Вещественные числа это: Что такое вещественные числа? — Хабр Q&A

Содержание

Что такое вещественные числа? Вспомним всё, что забыто из школьной математики! | Математика не для всех

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

В одном из прошлых материалов я начал подробно рассказывать о том, какие бывают числа: начал, естественно, с натуральных, рассказал про целые и рациональные. Если Вы, к сожалению, забыли, что это такое, рекомендую перед прочтением освежить память. Готовы? Тогда поехали!

Это картинка из предыдущего материала, которая показывает, какие числа выделяют в математике.

Это картинка из предыдущего материала, которая показывает, какие числа выделяют в математике.

Прогресс человечества всегда был тесно связан с математикой. Сначала древние люди научились считать - таким образом в обиход вошли натуральные числа - 1, 2, 3 и т.д. После этого люди научились делить - и математики привнесли рациональные числа

- 1/2, 3/4 и т.д..

Однако была такая задача, не дававшая древним (конкретно древним грекам) покоя. Дело в том, у ученых мужей не получалось выразить диагональ квадрата со стороной 1 через рациональные числа.

Это сейчас для каждого человека, освоившего школьный курс математики, ясно, что диагональ квадрата равна корню из 2. А для древних греков всё было не так однозначно.

Гиппас из Метапонта первым осмелился предположить, что диагональ такого квадрата не является рациональным числом, за что, по некоторым данным, его изгнали соратники-пифагорейцы, как нарушившего доктрину "натуральности всех чисел".

Тот самый Гиппас

Тот самый Гиппас

Пойдем по пути древних греков

Как доказывается иррациональность числа корень из 2 ? Да очень просто.2 - четное число, ведь справа в множителе перед n цифра 2. Более того, из четности квадрата m следует и четность самого m! (любое четное число в квадрате само четное) Т.е. число m можно представить в виде m=2k! Подставляем:

А теперь смотрите: из последнего равенство следует, что n - тоже четное число! Возвращаемся в самое начало и вспоминаем, что

из чисел m и n хотя бы одно должно быть нечетным (иначе можно сокращать). Мы пришли к противоречию и доказали методами 5 класса фундаментальное свойство числа корень из 2. Поздравляю!

Так, с корнем из 2 разобрались, а остальные ?

На самом деле между "первым прикосновением" математиков к вещественным числам и формированием их настоящей, продуманной теории прошло около 2000 лет (!!!). Вещественными числами, как таковыми, мы обязаны Ньютону, Дедекинду, Коши, Вейерштрассу, Больцано, Кантору и многим другим.

1, -1 , 1/2 - тоже вещественные числа, как е и Пи. Множество вещественных чисел обозначается буквоподобным символом R.

1, -1 , 1/2 - тоже вещественные числа, как е и Пи. Множество вещественных чисел обозначается буквоподобным символом R.

Самым оптимальным и простым определением вещественных чисел, будет использование геометрического подхода. Согласно нему, каждой точке на числовой прямой можно сопоставить вещественное число, а каждому вещественному числу - точку на прямой.

Вещественные числа (иногда их называют действительные) делятся на два больших класса

: рациональные (представимые, как отношение натурального и целого m/n) и иррациональные (как корень из 2).

Вообще, доказано, что корень из любого натурального числа является либо натуральным числом, либо иррациональным.

Вообще, доказано, что корень из любого натурального числа является либо натуральным числом, либо иррациональным.

Вещественные числа, несмотря на кажущуюся простоту, - это невероятно тонкая субстанция. До сих пор не ясно, отражают ли они природу мироздания: дискретно наше пространство-время или континуально (непрерывно)? Я думаю у моих читателей найдется много мнений по этому поводу.

Однако, не успели математики 18-19 веков справиться с теорией вещественных чисел, как на горизонте замаячила еще более серьезная проблема: что делать с корнями из отрицательных величин? Об этом в следующем выпуске! Пока что можете почитать про трансцендентные числа!

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно!

Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2),

определение, примеры, представления, координатная прямая

Данная статья посвящена теме "Действительные числа". В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Определение 1

Действительные числа - это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

  1. Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
  2. Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.
Определение 2

Действительные числа - числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби. 

Действительные числа - это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0; 6; 458; 1863; 0,578; -38; 265; 0,145(3); log512.

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел - вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

  1. Натуральные числа.
  2. Целые числа.
  3. Десятичные дроби.
  4. Обыкновенные дроби.
  5. Смешанные числа.

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами. 

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Например, значения выражений sin23π·e-285·10log32 и tg676693-8π32  - действительные числа.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Вещественные числа. Вещественные числа в памяти компьютера.

Доброго времени суток уважаемый пользователь. На этой страничке мы поговорим на такие темы, как: Вещественные числа, Вещественные числа в памяти компьютера.

Предположим, в компьютер встроили устройство, кото­рое переводит числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. Достаточно ли этого для представления чисел в памяти ЭВМ? Оказывается, нет. Мало научиться записывать числа, важно облегчить процесс автоматизированного выполнения арифметических действий над ними.

Вернемся к первым ЭВМ. Основным видом их «деятель­ности» были вычисления, но объём оперативной памяти и быстродействие процессора были невелики и инженерам приходилось придумывать разнообразные способы хранения и обработки чисел, чтобы даже сложные расчёты выполня­лись за разумное время.к. Здесь к — количество разрядов в ячейке памяти. Например, дополнительный код числа 255 будет следующим: 1111111100000001.

Это и есть представление отрицательного числа -255. Сложим коды чисел 255 и —255:

Вычитание.

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

255

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1

-255

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

1

Единичка в старшем разряде «выпала» из ячейки, поэтому сумма получилась равной нулю. Но так и должно быть: N + (— N) = 0. Процессор компьюте­ра операцию вычитания выполняет как сложение с дополнительным кодом вычитаемого числа. При этом переполнение ячейки (выход за предельные значе­ния) не вызывает прерывания выполнения программы. Это обстоятельство программист обязан знать и учитывать!

С вещественными числами дело обстояло немного слож­нее, поскольку надо было придумать способ, одинаковый для кодирования и больших, и маленьких чисел, то есть и миллион (1 000 000), и одну миллионную (0,000 001) хоте­лось бы кодировать посредством одного и того же алгорит­ма.

В соответствии с принципом позиционности любое деся­тичное число можно представить в виде произведения двух чисел, одно из которых меньше единицы, а другое представ­ляет собой некоторую степень десяти.

Такое представление чисел называется записью с плава­ющей точкой (запись 123,45 — запись с фиксированной точкой). В этой записи число имеет четыре характеристи­ки:

  • Знак числа.
  • Знак порядка.р.

    Чтобы не было неоднозначности, договорились в ЭВМ использовать нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетво­рять условию: 0,1п< т < 1я. Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль. В некоторых случаях условие нормализации принимают следующим: 1 с индексом и < т < 10 с индексом п.

    В памяти компьютера мантисса представляет­ся как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся). Следова­тельно, внутреннее представление вещественного числа сводится к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.

    Было решено отводить под вещественные числа 4 байта (32 бита). Три младших байта отводилось под запись ман­тиссы, а старший байт включал в себя:

    • Один (старший) бит — знак числа: 0 — положительное,
      1 — отрицательное.
    • Один бит — знак порядка: 0-положительный, 1-отрицательный.
    • Младшие 6 битов — порядок числа.

    В разных типах компьютеров применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Рассмотрим один из вариантов внутреннего представления вещественного числа в четырехбайтовой ячейке памяти.

    В ячейке должна содержаться следующая инфор­мация о числе: знак числа, порядок и значащие циф­ры мантиссы.

    Машинный порядок Мантисса
    1-й байт. 1-й, 2-й и 3-й байты.

    В старшем бите 1-го байта хранится знак числа: 0 обозначает плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 бит пер­вого байта содержат машинный порядок. В следую­щих трех байтах хранятся значащие цифры мантис­сы (24 разряда).

    В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. Значит, машинный порядок изменяется в диапазоне от 0 до 127 (в десятичной системе счисления). Всего 128 значений. Порядок, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка: от —64 до 63.

    Машинный порядок смещен относительно ма­тематического и имеет только положительные зна­чения. Смещение выбирается так, чтобы минимальному математическому значению порядка соответ­ствовал ноль. Связь между машинным порядком (Мр) и математическим (р) в рассматриваемом случае выражается формулой:
    Мр = р + 64. Полученная формула записана в десятичной си­стеме. В двоичной системе формула имеет вид: МР = Р +10000000.

    Для записи внутреннего представления веществен­ного числа необходимо:

    • Перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами.
    • Нормализовать двоичное число.
    • Найти машинный порядок в двоичной системе счисления.
    • Учитывая знак числа, выписать его представле­ние в четырехбайтовом машинном слове.

    Диапазон вещественных чисел значительно шире диапазона целых чисел. Положительные и отрица­тельные числа расположены симметрично относи­тельно нуля. Следовательно, максимальное и мини­мальное числа равны между собой по модулю.
    Наименьшее по абсолютной величине число рав­но нулю. Наибольшее по абсолютной величине чис­ло в форме с плавающей точкой — это число с самой большой мантиссой и самым большим порядком.

    Если при вычислениях с вещественными числами результат выходит за пределы допустимого диапа­зона, то выполнение программы прерывается. Такое происходит, например, при делении на ноль, или на очень маленькое число, близкое к нулю.

    Вещественные числа, разрядность мантиссы кото­рых превышает число разрядов, выделенных под мантиссу в ячейке памяти, представляются в компью­тере приближенно (с «обрезанной» мантиссой). Например, рациональное десятичное число 0,1 в компьютере будет представлено приближенно (ок­ругленно), поскольку в двоичной системе счисления его мантисса имеет бесконечное число цифр. След­ствием такой приближенности является погрешность машинных вычислений с вещественными числами.

    Вычисления с вещественными числами компьютер выполняет приближенно. Погрешность таких вычис­лений называют погрешностью машинных ок­руглений.

    Множество вещественных чисел, точно представимых в памяти компьютера в форме с плавающей точкой, является ограниченным и дискретным. Дискретность является следствием ограниченного числа разрядов мантиссы, о чем говорилось выше.

    В настоящее время, когда быстродействие процессоров и объём оперативной памяти достаточно велики, а обычной разрядностью компьютеров становится 32 или 64 бита, уже нет жёстких требований к использованию экономных кодов для записи чисел.

    На этом данную статью я заканчиваю, надеюсь, вы полностью разобрались с темами: Вещественные числа, Вещественные числа в памяти компьютера.

    в нормализованном представлении должна удовлетво­рять условию: 0,1п

    Десятичная запись вещественного числа | Математика, которая мне нравится

    Определение. Числа рациональные и иррациональные называют вещественными или действительными числами.

    Обозначение. (real) — множество вещественных чисел.

    Пусть .

    Найдем наибольшее целое число , не превосходящее : . Предположим, что у нас получилось , (см. рис. 7):

    Рис. 7

    Разобьем отрезок на 10 равных частей и выберем ту из этих частей, которая содержит (рис. 8):

    Рис. 8

       

    где — десятичная цифра.

    Разобьем отрезок на 10 равных частей и выберем ту из этих частей, которая содержит (рис. 9):

    Рис. 9

       

    и т.д.

    Если , то получим

       

    Определение. Бесконечная десятичная дробь , где получаются указанным способом, называется десятичной записью числа .

       

    Возникает вопрос: одна ли десятичная запись у числа ?

    Если в процессе построения десятичной записи никогда не окажется на границе двух отрезков, то имеет одну десятичную запись. Если же на каком-либо шаге оказалось на границе двух отрезков (так будет, если — конечная десятичная дробь и только в этом случае), то можно выбрать любой из этих отрезков. Если выберем правый отрезок, то на всех следующих шагах будет выбираться самый левый из 10 отрезков и, следовательно, все следующие цифры в десятичной записи — нули.

    Если же выберем левый отрезок, то на всех следующих шагах придется выбирать самый правый из десяти отрезков и, следовательно, все следующие цифры — девятки.

    Пример. Рассмотрим оба варианта записи на примере . На рис. 10 приведен первый вариант (выбирается все время левый отрезок), а на рис. 11 — второй вариант (выбирается все время правый отрезок).

    I случай.

    и т.д.

    Рис. 10

    II случай.

    и т.д.

    Рис. 11

    Обычно в этих случаях запись с девятками не используется.

    Можно доказать, что если , то

    Пусть . Строим десятичную запись

       

    Пояснение

       

    Числа: целые, вещественные, комплексные | Python 3 для начинающих и чайников

    Числа в Python 3: целые, вещественные, комплексные. Работа с числами и операции над ними.

    Целые числа (int)

    Числа в Python 3 ничем не отличаются от обычных чисел. Они поддерживают набор самых обычных математических операций:

    x + yСложение
    x - yВычитание
    x * yУмножение
    x / yДеление
    x // yПолучение целой части от деления
    x % yОстаток от деления
    -xСмена знака числа
    abs(x)Модуль числа
    divmod(x, y)Пара (x // y, x % y)
    x ** yВозведение в степень
    pow(x, y[, z])xy по модулю (если модуль задан)

    Также нужно отметить, что целые числа в python 3, в отличие от многих других языков, поддерживают длинную арифметику (однако, это требует больше памяти). yПобитовое исключающее илиx & yПобитовое иx << nБитовый сдвиг влевоx >> yБитовый сдвиг вправо~xИнверсия битов

    Дополнительные методы

    int.bit_length() - количество бит, необходимых для представления числа в двоичном виде, без учёта знака и лидирующих нулей.

    >>> n = -37
    >>> bin(n)
    '-0b100101'
    >>> n.bit_length()
    6

    int.to_bytes(length, byteorder, *, signed=False) - возвращает строку байтов, представляющих это число.

    >>> (1024).to_bytes(2, byteorder='big')
    b'\x04\x00'
    >>> (1024).to_bytes(10, byteorder='big')
    b'\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x04\x00'
    >>> (-1024).to_bytes(10, byteorder='big', signed=True)
    b'\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xfc\x00'
    >>> x = 1000
    >>> x.to_bytes((x.bit_length() // 8) + 1, byteorder='little')
    b'\xe8\x03'

    classmethod int.from_bytes(bytes, byteorder, *, signed=False) - возвращает число из данной строки байтов.

    >>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='big')
    16
    >>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='little')
    4096
    >>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=True)
    -1024
    >>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=False)
    64512
    >>> int.from_bytes([255, 0, 0], byteorder='big')
    16711680

    Системы счисления

    Те, у кого в школе была информатика, знают, что числа могут быть представлены не только в десятичной системе счисления. К примеру, в компьютере используется двоичный код, и, к примеру, число 19 в двоичной системе счисления будет выглядеть как 10011. Также иногда нужно переводить числа из одной системы счисления в другую. Python для этого предоставляет несколько функций:

    • int([object], [основание системы счисления]) - преобразование к целому числу в десятичной системе счисления. По умолчанию система счисления десятичная, но можно задать любое основание от 2 до 36 включительно.
    • bin(x) - преобразование целого числа в двоичную строку.
    • hex(х) - преобразование целого числа в шестнадцатеричную строку.
    • oct(х) - преобразование целого числа в восьмеричную строку.

    Примеры:

    >>> a = int('19') # Переводим строку в число
    >>> b = int('19.5')  # Строка не является целым числом
    Traceback (most recent call last):
      File "", line 1, in
    ValueError: invalid literal for int() with base 10: '19.5'
    >>> c = int(19.5)  # Применённая к числу с плавающей точкой, отсекает дробную часть
    >>> print(a, c)
    19 19
    >>> bin(19)
    '0b10011'
    >>> oct(19)
    '0o23'
    >>> hex(19)
    '0x13'
    >>> 0b10011  # Так тоже можно записывать числовые константы
    19
    >>> int('10011', 2)
    19
    >>> int('0b10011', 2)
    19

    Вещественные числа (float)

    Вещественные числа поддерживают те же операции, что и целые. Однако (из-за представления чисел в компьютере) вещественные числа неточны, и это может привести к ошибкам:

    >>> 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1
    0.9999999999999999

    Для высокой точности используют другие объекты (например Decimal и Fraction)).

    Также вещественные числа не поддерживают длинную арифметику:

    >>> a = 3 ** 1000
    >>> a + 0.1
    Traceback (most recent call last):
      File "", line 1, in
    OverflowError: int too large to convert to float

    Простенькие примеры работы с числами:

    >>> c = 150
    >>> d = 12.9
    >>> c + d
    162.9
    >>> p = abs(d - c)  # Модуль числа
    >>> print(p)
    137.1
    >>> round(p)  # Округление
    137

    Дополнительные методы

    float.as_integer_ratio() - пара целых чисел, чьё отношение равно этому числу.

    float.is_integer() - является ли значение целым числом.

    float.hex() - переводит float в hex (шестнадцатеричную систему счисления).

    classmethod float.fromhex(s) - float из шестнадцатеричной строки.

    >>> (10.5).hex()
    '0x1.5000000000000p+3'
    >>> float.fromhex('0x1.5000000000000p+3')
    10.5

    Помимо стандартных выражений для работы с числами (а в Python их не так уж и много), в составе Python есть несколько полезных модулей.

    Модуль math предоставляет более сложные математические функции.

    >>> import math
    >>> math.pi
    3.141592653589793
    >>> math.sqrt(85)
    9.219544457292887

    Модуль random реализует генератор случайных чисел и функции случайного выбора.

    >>> import random
    >>> random.random()
    0.15651968855132303

    Комплексные числа (complex)

    В Python встроены также и комплексные числа:

    >>> x = complex(1, 2)
    >>> print(x)
    (1+2j)
    >>> y = complex(3, 4)
    >>> print(y)
    (3+4j)
    >>> z = x + y
    >>> print(x)
    (1+2j)
    >>> print(z)
    (4+6j)
    >>> z = x * y
    >>> print(z)
    (-5+10j)
    >>> z = x / y
    >>> print(z)
    (0.44+0.08j)
    >>> print(x.conjugate())  # Сопряжённое число
    (1-2j)
    >>> print(x.imag)  # Мнимая часть
    2.0
    >>> print(x.real)  # Действительная часть
    1.0
    >>> print(x > y)  # Комплексные числа нельзя сравнить
    Traceback (most recent call last):
      File "", line 1, in
    TypeError: unorderable types: complex() > complex()
    >>> print(x == y)  # Но можно проверить на равенство
    False
    >>> abs(3 + 4j)  # Модуль комплексного числа
    5.0
    >>> pow(3 + 4j, 2)  # Возведение в степень
    (-7+24j)

    Для работы с комплексными числами используется также модуль cmath.

    Вещественные числа в математике с примерами решения и образцами выполнения

    Вещественные или действительные числа — это математическая абстракция, используемая для представления и сравнения значений физических величин. Чаще всего такое число представляют как описывающее положение точки или прямой. Множество вещественных чисел обозначается буквой R, которую нередко называют вещественной прямой.

    Множества и обозначения. Логические символы

    Понятие множества является одним из основных в математике. Оно принадлежит к так называемым первичным, неопределяемым понятиям. Слова «совокупность», «семейство», «система», «набор» и т. п. — синонимы слова «множество». Примерами множеств могут служить множество студентов данной аудитории; совокупность тех из них, кто сдал вступительные экзамены без троек; семейство звезд Большой Медведицы; система трех уравнений с тремя неизвестными; множество всех целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать конечное или бесконечное число произвольных объектов.

    Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Множества часто обозначают большими, а их элементы — малыми буквами. Если х — элемент множества X, то пишут

    (х принадлежит X). Если х не является элементом множества X, то пишут (х не принадлежит X). Если — некоторые элементы, то запись означает, что множество X состоит из элементов Аналогичный смысл имеет запись

    Пусть X и У — два множества. Если X и У состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что они совпадают, и пишут X=Y. Если в X нет элементов, не принадлежащих У, то говорят что X содержится в У или что X — подмножество множества У. В этом случае пишут

    или (Y содержит X). Если X не содержится в У, то пишут В математике часто используется пустое множество. Оно не содержит ни одного элемента и обозначается символом Пустое множество является подмножеством любого множества.

    В дальнейшем нам придется иметь дело с различными множествами вещественных чисел*. Всюду, где это не может привести к неточности, для краткости вещественные числа будем называть просто числами.

    * Вместо термина «вещественные числа» часто используют термин «действительные числа».

    Пусть Р (х) — какое-то свойство числа х. Тогда запись


    означает множество всех таких чисел, которые обладают свойством
    Р(х). Например, множество есть совокупность
    корней уравнения т. е. это множество состоит из
    двух элементов: — множество всех чисел, удовлетворяющих неравенствам т. е. это пустое множество.

    Если

    — произвольные числа, то запись означает, что число х максимальное (минимальное) из чисел

    В математических предложениях (формулировках определений, теорем и т. д.) часто повторяются отдельные слова и целые выражения. Поэтому при их записи полезно использовать экономную логическую символику.

    Здесь мы укажем лишь несколько самых простых и употребительных логических символов. Вместо слова «существует» или «найдется» используют символ

    [перевернутую латинскую букву Е (от английского слова Existence — существование)], а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» — символ [перевернутое латинское А (от английского слова Any — любой)]. Например, запись означает: «существует число х из множества X, такое, что …». Запись означает: «для любого числа х из множества X», а запись означает: «для любого числа х из множества X выполняется (или имеет место) утверждение ».

    Для облегчения понимания и чтения утверждений, записанных с помощью логических символов, все, что относится только к каж- каждому из них, заключают в круглые скобки. Так, например, запись


    читается так: «для любого существует такое, что для
    всех х, не равных хо и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

    Символ

    в тексте означает конец доказательства.

    Вещественные числа и их основные свойства

    В курсе элементарной математики дается некоторое представление о вещественных числах. Из этого курса известно, что множество
    вещественных чисел состоит из рациональных и иррациональных
    чисел. Рациональным называется число, которое можно представить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем

    Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным. Всякое рациональное число является либо целым, либо представляется конечной или периодической бесконечной десятичной дробью. Иррациональное же число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа 3/4 и 1/3 можно представить в виде следующих десятичных дробей: иррациональные числа — в виде непериодических бесконечных десятичных дробей:

    Систематизируем сведения о вещественных числах, перечислим основные свойства вещественных чисел, а затем выведем из них некоторые следствия.

    Сложение и умножение вещественных чисел

    Для любой пары а и b вещественных чисел определены и притом единственным образом два вещественных числа

    называемые соответственно их суммой и произведением, причем имеют место следующие свойства. Каковы бы ни были числа а, b и с:
    1°. (переместительное свойство).
    2°. (сочетательное свойство).
    3°. (переместительное свойство).
    4°. (сочетательное свойство).
    5°. (распределительное свойство).
    6°. Существует единственное число 0 такое, что а + 0=а для любого числа а.
    7°. Для любого числа а существует такое число (—а), что а+(-а) = 0.
    8°. Существует единственное число такое, что для любого числа а имеет место равенство а • 1 = а.
    9°. Для любого числа существует такое число что число обозначают также символом

    Сравнение вещественных чисел

    Для любых двух вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b (а равно b), а>b (а больше b) или b>а. Отношение = обладает свойством: если а=b и b=с, то а=с.

    Отношение > обладает следующими свойствами. Каковы бы ни были числа а, b и с:
    10°. Если


    11°. Если
    12°. Если

    Непрерывность вещественных чисел

    13°. Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел

    выполняется неравенство то существует хотя бы одно число с такое, что для всех таких х и у выполняются неравенства

    Отметим, что свойством непрерывности обладает множество всех
    вещественных чисел, но не обладает множество только рациональных чисел. Действительно, пусть множество X состоит из рациональных чисел х, для которых выполняется неравенство


    а множество У состоит из рациональных чисел у, для которых выполняется неравенство Тогда, очевидно, для любого
    и любого выполняется неравенство однако
    не существует рационального числа с такого, чтобы для всех таких
    х и у выполнялись неравенства В самом деле, таким чис-
    числом могло бы быть только но оно, как известно, не является
    рациональным.

    Из свойств I, II, III вытекают все остальные свойства вещественных чисел. Познакомимся лишь с некоторыми из них, но в дальнейшем будем использовать и другие, не проводя их формального доказательства.

    Каковы бы ни были числа а, b, с и d:
    14°. Число

    является решением уравнения а+х=b.
    Действительно, согласно свойствам 1°, 2°, 6°, 7° имеем: а+b+(-a)=b.

    Число b+(-a) называется разностью чисел b и а и обозначается b — а. Отметим, что если а<b (или, что то же, b>а), то
    разность b — а>0. В самом деле, из неравенства b>а в силу 11°
    получаем:

    15°. Число

    является решением уравнения ах = b, если

    Действительно, согласно свойствам 3°, 4°, 8°, 9° имеем:

    Число

    называется частным чисел b и а и обозначается
    или b:а.
    16°. Если a-b.

    В самом деле, так как а<b, то b—а>0. Следовательно, на
    основании свойства 11° b-а+(-b)>0 + (-b), откуда полу-
    получаем:

    В частности, если а>0, то -a<0, а если а<0, то -а>0 (здесь использован тот факт, что -0 = 0, действительно, согласно свойству 6° (-0)+0=- 0, а на основании свойства 7° (-0)+0=0, откуда следует, что -0=0).

    17°. Если а>b и с>d, то a+c>b+d.
    В самом деле, если а>b и c>d, то в силу свойства 11° а+c>b+c и c+b>d+b. Поэтому согласно свойству 10° а+с>b+d.

    18°. Если a<b и c>d, то a-c<b-d.
    В самом деле, так как c>d, то согласно свойству 16° -с<- d. Cкладывая почленно неравенства а<b и -с<-d (это можно делать в силу свойства 17°), получаем: a-c<b-d.

    19°.


    В самом деле,

    20°.


    В самом деле,

    21°.


    В самом деле,

    22°.


    В самом деле,

    Отметим, что при замене суммы произведением использовано свойство 5°. Из свойства 22°, в частности, получаем:

    23°. Если


    В самом деле, так как а0, поэтому в силу свойства 12°. Следовательно, и, значит,

    24°. Если


    В самом деле, так как Поэтому в силу свойства 23° Следовательно, и, значит,

    25°. Если


    Справедливость данного утверждения следует из свойств 12° и 24°. В частности,

    26°. Если


    В самом деле, согласно свойствам 9° и 25° а если предположить, что то в силу свойств 20° и 23° имеем: т. е. получено противоречие. Следовательно,

    Итак, мы видим, что из основных свойств I—III вещественных чисел вытекают остальные их свойства. Поэтому можно сказать, что вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами вещественных чисел.

    В заключение отметим, что, исходя из свойств I—III, любое вещественное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Однако останавливаться на рассмотрении этого вопроса не будем.

    Геометрическое изображение вещественных чисел

    Изображение вещественных чисел точками на координатной прямой

    Введем ряд предварительных понятий. Рассмотрим произвольную прямую. На ней можно указать два взаимно противоположных направления. Выберем одно из них и на рисунке будем обозначать его стрелкой (рис. 1). Пусть, кроме того, выбрана масштабная единица для измерения длин отрезков. Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.

    Рассмотрим на оси две произвольные точки Л и В. Отрезок с граничными точками Л и В будем называть направленным, если указано, какая из точек Л и В считается началом, а какая — кон-
    концом отрезка. Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначим

    и будем считать, что он направлен от начала к концу. Отметим, что в записи буква, обозначающая начало направленного отрезка, пишется первой, а буква, обозначающая его конец, — второй. Длина направленного отрезка обозначается так:

    Для направленных отрезков, лежащих на оси (или параллель-
    параллельных оси), вводится понятие величины направленного отрезка. Величиной АВ направленного отрезка

    называется число, равное , если направления отрезка и оси совпадают, и равное — , если эти направления противоположны. Для отрезков изображенных на рис. 2,

    Заметим, что величины направленных отрезков

    при
    любом направлении оси отличаются знаками:

    Если точки А и В совпадают, то величину направленного отрезка будем считать равной нулю.

    Для любых трех точек А, В и С на оси справедливо равенство
    АВ + ВС = АС,
    которое назовем основным тождеством (в дальнейшем оно неоднократно используется).

    Справедливость основного тождества легко устанавливается из
    рисунка, но при этом нужно рассмотреть различные случаи взаимного расположения точек А, В и С на оси. Если все три точки А,
    В и С различны, то таких случаев шесть (рис. 3). В каждом из этих
    случаев основное тождество проверяется элементарно.

    Перейдем теперь к геометрическому изображению вещественных
    чисел. Рассмотрим какую-нибудь прямую. Выберем на ней направление (тогда она станет осью) и некоторую точку О (начало
    координат). Прямую с выбранным направлением и началом координат назовем координатной прямой (считаем, что масштабная единица выбрана). Пусть М — произвольная точка на прямой (рис. 4, а).

    Поставим в соответствие точке М число х, равное величине ОМ
    направленного отрезка

    Число х называется координатой
    точки М.
    Тем самым каждой точке координатной прямой будет
    соответствовать определенное вещественное число — ее координата. Справедливо и обратное: каждому вещественному числу х
    соответствует некоторая точка на координатной прямой, а именно
    такая точка М, координата которой равна х.

    Таким образом, вещественные числа можно изображать точками
    на координатной прямой. Поэтому около точки на координатной
    прямой часто указывают число —ее координату (рис. 4, б).

    Пусть точка

    имеет координату , а точка — координату
    (рис. 5.). Выразим величину направленного отрезка через координаты точек и . Согласно основному тождеству

    откуда поэтому

    Эту формулу будем часто использовать в аналитической геометрии.

    Некоторые наиболее употребительные числовые множества

    Пусть а и b — два числа, причем а<b. Будем пользоваться cледующими обозначениями:

    Множество всех вещественных чисел будем обозначать так:

    Все эти множества называются промежутками, причем [а, b] —
    отрезок (сегмент),

    —полуинтервалы, а — интервалы. Промежутки называются конечными; а и b называются их концами. Остальные промежутки называются бесконечными.

    Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной прямой. Например, сегмент

    изображается на координатной прямой отрезком таким, что точка имеет rоординату , а точка —координату (рис. 5). Изображением
    множества всех чисел служит вся координатная пря-
    прямая. Поэтому множество называется также числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть а —произвольная точка числовой прямой и — положительное число. Интервал называется -окрестностью точки а.

    Грани числовых множеств

    Говорят, что. множество X ограничено сверху (снизу), если существует число с такое, что для любого

    выполнено неравенство Число с в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества X.

    Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

    Так, например, любой конечный промежуток

    ограничен. Интервал есть множество, ограниченное снизу, но не ограниченное сверху; а вся числовая прямая есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.

    Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество X имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. В самом деле, если число с является верхней (нижней) гранью множества X, то любое число с’, большее (меньшее) числа с, — также верхняя (нижняя) грань множества X, так как из справедливости неравенства

    следует, что

    Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества.

    Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества X называется точной верхней гранью множества X и обозначается символом sup X, а наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества X называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом inf X*.

    Примеры:

    Пусть

    Тогда число b является точной верхней гранью множества X, а число а — его точной нижней гранью, т. е. Пусть Тогда а верхних граней и в том числе точной верхней грани данное множество не имеет.

    Точная верхняя грань (sup X) обладает следующим важным свойством. Как бы мало ни было число

    найдется такое, что В самом деле, если бы такого числа х не нашлось, то число было бы также верхней гранью множества X и тогда число sup X не было бы точной (т. е. наименьшей) верхней гранью. Другими словами, данное свойство выражает тот факт, что число sup X является наименьшим среди чисел, ограничивающих множество X сверху, и не может быть уменьшено.

    Отмеченное свойство точной верхней грани можно переформулировать следующим образом: если с = sup X, то для любого числа с’ < с существует число

    такое, что Чтобы убедиться в равносильности данных формулировок, достаточно взять с’ и е, связанные равенством из которого следует, что условие эквивалентно условию

    Аналогичным свойством обладает и точная нижняя грань — как бы мало ни было число е>0, найдется

    такое, что (Сформулируйте данное свойство в другом виде самостоятельно.)

    Возникает вопрос, всегда ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Ответ на этот вопрос дает следующая важная теорема.

    Теорема:

    Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

    Доказательство:

    Пусть X — непустое множество, ограниченное сверху. Тогда множество У чисел, ограничивающих X сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для любого

    и любого имеет место неравенство В силу свойства непрерывности вещественных чисел существует такое число с, что для любых х и у выполняются неравенства

    Из первого из неравенств (1) следует, что число с ограничивает множество X сверху, т..е. является верхней гранью, а из второго, — что оно наименьшее из таких чисел, т. е. является точной верхней гранью.

    Случай существования точной нижней грани у не пустого ограниченного снизу множества рассматривается аналогично.

    Если множество X не ограничено сверху (снизу), то условимся писать:

    Абсолютная величина числа

    Понятие абсолютной величины числа и неравенства, связанные с абсолютными величинами, в дальнейшем часто используются.

    Определение:

    Абсолютной величиной (или модулем) числа х называется само число х, если

    число —х, если

    Абсолютная величина числа х обозначается символом |х|. Таким образом,

    Из определения вытекает ряд свойств абсолютной величины числа.

    Из 1) и 2) получаем, что

    Поскольку следующие три свойства очень важны, докажем их в виде теорем.

    Теорема:

    Пусть

    — положительное число. Тогда неравенства равносильны*
    Доказательство:

    Пусть

    Тогда:
    1) если и, значит,
    2) если значит, — откуда — Объединяя 1) и 2), при любом х получаем:

    Пусть справедливы неравенства

    Это означает, что одновременно выполняются неравенства Из последнего неравенства имеем: Так как, по определению, |х| есть либо х, либо — х, то

    Теорема:

    Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е.

    Доказательство:

    Пусть х и у — любые числа. Согласно свойству 3° для них справедливы неравенства


    Складывая их почленно, получаем

    По теореме 1.2 это двойное неравенство равносильно неравенству


    Заметим, что

    Теорема:

    Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е.

    Доказательство:

    Для любых чисел х и у имеем

    По теореме 1.3 справедливо неравенство

    Откуда получаем:


    Заметим, что

    В заключение отметим, что каковы бы ни были два числа х и у, имеют место легко проверяемые соотношения:

    Свойства вещественных чисел

    Смотрите также:

    Решение заданий и задач по предметам:

    Дополнительные лекции по высшей математике:

    1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
    2. Функции и графики
    3. Преобразования графиков функций
    4. Квадратная функция и её графики
    5. Алгебраические неравенства
    6. Неравенства
    7. Неравенства с переменными
    8. Прогрессии в математике
    9. Арифметическая прогрессия
    10. Геометрическая прогрессия
    11. Показатели в математике
    12. Логарифмы в математике
    13. Исследование уравнений
    14. Уравнения высших степеней
    15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
    16. Комплексные числа
    17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
    18. Алгебраические уравнения
    19. Неопределенные уравнения
    20. Соединения
    21. Бином Ньютона
    22. Число е
    23. Непрерывные дроби
    24. Функция
    25. Исследование функций
    26. Предел
    27. Интеграл
    28. Двойной интеграл
    29. Тройной интеграл
    30. Интегрирование
    31. Неопределённый интеграл
    32. Определенный интеграл
    33. Криволинейные интегралы
    34. Поверхностные интегралы
    35. Несобственные интегралы
    36. Кратные интегралы
    37. Интегралы, зависящие от параметра
    38. Квадратный трехчлен
    39. Производная
    40. Применение производной к исследованию функций
    41. Приложения производной
    42. Дифференциал функции
    43. Дифференцирование в математике
    44. Формулы и правила дифференцирования
    45. Дифференциальное исчисление
    46. Дифференциальные уравнения
    47. Дифференциальные уравнения первого порядка
    48. Дифференциальные уравнения высших порядков
    49. Дифференциальные уравнения в частных производных
    50. Тригонометрические функции
    51. Тригонометрические уравнения и неравенства
    52. Показательная функция
    53. Показательные уравнения
    54. Обобщенная степень
    55. Взаимно обратные функции
    56. Логарифмическая функция
    57. Уравнения и неравенства
    58. Положительные и отрицательные числа
    59. Алгебраические выражения
    60. Иррациональные алгебраические выражения
    61. Преобразование алгебраических выражений
    62. Преобразование дробных алгебраических выражений
    63. Разложение многочленов на множители
    64. Многочлены от одного переменного
    65. Алгебраические дроби
    66. Пропорции
    67. Уравнения
    68. Системы уравнений
    69. Системы уравнений высших степеней
    70. Системы алгебраических уравнений
    71. Системы линейных уравнений
    72. Системы дифференциальных уравнений
    73. Арифметический квадратный корень
    74. Квадратные и кубические корни
    75. Извлечение квадратного корня
    76. Рациональные числа
    77. Иррациональные числа
    78. Арифметический корень
    79. Квадратные уравнения
    80. Иррациональные уравнения
    81. Последовательность
    82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
    83. Тригонометрические функции произвольного угла
    84. Тригонометрические формулы
    85. Обратные тригонометрические функции
    86. Теорема Безу
    87. Математическая индукция
    88. Показатель степени
    89. Показательные функции и логарифмы
    90. Множество
    91. Множество действительных чисел
    92. Числовые множества
    93. Преобразование рациональных выражений
    94. Преобразование иррациональных выражений
    95. Геометрия
    96. Действительные числа
    97. Степени и корни
    98. Степень с рациональным показателем
    99. Тригонометрические функции угла
    100. Тригонометрические функции числового аргумента
    101. Тригонометрические выражения и их преобразования
    102. Преобразование тригонометрических выражений
    103. Комбинаторика
    104. Вычислительная математика
    105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
    106. Прямая и плоскость
    107. Линии и уравнения
    108. Прямая линия
    109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
    110. Кривые второго порядка
    111. Кривые и поверхности второго порядка
    112. Числовые ряды
    113. Степенные ряды
    114. Ряды Фурье
    115. Преобразование Фурье
    116. Функциональные ряды
    117. Функции многих переменных
    118. Метод координат
    119. Гармонический анализ
    120. Предел последовательности
    121. Аналитическая геометрия
    122. Аналитическая геометрия на плоскости
    123. Аналитическая геометрия в пространстве
    124. Функции одной переменной
    125. Высшая алгебра
    126. Векторная алгебра
    127. Векторный анализ
    128. Векторы
    129. Скалярное произведение векторов
    130. Векторное произведение векторов
    131. Смешанное произведение векторов
    132. Операции над векторами
    133. Непрерывность функций
    134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
    135. Предел и непрерывность функции одной переменной
    136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
    137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
    138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
    139. Матрицы
    140. Линейные и евклидовы пространства
    141. Линейные отображения
    142. Дифференциальные теоремы о среднем
    143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
    144. Функции комплексного переменного
    145. Преобразование Лапласа
    146. Теории поля
    147. Операционное исчисление
    148. Системы координат
    149. Рациональная функция
    150. Интегральное исчисление
    151. Интегральное исчисление функций одной переменной
    152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
    153. Отношение в математике
    154. Математическая логика
    155. Графы в математике
    156. Линейные пространства
    157. Первообразная и неопределенный интеграл
    158. Линейная функция
    159. Выпуклые множества точек
    160. Система координат

    вещественных чисел

    Реальные числа - это просто числа вроде:

    1 12,38 -0,8625 3 4 π (пи) 198

    Фактически:

    Практически любое число, которое вы можете придумать, является действительным числом

    Реальные числа включают:

    Целые числа (например, 0, 1, 2, 3, 4 и т. Д.)
    рациональных чисел (например, 3/4, 0.125, 0,333 ..., 1,1 и т. Д.)
    Иррациональные числа (например, π , √2 и т. Д.)

    Действительные числа также могут быть положительными , отрицательными или нулевыми.

    Итак ... что НЕ является действительным числом?

    Математики также играют с некоторыми специальными числами, которые не являются действительными числами.

    Строка вещественных чисел

    Линия вещественных чисел похожа на геометрическую линию.

    На линии выбрана точка "начало координат" . Точки справа - положительные, а точки слева - отрицательные.

    Расстояние выбирается равным «1», затем отмечаются целые числа: {1,2,3, ...}, а также в отрицательном направлении: {..., - 3, −2, −1 }

    Любая точка на линии является Реальным числом:

    • Цифры могут быть целыми (например, 7)
    • или рациональный (например, 20/9)
    • или иррационально (например, π)

    Но мы не найдем Бесконечности или Мнимого числа.

    Любое количество цифр

    Реальное число может содержать любое количество цифр по обе стороны от десятичной точки

    • 120.
    • 0,12345
    • 12,5509
    • 0,000 000 0001

    Может быть бесконечное количество цифр, например 1 3 = 0,333 ...

    Почему они называются «настоящими» числами?

    Потому что это не мнимые числа

    Реальные числа не имели названия до того, как были придуманы мнимые числа.Их назвали «Реальными», потому что они не были Воображаемыми. Вот настоящий ответ!

    Реальный не означает, что они находятся в реальном мире

    Это , а не , называемые «Реальными», потому что они показывают значение чего-то реального .

    В математике нам нравятся числа в чистом виде, когда мы пишем 0,5, мы подразумеваем ровно половину.

    Но в реальном мире половина может быть не точным (попробуйте разрезать яблоко ровно пополам).

    5383, 5384, 5385, 5386, 5387, 5388, 5389, 5390, 5391, 1066, 1067, 2032, 2033

    Реальный номер | математика | Britannica

    Действительное число , в математике величина, которая может быть выражена в виде бесконечного десятичного разложения. Действительные числа используются в измерениях непрерывно меняющихся величин, таких как размер и время, в отличие от натуральных чисел 1, 2, 3,…, возникающих в результате подсчета. Слово вещественное отличает их от комплексных чисел, включающих символ i или квадратный корень из √ −1, используемый для упрощения математической интерпретации эффектов, например, возникающих в электрических явлениях.Действительные числа включают положительные и отрицательные целые числа и дроби (или рациональные числа), а также иррациональные числа. У иррациональных чисел есть десятичные разложения, которые не повторяются, в отличие от рациональных чисел, разложения которых всегда содержат повторяющуюся цифру или группу цифр, например, 1/6 = 0,16666… или 2/7 = 0,285714285714…. Десятичная дробь в виде 0,42442444244442… не имеет регулярно повторяющейся группы и поэтому является иррациональной.

    Наиболее известные иррациональные числа - это алгебраические числа, которые являются корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами.Например, решение уравнения x 2 - 2 = 0 является алгебраическим иррациональным числом, обозначенным квадратным корнем из √2. Некоторые числа, такие как π и e , не являются решениями какого-либо такого алгебраического уравнения и поэтому называются трансцендентными иррациональными числами. Эти числа часто можно представить в виде бесконечной суммы дробей, определенных определенным образом, и десятичное разложение - одна из таких сумм.

    Действительные числа можно охарактеризовать важным математическим свойством полноты, означающим, что каждое непустое множество, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую такую ​​границу, свойство, которым не обладают рациональные числа.Например, набор всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2, не имеет наименьшей верхней границы, потому что квадратный корень из √2 не является рациональным числом. Иррациональные и рациональные числа бесконечно многочисленны, но бесконечность иррациональных чисел «больше», чем бесконечность рациональных чисел, в том смысле, что рациональные числа могут быть спарены с подмножеством иррациональных чисел, в то время как обратное спаривание невозможно.

    Реальные числа

    Реальные числа - одна из самых широких категорий чисел.Действительные числа делятся на рациональные числа и иррациональные числа, которые включают в себя все положительные и отрицательные целые числа, 0, а также все дробные и десятичные значения между ними (дроби, десятичные дроби, трансцендентные числа и т. Д.)

    Реальные числа были созданы, чтобы отличать набор действительных чисел от мнимых чисел. Мнимые числа - это результат попытки извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

    Набор действительных чисел обозначается этим символом: ℝ. Ниже приведены несколько примеров реальных чисел.

    • 1
    • 0
    • 5,33333
    • ¼
    • -7,200,568
    • π

    Выше приведен лишь небольшой пример различных типов чисел, составляющих действительные числа.

    Рациональные и иррациональные числа

    Рациональное число - это число, которое может быть выражено в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами, соотношение которых дает завершающую десятичную дробь или бесконечную десятичную дробь, которая повторяется.Повторяющиеся десятичные дроби обозначаются горизонтальной полосой над повторяющейся частью десятичной дроби. Например, & frac13; повторяется бесконечно:

    и frac13; = 0,33333333 ... = 0,3

    Иррациональное число состоит из всех действительных чисел, которые не являются рациональными числами: неповторяющиеся десятичные дроби. Примеры включают π, число Эйлера e и золотое сечение.

    Целые и действительные числа

    Вещественные числа и целые числа можно сравнивать с помощью числовых строк.Числовая строка ниже представляет целые числа, показанные с помощью красных точек, чтобы показать, что только целые значения (не дробные или десятичные значения) включены в набор целых чисел.

    В числовой строке ниже представлены все действительные числа. Синяя линия, показанная наверху числовой линии, показывает, что включены все значения между целыми числами, а не только их отдельные точки.

    Эти числовые строки показывают, что все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами.


    В чем разница между целыми и действительными числами?

    Определение действительного числа настолько широко, что охватывает почти все числа в математической вселенной.Целые числа и целые числа являются подмножеством действительных чисел, равно как и рациональные, и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается символом ℝ.

    Целые числа и целые числа

    Числа, которые мы обычно используем для подсчета, известны как натуральные числа (1, 2, 3 ...). Когда вы включаете ноль, у вас есть группа, известная как целые числа (0, 1, 2, 3 ...). Целые числа - это набор чисел, который включает все целые числа вместе с отрицательными версиями натуральных чисел.Набор целых чисел представлен символом.

    Рациональные числа

    Числа, которые мы обычно воспринимаем как дроби, составляют набор рациональных чисел. Дробь - это число, представленное как отношение между двумя целыми числами, a и b , в форме a / b , где b не равно нулю. Дробь с нулем в правой части отношения не определена или неопределена. Рациональное число также может быть представлено в десятичной форме.Десятичное расширение рационального числа всегда будет либо завершено, либо иметь шаблон чисел, который повторяется справа от десятичной точки. Все целые числа являются рациональными числами, поскольку любое целое число может быть представлено соотношением a / 1 . Множество рациональных чисел представлено символом.

    Иррациональные числа

    Набор чисел, которые нельзя представить как отношение между целыми числами, называют иррациональными числами. Представленное в десятичной форме иррациональное число не является завершающим и имеет неповторяющийся образец чисел справа от десятичной точки.Стандартного символа для множества иррациональных чисел не существует. Набор рациональных и иррациональных чисел является взаимоисключающим, что означает, что все действительные числа либо рациональны, либо иррациональны, но не оба одновременно.

    Действительные числа и числовая линия

    Набор действительных чисел представляет собой упорядоченный набор значений, который может быть представлен на числовой прямой, нарисованной горизонтально, с увеличивающимися значениями вправо и уменьшающимися значениями влево. Каждое действительное число соответствует отдельной точке на этой линии, известной как ее координата.Числовая линия простирается до бесконечности в обоих направлениях, что означает, что набор действительных чисел имеет бесконечное количество членов.

    Комплексные числа

    Есть некоторые математические уравнения, решение которых не является действительным числом. Примером может служить формула, которая включает квадратный корень из отрицательного числа. Поскольку возведение двух отрицательных чисел в квадрат всегда приводит к положительному числу, решение кажется невозможным. Набор чисел, известный как комплексные числа, включает мнимые числа, такие как квадратный корень из отрицательного числа.Набор комплексных чисел отделен от набора действительных чисел и представлен стандартным символом ℂ.

    Что такое действительные числа? | Sciencing

    Действительные числа - это все числа на числовой прямой от отрицательной бесконечности через ноль до положительной бесконечности. Это построение набора действительных чисел не является произвольным, а скорее является результатом эволюции натуральных чисел, используемых для подсчета. Система натуральных чисел имеет несколько несоответствий, и по мере усложнения вычислений система счисления расширилась, чтобы устранить ее ограничения.С действительными числами вычисления дают согласованные результаты, и есть несколько исключений или ограничений, которые присутствовали в более примитивных версиях системы счисления.

    TL; DR (слишком долго; не читал)

    Набор действительных чисел состоит из всех чисел в числовой строке. Это включает натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа. Он не включает мнимые или комплексные числа.

    Натуральные числа и замыкание

    Замыкание - это свойство набора чисел, которое означает, что если разрешенные вычисления выполняются с числами, которые являются членами набора, ответами также будут числа, которые являются членами набора.Набор называется закрытым.

    Натуральные числа - это счетные числа, 1, 2, 3 ..., и набор натуральных чисел не замкнут. Поскольку натуральные числа использовались в торговле, сразу же возникли две проблемы. В то время как в натуральных числах учитывались реальные объекты, например коровы, если у фермера было пять коров и он продал пять коров, натурального числа для результата не было. Ранние системы счисления очень быстро разработали термин для нуля, чтобы решить эту проблему. В результате появилась система целых чисел, которая представляет собой натуральные числа плюс ноль.

    Вторая проблема тоже была связана с вычитанием. Пока в числах учитывались реальные объекты, такие как коровы, фермер не мог продать больше коров, чем он имел. Но когда числа стали абстрактными, вычитание больших чисел из меньших давало ответы вне системы целых чисел. В результате были введены целые числа, которые представляют собой целые числа плюс отрицательные натуральные числа. Система счисления теперь включала полную числовую строку, но только с целыми числами.

    Рациональные числа

    Вычисления в замкнутой системе счисления должны давать ответы изнутри системы счисления для таких операций, как сложение и умножение, а также для их обратных операций, вычитания и деления.Система целых чисел закрыта для сложения, вычитания и умножения, но не для деления. Если целое число делится на другое целое число, результат не всегда является целым числом.

    Деление малого целого числа на большее дает дробь. Такие дроби были добавлены в систему счисления как рациональные числа. Рациональные числа определяются как любое число, которое может быть выражено как отношение двух целых чисел. Любое произвольное десятичное число можно выразить рациональным числом. Например 2.864 - это 2864/1000, а 0,89632 - 89632/100000. Числовая линия теперь казалась законченной.

    Иррациональные числа

    В числовой строке есть числа, которые нельзя выразить дробью целых чисел. Один - это отношение сторон прямоугольного треугольника к гипотенузе. Если две стороны прямоугольного треугольника равны 1 и 1, гипотенуза - это квадратный корень из 2. Квадратный корень из двух - это бесконечная десятичная дробь, которая не повторяется. Такие числа называются иррациональными, и они включают в себя все действительные числа, которые не являются рациональными.С этим определением числовая строка всех действительных чисел завершена, потому что любое другое действительное число, которое не является рациональным, включено в определение иррационального.

    Бесконечность

    Хотя говорят, что прямая действительного числа простирается от отрицательной до положительной бесконечности, сама по себе бесконечность не является действительным числом, а скорее концепцией системы счисления, которая определяет ее как величину, превышающую любое число. Математически бесконечность - это ответ на 1 / x, когда x достигает нуля, но деление на ноль не определено.Если бы бесконечность была числом, это привело бы к противоречиям, потому что бесконечность не подчиняется законам арифметики. Например, бесконечность плюс 1 по-прежнему бесконечность.

    Мнимые числа

    Набор действительных чисел закрыт для сложения, вычитания, умножения и деления, за исключением деления на ноль, которое не определено. Набор не закрывается как минимум еще на одну операцию.

    Правила умножения в наборе действительных чисел определяют, что умножение отрицательного и положительного числа дает отрицательное число, а умножение положительного или отрицательного числа дает положительный ответ.Это означает, что частный случай умножения числа на само по себе дает положительное число как для положительных, так и для отрицательных чисел. Обратным к этому частному случаю является квадратный корень из положительного числа, дающий как положительный, так и отрицательный ответ. Для квадратного корня из отрицательного числа нет ответа в наборе действительных чисел.

    Концепция набора мнимых чисел решает проблему отрицательных квадратных корней в действительных числах. Квадратный корень из минус 1 определяется как i, а все мнимые числа кратны i.Чтобы завершить теорию чисел, набор комплексных чисел определяется как включающий все действительные и все мнимые числа. Реальные числа можно продолжать визуализировать на горизонтальной числовой линии, в то время как мнимые числа представляют собой вертикальную числовую линию с двумя пересекающимися в нуле. Комплексные числа - это точки на плоскости двух числовых прямых, каждая из которых имеет действительную и мнимую составляющие.

    Классификация действительных чисел | Математика для гуманитарных наук Corequisite

    Мы видели, что все счетные числа являются целыми числами, все целые числа являются целыми числами и все целые числа являются рациональными числами.Иррациональные числа - отдельная категория. Когда мы соединяем рациональные числа и иррациональные числа, мы получаем набор действительных чисел.

    Эта диаграмма иллюстрирует отношения между различными типами действительных чисел.

    Реальные числа

    Действительные числа - это числа, которые могут быть рациональными или иррациональными.

    Вам не кажется странным термин «действительные числа»? Есть ли числа, которые не являются «настоящими», и если да, то какими они могут быть? На протяжении веков люди знали только цифры, которые мы сейчас называем настоящими числами.Затем математики открыли набор из мнимых чисел. В этом курсе вы не встретите мнимые числа, но вы встретитесь позже при изучении алгебры.

    пример

    Определите, является ли каждое из чисел в следующем списке 1. целым числом, 2. целым числом, 3. рациональным числом, 4. иррациональным числом и 5. действительным числом.

    [латекс] -7, \ Large \ frac {14} {5} \ normalsize, 8, \ sqrt {5}, 5.9, - \ sqrt {64} [/ latex]

    Решение:
    1. Целые числа [латекс] 0,1,2,3 \ точки [/ латекс] Число [латекс] 8 [/ латекс] - единственное целое число.

    2. Целые числа - это целые числа, их противоположности и [латекс] 0 [/ латекс]. Из заданных чисел [латекс] -7 [/ латекс] и [латекс] 8 [/ латекс] являются целыми числами. Также обратите внимание, что [latex] 64 [/ latex] - это квадрат [latex] 8 [/ latex], поэтому [latex] - \ sqrt {64} = - 8 [/ latex]. Итак, целые числа [латекс] -7,8, - \ sqrt {64} [/ latex].

    3. Поскольку все целые числа рациональны, числа [latex] -7,8, \ text {и} - \ sqrt {64} [/ latex] также рациональны. Рациональные числа также включают дробные и десятичные дроби, которые заканчиваются или повторяются, поэтому [latex] \ Large \ frac {14} {5} \ normalsize \ text {и} 5.9 [/ latex] рациональны.

    4. Число [латекс] 5 [/ латекс] не является идеальным квадратом, поэтому [латекс] \ sqrt {5} [/ латекс] нерационально.

    5. Все перечисленные числа настоящие.

    Сведем результаты в таблицу.

    Номер Всего Целое число Рациональный Иррациональное Реальный
    [латекс] -7 [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]
    [латекс] \ Large \ frac {14} {5} [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]
    [латекс] 8 [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]
    [латекс] \ sqrt {5} [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]
    [латекс] 5.9 [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]
    [латекс] - \ sqrt {64} [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс] [латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]

    В следующем мини-уроке представлено больше примеров того, как классифицировать действительные числа.

    Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные и другие числа

    Натуральные числа

    Натуральное число (или , считая ) числа - это 1,2,3,4,5 и т. Д.Есть бесконечно много натуральных чисел. Набор натуральных чисел, {1,2,3,4,5, ...}, иногда для краткости пишут N .

    Целые числа - это натуральные числа вместе с 0.

    (Примечание: некоторые учебники не согласны с этим и говорят, что натуральные числа включают 0.)

    Сумма любые два натуральных числа также являются натуральными числами (например, 4 + 2000 = 2004), а произведение любых двух натуральных чисел натуральное число (4 × 2000 = 8000). Этот однако это неверно для вычитания и деления.

    Целые числа

    Целые числа - это набор действительных чисел, состоящий из натуральных чисел, их аддитивных обратных чисел и нуля.

    {..., - 5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, ...}

    Набор целых чисел иногда написано J или Z для краткости.

    г. сумма, произведение и разность любых двух целых чисел также являются целыми числами. Но это не относится к делению ... просто попробуйте 1 ÷ 2.

    Рациональные числа

    Рациональные числа те числа, которые можно выразить как отношение между два целых числа.Например, дроби 13 и −11118 являются рациональное число. Все целые числа входят в рациональные числа, поскольку любое целое число z можно записать как отношение z1.

    Все десятичные дроби, которые заканчиваются, являются рациональными числами (с версии 8.27 можно записать как 827100.) Десятичные дроби которые после некоторой точки имеют повторяющийся узор, также являются рациональными: например,

    0,0833333 .... = 112.

    Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех основных операций, то есть для любых двух рациональных чисел их сумма, разница, произведение и частное также являются рациональным числом (пока мы не делим на 0).

    Иррациональные числа

    Иррациональное число - это число, которое нельзя записать в виде отношения (или дроби). В десятичной форме он никогда не заканчивается и не повторяется. В древние греки обнаружили, что не все числа рациональны; там - это уравнения, которые нельзя решить с помощью отношений целых чисел.

    Первое такое уравнение для изучения было 2 = x2. Какие само число раз равно 2?

    2 это около 1,414, поскольку 1,4142 = 1,999396, что близко к 2. Но вы никогда не попадете точно, возведя дробь в квадрат (или завершив десятичный).Квадратный корень из 2 - иррациональное число, то есть его десятичный эквивалент продолжается вечно, без повторяющегося шаблона:

    2 = 1,41421356237309 ...

    Другой известный иррациональный числа золотое сечение , число с большим значение для биологии:

    1 + 52 = 1,61803398874989 ...

    π (пи), отношение длины окружности к ее диаметру:

    π = 3,14159265358979 ...

    и е, самое важное число в исчислении:

    е = 2.71828182845904 ...

    Иррациональные числа могут быть далее подразделены на алгебраических чисел , которые являются решениями некоторого полиномиального уравнения (например, 2 и золотого сечения), и трансцендентных чисел , которые не являются решениями какого-либо полиномиального уравнения. π и e оба трансцендентны.

    Реальные числа

    Действительные числа - это набор чисел, содержащий все рациональные числа и все иррациональные числа. Настоящие числа - это «все числа» в числовой строке.Существует бесконечно много действительных чисел, как и бесконечно много чисел в каждом из других наборов чисел. Но можно доказать, что бесконечность действительных чисел - это больше бесконечности.

    «Меньший», или счетных бесконечности целых чисел и rationals иногда называют ℵ0 (alef-naught), и бесчисленное бесконечности реалов называется ℵ1 (алеф-он).

    Есть еще "большие" бесконечности, но для этого вам следует пройти курс теории множеств!

    Комплексные числа

    Комплексные числа - множество {a + bi | a и b - действительные числа}, где i - мнимая единица, −1.(нажмите здесь, чтобы подробнее о мнимых числах и операциях с комплексными числами).

    Комплексные числа включают набор действительных чисел. Действительные числа в сложной системе записываются в виде a + 0i = a. реальное число.

    Этот набор иногда бывает записывается как C для краткости.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *