Вещественное число — это… Что такое Вещественное число?

Веще́ственное, или действи́тельное число ^[1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений ^[2].

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия^[3]. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере

[3] была создана строгая теория вещественных чисел.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), или (англ. blackboard bold «R») от лат. realis — действительный.

История становления понятия вещественного числа

Наивная теория вещественных чисел

Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании — рациональные числа). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом

[4].

Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях — например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др.

[5]

Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным»^[6]. После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе^[7], где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил^[6]:

Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью.

Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные.

Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону^[8]:

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.

Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало

[9]. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.

Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.

Создание строгой теории

Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана

[10]. В более поздней работе^[11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств^[12], но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.

Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.

Конструктивные способы определения вещественного числа

При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел ), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и

пока не являются строго определённым математическим понятием.

Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.

Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда

[3]^[13].

Теория фундаментальных последовательностей Кантора

В данном подходе вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши:

Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными.

Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел , обозначим .

Два вещественных числа

и ,

определённые соответственно фундаментальными последовательностями и , называются равными, если

Если даны два вещественных числа и , то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей и :

Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число

по определению больше числа , то есть , если

Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.

Теория бесконечных десятичных дробей

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида

где  есть один из символов или , называемый знаком числа,  — целое неотрицательное число,  — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества .

Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида

и для всех

Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа

Если , то ; если то . В случае равенства переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если , то после конечного числа шагов встретится первый разряд , такой что . Если , то ; если то .

Однако, при этом следует учитывать, что число . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.

Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[14] соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Теория сечений в области рациональных чисел

В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.

Сечением в множестве рациональных чисел называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний и верхний , так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:

Если существует число , которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества и : числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от . Говорят также, что рациональное число производит данное сечение множества рациональных чисел.

Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества и . В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число , которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:

Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами.

Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:

Аксиоматический подход

Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Кантора вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.

В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.

Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации, модели абстрактного понятия «число три».

Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.

Здесь уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:

Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках. Давид Гильберт[15]

Аксиоматика вещественных чисел

Множество называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

Аксиомы поля

На множестве определено отображение (операция сложения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент из того же множества , называемый суммой и ( эквивалентная запись элемента множества ).

Также, на множестве определено отображение (операция умножения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент , называемый произведением и .

При этом имеют место следующие свойства.

Коммутативность сложения. Для любых

Ассоциативность сложения. Для любых

Существование нуля. Существует элемент , называемый нулём, такой, что для любого

Существование противоположного элемента. Для любого существует элемент , называемый противоположным к , такой, что

Коммутативность умножения. Для любых

Ассоциативность умножения. Для любых

Существование единицы. Существует элемент , называемый единицей, такой, что для любого

Существование обратного элемента. Для любого существует элемент , обозначаемый также и называемый обратным к , такой, что

Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Для любых

Нетривиальность поля. Единица и ноль — различные элементы :

Аксиомы порядка

Между элементами определено отношение , то есть для любой упорядоченной пары элементов из установлено, выполняется соотношение или нет. При этом имеют место следующие свойства.

Рефлексивность. Для любого

Антисимметричность. Для любых

Транзитивность. Для любых

Линейная упорядоченность. Для любых

Связь сложения и порядка. Для любых

Связь умножения и порядка. Для любых

Аксиомы непрерывности

Каковы бы ни были непустые множества и , такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такое число , что для всех и имеет место соотношение

Этих аксиом достаточно чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел^[16].

На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество является полем. Аксиомы второй группы — что множество является линейно упорядоченным множеством ( — ), причём отношение порядка согласовано со структурой поля  — . Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются упорядоченными полями. Наконец, последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности, которое также называют полнотой. Резюмируя, можно дать эквивалентное определение множества вещественных чисел.

Определение. Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.

Непротиворечивость и категоричность аксиоматики

Другие системы аксиом вещественных чисел

Существуют и другие способы аксиоматизации вещественных чисел. Например, вместо аксиомы непрерывности можно использовать любое другое эквивалентное ей условие, или группу условий. Например, в системе аксиом, предложенной Гильбертом, аксиомы групп и , по существу, те же, что и в приведённые выше, а вместо аксиомы используются следующие два условия:

Аксиома Архимеда. Пусть ^[17] и . Тогда элемент можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма превзошла :

Аксиома полноты (в смысле Гильберта). Систему невозможно расширить ни до какой системы , так чтобы при сохранении прежних соотношений между элементами , для выполнялись бы все аксиомы —, .

Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение:

Определение. Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле

В качестве другого примера аксиоматизации вещественных чисел можно привести аксиоматику Тарского (англ.), состоящую всего из 8 аксиом.

Свойства

Связь с рациональными числами

Очевидно, что на числовой прямой рациональные числа располагаются вперемешку с вещественными, причём множество вещественных чисел в известном смысле «плотнее» множества рациональных. Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы, основанные, в основном, на аксиоме Архимеда.^[18]

Лемма 1. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на отрезке между этими рациональными числами.

Эта лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами.

Лемма 2. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число.

Очевидным следствием из этой леммы является тот факт, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами содержится целое бесконечное множество рациональных. Кроме того, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное.

Лемма 3. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом.

Эти леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться. Особенно ярко это иллюстрирует лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел.

Теоретико-множественные свойства

Изначально вещественные числа были естественным обобщением рациональных, но у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, т. е. не существует биекции между множествами вещественных и натуральных чисел. Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность интервала .^[18]

Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:

Здесь  — -я цифра -ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками.

Далее предлагается рассмотреть следующее число:

Пусть каждая цифра этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:

Такое число действительно существует на указанном промежутке, так как оно является вещественным, не совпадает ни с нулём, ни с единицей, а десятичных цифр достаточно, чтобы третье свойство выполнялось. Кроме этого, интересно тем фактом, что оно не совпадает ни с одним из чисел , выписанных выше, ведь иначе -я цифра числа совпала бы с -ой цифрой числа . Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер.^[18]

Это свидетельствует о том, что множество вещественных чисел не является счётным. Его мощность называется мощностью континуума.

Обобщение вещественных чисел

Поле вещественных чисел постоянно служило в математике источником обобщений, причём в различных практически важных направлениях. Непосредственно к полю примыкают следующие варианты обобщённых числовых систем.

1. Комплексные числа. Особенно плодотворны в алгебре и анализе.
2. Интервальные числа. Используются преимущественно в теории приближённых вычислений и в теории вероятностей.
3. Нестандартный анализ, который добавляет к вещественным числам бесконечно малые и бесконечно большие числа (разных порядков).

Прикладные применения

Математическая модель вещественных чисел повсеместно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. Однако это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Основное назначение этой модели — служить базой для аналитических методов исследования. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин.

Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона. Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными (квантуемыми).

См. также

Примечания

1. ↑ Названия вещественное число и действительное число равнозначны. Исторически в Московской математической школе использовали термин действительное число, а в Ленинградской — вещественное число. В качестве примера можно привести две классические работы:
   • Лузин, Н. Н. Теория функций действительного переменного. (Московская школа)
   • Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. (Ленинградская школа)
   В современных университетских учебниках употребляются оба термина:
   • Зорич В. А. Математический анализ. (МГУ, мехмат) — действительное число
   • Ильин В. А., Позняк В. Г. Основы математического анализа. (МГУ, физфак) — вещественное число
   • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. (МФТИ) — действительное число
   • Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (СПбГУ) — вещественное число
2. ↑ См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1. — С. 35-36., а также Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — С. 146.
3. ↑ ^{1 2 3} Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — С. 287-289.
4. ↑ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 147.
5. ↑ История математики. — Т. I. — С. 96-101.
6. ↑ ^{1 2} Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 150-151.
7. ↑ История математики. — Т. I. — С. 190-191, 304-305.
8. ↑ История математики. — Т. II. — С. 35.
9. ↑ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 154.
10. ↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — С. 171-178. — 224 с.
11. ↑ Бернард Больцано.Парадоксы бесконечного.
12. ↑ Рыхлик Карел. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515—532.
13. ↑ Рыбников К. А. История математики. — Т. 2. — С. 196.
14. ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
15. ↑ Рид К. Гильберт. — С. 79.
16. ↑ См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1.
17. ↑
18. ↑ ^{1 2 3} В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 44 — 45, 63 — 64. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

Литература

Использованная литература

• Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М.: УЧПЕДГИЗ, 1938.

• Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с франц. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

• Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie / пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.

• Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — Пер. с франц. — М.: МИР, 1986. — 432 с.

• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — 4-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — XVI+664 с. — ISBN 5-94057-056-9

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1

• История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трех томах / под ред. Юшкевича. — М.: НАУКА, 1970. — Т. 1.

• Кантор Г. Труды по теории множеств / под ред. А. Н. Колмогоров, Ф. А. Медведев, А. П. Юшкевич,. — М.: НАУКА, 1985. — (Классики науки).

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1

• Рид К. Гильберт / пер. с англ. И. В. Долгачева под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М.: НАУКА, 1977.

• Рыбников К. А. История математики. — М.: Издательство Московского университета, 1963. — Т. 2.

• Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с. — ISBN 5-9221-0008-4

• Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X

Рекомендуемая литература

Тем, кто интересуется историей становления понятия вещественного числа, можно порекомендовать следующие две книги:

• Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики.

Прекрасное подробное изложение теории построения вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей, а также теории построения вещественных чисел с помощью сечений в области рациональных чисел можно найти в следующей:

Желающим познакомиться с оригинальным ходом мысли самого Р. Дедекинда можно порекомендовать ту самую брошюру, в которой в 1872 году Дедекинд изложил свою теорию вещественного числа. Эта книжка на сегодняшний день остаётся одним из самых лучших и доступных изложений предмета. Имеется русский перевод:

Также прекрасное изложение теории Дедекинда имеется в классическом учебнике

• Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X

Построение теории вещественного числа с помощью бесконечных десятичных дробей можно найти в книгах

• Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа.

• Ильин В. А., Познак Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I.

Аксиоматическое изложение теории вещественного числа можно найти в книгах

• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: Дрофа, 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1

• Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е, испр. — М.: «МЦНМО», 2002. — 657 с. — ISBN 5-94057-056-9

Сущность аксиоматического метода и его сравнение с конструктивным подходом изложены Д. Гильбертом на нескольких страницах в Дополнении VI. О понятии числа в следующем издании классической работы

• Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie. — пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.

Вещественные числа — это… Что такое Вещественные числа?

Веще́ственные, или действи́тельные^[1]числа — математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.

Множество вещественных чисел обозначается (Unicode: ℝ) и часто называется вещественной прямой.

Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле. Поле вещественных чисел является важнейшим объектом математического анализа.

Примеры

Определения

Существует несколько стандартных путей определения вещественных чисел:

Аксиоматическое определение

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Множество вещественных чисел можно определить как топологически полное, упорядоченное поле, то есть поле с отношением , которое удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Отношение является отношением линейного порядка:
2. Порядок согласован со структурой поля:
3. Порядок на удовлетворяет условию полноты:

Примечания

Из свойства 3 следует, что у любого непустого ограниченного сверху множества (то есть такого, что для всех x из A все для некоторого ) существует точная верхняя грань (минимальная из всех), то есть число такое, что

1. Для всех x из A все
2. Если свойству (1) удовлетворяет также число , то .

Наличие точных верхних граней у ограниченных сверху множеств эквивалентно аксиоме полноты и часто заменяет её в аксиоматике поля .

Любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны, поэтому можно говорить, что существует единственное такое поле. (На самом деле, правильней говорить, что единственна структура полного упорядоченного поля, каждое поле, которое её имеет, служит моделью множества вещественных чисел, так как любые две модели изоморфны.)

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел по отношению к обычной метрике .

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел {r_i}. На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: {r_i} + {q_i} = {r_i + q_i} и .

Две такие последовательности и считаются эквивалентными , если при .

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

Дедекиндовы сечения

См. основную статью Дедекиндово сечение.

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел на два подмножества A и B такие, что:

1. для любых и ;
2. B не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Например, вещественному числу соответствует дедекиндово сечение, определяемое или и и x² > 2}. Интуитивно, можно представить себе, что для того чтобы определить мы рассекли множество на две части: все числа, что левее и все числа, что правее ; соотвеетственно, равно точной нижней грани множества B.

Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида , где d_i являются десятичными цифрами, то есть .

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где , либо если это «нулевые» последовательности (все d_i равны 0), отличающиеся только знаком.

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задаётся суммой ряда .

Счетность множества

TODO:

Примечания

1. ↑ Традиционно в Петербурге (СПбГУ) принято название вещественные, а в Москве (МГУ) — действительные.

Ссылки

• Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
• Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

Что такое вещественные числа? Вспомним всё, что забыто из школьной математики! | Математика не для всех

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм «Математика не для всех», чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

В одном из прошлых материалов я начал подробно рассказывать о том, какие бывают числа: начал, естественно, с натуральных, рассказал про целые и рациональные. Если Вы, к сожалению, забыли, что это такое, рекомендую перед прочтением освежить память. Готовы? Тогда поехали!

Это картинка из предыдущего материала, которая показывает, какие числа выделяют в математике.

Это картинка из предыдущего материала, которая показывает, какие числа выделяют в математике.

Прогресс человечества всегда был тесно связан с математикой. Сначала древние люди научились считать — таким образом в обиход вошли натуральные числа — 1, 2, 3 и т.д. После этого люди научились делить — и математики привнесли рациональные числа — 1/2, 3/4 и т.д..

Однако была такая задача, не дававшая древним (конкретно древним грекам) покоя. Дело в том, у ученых мужей не получалось выразить диагональ квадрата со стороной 1 через рациональные числа.

Это сейчас для каждого человека, освоившего школьный курс математики, ясно, что диагональ квадрата равна корню из 2. А для древних греков всё было не так однозначно.

Гиппас из Метапонта первым осмелился предположить, что диагональ такого квадрата не является рациональным числом, за что, по некоторым данным, его изгнали соратники-пифагорейцы, как нарушившего доктрину «натуральности всех чисел».

Тот самый Гиппас

Тот самый Гиппас

Пойдем по пути древних греков

Как доказывается иррациональность числа корень из 2 ? Да очень просто.

Кстати, после прочтения поделите 99 на 70. Вам понравится!

Кстати, после прочтения поделите 99 на 70. Вам понравится!

Во-первых, важно отметить, что m и n не имеют общих делителей, иначе бы дробь можно было сократить.2 — четное число, ведь справа в множителе перед n цифра 2. Более того, из четности квадрата m следует и четность самого m! (любое четное число в квадрате само четное) Т.е. число m можно представить в виде m=2k! Подставляем:

А теперь смотрите: из последнего равенство следует, что n — тоже четное число! Возвращаемся в самое начало и вспоминаем, что из чисел m и n хотя бы одно должно быть нечетным (иначе можно сокращать). Мы пришли к противоречию и доказали методами 5 класса фундаментальное свойство числа корень из 2. Поздравляю!

Так, с корнем из 2 разобрались, а остальные ?

На самом деле между «первым прикосновением» математиков к вещественным числам и формированием их настоящей, продуманной теории прошло около 2000 лет (!!!). Вещественными числами, как таковыми, мы обязаны Ньютону, Дедекинду, Коши, Вейерштрассу, Больцано, Кантору и многим другим.

1, -1 , 1/2 — тоже вещественные числа, как е и Пи. Множество вещественных чисел обозначается буквоподобным символом R.

1, -1 , 1/2 — тоже вещественные числа, как е и Пи. Множество вещественных чисел обозначается буквоподобным символом R.

Самым оптимальным и простым определением вещественных чисел, будет использование геометрического подхода. Согласно нему, каждой точке на числовой прямой можно сопоставить вещественное число, а каждому вещественному числу — точку на прямой.

Вещественные числа (иногда их называют действительные) делятся на два больших класса: рациональные (представимые, как отношение натурального и целого m/n) и иррациональные (как корень из 2).

Вообще, доказано, что корень из любого натурального числа является либо натуральным числом, либо иррациональным.

Вообще, доказано, что корень из любого натурального числа является либо натуральным числом, либо иррациональным.

Вещественные числа, несмотря на кажущуюся простоту, — это невероятно тонкая субстанция. До сих пор не ясно, отражают ли они природу мироздания: дискретно наше пространство-время или континуально (непрерывно)? Я думаю у моих читателей найдется много мнений по этому поводу.

Однако, не успели математики 18-19 веков справиться с теорией вещественных чисел, как на горизонте замаячила еще более серьезная проблема: что делать с корнями из отрицательных величин? Об этом в следующем выпуске! Пока что можете почитать про трансцендентные числа!

**************************************************************************

Путеводитель по каналу «Математика не для всех»

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2),

определение, примеры, представления, координатная прямая

Данная статья посвящена теме «Действительные числа». В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Определение 1

Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

1. Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
2. Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Определение 2

Действительные числа — числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби. 

Действительные числа — это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0; 6; 458; 1863; 0,578; -38; 265; 0,145(3); log512.

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел — вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

1. Натуральные числа.
2. Целые числа.
3. Десятичные дроби.
4. Обыкновенные дроби.
5. Смешанные числа.

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами. 

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Например, значения выражений sin23π·e-285·10log32 и tg676693-8π32  — действительные числа.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Урок 15. действительные числа — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №15. Действительные числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) множество иррациональных чисел;

2) множество рациональных чисел;

3) правила выполнения действий с бесконечными десятичными дробями;

4)определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Глоссарий по теме

Рациональные числа – это такие числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби , где m — целое число, n — натуральное число , обозначаются буквой Q.

Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Все числа, которые мы изучаем в школе, называются действительными числами. Они образуют множество действительных чисел, которые принято обозначать латинской буквой R.

В свою очередь все действительные числа можно разделить на 2 группы: рациональные числа и иррациональные числа.

Рациональные числа – это такие числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби , где m —целое число, n — натуральное число , обозначаются буквой Q.

Пример: -3; -0,5; .

Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.

Пример: π=3,141592…; 0, 113456… .

Рациональные числа, в свою очередь, можно разделить на 2 вида – это целые числа и дробные числа.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Целые же числа можно разделить еще на несколько групп: отрицательные целые числа, нуль и положительные (натуральные) целые числа.

На числовой оси (Ох) между целыми числами будут находиться дробные иррациональные числа. Все вместе они будут представлять собой множество действительных чисел, R.

Обратите внимание, что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Числа 4; 4,2; 4,28 и т.д. являются последовательными приближениями значений суммы

.

Пусть это последовательные приближения действительного числа у с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т.д. Тогда погрешность приближения как угодно близко приближается к нулю.

при или

Читается «модуль разности у и стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности» или «предел модуля разности у и при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю»

Т.е. если при или

Модуль действительного числа у обозначается как |у| и определяется так же, как и модуль рационально числа:

.

А теперь давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего (Рисунок 1).

Рисунок 1

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

n=15, ;

n=20, ;

n=21, .

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников. (рисунок 2)

Рисунок 2

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Используя данное определение можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: (Рисунок 3)

Рисунок 3

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна

Если n неограниченно возрастает, то

или . Поэтому , т.е. .

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности

Например, для прогрессии , где ,

имеем

Так как то

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1:

Воспользуемся калькулятором:

Найдем значение данного выражения с точностью до единиц.

Округлим полученные результаты до десятых:

Тогда получаем:

Найдем значение данного выражения с точностью до десятых.

Округлим полученные результаты до сотых:

3

Тогда получаем:

Найдем значение данного выражения с точностью до сотых.

Округлим полученные результаты до тысячных:

32

Тогда получаем:

и т.д.

Пример 2.

Давайте выясним, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой:

а) ; б)

Решение:

. Найдем q.

;;

Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б)

Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа

Содержание

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое принято обозначать буквой   Q .

Каждое из рациональных чисел можно представить в виде

,

где   m   – целое число, а   n   – натуральное число.

При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Числа

и т.п. являются примерами иррациональных чисел.

Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.

При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.

Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.

Множество вещественных чисел обозначают буквой   R .  

Иррациональность числа

Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида

,

удовлетворяющая равенству

и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.

Используя данное равенство, получаем:

Отсюда вытекает, что число   m² является четным числом, а, значит, и число   m   является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число   m   является нечетным числом, то найдется такое целое число   k ,   которое удовлетворяет соотношению

m = 2k + 1 .

Следовательно,

m² = (2k + 1)² =
= 4k² + 4k +1 ,

т.е.   m   является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число   m   является четным числом. Значит, найдется такое целое число   k ,  которое удовлетворяет соотношению

m = 2k .

      Поэтому,

Отсюда вытекает, что число   n² является четным, а, значит, и число   n   является четным числом.

Итак, число   m   является четным, и число   n   является четным, значит, число   2   является общим делителем числителя и знаменателя дроби

.

Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению

не существует. Следовательно, число  является иррациональным числом, что и требовалось доказать.

Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число

Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической  десятичной дробью.

Последовательностью десятичных приближений числа с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.

Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на   1 ,   то получится десятичное приближение числа с избытком.

Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.

Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:

и т.д.

Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.

вещественных чисел

Реальные числа — это просто числа вроде:

1

12,38

-0,8625

3 4

π (пи)

198

Фактически:

Практически любое число, которое вы можете придумать, является действительным числом

Реальные числа включают:

		Целые числа (например, 0, 1, 2, 3, 4 и т. Д.)
		рациональных чисел (например, 3/4, 0.125, 0,333 …, 1,1 и т. Д.)
		Иррациональные числа (например, π , √2 и т. Д.)

Действительные числа также могут быть положительными , отрицательными или нулевыми.

Итак … что НЕ является действительным числом?

Математики также играют с некоторыми специальными числами, которые не являются действительными числами.

Строка вещественных чисел

Линия вещественных чисел похожа на геометрическую линию.

На линии выбрана точка «начало координат» . Точки справа — положительные, а точки слева — отрицательные.

Расстояние выбирается равным «1», затем отмечаются целые числа: {1,2,3, …}, а также в отрицательном направлении: {…, — 3, −2, −1 }

Любая точка на линии является Реальным числом:

• Цифры могут быть целыми (например, 7)
• или рациональный (например, 20/9)
• или иррационально (например, π)

Но мы не найдем Бесконечности или Мнимого числа.

Любое количество цифр

Реальное число может содержать любое количество цифр по обе стороны от десятичной точки

• 120.
• 0,12345
• 12,5509
• 0,000 000 0001

Может быть бесконечное количество цифр, например, 1 3 = 0,333 …

Почему они называются «настоящими» числами?

Потому что это не мнимые числа

Реальные числа не имели названия до того, как были придуманы мнимые числа.Их назвали «Реальными», потому что они не были Воображаемыми. Вот настоящий ответ!

Реальный не означает, что они находятся в реальном мире

Это , а не , они называются «Реальными», потому что они показывают значение чего-то реального .

В математике нам нравятся числа в чистом виде, когда мы пишем 0,5, мы подразумеваем ровно половину.

Но в реальном мире половина может быть не точным (попробуйте разрезать яблоко ровно пополам).

5383, 5384, 5385, 5386, 5387, 5388, 5389, 5390, 5391, 1066, 1067, 2032, 2033

Реальный номер | математика | Britannica

Действительное число , в математике величина, которая может быть выражена как бесконечное десятичное разложение. Действительные числа используются в измерениях непрерывно меняющихся величин, таких как размер и время, в отличие от натуральных чисел 1, 2, 3,…, возникающих в результате подсчета. Слово вещественное отличает их от комплексных чисел, включающих символ i или квадратный корень из √ −1, используемый для упрощения математической интерпретации эффектов, например, возникающих в электрических явлениях.Действительные числа включают положительные и отрицательные целые числа и дроби (или рациональные числа), а также иррациональные числа. У иррациональных чисел есть десятичные разложения, которые не повторяются, в отличие от рациональных чисел, разложения которых всегда содержат повторяющуюся цифру или группу цифр, например, 1/6 = 0,16666… или 2/7 = 0,285714285714…. Десятичная дробь, образованная как 0,42442444244442… не имеет регулярно повторяющейся группы и поэтому является иррациональной.

Наиболее известные иррациональные числа — это алгебраические числа, которые являются корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами.Например, решение уравнения x ² — 2 = 0 является алгебраическим иррациональным числом, обозначенным квадратным корнем из √2. Некоторые числа, такие как π и e , не являются решениями какого-либо такого алгебраического уравнения и поэтому называются трансцендентными иррациональными числами. Эти числа часто можно представить в виде бесконечной суммы дробей, определенных определенным образом, и десятичное разложение — одна из таких сумм.

Действительные числа можно охарактеризовать важным математическим свойством полноты, означающим, что каждое непустое множество, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую такую ​​границу, свойство, которым не обладают рациональные числа.Например, набор всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2, не имеет наименьшей верхней границы, потому что квадратный корень из √2 не является рациональным числом. Иррациональные и рациональные числа бесконечно многочисленны, но бесконечность иррациональных чисел «больше», чем бесконечность рациональных чисел, в том смысле, что рациональные числа могут быть спарены с подмножеством иррациональных чисел, в то время как обратное спаривание невозможно.

Реальные числа

Реальные числа — одна из самых широких категорий чисел.Действительные числа делятся на рациональные числа и иррациональные числа, которые включают в себя все положительные и отрицательные целые числа, 0, а также все дробные и десятичные значения между ними (дроби, десятичные дроби, трансцендентные числа и т. Д.)

Реальные числа были созданы, чтобы отличать набор действительных чисел от мнимых чисел. Мнимые числа — это результат попытки извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Набор действительных чисел обозначается этим символом: ℝ. Ниже приведены несколько примеров реальных чисел.

• 1
• 0
• 5,33333
• ¼
• -7,200,568
• π

Выше приведен лишь небольшой пример различных типов чисел, составляющих действительные числа.

Рациональные и иррациональные числа

Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами, соотношение которых дает завершающую десятичную дробь или бесконечную десятичную дробь, которая повторяется.Повторяющиеся десятичные дроби обозначаются горизонтальной полосой над повторяющейся частью десятичной дроби. Например, & frac13; повторяется бесконечно:

и frac13; = 0,33333333 … = 0,3

Иррациональное число состоит из всех действительных чисел, которые не являются рациональными числами: неповторяющиеся десятичные дроби. Примеры включают π, число Эйлера e и золотое сечение.

Целые и действительные числа

Вещественные числа и целые числа можно сравнивать с помощью числовых строк.Числовая строка ниже представляет целые числа, показанные с помощью красных точек, чтобы показать, что только целые значения (не дробные или десятичные значения) включены в набор целых чисел.

В числовой строке ниже представлены все действительные числа. Синяя линия, показанная наверху числовой линии, показывает, что включены все значения между целыми числами, а не только их отдельные точки.

Эти числовые строки показывают, что все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами.

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные и другие числа

Натуральные числа

Натуральное число (или , считая ) числа — это 1,2,3,4,5 и т. Д.Есть бесконечно много натуральных чисел. Набор натуральных чисел, {1,2,3,4,5, …}, иногда для краткости пишут N .

Целые числа — это натуральные числа вместе с 0.

(Примечание: некоторые учебники не согласны с этим и говорят, что натуральные числа включают 0.)

Сумма любые два натуральных числа также являются натуральными числами (например, 4 + 2000 = 2004), а произведение любых двух натуральных чисел натуральное число (4 × 2000 = 8000). Этот однако это неверно для вычитания и деления.

Целые числа

Целые числа — это набор действительных чисел, состоящий из натуральных чисел, их аддитивных обратных чисел и нуля.

{…, — 5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, …}

Набор целых чисел иногда написано J или Z для краткости.

г. сумма, произведение и разность любых двух целых чисел также являются целыми числами. Но это не относится к делению … просто попробуйте 1 ÷ 2.

Рациональные числа

Рациональные числа те числа, которые можно выразить как отношение между два целых числа.Например, дроби 13 и −11118 являются рациональное число. Все целые числа входят в рациональные числа, поскольку любое целое число z можно записать как отношение z1.

Все десятичные дроби, которые заканчиваются, являются рациональными числами (с версии 8.27 можно записать как 827100.) Десятичные дроби которые после некоторой точки имеют повторяющийся узор, также являются рациональными: например,

0,0833333 …. = 112.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех основных операций, то есть для любых двух рациональных чисел их сумма, разница, произведение и частное также являются рациональным числом (пока мы не делим на 0).

Иррациональные числа

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения (или дроби). В десятичной форме он никогда не заканчивается и не повторяется. В древние греки обнаружили, что не все числа рациональны; там — это уравнения, которые нельзя решить с помощью отношений целых чисел.

Первое такое уравнение для изучения было 2 = x2. Какие само число умноженное на 2?

2 это около 1,414, поскольку 1,4142 = 1,999396, что близко к 2. Но вы никогда не попадете точно, возведя дробь в квадрат (или завершив десятичный).Квадратный корень из 2 — иррациональное число, то есть его десятичный эквивалент продолжается вечно, без повторяющегося шаблона:

2 = 1,41421356237309 …

Другой известный иррациональный числа золотое сечение , число с большим значение для биологии:

1 + 52 = 1,61803398874989 …

π (пи), отношение длины окружности к ее диаметру:

π = 3,14159265358979 …

и е, самое важное число в исчислении:

е = 2.71828182845904 …

Иррациональные числа могут быть далее подразделены на алгебраических чисел , которые являются решениями некоторого полиномиального уравнения (например, 2 и золотого сечения), и трансцендентных чисел , которые не являются решениями какого-либо полиномиального уравнения. π и e оба трансцендентны.

Реальные числа

Действительные числа — это набор чисел, содержащий все рациональные числа и все иррациональные числа. Настоящие числа — это «все числа» в числовой строке.Существует бесконечно много действительных чисел, как и бесконечно много чисел в каждом из других наборов чисел. Но можно доказать, что бесконечность действительных чисел — это больше бесконечности.

«Меньший», или счетного бесконечности целых чисел и rationals иногда называют ℵ0 (alef-naught), И бесчисленное бесконечности реалов называется ℵ1 (алеф-он).

Есть еще «большие» бесконечности, но для этого вам следует пройти курс теории множеств!

Комплексные числа

Комплексные числа — множество {a + bi | a и b — действительные числа}, где i — мнимая единица, −1.(нажмите здесь, чтобы подробнее о мнимых числах и операциях с комплексными числами).

Комплексные числа включают набор действительных чисел. Действительные числа в сложной системе записываются в виде a + 0i = a. реальное число.

Этот набор иногда бывает записывается как C для краткости. Набор комплексных чисел важно, потому что для любого полинома p (x) с коэффициентами действительного числа все решения p (x) = 0 будут в C .

За гранью …

Есть и «большие» наборы чисел, используемых математиками.Кватернионы , открытые Уильямом Х. Гамильтоном в 1845 году, образуют систему счисления с тремя разные мнимые единицы!

Что такое действительные числа? — Определение и свойства — Видео и стенограмма урока

3 Правила, описывающие действительные числа

Один из способов определения действительных чисел — это правила, которые ими управляют. Есть три основных правила:

Во-первых, действительные числа измеримы .

Это означает, что набор действительных чисел — это те числа, которые могут быть отображены на числовой строке.Числовая линия состоит из трех частей: отрицательной стороны, положительной стороны и нуля между ними. Каждая сторона числовой прямой продолжается бесконечно; нет конца положительным или отрицательным числам, составляющим набор действительных чисел.

Во-вторых, действительные числа имеют конкретное значение .

Вы знаете, как выглядят 15 шариков или половина торта. Вы даже можете узнать, сколько штук составляет квадратный корень из 5 пицц (если у вас есть калькулятор). Для этого работает и отрицательная сторона, особенно когда вы работаете с деньгами.Если баланс вашего текущего счета составляет $ -2,27, вам, вероятно, стоит начать беспокоиться.

Наконец, действительные числа можно манипулировать .

Например, все действительные числа можно переписать как десятичные. Это просто означает, что даже если число выглядит нечетным или с ним связаны странный символ или греческая буква, это все равно действительное число. Давайте посмотрим на пару примеров:

• 1/4 = 0,25
• Квадратный корень из 7 = 2,645751311
• пи = 3.14159…

Другой способ манипулирования действительными числами — математические операции. Весь набор действительных чисел можно складывать, вычитать, умножать или делить друг с другом, и результатом будет другое действительное число, которое также можно записать в виде десятичной дроби. Например: 5 + 2 = 7, 3/4 * 1/8 = 0,09375 или квадратный корень из 17 — пи = 0,98

В дополнение к нашим трем правилам, еще один способ понять определение действительных чисел — помнить, что они не мнимые.Это может показаться очевидным, но необходимость определять число как действительное не было необходимости, пока не были обнаружены мнимые числа. Мнимые числа используются в математике для описания чисел, которые на самом деле не существуют, но могут использоваться в вычислениях высокого уровня.

Типы действительных чисел

Набор действительных чисел можно разделить на множество различных групп. Каждая из этих групп имеет свой особый набор характеристик, но все они по-прежнему являются реальными числами.

• Целые числа — положительные числа, не являющиеся дробями или десятичными знаками.Они включают ноль.
• Положительные числа включают все числа больше нуля. Они могут быть дробными, десятичными или целыми числами.
• Отрицательные числа включают все числа, которые меньше нуля. Они также могут быть дробными или десятичными.
• Целые числа — это целые числа и противоположные им отрицательные числа (без дробей и десятичных знаков).
• Натуральные числа — это счетные числа (1,2,3,…).Это целые числа, исключающие ноль.
• Рациональные числа — это дроби, которые при записи в виде десятичной дроби либо имеют конечную точку (0,5), либо повторяются (1,3333333 …).
• Иррациональные числа — это числа, которые при записи в виде десятичной дроби не имеют конечной точки (2,5463489762547 …). Пи — известное иррациональное число. Хотя его часто сокращают до 3,14, числа после десятичной дроби продолжаются бесконечно.

Итоги урока

Давайте рассмотрим.Несмотря на то, что существует множество определений, указывающих на разные свойства действительных чисел, все они описывают одно и то же. Набор действительных чисел подчиняется этим трем правилам:

1. Числа измеримы
2. Цифры имеют конкретное значение
3. Цифры можно манипулировать

И, конечно, числа реальные, а не мнимые. Типы действительных чисел включают целых чисел, рациональных чисел и иррациональных чисел .

Результаты обучения

Когда вы закончите, вы сможете:

• Определить, является ли число действительным числом, используя три правила действительных чисел
• Назовите типы действительных чисел

Классификация действительных чисел | Математика для гуманитарных наук Corequisite

Мы видели, что все счетные числа являются целыми числами, все целые числа являются целыми числами и все целые числа являются рациональными числами. Иррациональные числа — отдельная категория.Когда мы соединяем рациональные числа и иррациональные числа, мы получаем набор действительных чисел.

Эта диаграмма иллюстрирует отношения между различными типами действительных чисел.

Реальные числа

Действительные числа — это числа, которые могут быть рациональными или иррациональными.

Вам не кажется странным термин «действительные числа»? Есть ли числа, которые не являются «настоящими», и если да, то какими они могут быть? На протяжении веков люди знали только цифры, которые мы сейчас называем настоящими числами.Затем математики открыли набор из мнимых чисел. В этом курсе вы не встретите мнимые числа, но вы встретитесь позже, когда будете изучать алгебру.

пример

Определите, является ли каждое из чисел в следующем списке 1. целым числом, 2. целым числом, 3. рациональным числом, 4. иррациональным числом и 5. действительным числом.

[латекс] -7, \ Large \ frac {14} {5} \ normalsize, 8, \ sqrt {5}, 5.9, — \ sqrt {64} [/ latex]

Решение:
1. Целые числа равны [латекс] 0,1,2,3 \ точки [/ латекс] Число [латекс] 8 [/ латекс] — единственное целое число.

2. Целые числа — это целые числа, их противоположности и [латекс] 0 [/ латекс]. Из заданных чисел [латекс] -7 [/ латекс] и [латекс] 8 [/ латекс] являются целыми числами. Также обратите внимание, что [latex] 64 [/ latex] — это квадрат [latex] 8 [/ latex], поэтому [latex] — \ sqrt {64} = — 8 [/ latex]. Итак, целые числа [латекс] -7,8, — \ sqrt {64} [/ latex].

3. Поскольку все целые числа рациональны, числа [latex] -7,8, \ text {и} — \ sqrt {64} [/ latex] также рациональны. Рациональные числа также включают дробные и десятичные дроби, которые заканчиваются или повторяются, поэтому [latex] \ Large \ frac {14} {5} \ normalsize \ text {и} 5.9 [/ latex] рациональны.

4. Число [латекс] 5 [/ латекс] не является идеальным квадратом, поэтому [латекс] \ sqrt {5} [/ латекс] нерационально.

5. Все перечисленные числа настоящие.

Сведем результаты в таблицу.

Номер	Всего	Целое число	Rational	Иррациональное	Реальный
[латекс] -7 [/ латекс]		[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]	[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]		[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]
[латекс] \ Large \ frac {14} {5} [/ латекс]			[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]		[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]
[латекс] 8 [/ латекс]	[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]	[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]	[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]		[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]
[латекс] \ sqrt {5} [/ латекс]				[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]	[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]
[латекс] 5.9 [/ латекс]			[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]		[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]
[латекс] — \ sqrt {64} [/ латекс]		[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]	[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]		[латекс] \ квадратик \ галочка [/ латекс]

В следующем мини-уроке представлено больше примеров того, как классифицировать действительные числа.

Понимание действительных и комплексных чисел в алгебре

Ключевые термины

o Реальный номер

o Комплексное число

o Натуральное число

o Рациональное число

o Иррациональное число

o Коммутативность

o Ассоциативность

o Распределение

o Идентификационный номер

o Обратный

Цели

o Узнайте, что такое набор действительных чисел

o Распознавать некоторые из основных подмножеств действительных чисел

o Знать свойства действительных чисел и их применимость

Действительные и комплексные числа

Числа, с которыми мы имеем дело в реальном мире (без учета любых связанных с ними единиц, таких как доллары, дюймы, градусы и т. Д.) обычно являются действительными числами. Действительное число — это любое число, которое может быть размещено на числовой прямой, которая простирается до бесконечности как в положительном, так и в отрицательном направлениях. Эта числовая линия проиллюстрирована ниже с номером 4.5, отмеченным закрытой точкой в ​​качестве примера. Набор действительных чисел часто обозначается символом _.

На приведенном выше рисунке, конечно, показана только часть числовой строки (было бы невозможно показать все это целиком), и только определенные числа помечены (–1, 0, 1 и т. Д.)). Таким образом, действительное число может быть 8, 4,357, –3/5, π, или любым другим таким числом. Конкретное представление, будь то дробное, десятичное или другое представление, не имеет значения. Возможно, лучший способ описать действительное число — это определить числа, которые не являются действительными числами . Бесконечность (∞) — это , а не действительное число, хотя оно больше любого заданного действительного числа; кроме того, не является действительным числом, поскольку нет числа, квадрат которого равен –1.

Вкратце, давайте определим мнимое число (так называемое, потому что не существует эквивалентного «действительного числа») с помощью буквы i ; Затем мы можем создать новый набор чисел, называемый комплексными числами. Комплексное число — это любое число, которое включает и . Таким образом, 3 i , 2 + 5.4 i и –π i — все комплексные числа. (Фактически, действительные числа являются подмножеством комплексных чисел — любое действительное число r может быть записано как r + 0 i , что является комплексным представлением.) Комплексные числа — важная часть алгебры, и они действительно имеют отношение к таким вещам, как решения полиномиальных уравнений. Символ _{часто используется для набора комплексных чисел.}

Подмножества действительных чисел

Вещественные числа включают в себя диапазон явно различных чисел: например, числа без десятичных знаков, числа с конечным числом десятичных знаков и числа с бесконечным числом десятичных знаков.Давайте рассмотрим некоторые из подмножеств реальных чисел, начиная с самых простых.

Дети сначала учатся «счетным» числам: 1, 2, 3 и т. Д. Они формально называются натуральными числами , а набор натуральных чисел часто обозначается символом _{. Если мы добавим к этому набору число 0, мы получим целых чисел . Помимо положительных чисел, есть еще и отрицательные числа: если мы включим отрицательные значения каждого целого числа в набор, мы получим так называемые целые числа .Набор целых чисел часто обозначается символом .}

Помимо целых чисел, набор действительных чисел также включает дробные (или десятичные) числа. Между любыми двумя целыми числами существует бесконечное количество дробных значений. Рассмотрим, например, 1 и 2; между этими числами находятся значения 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111 и т. д. Очевидно, мы можем добавить столько десятичных знаков, сколько захотим. Набор действительных чисел делится на два принципиально разных типа чисел: рациональные числа и иррациональные числа.Рациональное число — это число, которое может быть эквивалентно выражено в виде дроби , где a и b являются целыми числами, а b не равно 0. Таким образом, рациональные числа включают как целые, так и конечные десятичные дроби. и повторяющиеся десятичные дроби (например, 0,126126126.). Символ _{часто используется для обозначения рациональных чисел. С другой стороны, иррациональное число представляет собой неповторяющееся десятичное число без завершения. Набор действительных чисел полностью состоит из рациональных и иррациональных чисел.}

Давайте рассмотрим эти подмножества реальных чисел: Натуральные числа, = Целые числа Целые числа, Рациональные числа, Иррациональные числа Комплексные числа,

Практическая задача: Определите, какой из следующих номеров принадлежит _{: {0, i , 3.54, , ∞}.}

Решение: Если число можно записать как , где a и b — целые числа, то это число является рациональным (т.е. оно входит в набор _{). Обратите внимание на следующее:}

Таким образом, каждое из этих чисел является рациональным. Число i вымышленное, поэтому не относится к действительным числам.Точно так же ∞ не является действительным числом; i и ∞, следовательно, не входят в набор _.

Свойства вещественных чисел

Теперь, когда вы знаете немного больше о действительных числах и некоторых их подмножествах, мы можем перейти к обсуждению некоторых свойств действительных чисел (и операций с действительными числами). Хотя некоторые свойства очевидны, они, тем не менее, полезны для обоснования различных шагов, необходимых для решения проблем или доказательства теорем.Помните: переменные — это просто неизвестные значения, поэтому они действуют так же, как числа, когда вы складываете, вычитаете, умножаете, делите и т. Д.

Одно из свойств состоит в том, что умножение и сложение действительных чисел коммутативно. Коммутативность утверждает, что порядок умножения или сложения двух чисел не влияет на результат. Мы можем записать это символически ниже, где x и y — два действительных числа (обратите внимание, что , может использоваться вместо для обозначения умножения):

Представьте, что у вас есть группа из x бананов и группа из x бананов; неважно, как вы их сложите, вы всегда будете иметь одинаковое общее количество бананов, которое составляет либо x + y , либо y + x .Точно так же, если у вас есть прямоугольник длиной x и шириной y , не имеет значения, умножаете ли вы x на y или y на x ; площадь прямоугольника всегда такая же, как показано ниже.

Еще одно свойство, аналогичное коммутативности, — ассоциативность. Ассоциативность утверждает, что порядок, в котором добавляются три числа, или порядок, в котором они умножаются, не влияет на результат.Если рассматривать действительные числа x , y и z , то

Напомним, что операции в круглых скобках выполняются перед операциями вне скобок.

Распределимость — это еще одно свойство действительных чисел, которое в данном случае относится к комбинации умножения и сложения. Это свойство выражено ниже.

Мы можем понять это свойство, еще раз посмотрев на группы бананов. Скажем, например, что у нас есть 3 группы по 6 бананов и 3 группы по 5 бананов. Если мы объединим эти группы один к одному (одна группа из 6 с одной группой из 5), мы получим 3 группы по 11 бананов.

Последние два свойства, которые мы обсудим, — это тождество и обратное. Свойство identity просто утверждает, что сложение любого числа x с 0 составляет просто x , а умножение любого числа x на 1 также составляет x .

Свойство инвертирует для действительного числа x утверждает следующее:

Обратите внимание, что обратное свойство тесно связано с идентичностью.

Эти свойства сами по себе могут показаться немного эзотерическими. Хотя когда они полностью вырваны из контекста, они могут показаться менее чем полезными, оказывается, что вы будете использовать их регулярно, даже если вы явно не признаете это в каждом конкретном случае.

Практическая задача: Определите свойство действительных чисел, которое оправдывает каждое равенство:

a + i = i + a ; ; 5 r + 3 с — (5 r + 3 с ) = 0.