в наших задачах вы можете встретить фразу «выведите ответ с точностью до 5 знаков после запятой», или «с пятью верными знаками» и т.п. Такие фразы почти всегда обозначают, что ваш ответ должен содержать 5 верных цифр после запятой, но они не запрещают вам выводить больше цифр. Вы можете вывести хоть 20 цифр — если первые пять из них верные, то ответ будет зачтен. И наоборот, вы можете вывести меньше цифр — если невыведенные цифры — нули, то ответ тоже будет зачтен. Вообще, строго говоря, такая фраза в условии просто обозначает, что ваш ответ должен отличаться от верного не более чем на 1e-5.

Пример: если правильный ответ на задачу — 0.123456789, то вы можете вывести 0.12345, или 0.123459876, или даже 1.2345e-1 (т.к. это то же самое, что и 0.12345). А если правильный ответ — 0.10000023, то вы можете вывести 0.10000, 0.10000987 или даже просто 0.1 или 1e-001 (т.к. это то же самое, что и 0.10000).

В частности, это обозначает, что вы можете пользоваться стандартной функцией вывода (print) без каких-либо особых ухищрений; не надо округлять число, не надо форматировать вывод и т.д.

Вот если в задаче строго сказано «вывести ровно с 5 знаками после запятой», то это другое дело. Но на приличных олимпиадах такое бывает очень редко.

2.6.8. Полезные функции

В питоне есть несколько функций, которые вам будут полезны при работе с вещественными числами. Для ряда из этих функций надо в самом начале программы написать from math import * (как вы уже писали для квадратного корня). Кроме того, имейте в виду, что с этими функциями также могут возникать проблемы погрешностей (см. ниже).

• floor («пол») — округляет число вниз, т.е. определяет ближайшее целое число, которое меньше или равно данного вещественного. Например, floor(2.4) == 2, floor(2) == 2, floor(-2.4) == -3, и floor(2.8) == 2.
• ceil («потолок») — округляет число вверх, т.е. определяет ближайшее целое число, которое больше или равно данного вещественного. Например, ceil(2.4) == 3, ceil(2) == 2, ceil(-2.4) == -2, и ceil(2.8) == 3.
• trunc — округляет число в сторону нуля. Например, trunc(2.4) == 2, trunc(2) == 2, trunc(-2.4)== -2, и trunc(2.8) == 2.
• round — округляет число к ближайшему целому числу («по школьным правилам», за исключением ситуации, когда дробная часть числа строго равна 0.5 — тогда в зависимости от числа может быть округление то в одну, то в другую сторону). Например, round(2.4) == 2, round(2) == 2, round(-2.4) == -2, и round(2.8) == 3.
• Еще повторю, что работают операции деления с остатком (// и %), в частности, x % 1 дает дробную часть числа x.

Пример программы, использующей эти функции:

from math import *

print(floor(-2.4))  # выводит -3
print(ceil(2.4))  # выводит 3
print(trunc(2.8) + (2.4 + 0.4) % 1)  # выводит 2.8
print(round(3.9))  # выводит 4

2.6.9. Погрешности

2.6.9.1. Два правила работы с вещественными числами

Сначала напишу два главных правила работы с вещественными числами:

Важно

Правило первое: не работайте с вещественными числами. А именно, если возможно какую-то задачу решить без применения вещественных чисел, и это не очень сложно, то лучше ее решать без вещественных чисел.

Важно

Правило второе: если уж работаете, то используйте eps. При любых сравнениях вещественных чисел надо использовать eps.

Ниже я разъясняю оба этих правила.

2.6.9.2. Необходимость использования

eps

Как уже говорилось выше, компьютер не может хранить все цифры числа, он хранит только несколько первых значащих цифр. Поэтому, если, например, разделить 1 на 3, то получится не 0.33333… (бесконечно много цифр), а, например, 0.33333333 (только несколько первых цифр). Если потом умножить результат обратно на 3, то получится не ровно 1, а 0.99999999. (Аналогичный эффект есть на простых калькуляторах; на продвинутых калькуляторах он тоже есть, но проявляется сложнее.)

(Вы можете попробовать потестировать, правда ли, что (1/3)*3 равно 1, и обнаружить, что проверка if (1 / 3) * 3 == 1 выполняется. Да, тут повезло — опять-таки из-за двоичной системы получилось округление в правильную сторону. Но с другими числами это может не пройти, например, проверка if (1 / 49) * 49 == 1 не срабатывает.)

На самом деле все еще хуже: компьютер работает в двоичной системе счисления, поэтому даже числа, в которых в десятичной системе счисления имеют конечное число цифр, в компьютере могут представляться неточно. Поэтому, например, сравнение if 0.3 + 0.6 == 0.9 тоже не сработает: если сложить 0.3 и 0.6, то получится не ровно 0.9, а слегка отличающее число (0.899999 или 0.900001 и т.п.)

Действительно, напишите и запустите следующую программу:

if 0.3 + 0.6 == 0.9:
   print("Ok")
else:
   print("Fail")

и вы увидите, что она выводит Fail.

(Более того, print(0.3+0.6) выводит у меня 0.8999999999999999.)

Итак, погрешности, возникающие при любых вычислениях, — это основная проблема работы с вещественными числами. Поэтому если вам надо сравнить два вещественных числа, то надо учитывать, что, даже если на самом деле они должны быть равны, в программе они могут оказаться не равны.

Стандартный подход для борьбы с этим — выбрать маленькое число eps (от названия греческой буквы ε — «эпсилон», «epsilon»), и два числа считать равными, если они отличаются не более чем на eps.

Про то, как выбирать это eps, обсудим ниже, пока будем считать, что мы взяли eps=1e-6. Тогда в начале программы пишем

— и далее в коде когда нам надо сравнить два числа, мы вместо if x=y пишем if abs(x - y) < eps, т.е. проверяем, правда ли, что \(|x-y| < \varepsilon\).

То есть мы предполагаем, что если два числа на самом деле должны быть равны, но отличаются из-за погрешности, то они отличаться будут менее чем на eps; а если они на самом деле должны различаться, то различаться они будут более чем на eps. Таким образом, eps разделяет ситуации «два числа равны» и «два числа не равны». (Естественно, это будет работать не при любом eps, т.е. eps надо аккуратно выбирать — про это см. ниже.)

Аналогично, если нам надо проверить if x >= y, то надо писать if x >= y - eps или if x > y - eps. (Обратите внимание, что тут не важно, писать строгое или нестрогое равенство — вероятность того, что окажется точно x == y - eps очень мала из-за тех же погрешностей: скорее всего окажется или больше, или меньше. Более того, если оказалось, что точно x == y - eps, это обозначает, что мы неправильно выбрали eps, т.к мы не смогли отделить ситуацию «числа x и y равны» и ситуацию «числа не равны». См. еще ниже в разделе про выбор eps.)

Если нам надо написать условие if x > y, то его тоже надо переписать, ведь нам важно (подробнее см. ниже), чтобы при x == y условие не выполнилось! Поэтому переписать его надо так: if x > y + eps. Аналогичные соображения действуют для любых других сравнений вещественных чисел.

Итак, именно поэтому получаем

Важно

Правило второе: если уж работаете, то используйте eps. При любых сравнениях вещественных чисел надо использовать eps.

(Первое правило будет дальше 🙂 )

2.6.9.3. Выбор

eps

Выбор eps — это весьма нетривиальная задача, и далеко не всегда она вообще имеет правильное решение. Нам надо выбрать такое eps, чтобы, если два числа должны быть равны (но отличаются из-за погрешностей), то их разность точно была меньше eps, а если они не равны, то точно была больше eps. Ясно, что в общем случае эта задача не имеет решения: может быть так, что в одной программе будут два числа, которые должны быть равны, но отличаются, например, на 0.1 из-за погрешности, и два числа, которые действительно различны, но отличаются только на 0.01.

Но обычно считают, что в «разумных» задачах все-таки такое eps существует, т.е. числа, которые должны быть равны, отличаются не очень сильно, а те, которые должны отличаться, отличаются намного сильнее. И eps выбирают где-нибудь посередине. (В частности, поэтому, как говорилось выше, не бывает так, что x == y - eps точно.) (В более сложных задачах может понадобиться применять более сложные техники, но мы их сейчас не будем обсуждать.)

В некоторых, самых простых, задачах такое eps можно вычислить строго. Например, пусть задача: даны три числа \(a\), \(b\) и \(c\), каждое не больше 1000, и каждое имеет не более 3 цифр после десятичной запятой. Надо проверить, правда ли, что \(a+b=c\). Из изложенного выше понятно, что тупое решение if a + b == c не сработает: может оказаться, что должно быть \(a + b = c\), но из-за погрешностей получится, что \(a+b \neq c\). Поэтому надо проверять if abs(a + b - c) < eps, но какое брать eps?

Подумаем: пусть действительно \(a+b=c\). Какой может быть разница \(a+b-c\) с учетом погрешностей? Мы знаем, что \(a\), \(b\) и \(c\) не превосходят 1000. Мы используем тип данных float (который на самом деле double), в котором хранятся 15-16 верных цифр, значит, погрешности будут примерно в 15-16-й значащей цифре. Для максимальных возможных значений чисел (т.е. для 1000) погрешности будут порядка 1e-12 или меньше, т.е. можно рассчитывать, что если \(a+b=c\), то в программе \(|a+b-c|\) будет порядка 1e-12 или меньше.

С другой стороны, пусть \(a+b \neq c\). Какой тогда может быть разница \(|a+b-c|\)? По условию, все числа имеют не более трех цифр после запятой, поэтом понятно, что эта разница будет равна 0.001 или больше.

Итого мы видим, что если числа должны быть равны, то они отличаются не более чем на 1e-12, а если не равны, то как минимум на 1e-3. Поэтому можно, например, взять eps=1e-5. С одной стороны, если на самом деле \(a+b=c\), то в программе \(|a+b-c|\) точно получится намного меньше eps, а с другой стороны, если на самом деле \(a+b\neq c\), то \(|a+b-c|\) будет точно намного больше eps. Итак, в этом примере мы смогли точно вычислить подходящее eps.

(И вообще, конечно, вариантов много — подошло бы любое число, которое существенно меньше 1e-3 и существенно больше 1e-12. Вот это и есть «хорошая» ситуация, когда варианты «равны» и «не равны» разделены очень сильно. А если бы они не были бы так разделены, то весь фокус с eps не прошел бы. Это то, про что я писал немного выше.).

Но бывают задачи, где так просто вычислить подходящее eps не получается. На самом деле таких задач большинство — как только вычисления у вас становятся сложнее чем сложить два числа, за погрешностями уже становится сложно уследить. Можно, конечно, применять какие-нибудь сложные техники, но обычно принято просто брать какое-нибудь eps порядка 1e-6..1e-10.

Но в итоге вы не можете быть уверены, что вы выбрали правильное eps. Если ваша программа не работает — это может быть потому, что у вас ошибка в программе, а может быть просто потому, что вы выбрали неверный eps. Бывает так, что достаточно поменять eps — и программа пройдет все тесты. Конечно, это не очень хорошо, но ничего не поделаешь.

В частности, поэтому на олимпиадах очень не любят давать задачи, которые реально требуют вычислений с вещественными числами — никто, даже само жюри, не может быть уверено в том, что у них eps выбрано верно. Но иногда такие задачи все-таки дают, т.к. никуда не денешься.

И поэтому получаем

Важно

Первое правило работы с вещественными числами: не работайте с вещественными числами. А именно, если возможно какую-то задачу решить без применения вещественных чисел, и это не очень сложно, то лучше ее решать без вещественных чисел, чтобы не думать про все эти погрешности и eps.

Пример: пусть у вас в программе есть четыре целых (int) положительных числа \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), и вам надо сравнить две дроби: \(a/b\) и \(c/d\). Вы могли бы написать if a / b > c / d, но это плохо: в результате деления получаются вещественные числа, и вы сравниваете два вещественных числа со всеми вытекающими последствиями. (Конкретно в этом случае, возможно, ничего плохого не случится, но в чуть более сложных случаях уже может случиться, да и в этом случае возможно и случится, я не проверял.) А именно, может оказаться, например, что \(a / b = c / d\) на самом деле, но из-за погрешностей в программе получится \(a/b>c/d\) и if выполнится. Вы можете написать eps, думать, каким его выбрать… но можно проще. Можно просто понять, что при положительных (по условию) числах это сравнение эквивалентно условию if a * d > c * b. Здесь все вычисления идут только в целых числах, поэтому это условие работает всегда, и не требует никаких eps (да еще и работает быстрее, чем предыдущий вариант). Его написать не сложнее, чем вариант с делением, поэтому всегда следует так и писать. Всегда, когда в решении вы переходите от целых к вещественным числам, задумайтесь на секунду: а нельзя ли обойтись без вещественных чисел? Если да, то постарайтесь так и поступить — и никаких проблем с точностью у вас не возникнет.

В частности, в будущем вы заметите, что во многих задачах, которые, казалось бы, подразумевают вещественные входные данные (например, задачи на геометрию), входные данные тем не менее обычно целочисленны. Это сделано именно для того, чтобы можно было написать решение полностью в целых числах, и не иметь проблем с погрешностью. (Не всегда такое решение возможно, и уж тем более не всегда оно простое, но тем не менее.) Поэтому если вы можете написать такое решение, лучше написать именно его.

2.6.10. Дополнительный материал. «Грубые» задачи: когда

eps не нужно

Рассмотрим следующие код (x, y, max – вещественные числа):

if x > y:
   max = x
else:
   max = y

Здесь мы сравниваем два вещественных числа, чтобы найти максимум из них. Казалось бы, в соответствии со сказанным выше, в сравнении нужен eps… но нет! Ведь если два числа на самом деле равны, то нам все равно, в какую из веток if мы попадем — обе ветки будут верными! Поэтому eps тут не нужен.

Так иногда бывает — когда вам все равно, в какую ветку if’а вы попадете, если два сравниваемых числа на самом деле равны между собой. В таком случае eps использовать не надо. Но каждый раз тщательно думайте: а правда ли все равно? Всегда лучше перестраховаться и написать eps (выше с eps тоже все работало бы), за исключением совсем уж простых случаев типа приведенного выше вычисления максимума.

Еще пример: считаем сумму положительных элементов массива

# x -- массив вещественых чисел
s = 0
for i in range(len(x)):
   if x[i] > 0:
      s += x[i]

Здесь, опять-таки, если должно быть \(x_i=0\), то не важно, добавим мы его в сумму или нет: сумма от добавления нуля не изменится. Поэтому eps писать не надо (но ничего страшного не будет, если и написать).

Еще пример, где уже eps необходим: определим, какое из двух чисел больше:

...
if x > y + eps:
   ans = 1
elif x < y - eps:
   ans = 2
else:
   ans:=0

Вообще, тут полезно следующее понятие. Назовем задачу (или фрагмент кода) грубым, если ответ на задачу (или результат работы этого фрагмента) меняется не очень сильно (не скачком) при небольшом изменении входных данных, и негрубым в противоположном случае. (Понятие грубости пришло из физики.)

Тогда в задаче (фрагменте кода) eps нужен, если задача является негрубой: тогда существуют такие входные данные, которые вам важно отличить от очень близких им. Например, если надо определить, какое из двух чисел больше, то при входных данных «0.3 0.3» надо ответить «они равны», но при очень небольшом изменении входных данных, например, на «0.300001 0.3» ответ резко меняется: надо отвечать «первое больше».

Если же задача (или фрагмент кода) является грубым, то, скорее всего, в нем можно обойтись без eps: если вы чуть-чуть ошибетесь при вычислениях, ответ тоже изменится не очень сильно. Например, если вы вычисляете максимум из двух чисел, то на входных данных «0.3 0.3» ответ 0.3, а на входных данных «0.300001 0.3» ответ 0.300001, т.е. изменился не очень сильно.

Но, конечно, все приведенное выше рассуждение про грубые задачи — очень примерно, и в каждой задаче надо отдельно думать.

2.6.11. Примеры решения задач

Приведу несколько примеров задач, аналогичных тем, которые встречаются на олимпиадах и в моем курсе.

Задача 2.21:

Маша наблюдает из дома за грозой. Она увидела молнию, а через \(T\) секунд услышала гром от молнии. Она знает, что в той стороне, где была молния, есть одинокое дерево, и боится, не попала ли молния в это дерево. Расстояние от Машиного дома до дерева равно \(L\) метров, скорость звука равна \(V\) метров в секунду, скорость света считаем бесконечной. Определите, могла ли молния попасть в дерево.

Входные данные: На одной строке вводятся три вещественных числа — \(T\), \(L\) и \(V\).

Входные данные: Выведите yes, если молния могла попасть в дерево, и no в противном случае.

Пример:

Входные данные:

Выходные данные:

Несложно понять, что расстояние от Машиного дома до молнии равно \(V\cdot T\). Осталось проверить, равно ли это \(L\). Можно было бы написать if v * t == l, но, поскольку все числа вещественные, так просто не заработает — из-за погрешностей результат умножания может оказаться не равен l, даже если на самом деле он должен быть равен. (Не говоря уж о том, что в реальной жизни значения \(V\), \(L\) и \(T\) известны не совсем точно, и поэтому \(V\cdot T\) может оказаться не равно \(L\) банально из-за погрешностей измерения.) Поэтому надо проверять, что v*t примерно равно l, т.е. что разница abs(l - v * t) не слишком велика. Выберем какое-нибудь eps и будем сравнивать с ним.

Итоговый код получается такой:

t, v, l = map(float, input().split())
eps = 1e-6
if abs(l - v * t) < eps:
   print("yes")
else:
   print("no")

Выбор eps тут в существенной мере произвольный, подробнее про выбор eps описано выше в основной части теории.

Задача 2.22:

Вася проехал \(L\) километров за \(T\) часов. На той дороге, по которой он ехал, ограничение скорости \(V\) километров в час: можно ехать с любой скоростью, не превышающей \(V\). Определите, нарушил ли Вася правила.

Входные данные: На одной строке вводятся три вещественных числа — \(T\), \(L\) и \(V\).

Входные данные: Выведите yes, если Вася нарушил правила, и no в противном случае.

Пример:

Входные данные:

Выходные данные:

Скорость Васи равна \(L/T\). Если она строго больше чем \(V\), то Вася нарушил правила, иначе нет. Но надо помнить, что если \(L/T\) на самом деле точно равно \(V\) (как в примере), то из-за погрешностей может получиться \(L/T\) чуть больше \(V\). Поэтому написать if l / t > v нельзя, это может выдать yes, если Вася ехал со скоростью ровно v. Надо добавить небольшой запас eps:

t, v, l = map(float, input().split())
eps = 1e-6
if l / t > v + eps
   print("yes")
else:
   print("no")

Обратите внимание, что по смыслу нам было нужно строгое сравнение \(L/T>V\), и для учета погрешностей пришлось его переписать как l / t > v + eps. Если бы нам нужно было бы нестрогое сравнение \(L/T\geqslant V\), то для учета погрешностей пришлось бы добавить запас с другой стороны, и написать l / t > v - eps. При этом в обоих случаях можно было бы писать и >= (например, l / t >= v - eps), как раз это не имеет никакого значения. Значение имеет знак перед eps, т.е. делаем мы запас в одну или в другую сторону.

Функция ЦЕЛОЕ

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ЦЕЛОЕ в Microsoft Excel.

Описание

Округляет число до ближайшего меньшего целого.

Синтаксис

ЦЕЛОЕ(число)

Аргументы функции ЦЕЛОЕ описаны ниже.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные
19,5
Формула	Описание	Результат
=ЦЕЛОЕ(8,9)	Округляет число 8,9 до ближайшего меньшего целого	8
=ЦЕЛОЕ(-8,9)	Округляет число -8,9 до ближайшего меньшего целого. При округлении отрицательного числа вниз оно округляется до ближайшего большего по модулю значения.	-9
=A2-ЦЕЛОЕ(A2)	Возвращает дробную часть положительного вещественного числа в ячейке A2	0,5

Типы данных в языке Си : целые, вещественные, символьные

 

Тип данных определяет множество значений, набор операций, которые можно применять к таким значениям и способ реализации хранения значений и выполнения операций.

Процесс проверки и накладывания ограничений на типы используемых данных называется контролем типов или типизацией программных данных. Различают следующие виды типизации:

• Статическая типизация — контроль типов осуществляется при компиляции.
• Динамическая типизация — контроль типов осуществляется во время выполнения.

Язык Си поддерживает статическую типизацию, и типы всех используемых в программе данных должны быть указаны перед ее компиляцией.

Различают простые, составные и прочие типы данных.

 

Простые данные

Простые данные можно разделить на

• целочисленные,
• вещественные,
• символьные
• логические.

 

Составные (сложные) данные

• Массив — индексированный набор элементов одного типа.
• Строковый тип — массив, хранящий строку символов.
• Структура — набор различных элементов (полей записи), хранимый как единое целое и предусматривающий доступ к отдельным полям структуры.

 

Другие типы данных

• Указатель — хранит адрес в памяти компьютера, указывающий на какую-либо информацию, как правило — указатель на переменную.

 
Программа, написанная на языке Си, оперирует с данными различных типов. Все данные имеют имя и тип. Обращение к данным в программе осуществляется по их именам (идентификаторам).

Идентификатор — это последовательность, содержащая не более 32 символов, среди которых могут быть любые буквы латинского алфавита a — z, A — Z, цифры 0 — 9 и знак подчеркивания (_). Первый символ идентификатора не должен быть цифрой.

Несмотря на то, что допускается имя, имеющее до 32 символов, определяющее значение имеют только первые 8 символов. Помимо имени, все данные имеют тип. Указание типа необходимо для того, чтобы было известно, сколько места в оперативной памяти будет занимать данный объект.

Компилятор языка Си придерживается строгого соответствия прописных и строчных букв в именах идентификаторов и лексем.

Верно	Неверно
int a = 2, b; b = a+3;	Int a=2;  // правильно int INT a=2;
	int a = 2, b; b = A + 3; // идентификатор А не объявлен
	int a = 2; b = a + 3; // идентификатор b не объявлен

Целочисленные данные

Целочисленные данные могут быть представлены в знаковой и беззнаковой форме.

Беззнаковые целые числа представляются в виде последовательности битов в диапазоне от 0 до 2ⁿ-1, где n-количество занимаемых битов.

Знаковые целые числа представляются в диапазоне -2^n-1…+2^n-1-1. При этом старший бит данного отводится под знак числа (0 соответствует положительному числу, 1 – отрицательному).

Основные типы и размеры целочисленных данных:

Количество бит	Беззнаковый тип	Знаковый тип
8	unsigned char 0…255	char -128…127
16	unsigned short 0…65535	short -32768…32767
32	unsigned int	int
64	unsigned long int	long int

Вещественные данные

Вещественный тип предназначен для представления действительных чисел. Вещественные числа представляются в разрядной сетке машины в нормированной форме.

Нормированная форма числа предполагает наличие одной значащей цифры (не 0) до разделения целой и дробной части. Такое представление умножается на основание системы счисления в соответствующей степени. Например, число 12345,678 в нормированной форме можно представить как

12345,678 = 1,2345678·10⁴

Число 0,009876 в нормированной форме можно представить как

0,009876 = 9,876·10^-3

В двоичной системе счисления значащий разряд, стоящий перед разделителем целой и дробной части, может быть равен  только 1. В случае если число нельзя представить в нормированной форме (например, число 0), значащий разряд перед разделителем целой и дробной части равен 0.

Значащие разряды числа, стоящие в нормированной форме после разделителя целой и дробной части, называются мантиссой числа.

В общем случае вещественное число в разрядной сетке вычислительной машины можно представить в виде 4 полей.

 
Различают три основных типа представления вещественных чисел в языке Си:

Тип	Обозна- чение в Си	Кол-во бит	Биты степени	Мантисса	Сдвиг
простое	float	32	30…23	22…0	127
двойной точности	double	64	62…52	51…0	1023
двойной расширен- ной точности	long double	80	78…64	62…0	16383

Как видно из таблицы, бит целое у типов float и double отсутствует. При этом диапазон представления вещественного числа состоит из двух диапазонов, расположенных симметрично относительно нуля. Например, диапазон представления чисел типа float можно представить в виде:

Пример: представить число -178,125 в 32-разрядной сетке (тип float).

Для представления числа в двоичной системе счисления преобразуем отдельно целую и дробную части:

178₁₀ = 10110010₂.

0,125₁₀ = 0,001₂.

Тогда

178,125₁₀ = 10110010,001₂=1,0110010001·2¹¹¹

Для преобразования в нормированную форму осуществляется сдвиг на 7 разрядов влево).

Для определения степени числа применяем сдвиг:

0111111+00000111 = 10000110.

Таким образом, число -178,125 представится в разрядной сетке как

 

Символьный тип

Символьный тип хранит код символа и используется для отображения символов в различных кодировках. Символьные данные задаются в кодах и по сути представляют собой целочисленные значения. Для хранения кодов символов в языке Си используется тип char.
Подробнее о кодировке символов

 

Логический тип

Логический тип применяется в логических операциях, используется при алгоритмических проверках условий и в циклах и имеет два значения:

• истина — true
• ложь — — false

В программе должно быть дано объявление всех используемых данных с указанием их имени и типа. Описание данных должно предшествовать их использованию в программе.

Пример объявления объектов

 
 

int n;    // Переменная n целого типа
double a; // Переменная a вещественного типа двойной точности

Назад: Язык Си

Натуральные действительные. Понятие числа. Виды чисел. Обыкновенные и десятичные дроби

Понятие действительного числа: действительное число — (вещественное число), всякое неотрицательное или отрицательное число либо нуль. С помощью действительных чисел выражают измерения каждой физической величины .

Вещественное , или действительное число возникло из необходимости измерений геометрической и физической величин мира. Кроме того, для проведения операций извлечения корня, вычисления логарифма, решения алгебраических уравнений и т.д.

Натуральные числа образовались с развитием счета, а рациональные с потребностью управлять частями целого, то вещественные числа (действительные) используются для измерений непрерывных величин. Т.о., расширение запаса чисел, которые рассматриваются, привело к множеству вещественных чисел, которое кроме рациональных чисел состоит из других элементов, называемых иррациональные числа .

Множество действительных чисел (обозначается R ) — это множества рациональных и иррациональных чисел собранные вместе.

Действительные числа делят на рациональные и иррациональные .

Множество вещественных чисел обозначают и зачастую называют вещественной или числовой прямой . Вещественные числа состоят из простых объектов: целых и рациональных чисел .

Число, которое возможно записать как отношение, где m — целое число, а n — натуральное число, является рациональным числом .

Всякое рациональное число легко представить как конечную дробь либо бесконечную периодическую десятичную дробь.

Пример ,

Бесконечная десятичная дробь , это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечное число цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде , являются иррациональными числами .

Пример:

Всякое иррациональное число легко представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Пример ,

Рациональные и иррациональные числа создают множество действительных чисел. Всем действительным числам соответствует одна точка координатной прямой, которая называется числовая прямая .

Для числовых множеств используются обозначения:

• N — множество натуральных чисел;
• Z — множество целых чисел;
• Q — множество рациональных чисел;
• R — множество действительных чисел.

Теория бесконечных десятичных дробей.

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь , т.е.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

где ± есть один из символов + или −, знак числа,

a 0 — целое положительное число,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… — последовательность десятичных знаков, т.е. элементов числового множества {0,1,…9}.

Бесконечную десятичную дробь можно объяснить как число, которое на числовой прямой находится между рациональными точками типа:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n и ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) для всех n=0,1,2,…

Сравнение вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей происходит поразрядно. Например , предположим даны 2 положительны числа:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Если a 0 0, то α; если a 0 >b 0 то α>β . Когда a 0 =b 0 переходим к сравнению следующего разряда. И т.д. Когда α≠β , значит после конечного количества шагов встретится первый разряд n , такой что a n ≠b n . Если a n n , то α; если a n >b n то α>β .

Но при этом нудно обратить внимание на то, что число a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда это периодическая десятичная дробь, у которой в периоде стоит 9, то её нужно заменить на эквивалентную запись, с нулем в периоде.

Арифметические операции с бесконечными десятичными дробями это непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например , суммой вещественных чисел α и β является вещественное число α+β , которое удовлетворяет таким условиям:

∀ a′,a′′,b′,b′′ ∈ Q(a′ ⩽ α ⩽ a′′) ∧ (b′ ⩽ β ⩽ b′′) ⇒ (a′+b′ ⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами . В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса:

Первый класс справа называют классом единиц , второй — тысяч , третий — миллионов , четвёртый — миллиардов , пятый — триллионов , шестой — квадриллионов , седьмой — квинтиллионов , восьмой — секстиллионов .

Для удобства чтения записи многозначного числа, между классами оставляется небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 148951784296, выделим в нём классы:

и прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

148 миллиардов 951 миллион 784 тысячи 296.

При чтении класса единиц в конце обычно не добавляют слово единиц.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место — позицию. Место (позицию) в записи числа, на котором стоит цифра, называют разрядом .

Счёт разрядов идёт справа налево. То есть, первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда, вторая цифра справа — цифрой второго разряда и т. д. Например, в первом классе числа 148 951 784 296, цифра 6 является цифрой первого разряда, 9 — цифра второго разряда, 2 — цифра третьего разряда:

Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иначе ещё называют разрядными единицами :
единицы называют единицами 1-го разряда (или простыми единицами )
десятки называют единицами 2-го разряда
сотни называют единицами 3-го разряда и т. д.

Все единицы, кроме простых единиц, называются составными единицами . Так, десяток, сотня, тысяча и т. д. — составные единицы. Каждые 10 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего (более высокого) разряда. Например, сотня содержит 10 десятков, десяток — 10 простых единиц.

Любая составная единица по сравнению с другой единицей, меньшей её называется единицей высшего разряда , а по сравнению с единицей, большей её, называется единицей низшего разряда . Например, сотня является единицей высшего разряда относительно десятка и единицей низшего разряда относительно тысячи.

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, надо отбросить все цифры, означающие единицы низших разрядов и прочитать число, выражаемое оставшимися цифрами.

Например, требуется узнать, сколько всего сотен содержится в числе 6284, т. е. сколько сотен заключается в тысячах и в сотнях данного числа вместе.

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит в числе есть две простые сотни. Следующая влево цифра — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60. Всего, таким образом, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в каком-нибудь разряде означает отсутствие единиц в данном разряде. Например, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

172 526 — сто семьдесят две тысячи пятьсот двадцать шесть.
102 026 — сто две тысячи двадцать шесть.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.

Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

В результате выполнения любого арифметического действия над рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь

Иррациональные числа

В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в решении с числами, которые не являются рациональными.2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

$\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

$\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число (кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

• N – множество всех натуральных чисел;
• Z – множество целых чисел;
• Q – множество рациональных чисел;
• J – множество иррациональных чисел;
• R – множество действительных чисел;
• C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ — принадлежит и ∉ — не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и &nsup;. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2011. — 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Что такое число? ЧИСЛО — одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счётом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, Натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов. 1

История. На раскопках стойбища древних людей нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад, какой – то древний охотник нанёс пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Также в Сибири и в других местах были найдены, сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.Кельты — древний народ, живший в Европе 2500 лет тому назад, являющиеся предками французов и англичан, считали двадцатками (две руки и две ноги давали двадцать пальцев). Следы этого сохранились во французском языке, где слово «восемьдесят» звучит как «четыре раза двадцать». Двадцатками считали и другие народы – предки датчан и голландцев, осетин и грузин. 2

Чётные и нечётные числа. Чётное число целое число, которое делится без остатка на 2: …, 2, 4, 6, 8, … Нечётное число целое число, которое не делится без остатка на 2: …, 1, 3, 5, 7, 9, … Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Чётные числа Пифагор считал женскими, а нечётные – мужскими: 2+3=5 5- это символ семьи, брака. Чётные и нечётные числа = женские и мужские числа. 4

Простые и составные. Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … Составные числа- это числа имеющие 3 и больше делителей. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. 5

Совершенные и несовершенные числа. Совершенные числа, целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = и 28 = являются совершенными. До сих пор (1976) неизвестно ни одного нечётного Сов. ч. и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования о Сов. ч. были начаты пифагорейцами, приписывавшими особый мистический смысл числам и их сочетаниям. Несовершенными Пифагор называл числа, сумма правильных делителей, которых меньше его самого. 6

Магические числа. Секреты чисел привлекают людей, заставляют вникать, разбираться, сравнивать свои выводы с реальным соотношением дел. К цифрам в древнем мире относились очень трепетно. Люди, познавшие их, считались великими, их приравнивали к божествам. Самый простой пример – это отсутствие во многих странах самолётов с бортовым номером 13, этажей и номеров в гостиницах с номером «13». 8
Магический ряд 2 – число равновесия и контраста, и поддерживающие устойчивость, смешивающие позитивные и негативные качества. 6 – Символ надёжности. Это идеальное число, которое делится как на чётное число(2), так и на нечётное(3), таким образом, объединяя элементы каждого. 8 – Число материального успеха. Оно означает надёжность, доведённую до совершенства, поскольку представлено двойным квадратом. Разделённое пополам, оно имеет равные части (4 и 4). Если его ещё разделить, то части будут тоже равными (2, 2, 2, 2), показывая четырёхкратное равновесие. 9 – Число всеобщего успеха, самое большое из всех цифр. Как трёхкратное числу 3, девятка превращает неустойчивость в стремление. 10

Лекция Вещественные числа

Лекция 1. Вещественные числа.

П.1 Множества.

Объединение множеств.

Пересечение множеств

Разность множеств.

Симметрическая разность.

Отрицание множеств. .

ПРИМЕР 1. А – множество студентов, сдавших физику и математику на оценку 4 или 5. В – множество студентов с рыжими волосами. С – множество студентов, занимающихся спортом. Какие студенты входят в множество ?

Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом.

Алгебра множеств (примеры).

1) . 2) 3)

ПРИМЕР 2. Доказать, что .

ДОК. ..

П.2. Вещественные числа.( множество R )

Аксиомы вещественных чисел.

1. Аксиомы сложения. В множестве вещественных чисел определена операция сложения, т.е. определено вещественное число , причем эта операция удовлетворяет условиям:

1.1 существует нуль, т.е.такой элемент , для которого .

1.2 существует «противоположный» элемент :.

1.3 «правило расстановки скобок»: .

1.4 коммутативность : .

2. Аксиомы умножения. Во множестве вещественных чисел определена операция умножения, т.е. определено вещественное число , причем эта операция удовлетворяет условиям :

2.1 существует единица, т.е. такой элемент , для которого .

2.2 для каждого существует «обратный» элемент , для которого .

2.3 «правило расстановки скобок» : .

2.4 коммутативность :

3. Аксиомы сложения и умножения.

3.1 правило раскрытия скобок :

4. Аксиомы порядка.

Во множестве действительных чисел определено отношение порядка , т.е. для каждой пары справедливо одно из высказываний : или , при этом это отношение удовлетворяет условиям :

4.1

4.2 Если и , то .

4.3 Если и , то .

4.4 Если , то .

4.5 Если и , то

5. Аксиома полноты.

5.1 Пусть X,Y и Z подмножества R такие, что и , причем и справедливо высказывание . Тогда , для которого для любых

Множество , содержащее более двух элементов, с введенными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими аксиомам 1-5 ,называется множеством вещественных чисел, а его элементы – вещественными (или действительными) числами.

СЛЕДСТВИЯ из аксиом.

Сл1. Единственность нуля.

Док. Если нуля два, , то .

Сл2. .

Док. .

Сл3.

Док. , т.е..

Сл4.

Док. , т.е. .

П.3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и действия с ними.

Обобщение понятия числа возможно на пути включения вещественных чисел в более обширное множество, в котором некоторые аксиомы вещественных чисел (4-5) не выполняются. В этом множестве должны быть введены операции (сложение, умножение, деление) так, что их сужение на множество вещественных чисел сохраняло смысл аналогичной операции в R.

ОПР. Комплексным числом z называют пару вещественных чисел : . Число a –называют вещественной , а b — мнимой часть комплексного числа z . Если мнимая часть равна нулю, то комплексное число называют вещественным или действительным. Его отождествляют с вещественным числом . Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то число называют чисто мнимым.

В качестве примера чисто мнимого числа рассмотрим число , называемое мнимой единицей. Два комплексных числа равны, если у них равны вещественные и мнимые части. Отношение порядка для комплексных чисел не определены: нельзя сказать, что одно комплексное число больше или меньше другого комплексного числа. Например, высказывание о том, что комплексное число положительно, имеет смысл только в том случае, если оно вещественное положительное число.

ОПР. Операция сложения двух комплексных чисел и определена так : , т.е. складываются вещественные и мнимые части комплексного числа.

ОПР. Операция умножения двух комплексных чисел и определена так:

.

ОПР. Операция деления двух комплексных чисел

и определена так:

.

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ.

1. Если во всех операциях участвуют комплексные числа с нулевой мнимой частью, т.е. действительные числа, то их действия сводятся к аналогичным операциям в R.

2. Введенные операции сложения, умножения и деления удовлетворяют аксиомам 1-3.

Действительно, роль нуля в аксиоме 1.1 играет 0=(0,0). Противоположным элементом для является число . Легко проверяется для сложения правило расстановки скобок и коммутативность сложения. Единицей в аксиоме 2.1 является число (1,0) – вещественная единица:

.

Комплексное число — обратный элемент к , поскольку

.

Проверим правило расстановки скобок в аксиоме 2.3 умножения: .

Аналогично, .

Если внимательно посмотреть на вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел, то легко заметить, что они равны друг другу и .

УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте выполнение аксиом 2.4 и 3.1.

УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте, что если — вещественное число, то

ПРИМЕР 2. Проверим, что .

РЕШЕНИЕ. .

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация комплексного числа.

Если на плоскости ХОУ рассмотрена декартовая система координат, то любому комплексному числу соответствует точка на плоскости с координатами и вектор с началом в точке (0,0) и концом в точке . Вещественным числам соответствуют точки на оси ОХ. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение векторов на плоскости, умножению комплексного числа на вещественное число — умножение вектора на .

ОПР. Модулем комплексного числа называют число

.

Модуль комплексного числа – это длина соответствующего ему вектора на плоскости ХОУ.

ОПР. Аргументом комплексного числа , обозначение , называют угол , который образует соответствующий ему вектор с положительным направлением оси ОХ. Принято считать, .

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа.

Комплексное число можно представить в виде

Она называется алгебраической формой. Здесь a и b – вещественная и мнимые части комплексного числа, а i — мнимая единица. Эта форма удобна для выполнения операций над комплексными числами в виде преобразования алгебраических выражений с дополнительным условием: .

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. .

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа.

Если , то и .

Тогда комплексное число можно представить в форме:

которая называется тригонометрической формой комплексного числа .Проследим за умножением комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:

.

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В частности,

.

КОРЕНЬ степени n из комплексного числа.

ОПР. Комплексное число называется корнем степени n из комплексного числа , если .

ТЕОРЕМА. Существует ровно n значений корня степени n из комплексного числа .

Все они имеют одинаковый модуль, равный , и аргументы ,вычисляемые по формуле: ,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ,,

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. . .

, , .

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что для решения квадратного уравнения с произвольными комплексными коэффициентами, справедлива формула: , где корень вычисляется из комплексного числа.

П 4. Отображения множеств.

Пусть X и Y два множества, принадлежащие R. Функцией , определенной на множестве X и принимающей значения в множестве Y, называют закон (правило), по которому каждому сопоставляется единственное число . Таким образом,

с функцией всегда связаны три объекта : X – область определения, f – правило отображения, Y – область значения. Две функции, у которых хотя бы один элемент тройки различен, считаются разными. Например, функции и различные, поскольку у них разные области определения. Если , то функция называется сужением функции на множество A.

Функция называется сюръекцией, если , и инъекцией, если каждое значение принимается функцией только в одной точке , т.е. из равенства .

Если функция одновременно сюрьективна и инъективна, то она называется биекцией.

Множество называется прообразом множества при отображении.

Если функция биекция, то на множестве Y определена функция , для которой и . Она называется обратной функцией к f.

ПРИМЕР 3 .

Функция — обратная.

ПРИМЕР 4.Функция , по правилу , сюръективна.

ПРИМЕР 5. Функция , по правилу , биективна и функция — обратная.

ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.

1) Множества, операции над множествами, примеры.

2) Аксиомы вещественных чисел и их следствия.

3) Комплексные числа, действия с ними в алгебраической и тригонометрической формах.

4) Корень степени n из комплексного числа.

5) Отображения множеств. Сюръективные, инъективные и биективные функции. Обратная функция. Примеры.

Достарыңызбен бөлісу:

Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные, комплексные

Тестирование онлайн

• Округление чисел

Натуральные числа

Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3… и т.д.

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N.

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак «+» обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит «+». Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак «-«, называются отрицательными.

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби . Например,

Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J.

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R.

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123… . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых — после запятой две цифры; до тысячных — три цифры и т.д.

Округлить 8,759123… с точностью до целой части.

Округлить 8,759123… с точностью до десятой части.

Округлить 8,759123… с точностью до сотой части.

Округлить 8,759123… с точностью до тысячной части.

Что такое гипервещественные числа? (Разъяснение вопроса, на который уже отвечают)

Принятие вас означает ваш вопрос в практическом смысле, а не о выполнении логических фондов… картина в вашем уме вещественные числа: та картина — точно , как гиперреальные числа смотрят.

Я даже не преувеличиваю. Гиперреальные числа, наряду с остальной частью нестандартной модели математики, в которой они содержатся, тщательно разработаны, чтобы иметь точно те же самые свойства, которые вещественные числа делают в рамках стандартной модели.

На самом деле, в некоторых философских подходах к предмету (например, как можно было бы интерпретировать внутренняя теория множеств), это — гиперреалы в рамках нестандартной модели, которая является на самом деле, что математики изучали в течение прошлых нескольких тысячелетий.

---

Except for a few esoteric applications, one only considers the hyperreals in the context of nonstandard analysis, which is all about making comparisons between standard model and a nonstandard model. One can’t get the flavor of NSA by asking «what do the hyperreals look like?» — one has to ask the question «how do the reals and hyperreals compare?».

В обычных формулировках главная отличительная особенность — то, что каждое вещественное число — также гипервещественное число, и что все конечные гиперреалы могут быть разделены согласно их стандартный компонент .

Таким образом, если $x$ — конечное гиперреальное, есть некоторый реальный $r$, таким образом, что $r-x$ — бесконечно малое гиперреальное.

Выраженный с другой стороны, к каждому $r$ вещественного числа есть ореол гиперреалов окружающие $r$, которые являются бесконечно малым расстоянием от $r$, и эти ореолы делят конечные гиперреалы.

Если вы готовы продвинуться к расширенные вещественные числа (т.е. $\\пополудни \infty$), то неличные гиперреалы лежат в ореолах * $\\пополудни \infty$ в зависимости от того, положительные ли они или отрицательные.

Книга Кейслера использует аналогию микроскопа. На одном уровне вы изучаете стандартные реалы, и в любое время можно выбрать реальное и «увеличить масштаб», чтобы посмотреть на его ореол нестандартных реалов с тем стандартным компонентом.

_{*: Будьте осторожны, что некоторые источники определяют ореол по-другому так, чтобы это заявление больше не было верно.}

Действительные числа и числовая линия

Абсолютное значение Абсолютное значение числа — это расстояние от графика числа до нуля на числовой прямой. действительного числа a , обозначаемое | a |, определяется как расстояние между нулем (началом координат) и графиком этого действительного числа на числовой прямой. Поскольку это расстояние, оно всегда положительно. Например,

Решение: И -12, и 12 — это двенадцать единиц от начала координат на числовой прямой. Следовательно,

Абсолютное значение может быть выражено в текстовом виде с помощью записи abs ( a ).Мы часто сталкиваемся с отрицательными абсолютными значениями, такими как — | 3 | или −abs (3). Обратите внимание, что перед символом абсолютного значения стоит знак минуса. В этом случае сначала обработайте абсолютное значение, а затем найдите результат, противоположный результату.

Постарайтесь не путать это с двойным отрицательным свойством, которое гласит, что — (- 7) = + 7.

Пример 7: Упростить: — | — (- 7) |.

Решение: Сначала найдите противоположность −7 внутри абсолютного значения. Затем найдите результат, противоположный результату.

На этом этапе мы можем определить, какие действительные числа имеют конкретное абсолютное значение. Например,

Представьте себе действительное число, расстояние от которого до начала координат равно 5 единицам. Есть два решения: расстояние справа от начала координат и расстояние слева от начала координат, а именно {± 5}. Символ (±) читается как «плюс или минус» и указывает на то, что есть два ответа, один положительный и один отрицательный.

Здесь мы хотим найти значение, для которого расстояние до начала координат отрицательно.Поскольку отрицательное расстояние не определено, это уравнение не имеет решения. Если уравнение не имеет решения, мы говорим, что решение — это пустое множество: Ø.

Тематические упражнения

Часть A: Действительные числа

Используйте обозначение набора, чтобы перечислить описанные элементы.

1. Часы на часах.

2. Дни недели.

3. Первые десять целых чисел.

4.Первые десять натуральных чисел.

5. Первые пять четных положительных целых чисел.

6. Первые пять положительных нечетных целых чисел.

Определите, являются ли следующие действительные числа целыми, рациональными или иррациональными.

7. 12

8. −3

9. 4.5

10. −5

11. 0,36 ¯

12. 0,3 ¯

13.1,001000100001…

14. 1,001 ¯

15. e = 2,71828…

16. 7 = 2,645751…

17. −7

18. 3,14

19. 227

20. 1,33

21. 0

22. 8,675,309

Верно или нет.

23. Все целые числа являются рациональными числами.

24. Все целые числа являются целыми числами.

25. Все рациональные числа являются целыми числами.

26. Некоторые иррациональные числа рациональны.

27. Все конечные десятичные числа являются рациональными.

28. Все иррациональные числа действительны.

Часть B: Строка вещественных чисел

Выберите соответствующий масштаб и нанесите на числовую линию следующие наборы действительных чисел.

29. {−3, 0 3}

30.{−2, 2, 4, 6, 8, 10}

31. {−2, −13, 23, 53}

32. {−52, −12, 0, 12, 2}

33. {−57, 0, 27, 1}

34. {–5, –2, –1, 0}

35. {−3, −2, 0, 2, 5}

36. {−2,5, −1,5, 0, 1, 2,5}

37. {0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2}

38. {−10, 30, 50}

39. {−6, 0, 3, 9, 12}

40. {−15, −9, 0, 9, 15}

Часть C: Заказ вещественных чисел

Заполните поле с помощью <, = или>.

41. −7 ___ 0

42. 30 ___ 2

43. 10 ___− 10

44. −150 ___− 75

45. −0,5 ___− 1,5

46. 0___ 0

47. −500 ___ 200

48. −1 ___− 200

49. −10 ___− 10

50. −40 ___− 41

Верно или нет.

51. 5 ≠ 7

52.4 = 5

53. 1 ≠ 1

54. −5> −10

55. 4≤4

56. −12≥0

57. −10 = −10

58. 3> 3

59. -1000 <-20

60. 0 = 0

61. Перечислите три целых числа меньше −5.

62. Назовите три целых числа больше −10.

63. Назовите три рациональных числа меньше нуля.

64. Назовите три рациональных числа больше нуля.

65. Перечислите три целых числа от −20 до −5.

66. Назовите три рациональных числа от 0 до 1.

Переведите каждое утверждение в предложение на английском языке.

67. 10 <20

68. −50≤ − 10

69. −4 ≠ 0

70,30 ≥ − 1

71. 0 = 0

72.e≈2,718

Переведите следующее в математическое выражение.

73. Отрицательная семерка меньше нуля.

74. Двадцать четыре не равно десяти.

75. Ноль больше или равен отрицательному.

76. Четыре больше или равно минусу двадцати одному.

77. Отрицательное два равно отрицательному двум.

78. Отрицательные две тысячи меньше отрицательных одной тысячи.

Часть D: Противоположности

Упростить.

79. — (- 9)

80. — (- 35)

81. — (10)

82. — (3)

83. — (5)

84. — (34)

85. — (- 1)

86. — (- (- 1))

87. — (- (1))

88. — (- (- 3))

89. — (- (- (- 11)))

90.Что противоположно −12

91. Что противоположно π?

92. Что противоположно –0,01?

93. Противоположность –12 больше или меньше –11?

94. Противоположность 7 меньше или больше −6?

Заполните поле с помощью <, = или>.

95. −7 ___− (- 8)

96. 6 ___− (6)

97. 13 ___− (- 12)

98.- (- 5) ___− (- 2)

99. −100 ___− (- (- 50))

100. 44 ___− (- 44)

Часть E: Абсолютное значение

Упростить.

101. | 20 |

102. | −20 |

103. | −33 |

104. | −0,75 |

105. | −25 |

106. | 38 |

107. | 0 |

108. | 1 |

109.- | 12 |

110. — | −20 |

111. — | 20 |

112. — | −8 |

113. — | 7 |

114. — | −316 |

115. — (- | 89 |)

116. | — (- 2) |

117. — | — (- 3) |

118. — (- | 5 |)

119. — (- | −45 |)

120. — | — (- 21) |

121. абс (6)

122.абс (−7)

123. −abs (5)

124. −abs (−19)

125. — (−abs (9))

126. −abs (- (- 12))

Определить неизвестное.

127. | ? | = 9

128. | ? | = 15

129. | ? | = 0

130. | ? | = 1

131. | ? | = −8

132. | ? | = −20

133.|? | −10 = −2

134. |? | + 5 = 14

Заполните поле с помощью <, = или>.

135. | −2 | ____ 0

136. | −7 | ____ | −10 |

137. −10 ____− | −2 |

138. | −6 | ____ | — (- 6) |

139. — | 3 | ____ | — (- 5) |

140. 0 ____− | — (- 4) |

Часть F: Темы дискуссионной доски

141. Изучите и обсудите историю числа ноль.

142. Изучите и обсудите различные системы нумерации на протяжении всей истории.

143. Изучите и обсудите определение и историю π.

144. Изучите историю иррациональных чисел. Кому приписывают доказательство того, что квадратный корень из 2 иррационален, и что с ним случилось?

145. Изучите и обсудите историю абсолютных ценностей.

146. Обсудите определение абсолютного значения «просто положительно».

ответов

1: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

3: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

5: {2, 4, 6, 8, 10}

7: Рациональный

9: Рациональный

11: Рациональный

13: Иррациональное

15: Иррациональное

17: целое число, рациональное

19: Рациональный

21: целое число, рациональное

23: Верно

25: Ложь

27: Верно

29:

31:

33:

35:

37:

39:

41: <

43:>

45:>

47: <

49: =

51: Верно

53: Ложь

55: Верно

57: Верно

59: Верно

61: −10, −7, −6 (ответы могут отличаться)

63: −1, −2/3, −1/3 (ответы могут отличаться)

65: −15, −10, −7 (ответы могут отличаться)

67: Десять меньше двадцати.

69: Отрицательная четверка не равна нулю.

71: ноль равен нулю.

73: −7 <0

75: 0 ≥ − 1

77: −2 = −2

79: 9

81: −10

83: −5

85: 1

87: 1

89: 11

91: −π

93: Больше

95: <

97:>

99: <

101: 20

103: 33

105: 2/5

107: 0

109: −12

111: −20

113: −7

115: 8/9

117: −3

119: 45

121: 6

123: −5

125: 9

127: ± 9

129: 0

131: Ø, нет решения

133: ± 8

135:>

137: <

139: <

вещественное число в предложении

Эти примеры взяты из корпусов и из источников в Интернете.Любые мнения в примерах не отражают мнение редакторов Cambridge Dictionary, Cambridge University Press или его лицензиаров.

Пусть> 0 будет достаточно малым вещественным числом (которое мы обнуляем позже).

Расширение непрерывной дроби дает наилучшие рациональные приближения действительного числа .

Величина s является положительным вещественным числом , которое должно быть ближе к желаемому собственному значению, чем к любому из других собственных значений.

Пусть будет положительное вещественное число , зафиксированное на данный момент.

Затем пусть max будет вещественным числом меньше / (g).

Здесь было принято действительное число представление22, которое, исходя из проведенных экспериментов, является более эффективным, чем другие представления.

Моделирование выражает состояние макулы с помощью вещественного числа в интервале (0, 1).

Из-за неадекватных записей, реальное число практически невозможно определить.

Мы используем те же обозначения для последовательности цифр и действительного числа , которое оно представляет.

Ежегодно регистрировалось реальных деревьев на делянке (древостоя).

Таким образом, у нас есть два способа выразить тот факт, что данная последовательность представляет собой действительное число .

Мы сосредоточимся на трех важных аспектах вычислений с вещественным числом : вычислениями, семантикой и доказательствами.

Это потому, что классическое отношение порядка влечет за собой, что каждый отдельный вещественный номер может быть изолирован от каждого другого реального числа .

Я считаю, что этот подход дает библиотеку real number , которая достаточно эффективна для вычислений и при этом достаточно проста, чтобы легко проверить ее правильность.

Однако настоящее число бешеных лисиц, обитающих в этом регионе, остается неизвестным.

Представление вещественного числа в этой статье является функциональным представлением.

Таким образом, алгебраические выражения, построенные на основе проектных переменных, могут быть непосредственно вычислены как действительное число .

R — это -распределение с r степенями свободы, где r — любое вещественное число .

Здесь k — любое вещественное число , но в данном документе интересен случай целого числа k.

Предположим, что для любого действительного числа в данном интервале существует какое-то последствие с полезностью, равной этому числу.

Крупномасштабное реальное число вычисление является важным элементом в нескольких современных математических доказательствах.

Просто потому, что мы хотим, чтобы сохраняемое количество было реальным числом ?

Более того, далеко не ясно, как измерить оценку вероятности, которая меньше любого реального числа .

В этом разделе мы рассматриваем r как вещественное число .

Это поднимает третий вопрос: если дано произвольное вещественное число , существует ли поток цифр, который его представляет?

Ясно, что в этом случае не может быть найдено реального числа , чтобы система вернулась точно в ту же точку, из которой она была запущена.

Суть аргумента, как вы помните, состоит в том, чтобы произвести действительное число , отношение которого к числу 2 не определено.

Каждая задача была определена рядом показателей деятельности человека, которые математически представлены функциями затрат, которые оцениваются как действительное число .

Все эти доказательства требуют программно-верифицированной реализации арифметики действительных чисел , прежде чем эти доказательства могут быть проверены компьютером.

Предположим, что цвет может быть представлен как единое вещественное число по шкале от 0 до 100.

Позвольте быть положительным вещественным числом таким, что

Строго говоря, поглощение ненулевое только на дискретном количестве поверхностей, на которых это действительное число является целым числом!

Пусть f — диффеоморфизм, а> 0 — вещественное число .

Существует положительное вещественное число t0 такое, что выполняется следующее.

Например, реальных чисел вычислений могут быть выполнены с использованием счетного набора рациональных интервалов в качестве приближений.

Базовый график основан на получении действительного числа , которое оценивает задачу, где каждая задача включает несколько функций стоимости.

Каждому правилу в программе присваивается неотрицательный вещественный номер , называемый весом, который интерпретируется как стоимость применения этого правила.

Два решения real number задают пределы ориентации endeffector link.

Для каждого r существует два решения вещественных числа , или два решения с комплексными числами, или смешанные решения.

Но, если это большое вещественное число , то a () 0 b (), противоречие, которое доказывает существующее утверждение.

Это означает, что каждые реальных число имеет несколько представлений.

Это сразу следует из математического факта, что любое действительное число , лежащее между двумя действительными числами, можно представить как их линейную комбинацию.

Похожая ситуация, когда мы получаем вещественное число путем завершения из рациональных чисел.

Набор возможных вариантов излишне велик, поскольку реальное число вариантов намного меньше, чем набор всех возможных назначений задач на моменты времени.

Многие другие доказательства полагаются на вычисление действительного числа числа .

В этом случае программный код, написанный на функциональном уровне системы, становится частью описания термина, используемого для получения действительного числа .

С практической точки зрения наиболее интересной характеристикой каждого из этих подходов является типовой уровень объектов, используемых для реализации реальных функций .

Операторы получают положительное вещественное число в качестве дополнительного аргумента, отношение обобщается для любого положительного вещественного t, и многие вещи работают таким же образом.

Пусть будет положительное вещественное число .

Когда получают одно комплексное число и одно решение действительное число число , число действительное дает точку изменения ориентации, в которой манипулятор не имеет постоянной ориентации.

Это позиционное представление, которое относится к более общему случаю представления системы счисления, в котором действительное число представлено потоком цифр.

Таким образом, интервалы, соответствующие одному и тому же вещественному числу , но с разной точностью, все становятся частью одного объекта данных в программе.

Функция g берет индивидуума и лотерею и дает действительное число , которое должно быть мерой того, насколько хороша лотерея для человека.

Это может недооценивать реальных детей в возрасте до пятнадцати лет, поскольку уровни смертности в возрасте от 15 до 18 лет были намного ниже, чем среди детей младшего возраста.

Если предел существует, он представлен числом вещественных между 0 и 1, которое мы называем плотностью истины для исследуемой логики.

Это правило исходит из того факта, что действительное число , представленное этими переменными, делится на 2 каждый раз, когда перед ним добавляется цифра.

Стандартным десятичным представлением для действительных чисел является представление потока: каждое вещественное число обозначается потоком по 10-элементному набору цифр.

Любой такой поток, для которого диаметр интервалов сходится к 0, представляет собой действительное число : тот, который находится на бесконечном пересечении интервалов.

Две разные последовательности или функции могут представлять одно и то же вещественное число , поэтому важно различать равенство как функции и эквивалентность как действительные числа.

Хотя стационарные пациенты представляют собой небольшую выборку из реальных людей, страдающих одним заболеванием, между амбулаторными и стационарными пациентами могут быть систематические различия в предпочтениях.

С этой точки зрения вполне правдоподобно позволить уникальному резонансному режиму отражения быть реальным числом , чтобы гарантировать конечное демпфирование на каждой магнитной поверхности.

Хотя базовые арифметические операции предоставляются с вещественными числами, отсутствуют функции для извлечения мантиссы и экспоненты или для создания вещественных чисел с учетом этих компонентов.

Удельная энергия абляции a real number !

реальное число людей, ищущих работу, несомненно, значительно выше, чем это.

Я абсолютно убежден, что эти цифры не передают реальных числа жалоб.

Я уверен, что реальный номер намного выше.

Поэтому я убежден, что реальных число нарушений прав человека намного выше, чем заставляет нас полагать наша информация.

В реестре находятся только те, кто получает пособие, и их намного меньше, чем реальных под номером .

Тогда они лишние, и реальное число равно 165000?

реальных число безработных сегодня больше, чем когда они пришли к власти.

Я все еще немного сомневаюсь, что такое реальное число лиц, к которым применяется это изменение.

Количество людей, пойманных на месте преступления, на самом деле минимально по сравнению с реальными числом умышленных актов загрязнения.

Но реальный номер , вероятно, будет около 5000, потому что остаток будет соответствовать требованиям для получения гражданства в рамках схемы паспорта 50 000.

Это даже не получается как реальное число .

реальное число — это не

, а 20000.

реальных число студентов упало, поскольку система начала разваливаться.

Они сказали, что реальное число было существенно ниже этого.

По оценкам, реальных число случаев в пять-десять раз превышает количество зарегистрированных случаев.

Я сомневаюсь, что мы знаем реальных номер кораблей, которые были потоплены.

Из-за этого сокрытия известная цифра в 500 000 переполненных домашних хозяйств может серьезно недооценивать реальных число домовладельцев, ищущих подходящее жилье.

Каким бы ни был реальный номер , однако таких домохозяйств все еще слишком много.

Это исследование определит реальное число в самый ранний возможный момент, и это даст нам общую основу для дальнейшего развития этих вопросов.

Если бы в смету был включен полный рассказ о реальных числе возможных сокращений на следующий год, это напугало бы нас до смерти.

Я понимаю, что национальная перепись 2001 года будет содержать вопросы, которые должны приблизить нас к реальным числу лиц, осуществляющих уход в этой стране.

Я знаю, что некоторые люди предпочитают более раннюю фигуру; принятая цифра, которая относится к претендентам на пособие по безработице, а не к реальным числу безработных.

Эти примеры взяты из корпусов и из источников в Интернете.Любые мнения в примерах не отражают мнение редакторов Cambridge Dictionary, Cambridge University Press или его лицензиаров.

вещественных чисел | Что такое вещественные числа

В системе счисления действительные числа представляют собой смесь рациональных и иррациональных чисел. Как правило, все арифметические операции могут выполняться с этими числами, а также могут быть представлены в числовой строке. В то же время нереальные числа — это мнимые числа, которые не могут быть представлены в числовой строке.Он широко используется для обозначения комплексного числа. В этой статье мы рассмотрим действительные числа, типы и их свойства.

Какое на самом деле число?

Действительные числа представляют собой смесь рациональных и иррациональных чисел. Они могут быть как положительными, так и отрицательными числами и обозначаются символом R . Он содержит натуральные числа, десятичные дроби и дроби. Действительное число может быть числом, которое может быть выражено точкой на числовой прямой.Некоторые примеры действительных чисел: 3,5, 0,003, 2/3, π, и т. Д.

Виды действительных чисел

Мы знаем, что набор действительных чисел состоит как из рациональных, так и из иррациональных чисел. Это просто указывает на то, что если мы возьмем какое-то число R , это либо рационально, либо иррационально. Существуют различные типы действительных чисел:

Рациональные числа

Любое число, указанное в форме p / q или дробной части, называется рациональным числом .Числитель определяется как p , а знаменатель представлен как q , где q не равно нулю . Рациональное число может быть целым, целым или натуральным числом.

Например: 0,67, 17, 214 и т. Д.

Иррациональное число

Иррациональные числа определяются как действительные числа, которые не могут быть представлены в виде простой дроби. Другими словами, его нельзя представить в виде отношения, например p / q , где p и q — целые числа, q 0 .Это противоположность рациональных чисел.

Например, √5, √11, √21 и т. Д.

Натуральные числа

Целое число больше 0 — натуральное число. Натуральные числа начинаются с 1 и уходят в бесконечность, например, 1, 2, 3, 4, 5 ……… Для новичков мы должны использовать натуральные числа, если мы измеряем что-либо в секундах. Мы не используем десятичную точку в натуральных числах, но мы можем использовать запятые, когда пишем большие числа, например.г., 1500 и 156 597 720. Знак минус (-) нельзя использовать с натуральными числами, потому что они не должны быть отрицательными.

Целые числа

Целое число — это система счисления, которая содержит все положительные целые числа от 0 до бесконечности . Целое число представляет собой целое число от 0 или больше.

Например: 1, 2, 3, 4, 5… ..

Свойства действительных чисел

Есть четыре основных актива, которые включают коммутативное свойство, ассоциативное свойство, распределительное свойство и свойство идентификации .

Коммутативная собственность

В математических вычислениях свойство коммутативности или закон коммутативности гласит, что порядок терминов не имеет значения при выполнении операции. Это свойство применимо только к методу сложения и умножения, например a + b = b + a, и a b = b a . Но это не относится к форме вычитания и деления, поскольку a — b ≠ b — a и a / b ≠ b / a .

Коммутативность сложения

Это свойство указывает, что если мы сложим два целых числа, результатом всегда будет одно и то же число, даже если позиция числа изменилась.Возьмем два целых числа A и B следующим образом;

А + В = В + А

Например:

1. 2 + 3 = 3 + 2 = 5
2. 4 + 5 = 5 + 4 = 9
3. 7 + 8 = 8 + 7 = 15
4. 18 + 8 = 8 + 18 = 26

Коммутативное свойство умножения

Это свойство указывает, что если мы умножим два целых числа, мы получим тот же результат, даже если положение целого числа поменяется местами.Возьмем два целых числа A и B следующим образом;

А * В = В * А

Например:

1. 4 * 2 = 2 * 4 = 8
2. 5 * 6 = 6 * 5 = 30
3. 12 * 3 = 3 * 12 = 36
4. 9 * 7 = 7 * 9 = 63

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство — это свойство некоторых бинарных операций. В логике высказываний ассоциативность — это истинное правило подстановки логических доказательств. В зависимости от ассоциативного свойства мы можем складывать или умножать независимо от того, как числа сгруппированы.Проще говоря, это относится к группировке чисел. Он в основном используется для перегруппировки вещей, и каждая форма вычисления времени зависит от перегруппировки вещей.

Ассоциативное свойство сложения

Свойство ассоциативности сложения следует за ассоциативным свойством. Ассоциативное свойство сложения утверждает, что:

(х + у) + г = х + (у + г)

Например: Давайте рассмотрим пример, чтобы объяснить ассоциативное свойство сложения. Мы принимаем значения x, y, z равными 5, 6, 8.

Сейчас,

(5 + 6) + 8 = 5 + (6 + 8)

(11) + 8 = 5 + (14)

19 = 19

L.H.S = R.H.S

Ассоциативное свойство умножения

Правило ассоциативного свойства умножения выглядит следующим образом:

(ху) z = х (yz)

Например: Давайте рассмотрим пример, чтобы объяснить ассоциативное свойство умножения. Мы берем значения x, y, z равными 3, 4, 8.

Сейчас,

(3 * 4) * 8 = 3 * (4 * 8)

(12) * 8 = 3 * (32)

96 = 96

Л.H.S = R.H.S

Распределительная собственность

Это алгебраическое свойство, используемое для умножения значения на два или более других значения в скобках. Когда коэффициент умножается на сложение или сумму двух чисел, необходимо умножить каждое из двух чисел на коэффициент. После этого выполните операцию сложения. Условно это свойство можно описать как:

А (В + С) = АВ + АС

Например: Давайте рассмотрим пример, чтобы объяснить свойство распределения.Мы берем значения x, y, z равными 2, 5, 7.

Сейчас,

2 * (5 + 7)

2 * 5 + 2 * 7

10 + 14

24

Распределительное свойство на добавление

Когда значение умножается на число, применяется распределительное свойство умножения над сложением.

Например: Давайте рассмотрим пример, чтобы объяснить свойство распределения для сложения. Мы принимаем значения x, y и z равными 7, 9 и 3.

7 * (9 + 3)

7 * 9 + 7 * 3

63 + 21

84

Распределительное свойство на вычитание

Например: Давайте рассмотрим пример, чтобы объяснить свойство распределения для вычитания. Теперь мы берем значения 4, 8, 5 для A, B и C.

Сейчас,

= 4 * (8–5)

= 4 * 3

= 12

Распределительная собственность раздела

Используя это свойство, мы можем разделить большие числа, разбив эти числа на более мелкие множители.

Например: Давайте рассмотрим пример, чтобы объяснить свойство распределения для подразделения. Мы принимаем значение 48/4.

Мы можем записать это число 48 как (12 + 36)

Здесь мы можем применить свойство распределения для деления и разбиения этого числа на маленькие множители, и мы получим:

(12/4) + (36/4)

= 3 + 9

= 12

Идентификационная собственность

Это свойство включает аддитивную идентичность и мультипликативную идентичность.Мы можем выполнять различные операции на основе действительных чисел, включая сложение, умножение, вычитание и деление.

Что такое аддитивная идентичность?

Аддитивная идентичность чисел — это свойство чисел, используемых для выполнения дополнительных операций. Это свойство утверждает, что если мы добавим любое число с 0, результат будет таким же. «Ноль» называется элементом идентичности, также определяемым как аддитивная идентичность.

Например: Давайте рассмотрим пример, чтобы объяснить свойство аддитивной идентичности.

15 + 0 = 15

Здесь 0 — аддитивная идентичность, а результат — то же самое число.

Что такое мультипликативная идентичность?

Мультипликативная идентичность чисел — это числовое свойство, которое вводится при выполнении операций умножения. Это свойство заявляет, что если мы умножим на любое число с 0 , в результате получится число как произведение. «1» — это мультипликативная идентичность числа. Верно, если умножаемое число — это сама 1.

Например: Давайте рассмотрим пример, чтобы объяснить свойство мультипликативной идентичности.

Предположим, что a — действительное число, свойство мультипликативной идентичности представлено как:

А * 1 = А

1 * А = А

Вот некоторые другие примеры:

10 * 1 = 10

1 * 10 = 1

---

Реальные числа — GeeksforGeeks

В математике действительное число — это значение непрерывной величины, которая может представлять расстояние вдоль линии.Действительные числа включают как рациональные, так и иррациональные числа. Рациональные числа, такие как целые числа (-5, 0, 9), дроби (1 / 2,7 / 8, 2,5) и иррациональные числа, такие как √7, π и т. Д., Являются действительными числами.

Когда-нибудь думали, что мы можем считать, но как мы можем считать. Мы можем считать с помощью чисел. Но число также бывает многих типов: некоторые имеют отрицательные значения, некоторые имеют положительные значения, некоторые очень большие, некоторые очень маленькие, некоторые используются в математических операциях, поэтому существует много типов чисел.

Вниманию читателя! Все, кто говорит, что программирование не для детей, просто еще не встретили подходящих наставников. Присоединяйтесь к демонстрационному классу для первого шага к курсу программирования, специально разработан для учащихся 8-12 классов.

Студенты узнают больше о мире программирования в этих бесплатных классах , которые определенно помогут сделать правильный выбор карьеры в будущем.

Число или система счисления — это система представления чисел.В математике существуют различные типы систем счисления, такие как двоичная, десятичная и т. Д. Система счисления представляет то, как должны быть записаны числа.

Числа делятся на следующие типы:

• Натуральные числа
• Целые числа
• Целые
• Рациональные числа
• Иррациональные числа

Натуральные числа

Натуральные числа, используемые вами вашу повседневную жизнь считать как 1, 2, 3….. Это положительные числа, потому что мы не можем считать отрицательными.

Предположим, вы выбрали число от 1, 2, 3, 4, 5 …… и так далее до бесконечности. Эти числа известны как натуральные числа. Эти натуральные числа обозначаются символом N.

Целые числа

Целые числа — это числа, в которых одно число добавляется к натуральным числам. Добавление 0 к натуральным числам превращает серию в набор целых чисел.

0, 1, 2, 3, 4, 5 …… и так далее до бесконечности. Эти числа известны как целые числа.Эти целые числа обозначаются символом W.

Целые числа

Все числа, которые имеют полное значение, называются целыми числами, и есть два типа целых чисел: первое — отрицательное, а второе — положительное.

….-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 …… и так далее до бесконечности. Эти числа известны как целые числа и обозначаются символом Z.

Рациональные числа

В математике рациональное число — это число, которое может быть выражено как дробь p / q двух целых чисел, числитель p и ненулевой знаменатель q, например 2/7.

Пример: 25 можно записать как 25/1, так что это рациональное число.

Иррациональные числа

Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены в форме p / q, где p и q являются целыми числами и q 0. Короче говоря, иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными числами.

Пример: √3, √5, π и т. Д. Эти числа известны как иррациональные числа.

Вопрос 1. Найдите три рациональных числа от 6 до 7.

Ответ.

Три рациональных числа от 6 до 7 — это 13/2, 20/3 27/4.

Вопрос 2. Можете ли вы определить следующие серии 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ……?

Ответ.

Это группа чисел, представляющая целые числа.

Таблица вещественных чисел

Представление чисел в строке

Числовая линия — это представление чисел с фиксированным интервалом между ними на прямой.Числовая строка содержит все типы чисел, такие как натуральные числа, рациональные числа, целые числа и т. Д.

Как показано в числовой строке выше, 0 находится в середине строки. Положительные целые числа записываются справа от нуля, а отрицательные целые числа записываются слева от нуля.

Рациональные числа пишутся между числами, на которых они лежат. Например, 3/2 равно 1,5, поэтому отмечается от 1 до 2. Это показывает, что число 3/2 находится где-то между 1 и 2.

Точно так же число 13/4 находится между 3 и 4. Итак, мы отметили его между 3 и 4. Число -50/9 находится между -5 и -6. Итак, мы отметили это между -5 и -6 на числовой прямой.

Вопрос: укажите следующие числа в числовой строке.

(i) 23/5

(ii) 6

(iii) -33/7

Десятичное разложение вещественного числа

число — это его представление в базе, равное 10 (т.е.е., в десятичной системе счисления). В этой системе каждый «десятичный разряд» состоит из цифры от 0 до 9. Эти цифры расположены так, что каждая цифра умножается на степень 10, убывающую слева направо.

Можем ли мы представить 13/4 в другой форме, которая может показать его точное значение на числовой прямой?

Ответ — да. Мы можем записать его в десятичной дроби, что даст его точное значение. Давайте развернем 13/4

Итак, 13/4 также можно записать как 3,25.

Возьмем другой пример.Давайте расширим 1/3

Таким образом, 1/3 также можно записать как 0,3333 …… Мы также можем записать это как

Аналогично, 1/7 можно записать как 0,142857142857142857… или. Это можно определить как повторяющиеся десятичные дроби.

Последовательное увеличение

Процесс представления и визуализации действительных чисел на числовой прямой через увеличительное стекло известен как последовательное увеличение.

Возьмем для примера 3,25

Мы можем сказать, что 3.25 определенно лежит между 3 и 4. Можем ли мы сказать, где именно оно лежит? Да, мы можем сделать это с помощью последовательного увеличения.

В первой строке мы видим, что 3,25 находится между 3 и 4. Теперь сделаем шаг вперед. Теперь мы увеличиваем от 3,2 до 3,3. Здесь мы обнаружили, что 3,25 находится между 3,2 и 3,3. Таким образом, мы изобразили 3,25 на числовой прямой при последовательном увеличении.

Операции над действительными числами

Мы знаем, что можем выполнять математические операции над рациональными числами.Например, мы можем складывать, делить, умножать и вычитать рациональное число с другим числом. В результате мы тоже получаем рациональное число.

Точно так же мы можем выполнять математические операции и с иррациональными числами, но результат может быть рациональным или иррациональным.

Примеры примеров

Пример 1: Складываем √3 и √5

Решение:

(√3 + √5)

Теперь ответ — иррациональное число.

Пример 2: умножить √3 и √3.

Решение:

√3 × √3 = 3

Теперь ответ — рациональное число.

Итак, мы можем сказать, что результат математических операций над иррациональными числами может быть рациональным или иррациональным.

Теперь сложите рациональное число с иррациональным числом.

Пример 3: Складываем 2 и √5

Решение:

(2 + √5)

Теперь ответ — иррациональное число.

Пример 4: Упростите выражение: (2 + √3) (5 + √3)

Решение:

(2 + √3) (5 + √3)

= 10 + 2√3 + 5√3 + 3

= 13 + 7√3

Теперь ответ — иррациональное число.

Разница между действительным и целым числом

Ключевое отличие: Действительное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это может быть любое из рациональных и иррациональных чисел. Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, но с ненулевым знаменателем. Целые числа — это типы целых чисел, которые не представлены в виде дроби. Целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Действительные числа состоят как из рациональных, так и из иррациональных чисел.Действительные числа можно записывать в десятичной системе счисления. К ним относятся даже те, которые требуют бесконечного десятичного разложения. Действительное число относится к любому числу, которое можно найти в числовой строке. Числовая линия может быть выражена как фактическая геометрическая линия, в которой точка выбрана в качестве начала координат. Точки, которые попадают в правую часть начала координат, считаются положительными числами, тогда как числа, лежащие в левой части начала координат, считаются отрицательными. Следовательно, они состоят из целых (0, 1, 3, 9, 26), рациональных (6/9, 78.98) и иррациональные числа (квадратный корень 3, пи). Бесконечность не относится к разряду действительных чисел. Квадратный корень из -1 также не является действительным числом, поэтому его называют мнимым числом.

Целые числа — это целые числа, не являющиеся дробными. Целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными. Целые числа на самом деле являются подмножеством действительных чисел. Важно отметить, что 0 также входит в список целых чисел. Ноль считается нейтральным, что означает, что он не является ни отрицательным, ни положительным.Изучение целых чисел в основном проводится в рамках теории, известной как теория чисел. Целые числа в основном используются для представления сценариев, в которых целые числа не могут быть представлены в математике. Например, банковские счета связаны как с пополнением, так и с снятием денег. Целые числа представлены в числовой строке. У каждого числа в числовой строке есть противоположное число, кроме нуля. Следовательно, целые числа включают в список и противоположные числа.

Сравнение действительного и целого числа:

	Реальный номер	Целое
Определение	Действительное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке.Это могут быть любые рациональные и иррациональные числа.	Целые числа можно описать как целые числа, что означает, что они не имеют дробных частей.
Номерная строка	Может наноситься на числовую прямую.	Может наноситься на числовую прямую.
Включает	Это включает (но не ограничивается) положительные и отрицательные, целые и рациональные числа, квадратные корни, кубические корни, π (pi) и т. Д.	Целые положительные числа — их также называют неотрицательными целыми числами. (3,5,90) Целые отрицательные числа — они противоположны положительным целым числам и имеют префикс «-». (-3, -5, -90)
Важные моменты, о которых следует помнить	Объединение множеств рациональных чисел и иррациональных чисел. Действительные числа включают ноль.	Целые числа включают ноль. Целые числа не являются дробными.
Происхождение	В 17 веке Декарт ввел термин «действительный» для определения корней многочлена, чтобы отделить его от «мнимых».	От латинского целого числа (что буквально означает «нетронутый», отсюда «целый»: слово «целое» происходит от того же происхождения, но через французский язык.

Что такое «реальные числа» на самом деле?

Что такое на самом деле «настоящие числа»?

Это правда, что реальные числа — это «точки на линии», но это еще не все правда.На этой веб-странице объясняется, что действительная система счисления — это Дедекинд-полное упорядоченное поле. Различные концепции проиллюстрировано также несколькими другими полями. Версия 11 ноября 2009 г., Эрик Шехтер. Если вы обнаружите какие-либо ошибки или увидите что-нибудь, недостаточно четко объяснено, или у вас есть другие комментарии по поводу эту страницу, пожалуйста, напишите на меня.

---

Что такое «действительные числа», В самом деле?

Короткий и простой ответ, использованный в математические курсы состоит в том, что действительное число составляет баллов на номер строки .Это не вся правда, но это подходит для нужд исчисления первокурсников. Курс математического анализа для первокурсников (в большинстве университетов в наши дни) следует стилю Ньютона 17 века и Лейбниц, делая упор на вычислениях и опуская многие доказательства. Пропущенные доказательства зависят от тщательное объяснение того, что такое «реальные числа» действительно есть. Это объяснение и те доказательства не были обнаружены до 19 века, после того как Ньютон и Лейбниц были давно мертв.

Правильное объяснение настоящих чисел в наши дни рассматривается, если вообще, в курсе «реального анализа» на младших или старших курсах студентов, обучающихся по специальности по математике. На удивление мало студентов берут такой курс; возможно, это потому, что он слишком алгебраичен для аналитический вкус и слишком аналитический, чтобы угодить алгебраистам.

На этой веб-странице я расскажу о математическом значении из «действительного числа.»Перед этим я хочу обсудить это более элементарный вопрос: откуда взялось название «настоящий» из? (Оказывается, это не имеет ничего общего с более глубоким свойства действительных чисел.) Чтобы ответить на этот вопрос, я Сначала нужно поговорить о комплексных числах.

Обработка точек на плоскости как чисел

Есть естественный способ «сложить» или «умножить» два точки на евклидовой плоскости. Под «естественным» я подразумеваю что определения оказались полезными для много приложений, и что определения справедливы просто.К сожалению, определения очень просты. формы, если мы используем различных систем координат для операции сложения и умножения.

• «сложение» точек описывается проще всего как вектор сложения . А вектор может быть представлен направленным отрезком линии; два вектора считаются равными, если они указывают в том же направлении и имеют одинаковые длина. (См. Диаграмму.) Мы можем изменить представление вектора перемещая его (т.е., «переводя» его) на новую позицию параллельно исходному положению.

  Чтобы сложить два вектора V ₁ и V ₂ , изобразите их направленными отрезками так, чтобы начальный конец V ₂ расположен на оконечном конце V ₁ . Таким образом стрелки на схеме образуют путь: начать с начальный конец V ₁ , перейти к его конец терминала, затем поверните за угол и следуйте V ₂ от начального конца до конец терминала.Сумма, или , результат , В ₁ + В ₂ , Путешествие идет с самого начала? из V ₁ до оконечного конца В ₂ . Эта сумма представлена ​​одним направленный отрезок, пунктирная третья сторона треугольник.
  

  Кому представляют векторы с декартовой системой координат, нарисуйте вектор V так, чтобы его начальный конец находился на происхождение (0,0). Тогда координаты местоположения его конечный конец используются как координаты вектор.(См. Диаграмму.)
  

  Если мы используем эту координату системы, то формула сложения векторов очень простой: первая координата V ₁ + V ₂ — сумма первых координаты V ₁ и V ₂ , а вторая координата V ₁ + V ₂ равна сумма вторых координат V ₁ и В ₂ . То есть,

  (а, б) + (c, d) = (a + c, b + d)

• г. «умножение», которое мы хотим использовать, также можно описать в Декартовы координаты: (a, b) ⋅ (c, d) = (ac − bd, ad + bc).Но это немного сложный и неинтуитивный; это выглядит несколько произвольно и надуманный. Получается гораздо более простой и привлекательный с геометрической точки зрения определение, если мы перейдем к полярным координатам. Пусть точка будет представлен как , если он имеет радиус r и угол θ — т. е. если он расположен на расстоянии r единиц от начала координат, а на луче θ радианы против часовой стрелки от луча, который указывает вправо. Эта точка имеет декартовы координаты (r cosθ, r sinθ).Если вы подставите эти значения в наша декартова формула умножения, а затем упростить используя некоторые тригонометрические тождества, вы получите это гораздо более простое определение умножения:

  Если P 1 имеет полярные координаты 1 , θ 1 >, а P 2 имеет полярные координаты. координаты 2 , θ 2 >, затем произведение P 1 P 2 определяется как точка с полярным координаты 1 r 2 , θ 1 + θ 2 >.

  Другими словами, умножьте радиусы и сложите углы. В эффект умножения точек на плоскости на P ₂ заключается в повернуть плоскость на угол θ ₂ и растянуть (или сжать) самолет с увеличением r ₂ . Этот концепция очень проста и весьма полезна в инженерии, который часто связан с описанием вращений (например, двигатели).

Когда сложение и умножение определены, как указано выше, тогда точки на плоскости называются комплексными числами , по причинам, которые будут обсуждены в нескольких абзацах из Теперь.

Поскольку (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) и (a, 0) × (c, 0) = (ac, 0), точки вдоль по горизонтальной оси есть арифметика, как и у «обычных» чисел; мы будем писать (a, 0) короче как a. Например, (5,0) будет записано как 5.Точки вдоль вертикальная ось также имеет более короткое обозначение: точка (0, b) будет быть написано короче как bi; например, (0,5) будет можно записать как 5i. I означает «воображаемый», для причины объяснены ниже.

Важные упражнения. Используя формулу (а, б) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc) или определение в терминах полярных координат, новичок должен теперь убедитесь, что я ² = −1 .Это будет важно в дальнейшем обсуждении.

Вот ответы на эти два упражнения: Используя декартову систему координат, мы вычисляем я ² = (0,1) × (0,1) = (0 • 0−1 • 1, 0 • 1 + 1 • 0) = (-1,0) = -1. Или, используя полярные координаты: число i имеет радиус 1 и угол π / 2. Следовательно, число i ² имеет радиус 1 • 1 = 1 и угол (π / 2) + (π / 2) = π; комплексное число с этими полярными координатами равно -1.

Что «настоящего» в реальных числах?

Вероятно, самый простой способ понять «комплексные числа» — это начнем с точек на плоскости, как я сделал в предыдущие параграфы. Однако по историческая случайность, простейшее объяснение не было первым объяснение обнаружено. Действительно, геометрическая, точка обзора не была открыта до 19-го столетие, спустя много лет после того, как алгебраические вычисления были исследованы.Еще в 16 веке математики разработка новых «чисел» как способа решения полиномиальных уравнений; они думали в терминах алгебраических формул, а не картинок. Их особенно интересовали третья и четвертая степени. уравнения в то время, но они даже получили новое понимание квадратное уровненеие. Их отношение было примерно таким:

Все мы знаем, что на самом деле не существует какого-либо «числа». который может удовлетворять уравнению р 2 = -1.Такой «число» может существовать только в нашем воображении. Но если это как-то вообще существовало , какие арифметические правила должно ли это последовать?

Вы должны восхищаться гений математиков XVI века: они правильно отработал арифметические правила комплекса числа, несмотря на отсутствие простой геометрической модели; они рассчитывали с помощью «чисел», о существовании которых они не знали даже верю!

Однако их терминология была неудачной.Нет ничего выдуманного или сказочного про обороты двигателей, но название застрявший. Точки на вертикальной оси теперь называются мнимые числа , несмотря на то, что что у них есть очень ощутимые приложения. Точки на горизонтальной оси — это (для сравнения) назвали действительными номерами . Все точки на плоскости называются комплексные числа , потому что они сложнее — у них есть и то, и другое реальная часть и мнимая часть.

На этом заканчивается наш рассказ о том, где имя «действительное число» происходит от. Но мы только начали исследовать математические свойства, связанные с этим именем.

Избавление от картинок

Ответ «точка на линии» не является полностью удовлетворительным. ответ, потому что это не аксиоматический или алгебраический. Он полагается на фотографии, которых мы не делаем. действительно понимаю. Например, набор действительных чисел и набор рациональных чисел имеют по сути то же изображение , но их алгебраические свойства различаются это очень важно для аналитиков.

Представьте себе, что вы изучаете это изображение линии под супер-микроскопом. Если бы вы могли увеличить линию с очень большим увеличением — скажем, с увеличение гуголплекса, а еще лучше увеличение бесконечность — будет ли она по-прежнему выглядеть так же? Или вы увидите строку точек, разделенных пробелами, как точки на картинке в газета? (Оказывается, в некотором смысле настоящие числа все равно будет выглядеть как линия при бесконечном увеличении, но рациональные числа будут точками, разделенными пробелами.Но это только расплывчатое и интуитивно понятное утверждение, ничего точного, что мы можем использовать в доказательствах.)

Единственный способ получить точные ответы на эти вопросы — это создали очень осторожную систему аксиом о геометрии … но это равносильно созданию тщательного набора аксиомы об алгебраических свойствах действительных чисел. Это оказывается, что последнее немного проще, так что мы можем также сконцентрируйтесь на алгебраических аспектах ситуации.Отвечать такие вопросы, в конечном итоге мы должны уйти от фотографий; мы должны понимать настоящие числа полностью в условия формул.

В качестве предварительного просмотра вот определение, которым мы собираемся закончить: настоящая линия Дедекинда-полная заказанное поле . Это сложно, поэтому мы будем работать путь к нему поэтапно. Обсудим:

• Что такое поле?
• Что такое упорядоченное поле?
• Что такое упорядоченное по Дедекинду поле?
• Почему я говорю, что реальная линия — это a Дедекинд-полное упорядоченное поле? Как это может быть определением?

Группы и поля

Прежде всего, группа — это математический объект; это тройка (X, e, *) со следующими свойствами:

• X — непустое множество.
• e — специально выбранный член множества X. Он называется тождество группы.
• * — это бинарная операция над X, которую мы можем назвать групповая операция . Это означает, что всякий раз, когда p и q равны члены X, то p * q также является членом X.
• (p * q) * r = p * (q * r) для всех p, q, r в X.
• p * e = e * p = p для каждого p в X.
• Для каждого p в X существует по крайней мере один соответствующий q в X, что удовлетворяет p * q = q * p = e.(Можно показать, что есть не более одного такого q, поэтому q равно однозначно определено по р; мы называем q обратной величиной p.)

Операции:

• Айдентика уникальна определенный — т.е. если p * e ₁ = e ₁ * p = p а также p * e ₂ = e ₂ * p = p для всех p в X, то e ₁ = e ₂ .
• Инверсии определяются однозначно — i.е., если p * q ₁ = e и p * q ₂ = e, тогда q ₁ = q ₂ ,

Группа называется абелевой (или коммутативной ), если она также удовлетворяет этому свойству:

• p * q = q * p для всех p, q в X.

Примеры:

• (Z, 0, +) — абелева группа, где Z — множество все целые числа
• ({четные числа}, 0, +) абелева группа
• ({-1,1}, 1, x) абелева группа
• (R +, 1, x) — абелева группа, где R + — множество все положительные действительные числа
• (R \ {0}, 1, x) — абелева группа, где R \ {0} — набор всех ненулевые действительные числа.(Здесь «\» означает разницу двух наборов.)
• (T, 1, x) — абелева группа, где T — множество все комплексные числа, лежащие вдоль единичного круга с центром при 0

Теперь поле представляет собой пятерку (Y, 0, +, 1, ×) со следующими свойствами:

• Y — множество, 0 и 1 — два специально выбранных элемента Y, а + и × два бинарные операции над Y.
• 0 ≠ 1.
• Тройка (Y, 0, +) — абелева группа.
• Тройка (Y \ {0}, 1, ×) является абелевой группой. (Обратите внимание, что эта группа множество членов, все члены Y, кроме 0.)
• p × (q + r) = (p × q) + (p × r) для всех p, q, r в Y.

( Упражнение : Некоторые математики не включают требование что 0 ≠ 1. Докажи, что есть только одно «поле», в котором 0 = 1. Для этого поля множество Y имеет только один член.)

Вот несколько примеров:

• Рациональные числа (т.е., числа вроде 3/4 и -171/25) являются полем.
• Действительные числа (например, 87.324116279 …) представляют собой поле.
• Комплексные числа представляют собой поле. ( Упражнение: Проверить все аксиомы. Кроме того, что является мультипликативным обратным 3 + 2i?)
• Набор всего числа вида p + q√2, где p и q — рациональные числа, это поле; это подмножество в вещественные числа и надмножество рациональных чисел. ( Операция: Проверьте все аксиомы.Кроме того, что такое мультипликативный инверсия 3 + 2√2?)

Вот еще один пример. Мы представим конечное поле — то есть поле только с конечным числом элементов. Для установите Y, мы будем использовать Y = {0,1,2,3,4}. Для его операций сложения и умножения мы будем использовать обычное сложение и умножение, модифицированное этим правилом: Если результат сложения или умножения дает число больше 4, вычтите 5, 10 или 15, чтобы снова получить число в множестве Y.Другими словами, мы будем использовать эти таблицы для сложения и умножения:

1618 417 416 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 18 0 + . 0 1 2 3 4 . 0 0 1 2 3 4 1 1 2 4 0162116 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 1 2 3

1618 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 916 922 916 916 9 4 × . 0 1 2 3 4 . 0 0 0 0 0 0 1 0 1 916 0 2 4 1 3 3 0 3 1 0 3 2 1

Это поле иногда называют арифметическим по модулю 5 .( Упражнения : Покажите, что подобное поле можно задать где 5 заменяется любым простым числом. Покажи, что есть также поле с 4 элементами и поле с 9 элементами, но нет поля с ровно 6 элементами. Много много сложнее: можно показать, что есть поле с точно n элементов, для некоторого целого n, тогда и только тогда, когда n имеет сформируйте p ^r для некоторого простого числа p.)

Заказанные поля

Далее нам нужно определить упорядоченное поле .Это шестерка (Y, 0, +, 1, ×, <) где Реальные и рациональные числа с их обычными упорядочения - это два знакомых примера упорядоченных полей. Чуть менее знакомый пример - совокупность всех числа вида p + q√2, где p и q - рациональные числа. ( Упражнение : Покажите, что этот набор упорядоченное поле.)

Можно показать, что каждое упорядоченное поле содержит как подмножество изоморфная копия рациональных чисел — i.е., набор, который идентичны рациональным числам во всех своих арифметических операциях; он может отличаться только названиями некоторых вещей, через изменение маркировки. Если немного изменить название, можно сказать, что рациональные числа являются подмножеством каждого упорядоченного поля .

В частности, каждое упорядоченное поле содержит бесконечно много члены. Следовательно, поле арифметики по модулю 5 не может быть преобразовано в упорядоченное поле определив <каким-то умным способом.

Также можно доказать, что в любом упорядоченном поле

• −1 <0, и
• если p ≠ 0, то р ² > 0.

Поскольку i ² = −1, из этого следует, что мы не можем сделать комплексные числа в упорядоченное поле , как бы мы ни определять <.

Бесконечно малые

Следующая часть является необязательной, т. Е. Вы можете пройти через определение реальных чисел, даже не думая о бесконечно малых.Но я думаю следующая часть интересна, а также дает определение реальных чисел легче понять.

Около 300 лет назад Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление. Что ж, это чрезмерное упрощение. Некоторые идеи исчисление уже было, но они его очистили и связал его вместе с тем, что мы теперь называем Фундаментальным Теорема исчисления. Ньютон также показал некоторые способы исчисление можно использовать — он разработал многие основные законы физики и показал, как вычислить орбиты планеты намного проще и точнее, чем когда-либо сделано раньше.Тем самым он внес большой вклад в начало эпохи Просвещения — эпохи, когда люди поняли, что могут добиться многого с помощью рассуждения, и что им не нужно просто жить в страхе, суеверия и заблуждения. Это могло косвенно способствовали таким вещам, как промышленная революция и рождение демократии.

Как бы то ни было, Ньютон и Лейбниц знали, как делать многие из вычисления что мы сейчас учим математике, но они не знали, как сделать удовлетворительные доказательств теории, лежащей в основе исчисление.Они пытались сделать доказательства, но их объяснения немного не хватало. Многие из их объяснений были на основе бесконечно малых — т. е. чисел, которые бесконечно малы, но не равны нулю. Например, в по их объяснениям, dy / dx не является пределом об изменении номеров. Он представляет собой частное от неизменные числа, но эти числа были бесконечно малые.

Расчеты Ньютона и Лейбница были приняты другие математики, но доказательств не было.В объяснение бесконечно малых не имело полностью смысла, и математикам это не нравилось. В последующие века Коши и Вейерштрасс произвел эпсилон-дельта-доказательства, которые мы теперь находим в учебниках по математическому анализу. Эти доказательства связаны с числами которые имеют «обычный» размер (не бесконечно малый), но числа будут варьироваться в зависимости от множества различных обычных размеры; таким образом, мы берем предел, когда эпсилон приближается к нулю. В наших учебниках dy / dx представляет собой предел изменения частное двух обыкновенных чисел.В конце 19 века Дедекинд наконец дал четкое объяснение реальных чисел (которые мы эскиз в конце этой веб-страницы), и мы можем доказать, что в Дедекинде В системе счисления нет бесконечно малых . Аргументы с бесконечно малыми были больше не нужны и впали в немилость. В конце концов, бесконечно малые были дискредитированы и отброшены. математиками (хотя они продолжал упоминаться в некоторых книгах по физике много десятилетий спустя).

В 1960-х годах математик Абрахам Робинсон наконец понял как понять смысл бесконечно малых. Таким образом Нестандартный анализ родился. В нем участвовали некоторые нестандартные действительные числа , среди которых можно найти несколько бесконечно малых. В нижеследующих абзацах я буду приведите пример упорядоченного поля, в котором есть бесконечно малые. Приведенное ниже обсуждение основано на Идеи ХХ века, а не только идеи Ньютона и Лейбница.Однако я должен упомянуть, что пример, который я приведу присутствует , а не подход, предпочитаемый нестандартные аналитики. Они предпочитают подход, который больше сложнее, но и мощнее. (Это включает в себя создание тщательный логический анализ формального языка первого порядка, но нам не нужно обсуждать это здесь.)

Некоторые нестандартные аналитики сейчас действительно чувствуют, что бесконечно малые дают лучшее понимание исчисления.В конце концов, это дало Ньютону и Лейбницу интуицию, что они нужны. Мы действительно можем делать точную математику, с небольшими изменениями в идеях Ньютона и Лейбниц. (Например, производная должна быть стандартная часть от , частное бесконечно малых; этот термин объясняется в следующем абзаце ниже.) Но большинство математиков по-прежнему предпочитают эпсилон-дельта подход, который, по их мнению, проще. (Оба методы верны, и оба дают одинаковые результаты.) В в любом случае, некоторое обсуждение бесконечно малых может быть полезным в нашем объяснении упорядоченных полей.

Определения. Предположим, что Y — упорядоченное поле. бесконечно малая член Y является членом r, отличным от 0, который удовлетворяет всем из этих бесконечно многих условий: -1 <г <1, -1/2 <г <1/2, −1/3 Два члена Y называются бесконечно близкими , если их разница бесконечно мала.

Некоторые упорядоченные поля имеют бесконечно малые значения, а некоторые нет. Упорядоченные поля, не имеющие бесконечно малых величин, называются Архимедовых полей ; мы увидим позже, что настоящая система счисления (т. е. система счисления Дедекинда, также известное как стандартные действительные числа ) архимедов. Упорядоченные поля, в которых есть бесконечно малые величины называются неархимедовыми полями ; мы дадим пример такого поля в следующем несколько абзацев.

Пример будет частично основан на рациональных функциях. Используя рациональную функцию от переменной t , мы будем означают функцию вида p (t) / q (t), где p (t) и q (t) — многочлены со стандартными действительными коэффициентами, а q — не постоянный многочлен 0. Обратите внимание, что каждое действительное число можно рассматривать как рациональную функцию — например, число 7 можно рассматривать как 7/1, где 7 и 1 оба многочлены степени 0.Таким образом, набор действительных чисел представляет собой подмножество множества рациональных функций. (Конечно, чтобы понять это, мы должны предположить что у нас уже есть некоторое представление о реальных числах. Но нам не понадобится очень глубокое понимание; в Пока хватит концепции «точки на линии».)

Мы определяем сложение и умножение рациональных функций обычным способом, как в школьной алгебре. Однако мы делаем это одно изменение в обычном подходе к рациональным функциям: мы будем считать две рациональные функции «одинаковыми», если они согласуются, кроме конечное число значений t.Например, эти две функции

t − 3		t 2 −t − 6
	и
1		1634 t + 2 9 на самом деле не то же самое, потому что первый определен в t = −2, а второй — нет. Но две функции идентичны для всех других значений t, поэтому мы будем рассматривать их как «одинаковые» для целей настоящего обсуждения.При таком соглашении можно показать, что набор всех рациональные функции — это поле . Кроме того, действительные числа являются подмножеством рациональных функции. Например, константа 1 и константа 7 являются многочленами степени 0, поэтому константа 7/1 является рациональная функция. Таким образом мы можем просмотреть каждый действительное число как рациональная функция. Мы можем превратить рациональные функции в упорядоченное поле , если мы просто определите правильный порядок.Для этого мы воспользуемся следующая теорема. (Мы опускаем доказательство теоремы, что немного сложнее, но требует лишь некоторых продвинутых исчисление и некоторая алгебра колледжа.) Теорема. Предположим, что q (t) и r (t) заданы рациональными функции от переменной t. Тогда существует какое-то действительное число t 0 (что может зависеть от выбора q и r) такие, что ровно один из этих трех случаев держит: Для каждого действительного числа t> t 0 действительное число q (t) меньше действительного числа r (t). Для каждого действительного числа t> t 0 действительное число q (t) равно действительному числу г (т). Для каждого действительного числа t> t 0 действительное число q (t) больше действительного числа г (т). Кроме того, если имеет место случай 2, то q (t) = r (t) для всех, кроме конечного числа значений т. Теперь мы определим порядок рациональных функций, сказав что q r если выполняются случаи 1, 2 или 3 соответственно.Другими словами, одно рациональное функция меньше другой, если она равна , в конечном итоге меньше , т. е. если он меньше, когда мы уходим достаточно далеко вправо на графиках две функции. Насколько далеко мы должны зайти, может зависеть на какие две функции мы смотрим; но теорема говорит, что для каждого выбора двух рациональных функций есть точка после чего одна функция остается ниже другой (если они «тем же»). С таким определением порядка получается что множество рациональных функций является упорядоченным полем.Но это также оказывается, что функции 1 / т, 2 / т, 1 / т 2 , так далее., бесконечно малы. Таким образом, поле рационального функции не архимедовы, если они упорядочены, как мы описали. Как это соотносится с взглядом Ньютона на числа? Я уверен, что Ньютон не думал о своих бесконечно малых как рациональные функции. Но мы можем получить некоторое представление о его смотровая площадка, следующее: Среди стандартных действительных чисел нет бесконечно малых.Но мы могли представить, что с достаточно мощным микроскоп, мы могли бы обнаружить некоторые дополнительные «нестандартные» числа, которые мы раньше не замечали. Приютившись вокруг каждого стандартное действительное число r, бесконечно близкое к нему, бесконечно много новых нестандартных номеров. (Тогда r — это стандартная часть любого этих новых номеров.) 0 — бесконечно малые величины. Мы также можем получить другие нестандартные числа, взяв обратные бесконечно малые; эти числа бесконечно велики.В сбор всех номеров — как «стандартных», так и «новых», вместе — это упорядоченное поле. Его порядок такой же как упорядочение множества рациональных функций. Наименьшие верхние границы Предположим, что Y — упорядоченное поле, а S — непустое подмножество Y, и b является членом Y. Мы говорим, что b является верхней границей для множества S если у нас есть s < b, удовлетворяющее для каждого s в S. Если множество S имеет верхнюю границу, то, вообще говоря, оно имеет много верхних границ.Скажем, B — это набор верхних границ S, а B непусто. Есть ли у B низший член? Если это так, этот элемент называется наименьшей верхней границей множества S. Слово «полный» имеет разное значение в разных отраслях. математики. Обычно объект называется «завершенным», если в нем нет «дыр» — т.е. если ничего, казалось бы, «должно быть» там отсутствует. Это расплывчатое описание имеет разное значение для разных видов математических объекты — полное упорядоченное поле, полное мерное пространство, полная логика и т. д.Здесь мы будем только рассмотреть смысл полноты для упорядоченных полей. Упорядоченное поле Y называется Complete или Dedekind complete , если у него есть это свойство, также известное как свойство наименьшей верхней границы : Если S — непустое подмножество Y и S имеет хотя бы одну верхнюю границу, то S имеет точную верхнюю грань. Дедекиндова полнота оказывается решающей в анализе, потому что это позволяет нам брать пределы. Некоторые упорядоченные поля являются полными по Дедекинду, а некоторые — нет. Здесь два быстрых примера неполных упорядоченных полей: Набор рациональных чисел неполный (т.е. не полный). Чтобы убедиться в этом, пусть S будет набором всех рациональных чисел r, удовлетворяющих r 2 <5. Тогда S имеет много верхних оценок - например, 3 - это верхняя граница, а 2.24 - еще одна верхняя граница, а 2,23607 - еще одна верхняя граница.Мы можем продолжать находить больше этих чисел - какими бы рациональными они ни были. число, которое мы предлагаем для оценки сверху S, можно найти другое рациональное число, которое все еще немного ниже, и это также верхняя граница для S. Вы, наверное, уже понимаете, почему: эти числа сходятся к √5 = 2.236067977499789696406873128 … Но это число нерационально. Любая рациональная верхняя граница для S будет иметь быть немного на больше, чем на , чем √5, и между ними рациональное число и √5, мы всегда можем найти еще одно Рациональное число.В области рациональных чисел множество S не имеет минимум верхняя граница. Если Y неархимедово поле, т.е. упорядоченное поле, которое имеет бесконечно малые — тогда Y неполный. Один из способов увидеть это пусть S — множество всех бесконечно малых. Поскольку некоторые из бесконечно малые положительны, любая верхняя граница для S должна быть больше 0. Обратите внимание, что 1 — это верхняя граница для S, а 1/2 — еще одна верхняя граница для S, а 1/3 — еще одна верхняя граница для S, и так далее.Предположим (от противного), что b были минимум верхней границы для S. Тогда b должно быть положительным и должно быть меньше или равно всем числа 1, 1/2, 1/3 и т. д. — таким образом, b должно быть положительным бесконечно малый. Тогда 2b также является бесконечно малым, поэтому 2b является член S. Так как b верхняя граница для S, это говорит нам 2б < б. Но b <2b, поскольку b является положительный. Получили противоречие. (Обратите внимание, что, наоборот, любое полное упорядоченное поле должно быть архимедом.) Заполните поля Мы использовали действительные числа в некоторых из предыдущих обсуждения. Например, комплексные числа упорядочены пары действительных чисел, и наш пример бесконечно малых задействованы рациональные функции с действительными коэффициентами. В эффект, мы «позаимствовали» реальные числа — мы использовали действительные в примерах, хотя мы формально не определили их пока что; мы просто полагались на неформальный и интуитивно понятный понимание того, что у студентов уже есть, на основе геометрическая линия.Поверьте мне, здесь нет циркулярных рассуждений здесь — я не буду использовать «заимствованные» концепции, когда наконец приступить к определению действительных чисел. Вы увидите это, если вы действительно прорабатываете все детали. (Я не утверждая, что эта веб-страница — больше, чем набросок.) Определение вещественных чисел зависит от еще двух теорем, обе из которых трудно доказать. Теорема 1. Существует Дедекинд-полное упорядоченное поле. Литература содержит много разных доказательств этой теоремы. Я думаю, три достаточно просты, чтобы их здесь упомянуть: Доказательство с использованием десятичных разложений. Пусть Y будет множеством всех бесконечных десятичных разложений — то есть такие выражения, как 3.682951 … и -17.311897 …. Принять конвенцию что 2.719999 … «то же самое», что и 2.7200000 … и т. д. обычные операции сложения и умножения.Тогда Y является полностью упорядоченным полем, но для проверки этого факта требуется чрезвычайно утомительно. Это вообще не проработано полностью деталь. Одно место, где вы можете найти его в довольно полном подробности см. в J. F. Ritt, Theory of Functions , 1946. Это также зарисовано в М. Розенлихт, Введение в анализ , перепечатано Дувром. Доказательство дедекиндовыми надрезами. Пусть Q — множество рациональных чисел; мы предполагаем, что мы уже хорошо их понимать.Под огранкой Дедекинда мы понимаем пару (A, B) со следующими свойствами: A и B — непустые подмножества Q, объединение которых равно Q a A не имеет высшего элемента. Множество B может иметь или не иметь самого низкого элемента. Вот несколько примеров разрезов, в которых B имеет самый низкий элемент: A -2 = {x ∈ Q: x <-2}, В -2 = {x ∈ Q: x > -2} А 3.7 = {x ∈ Q: x <3,7}, В 3,7 = {x ∈ Q: x > 3,7} а вот пример разреза, в котором B не имеет самого низкого элемента: A = {r ∈ Q: r <0 или r 2 <5}, B = {r ∈ Q: r> 0 и r 2 > 5}. (Этот разрез будет называться (А √5 , В √5 ) если бы у нас был √5.) В комплекте все разрезы могут быть выполнены в полное упорядоченное поле, если мы определим сложение и умножение правильный путь.Опять же, это утомительно; вы можете найти некоторые детали разработал В. Парзинский и П. Ципсе, Введение в математический анализ . Доказательство с использованием последовательностей Коши. Снова начнем с рациональных чисел. Скажите, что последовательность r 1 , r 2 , r 3 , … рациональных чисел представляет собой последовательность Коши , если он имеет свойство для каждого положительного целого числа p существует положительное целое число m (которое может зависят от p и от конкретной исследуемой последовательности) так, что, всякий раз, когда i и j больше m, тогда | r i — r j | <1 / стр. Теперь предположим, что две последовательности Коши r 1 , r 2 , r 3 , … а также с 1 , с 2 , с 3 , … рациональных чисел равны , эквивалентным , если они обладают свойством, что для для каждого натурального числа p существует натуральное число m (который может зависеть от p и от конкретных последовательностей изучено) такое, что всякий раз, когда i больше m, то | r i — s i | <1 / стр. Под классом эквивалентности мы понимаем множество всех эквивалентных последовательностей. к какой-то определенной последовательности. Теперь можно показать, что набор всех классов эквивалентности является полным упорядоченным полем, если мы определим сложение и умножение на нем правильным образом. Это доказательство, принадлежащее Кантору, представляет собой небольшую модификацию доказательства того, что можно найти во многих книгах по анализу или топологии, показывая, что каждый метрическое пространство имеет метрическое завершение. Вторую теорему доказать сложнее, и я даже не буду набросайте здесь доказательство. На самом деле эта теорема даже сложно сказать: Теорема 2. Любые два Дедекиндово-полные упорядоченные поля изоморфны т.е. существует взаимно однозначное соответствие между те, которые сохраняют в обоих направлениях порядок и арифметические операции.Таким образом, любые два Дедекиндово-полные упорядоченные поля по сути «одинаковы»; один — просто переименованная копия другого. В частности, десятичные разложения, дедекиндовы сокращения и классов эквивалентности последовательностей Коши, хотя они кажутся полностью разные, у всех одинаковые арифметические и алгебраические структура — это действительно «один и тот же» объект. Это тот объект которую мы называем реальной системой счисления. Наконец, настоящее определение реалов (Это не каламбур.) Определение. Реальная система счисления это единственная алгебраическая структура, представленная всеми Дедекиндово-полные упорядоченные поля. Вы можете спросить, почему математики хотят использовать такой сложный определение. Не было бы проще просто определить реальные числа быть сокращениями Дедекинда, или определить действительные числа как десятичные разложения или что-то в этом роде? Это подход взяты в некоторых начальных учебниках, но в конечном итоге это меньше продуктивный.Когда мы на самом деле используем действительную систему счисления в доказательствах, свойства, которые нам нужны, не являются конкретно свойствами (например) сокращения Дедекинда или десятичных разложений. Скорее Необходимые нам свойства — это аксиомы полного упорядоченного поля Дедекинда. Гораздо проще мыслить в терминах этих аксиом. Думать о «числах» как о сокращениях или расширениях означало бы просто загромождайте нас лишним багажом. Нарезки или расширения — это модели , — они полезны для работы по доказательству теоремы 1, но они мало пригодны для других целей.Как только они сделают эту работу, мы сможем их отбросить и забыть. Если хотите, можете теперь думать о точках на линии как о представляет членов Дедекинда-полного упорядоченное поле. Тогда будет правильным сказать, что настоящая числа — это точки на линии. Реальные числа. Факты для детей Действительное число — рациональное или иррациональное число, которое может быть выражено с помощью десятичной дроби.Обычно, когда люди говорят «число», они обычно имеют в виду «действительное число». Официальный символ для действительных чисел — полужирный шрифт R или полужирный шрифт на доске. Некоторые действительные числа называются положительными. Положительное число «больше нуля». Реальные числа можно рассматривать как бесконечно длинную линейку. Для нуля и каждого другого числа есть отметка в порядке их размера. В отличие от физической линейки, здесь есть числа ниже нуля. Эти числа называются отрицательными действительными числами. Отрицательные числа «меньше нуля».Они похожи на зеркальное отображение положительных чисел, за исключением того, что им даны знаки минус (-), так что они помечены иначе, чем положительные числа. Действительных чисел бесконечно много, потому что не существует наибольшего или наименьшего действительного числа. Независимо от того, сколько действительных чисел считается, всегда есть еще те, которые нужно посчитать. Между действительными числами нет пустых пробелов, а это означает, что если взять два разных действительных числа, между ними всегда будет третье действительное число.Это всегда верно, независимо от того, насколько близки первые два числа. Если положительное число добавляется к другому положительному числу, то это число становится больше. Если к числу добавить ноль, который также является действительным числом, то это число не изменится. Если отрицательное число добавляется к другому числу, это число становится меньше. Действительные числа неисчислимы, а это означает, что нет способа поместить все действительные числа в последовательность. Любая последовательность действительных чисел будет пропускать действительное число, даже если последовательность бесконечна.Это делает действительные числа особенными, потому что, несмотря на то, что существует бесконечно много действительных чисел и бесконечно много целых чисел, реальных чисел «больше», чем целых. Это часто выражается, говоря, что целые числа равны счетным , а действительные числа — несчетным . Некоторые более простые системы счисления находятся внутри действительных чисел. Например, все рациональные и целые числа являются действительными числами. Существуют также более сложные системы счисления, чем действительные числа, например комплексные числа.Каждое действительное число является комплексным числом, но не каждое комплексное число является действительным числом. Точно так же 3/7 — рациональное число, но не целое. Различные типы действительных чисел Существуют разные типы действительных чисел. Иногда не говорят сразу обо всех реальных числах. Иногда говорят только о специальных, меньших по размеру наборах. У этих наборов есть особые названия. Их: Натуральные числа : это действительные числа без десятичной дроби, размер которых больше нуля. Целые числа : это положительные действительные числа без десятичных знаков, а также ноль. Натуральные числа также являются целыми числами. Целые числа : это действительные числа без десятичных знаков. К ним относятся как положительные, так и отрицательные числа. Целые числа также являются целыми числами. Рациональные числа : это действительные числа, которые можно записать как дроби целых чисел. Целые числа также являются рациональными числами. Трансцендентные числа не могут быть получены путем решения уравнения с целыми компонентами. Иррациональные числа : это действительные числа, которые нельзя записать как дробь целых чисел. Трансцендентные числа тоже иррациональны. Число 0 ( ноль ) особенное. Иногда это рассматривается как часть подмножества, а иногда — нет. Это элемент Identity для сложения, что означает, что добавление нуля не меняет исходное число. Для умножения единичный элемент равен 1. Одно действительное число, которое не является рациональным.Это число иррационально. Если нарисован квадрат со сторонами, равными одной единице длины, то длина линии между его противоположными углами будет равна. Связанные страницы . Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт