1.2. Вещественные числа и их свойства

Множество вещественных чисел является бесконечным. Оно состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональ­ным называется число вида p/q, где р и q — целые числа. Вся­кое вещественное число, не являющееся рациональным, назы­вается иррациональным. Всякое рациональное число либо является целым, либо представляет собой конечную или пери­одическую бесконечную десятичную дробь. Например, рацио­нальное число 1/9 можно представить в виде 0,11111…. Иррациональное число представляет собой бесконечную неперио­дическую десятичную дробь; примеры иррациональных чисел:

= 1,41421356…; = 3,14159265….

Сведения о вещественных числах могут быть кратко сис­тематизированы в виде перечисления их свойств.

А. Сложение и умножение вещественных чисел

Для любой пары вещественных чисел

а и b определены единственным образом два вещественных числа а + b и а ∙ b, называемые соответственно их суммой и произведением. Для любых чисел а,b и с имеют место следующие свойства.

1. a + b = b + а, а ∙ b = b ∙ а (переместительное свойство).

2. а + (b + с) = (а + b) + с, а ∙ (b ∙ с) = (а ∙ b) ∙ с (сочетательное свойство).

3. (а + b) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с (распределительное свойство).

4. Существует единственное число 0, такое, что а + 0 = a для любого числа а.

5. Для любого числа а существует такое число (-а),

что а + (-а) = 0.

6. Существует единственное число 1 ≠ 0, такое, что для любого числа а имеет место равенство

а ∙ 1 = a.

7. Для любого числа а ≠ 0 существует такое число а^-1, что а ∙ а^-1 = 1. Число а^—1 обозначается также символом .

В. Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: а = b (а равно b), а > b (а больше b) или а < b (а меньше b). Отношение равенства обладает свойством транзитивности: если а = b и b = с, то а = с.

Отношение «больше» обладает следующими свойствами.

8. Если а > b и b > с, то а > с.

9. Если а > b, то а + с > b + с.

10. Если а > 0 и b > 0, то а b > 0

Вместо соотношения а > b употребляют также b < а. Запись а ≥ b (b ≤ а) означает, что либо а = b, либо a > b. Соотношения со знаками >, <, ≥ и ≤ называютcя неравенствами, причем соотношения типа 8 < 10 — строгими неравенствами.

11. Любое вещественное число можно приблизить рацио­нальными числами с произвольной точностью.

С. Непрерывность вещественных чисел.

12. Пусть Х и Y — два множества вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел ивыполняется неравенство х ≤ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для всех х и у выполняются нера­венства х ≤ с ≤

у.

Отметим здесь, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных (действительных) чисел, но не обладает множество, состоящее только из рациональных чисел.

Таким образом, вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойства­ми А-С. Такое определение, из которого выводятся ос­тальные свойства, называется аксиоматическим, а сами свойства А-С — аксиомами вещественных чисел.

Вещественные числа — Информатика

Числа в компьютере хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Для решения большинства задач числа внутри компьютера достаточно представить в виде целых и вещественных чисел. Представление целых чисел достаточно простое — выделяется необходимое количество разрядов для размещения чисел. Для представления вещественных чисел используются две формы записи: число с фиксированной точкой (ЧФТ) и число с плавающей точкой (ЧПТ).

Форма записи числа с фиксированной точкой точно определяет положение точки между целой и дробной частью. Запись числа с фиксированной точкой обычно имеет знаковый и цифровой разряды. Фиксированная точка означает, что на этапе конструирования было определено, сколько и какие разряды машинного слова отведены под изображение целой и дробной частей числа. Точка в разрядкой сетке может быть зафиксирована, в принципе, после любого разряда.

Например, число -12,25₁₀ = 1100,01₂ будет записано в виде машинно слова следующим образом, при этом в знаковом разряде ноль соответствует знаку «+», а единица знаку «-«.

Как частный случай числа с фиксированной точкой может быть рассмотрена запись целого числа (в этом случае все разряды, кроме знакового, используются для записи целой части). К достоинствам использования чисел с фиксированной точкой относятся простота выполнения арифметических операций и высокая точность изображения чисел. К недостаткам — небольшой диапазон представления чисел.

Для представления чисел с плавающей точкой (ЧПТ) используется следующая форма записи числа:

N = ± mq^p

где q — основание системы счисления, p — порядок числа, m — мантисса числа N, представляющая собой правильную положительную дробь.

Положение точки определяется значением порядка p. С изменением порядка точка перемещается (плавает) влево или вправо. Так, например, число 15610 можно записать как

156₁₀ = 15.6 * 10¹

156₁₀=1.56-102

156₁₀ = 0.156 • 103

156₁₀ =

0.0156 • 104 и т. д.

Для установления однозначности при записи чисел введем ограничение — в первом разряде мантиссы стоит отличная от нуля цифра.

Такое представление числа называется нормализованным. Например, из всех возможных записей числа 156 (см. выше) нормализованная форма числа будет представлена как 0.156 • 103. Мантисса здесь, очевидно, равна 0.156, а порядок равен 3.

Рассмотрим примеры представления чисел в нормализованной форме.

Представление чисел в нормализованной форме для десятичной системы счисления не вызывает затруднений, что касается представления двоичных чисел, то необходимо помнить, что порядок числа — двоичное число. Например, число 10111.012 имеет порядок, равный 5 (10111) в десятичной системе, но в двоичной —5₁₀ = 101₂

следовательно, нормализованная форма — 0.1011101,2101.

Для представления чисел в машинном слове выделяют группы разрядов для изображения мантиссы, порядка, знака порядка и знака числа (рис. 2.41). В этом случае машинное слово делится на два основных поля. В одном записывается мантисса числа, во втором — указывается порядок числа.

Например, число -12.2510 — -1100.01,=* -0.110001*2,0° будет представлено следующим образом:

Таким образом, числа с плавающей точкой позволяют увеличить диапазон обрабатываемых чисел по сравнению с диапазоном чисел с фиксированной точкой. Однако быстродействие компьютера при обработке чисел с плаваю щей точкой гораздо ниже, чем при обработке чисел с фиксированной точкой.

Сложение и вычитание вещественных чисел.

Выполнение арифметических операций над вещественными числами отличается от аналогичных операций над целыми числами.

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.

В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются.

В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

В целом оперции сложения, вычитания чисел представленных в формате с плавающей точкой выполняются в следующей последовательности:

1) Осуществляется сравнение порядков (при этом поскольку в форматах хранятся не сами порядки а смещенные порядки, как целые беззнаковые числа, то их сравнение осуществляется путем вычитания их как целых беззнаковых чисел).

2) Производится выранивание порядков числа с меньшим порядком в сторону числа с большим порядком.

3) Производится алгебраическое сложение.

4) Производится нормализация результатов.

Пример 5. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111•2–1 и 0.11011*210. Разность порядков слагаемых здесь равна

Пример 6. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101*210 и 0.11101*21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

При сложении, вычитании мантисс может возникнуть нарушение нормализации (денормализация) влево на 1 разряд. Для получения нормализованного результата необходимо мантиссу сдвинуть на 1 разряд вправо, а порядок увеличить на 1.

Может возникнуть переполнение порядков. При сложении мантисс близких по модулю друг к другу, но имеющих разные знаки может возникнуть денормализация впрао на любое число разрядов вплоть до нулей. Если получились все нули, то результату присваевается машинный ноль (потеря значимости).

Если мантисса не нулевая и имеет место денормализация вправо, то для получения нормализованного результата мантисса сдвигается влево на соответствующее число разрядов (пока старшаая разрядная цифра остается равной нулю), а порядок порядок уменьшается на эту величину. В этом случае может возникнуть антипереполнение.

Задание 10.

Самостоятельно выполните в четырехбайтном формате сложение и вычитание двух вещественых чисел, выбранных из таблицы №4, предварительно переведя их в двоичную систему счисления и осуществите проверку результатов в десятичной системе.

Статьи к прочтению:

Системы счисления: Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»

Похожие статьи:

• Правило 10. вычитание чисел.

  Для того, чтобы вычисть числа в системе счисления с основанием q, необходимо записать одно под другим столбиком, чтобы разряды вычитаемого располагались…

• Вычитание чисел в дополнительном коде

  ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3 Изучение принципов выполнения операций сложения и вычитания в двоичной ССЧ Цель работы: изучить принципы выполнения операций…

Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа

Содержание

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество

рациональных чисел, которое принято обозначать буквой   Q .

Каждое из рациональных чисел можно представить в виде

,

где   m   – целое число, а   n   – натуральное число.

При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Числа

и т.п. являются примерами иррациональных чисел.

Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.

При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.

Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел

.

Множество вещественных чисел обозначают буквой   R .  

Иррациональность числа

Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида

,

удовлетворяющая равенству

и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.

Используя данное равенство, получаем:

Отсюда вытекает, что число   m² является четным числом, а, значит, и число   m   является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число   m   является нечетным числом, то найдется такое целое число   k ,   которое удовлетворяет соотношению

m = 2k + 1 .

Следовательно,

m² = (2k + 1)² =
= 4k² + 4k +1 ,

т.е.   m   является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число   m   является четным числом. Значит, найдется такое целое число   k ,  которое удовлетворяет соотношению

m = 2k .

      Поэтому,

Отсюда вытекает, что число   n² является четным, а, значит, и число   n   является четным числом.

Итак, число   m   является четным, и число   n   является четным, значит, число   2   является общим делителем числителя и знаменателя дроби

.

Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению

не существует. Следовательно, число  является иррациональным числом, что и требовалось доказать.

Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число

Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической  десятичной дробью.

Последовательностью десятичных приближений числа с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.

Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на   1 ,   то получится десятичное приближение числа с избытком.

Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.

Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:

и т.д.

Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.

Представление вещественных чисел в памяти компьютера | Презентация к уроку по информатике и икт (10 класс) по теме:

Слайд 1

Кодирование вещественных чисел. Пляшешник А.В. МОУ СОШ №5 города Ржева Тверской области

Слайд 2

Для представления вещественных чисел (конечных и бесконечных десятичных дробей) используют формат с плавающей точкой (запятой). Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления р в некоторой целой степени n, которую называют порядком: R = m * р n m – мантисса, n – порядок, p – основание системы.

Слайд 3

Например, число 25,324 можно записать в таком виде: 0.25324х10 2 . Здесь m=0.25324 — мантисса, n=2 — порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная точка в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка». Однако справедливы и следующие равенства: 25,324 = 2,5324*10 1 = 0,0025324*10 4 = 2532,4*10 2 и т.п.

Слайд 4

Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию: 0,1 p ≤ m

Слайд 5

Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль. Значит для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 25,324=0.25324 * 10 2 .

Слайд 6

Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (р=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке: ±машинный порядок М А Н Т И С С А 1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

Слайд 7

Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие: Машинный порядок 0 1 2 3 … 64 65 … 125 126 127 Математический порядок -64 -63 -62 -61 … 0 1 … 61 62 63 Если обозначить машинный порядок Мр, а математический — р, то связь между ними выразится такой формулой: Мр = р + 64.

Слайд 8

Итак, машинный порядок смещён относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает. В двоичной системе счисления смещение: М р2 = р 2 +100 0000 2

Слайд 9

Теперь мы можем записать внутреннее представление числа 25,324 в форме с плавающей точкой. 1)Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами. 25,32410= 11001,0101001011110001101 2 2)Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой: 0,110010101001011110001101*10 101 Здесь мантисса, основание системы счисления (2 10 =10 2 ) и порядок (5 10 =101 2 )записаны в двоичной системе. 3) Вычислим машинный порядок. Мр2 = 101 + 100 0000 = 100 0101. 4) Запишем представление числа в ячейке памяти. 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 Знак числа порядок мантисса 31 0

Слайд 10

Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти компьютера 4 байта (число обычной точности) или 8 байт (число двойной точности). Мы рассмотрели пример представления числа 25,324 обычной точности

Слайд 11

Для того, чтобы получить внутреннее представление отрицательного числа -25,324, достаточно в полученном выше коде заменить в разряде знака числа 0 на 1. 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1

Слайд 12

Задание. Представьте двоичное число -100,1 2 в четырёхбайтовом формате. Представьте число сначала в форме с плавающей запятой.

Слайд 13

Решение. -100,1 2 = -0,1001*2 11 Мантисса -0,1001 Порядок 11 Машинный порядок 11+100 0000=100011. 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Урок по теме «Представление вещественных чисел»

Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний

Вид учебного занятия: лекция с элементами проблемной беседы

Цели занятия: создать условия для формирования знаний о представлении вещественных чисел в памяти компьютера

Обучающая: закрепить и расширить знания о представлении чисел в памяти ПК; научить определять границы диапазонов значений вещественных чисел различных типов.

Развивающая: развивать регулятивные УУД, познавательные УУД, коммуникативные УУД учащихся: развивать алгоритмическое мышление, познавательный интерес, прививать исследовательские навыки

Воспитывающая: воспитание информационной культуры учащихся, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, усидчивости, привитие навыков самостоятельной работы

интерактивная доска, компьютер преподавателя, проектор, интерактивная доска, презентация

объяснительно-иллюстративный, словесный, лекция с элементами беседы, фронтальная работа, индивидуальная работа

Внешний вид, приветствие, определение отсутствующих, готовность класса и оборудования, цели занятия

1 мин

II. Подготовка кадет к изучению нового материала

1. Сообщение темы.

2. Мотивация учебной деятельности. Целевая установка.

3. Актуализация опорных знаний.

Актуализация опорных знаний (примерный перечень вопросов):

1. О кодировании каких чисел вы уже знаете?

2. Озвучьте алгоритм представления целых положительных и целых отрицательных чисел в памяти ПК.

3. Какие еще числа существуют?

Сегодня мы рассмотрим последний раздел в теме «кодирование информации». Запишите тему урока – «Представление вещественных чисел в памяти компьютера».

8

III. Сообщение учебного материала преподавателем

Лекция с элементами беседы по плану:

Любое вещественное число можно представить в виде мантиссы и порядка.

А₁₀ = ±М*10^±Р

Мантисса содержит цифры числа, а порядок указывает, где находится запятая. Для одного и того же вещественного числа существуют различные способы записи.

Например, 256.75 = 25.675*10¹ = 0.25675*10³ = 25675*10^-2 и т. д.

(преподаватель записывает на доске мантиссу, а учащиеся с места указывают, какой должен быть порядок).

Из-за того, что точку (запятую) можно поставить в любом месте числа изменяя порядок, вещественные числа называют числами с плавающей точкой (запятой).

Вещественные числа хранятся в памяти компьютера в нормализованном виде: мантисса числа меньше единицы, первая значащая цифра отлична от нуля.

Приведем несколько десятичных вещественных чисел к нормализованному виду. Ученикам предлагается слайд презентации, в котором напротив каждого числа необходимо ввести его нормализованный вид, цвет фона окна сигнализирует о правильности ввода.

В каком виде вещественные числа хранятся в памяти компьютера? (учащиеся: в двоичном). Приведем двоичные числа к нормализованному виду.

Сравним десятичные и двоичные нормализованные числа. Каким свойством обладают мантиссы этих чисел? (учащиеся: у двоичного числа первая значащая цифра мантиссы всегда равна 1).

Возникает вопрос: зачем хранить значение заведомо известного разряда? Ведь если не хранить первую единицу, то можно увеличить количество разрядов мантиссы на 1. Тогда несколько меняется классическое определение нормализованного вида числа: целая часть в нормализованном двоичном числе равна единице.

У
чащимся предлагается новый слайд, на котором они нормализуют двоичные числа, пользуясь новым определением.

Сформулируем основные принципы кодирования вещественных чисел:

1. Вещественные числа хранятся в памяти компьютера в нормализованном виде, при этом старший разряд, всегда равный 1, не хранится.

2. Представление вещественного числа сводится к хранению мантиссы, порядка и знака числа.

3. Поскольку в двоичной системе счисления старшая цифра мантиссы всегда равна единице, при хранении ее можно отбрасывать.

20 мин

IV. Первичное закрепление и текущее повторение

Работа с карточками по вариантам

Самостоятельная работа 1 вариант

1)Выполните арифметические действия . Ответ представить в двоичной системе счисления

А)558 + 101102 Б)1101012 –138 В)10112 * 68

2)Переведите число 278 в прямой код (8разрядное машинное слово)

3)Переведите число -7810 в дополнительный код (8разрядное машинное слово)

4)Запишите следующие числа в нормальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля

а) 217,93410;

б) 7532110; в) 0,0010110.

5) Запишите следующие числа в естественной форме:

а) 0,245 · 10³; б) 9,569120 * 10^-4

12

V. Заключительная часть

Подвести итоги, отметить наиболее отличившихся кадет.

Задание на с/п: §1.2 №4-6

Рефлексия

«На уроке я узнал…»

«Мне понравилось…»

« Не получилось…»

«Полученные знания мне пригодятся …»

5 мин

Представление вещественных чисел в памяти.

В некоторых областях вычислений требуются очень большие или весьма малые действительные числа. Для получения большей точности применяют запись чисел с плавающей точкой. Запись числа в формате с плавающей точкой является весьма эффективным средством представления очень больших и весьма малых вещественных чисел при условии, что они содержат ограниченное число значащих цифр, и, следовательно, не все вещественные числа могут быть представлены в памяти. Обычно число используемых при вычислениях значащих цифр таково, что для большинства задач ошибки округления пренебрежимо малы.

Формат для представления чисел с плавающей точкой содержит одно или два поля фиксированной длины для знаков. Количество позиций для значащих цифр различно в разных ЭВМ, но существует, тем не менее, общий формат, приведенный на рисунке 2.5 а). В соответствии с этой записью формат вещественного числа содержит в общем случае поля мантиссы, порядка и знаков мантиссы и порядка.

Рис. 2.5. Формат представления вещественных чисел

Однако, чаще вместо порядка используется характеристика, получающаяся прибавлением к порядку такого смещения, чтобы характеристика была всегда положительный. При этом имеет место формат представления вещественных чисел такой, как на рис 2.5 б).

Введение характеристики избавляет от необходимости выделять один бит для знака порядка и упрощает выполнение операций сравнения (,<=,>=) и арифметических операций над вещественными числами. Так, при сложении или вычитании чисел с плавающей точкой для того, чтобы выровнять операнды, требуется сдвиг влево или вправо мантиссы числа. Сдвиг можно осуществить с помощью единственного счетчика, в который сначала заносится положительное чис- ло, уменьшающееся затем до тех пор, пока не будет выполнено требуемое число сдвигов.(-1) <= F < 1, ненулевая мантисса любого хранимого числа с плавающей точкой должна начинаться с двоичной единицы. В этом и заключается одно из достоинств двоичной формы представления числа с плавающей точкой. Поскольку процесс нормализации создает дробь, первый бит которой равен 1, в структуре некоторых машин эта еди- ница учитывается, однако не записывается в мантиссу. Эту единицу часто называют скрытой единицей, а получающийся дополнительный бит используют для увеличения точности представления чисел или их диапазона.

Приведенный метод нормализации является классическим методом, при котором результат нормализации представляется в виде правильной дроби, т.е. с единицей после точки и нулем в целой части числа. Но нормализацию мантиссы можно выполнить по разному.

В IBM PC нормализованная мантисса содержит свой старший бит слева от точки. Иными словами нормализованная мантисса в IBM PC принадлежит интервалу 1 <= F < 2. В памяти машины для данных типа real, single, double этот бит не хранится, т.4932 19-20

Таблица 2.3

Узнать еще:

1.5: Введение в множества и вещественные числа

Нотация реестра

Мы можем использовать нотацию реестра для описания множества, если оно состоит только из небольшого числа элементов. Перечислим все его элементы явно, как в \[A = \mbox{множество натуральных чисел, не превосходящих 7} = \{1,2,3,4,5,6,7\}.\] Для множеств с более элементов, показать первые несколько записей для отображения шаблона и использовать многоточие для обозначения «и так далее». Например, \[\{1,2,3,\ldots,20\}\] представляет собой набор первых 20 положительных целых чисел.Повторяющийся шаблон может быть расширен до бесконечности, как в \[\begin{aligned} \mathbb{N} &=& \{1,2,3,\ldots\} \\ \mathbb{Z} &=& \{\ ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\} \end{выровнено}\]

 

Что касается четности , целое число может быть либо четным, либо нечетным. Сейчас мы будем использовать наше общее понимание четных и нечетных значений и определим эти термины позже в этом тексте. Набор четных целых чисел можно описать как \(\{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}\).

Обозначение Set-Builder

Мы можем использовать нотацию построения набора для описания набора.Например, набор натуральных чисел определяется как \[\mathbb{N} = \{x\in\mathbb{Z} \mid x>0 \}.\] Здесь вертикальная черта \(\mid\) читается как «такой, что» или «для чего». Следовательно, правая часть уравнения произносится как «множество \(x\), принадлежащих множеству целых чисел, таких что \(x>0\)», или просто «множество целых чисел \(x\ ) такой, что \(x>0\)». В общем, этот описательный метод появляется в формате \[\{\,\mbox{членство}\;\mid\;\mbox{свойства}\,\}.\] Обозначение \(\mid\) означает «такой тот» или «для чего» только тогда, когда он используется в обозначении набора.2\) где \(x\in\mathbb{Z}\). Он представляет собой набор квадратов: \(\{0,1,4,9,16,25,\ldots\}\).

Пример \(\PageIndex{4}\)

Множество \[\{ 2n \mid n\in\mathbb{Z} \}\] описывает множество четных чисел. Мы также можем записать набор как \(2\mathbb{Z}\).

практическое упражнение \(\PageIndex{3}\label{he:setintro-03}\)

Описать набор \(\{2n+1 \mid n\in\mathbb{Z}\}\) с помощью ростерного метода.

практическое упражнение \(\PageIndex{4}\label{he:setintro-04}\)

Используйте метод списка для описания множества \(\{3n \mid n\in\mathbb{Z}\}\).

 

Обозначение интервала

Интервал — это набор действительных чисел, все из которых лежат между двумя действительными числами. Должны ли конечные точки быть включены или исключены, зависит от того, является ли интервал открытым , закрытым или полуоткрытым . Для их описания мы принимаем следующую запись интервалов : \[\displaylines{ (a,b) = \{x\in\mathbb{R} \mid a < x < b \}, \cr [a, b] = \{x\in\mathbb{R} \mid a\leq x\leq b \}, \cr [a,b) = \{x\in\mathbb{R} \mid a\leq x < b \}, \cr (a,b] = \{x\in\mathbb{R} \mid a < x\leq b \}.\cr}\] Подразумевается, что \(a\) должно быть меньше, чем  \(b\). Следовательно, обозначение \((5,3)\) не имеет особого смысла. Как насчет \([3,3]\)? Это может использоваться в некоторых текстах для обозначения \(\{3\}\), но мы будем использовать \(a < b\) только для интервалов и использовать нотацию реестра для одиночного числа, такого как \(\{3\}\) .

Интервал содержит не только целые числа, но и все действительные числа между двумя конечными точками. Например, \((1,5)\mathbb \neq \{2,3,4\}\), потому что интервал \((1,5)\) также включает действительные числа, такие как \(1.276\), \(\sqrt{2}\) и \(\pi\).

Мы можем использовать \(\pm\infty\) в записи интервала: \[\begin{aligned} (a,\infty) &=& \{ x\in\mathbb{R} \mid a, а не чисел. Бессмысленно говорить \(x\leq\infty\) или \(-\infty\leq x\). По той же причине мы можем писать \([a,\infty)\) и \((-\infty,a]\), но , а не \([a,\infty]\) или \([- \infty,а]\). 2 \leq 1\}\] в интервальной форме.2 \leq 5 \} \) тогда подразумевается, что \(\mathbb{R}\) является набором по умолчанию, которому принадлежит \(x\).

 

практическое упражнение \(\PageIndex{5}\label{he:setintro-05}\)

Какое из следующих множеств \[\{x\in\mathbb{Z} \mid 1

практическое упражнение \(\PageIndex{6}\label{he:setintro-06}\)

Объясните, почему \([2,7\,]\mathbb \neq\{2,3,4,5,6,7\}\).+\).

практическое упражнение \(\PageIndex{8}\label{he:setintro-08}\)

Как обозначается множество отрицательных целых чисел?

Некоторые математики также принимают следующие обозначения: \[\begin{aligned} bS &=& \{ bx \mid x\in S \}, \\ a+bS &=& \{ a+bx \mid x\in S \}. \end{aligned}\] Соответственно, мы можем записать множество четных целых чисел как \(2\mathbb{Z}\), а множество нечетных целых чисел можно представить как \(1+2\mathbb{Z}\ ).

Пример \(\PageIndex{9}\)

\[5\mathbb{Z}=\{\ldots , -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, \ldots\}\]

Существует три типа действительных чисел: положительные, отрицательные и нули.

Свойство трихотомии

Для любых двух действительных чисел \(a\) и \(b\) верно одно и только одно из этих соотношений:

• \(а<б\)
• \(а=б\)
• \(а>б.\)

Что такое реальное число? Определение и примеры

. Вещественное число — это любое число, которое можно изобразить на числовой прямой или с помощью бесконечного десятичного представления. Число, которое не является действительным, является мнимым.

Реальные числа — это числа, которые люди используют каждый день.Они включают в себя любое число, которое вы можете разместить на числовой прямой, независимо от того, положительное оно или отрицательное. Вот определение действительного числа, взгляд на наборы и свойства действительных чисел, а также конкретные примеры чисел, которые являются действительными и мнимыми.

Вещественное число Определение

Вещественное число — это любое число, которое может быть помещено на числовую прямую или выражено в виде бесконечного десятичного представления. Другими словами, действительное число — это любое рациональное или иррациональное число, включая положительные и отрицательные целые числа, целые числа, десятичные дроби, дроби и такие числа, как число пи ( π ) и число Эйлера ( e ).

Напротив, мнимое число или комплексное число не действительное число. Эти числа содержат число i , где i ² = -1.

Действительные числа представлены заглавной буквой «R» или двойным перечеркнутым шрифтом ℝ. Действительные числа представляют собой бесконечное множество чисел.

Набор действительных номеров

Набор реальных чисел включает несколько меньших (все же еще бесконечных) подсуд.

Набор	Определение	Примеры
Натуральные числа (N)	, начиная с 1. N = {1,2,3,4,…}	1, 3, 157, 2021
Целые числа (W)	Ноль и натуральные числа. W = {0,1,2,3,…}	0, 1, 43, 811
Целые числа (Z)	Целые числа и отрицательные числа всех натуральных чисел. Z = {..,-1,0,1,…}	-44, -2, 0, 28
Рациональные числа (Q)	Числа, которые можно записать в виде дроби целых чисел p/ д, д≠0. , где Q = {p/q}, q≠0	1 / 3 , 5 / 4 , 0.8
Иррациональные числа (P или I)	Действительные числа, которые не могут быть выражены в виде доли целых чисел p/q. Это непрерывающиеся и неповторяющиеся десятичные дроби.	π, e, φ, √2

Примеры действительных и мнимых чисел

Хотя знакомые числа, натуральные и целые числа довольно легко распознать как действительные числа, многие люди интересуются конкретными числами. Ноль — действительное число. Пи, число Эйлера и фи — действительные числа.Все дроби и десятичные числа являются действительными числами.

Числа, которые не являются действительными числами, являются либо мнимыми (например, √-1, i , 3 i ), либо комплексными ( a + bi ). Итак, некоторые алгебраические выражения действительны [например, √2, -√3, (1+ √5)/2], а некоторые нет [например, i ² , (x + 1) ² = — 9].

Бесконечность (∞) и отрицательная бесконечность (-∞) — это , а не действительных чисел. Они не являются членами математически определенных множеств. В основном это связано с тем, что бесконечность и отрицательная бесконечность могут иметь разные значения.Например, множество целых чисел бесконечно. Как и множество целых чисел. Но эти два набора не одного размера.

Свойства действительных чисел

Четыре основных свойства действительных чисел: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и тождественность. Если m, n и r — действительные числа, то:

Коммутативное свойство

• Сложение:  m + n = n + m. Например, 5 + 23 = 23 + 5.
• Умножение:  m × n = n × m.Например, 5 × 2 = 2 × 5.

Ассоциативное свойство

• Сложение: Общая форма будет m + (n + r) = (m + n) + r. Примером аддитивного ассоциативного свойства является 5 + (3 + 2) = (5 + 3) + 2.
• Умножение:  (mn) r = m (nr). Примером мультипликативного ассоциативного свойства является (2 × 5) 6 = 2 (5 × 6).

Распределительная собственность

• m (n + r) = mn + mr и (m + n) r = mr + nr. Пример распределительного свойства: 2(3 + 5) = 2 х 3 + 2 х 5.Оба выражения равны 16.

Свойство идентичности

• Для сложения:  m + 0 = m. (0 — аддитивная идентичность)
• Для умножения: m × 1 = 1 × m = m. (1 — мультипликативная идентичность)

Ссылки

• Бенгтссон, Ингемар (2017). «Число простейшего SIC-POVM». Основы физики .   47:1031–1041. doi:10.1007/s10701-017-0078-3
• Borwein, J.; Борвин, П.(1990). Словарь действительных чисел . Пасифик-Гроув, Калифорния: Брукс/Коул.
• Феферман, Соломон (1989). T Системы счисления: основы алгебры и анализа . АМС Челси. ISBN 0-8218-2915-7.
• Хоуи, Джон М. (2005). Реальный анализ . Спрингер. ISBN 1-85233-314-6.
• Ландау, Эдмунд (2001). Основы анализа . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2693-X.

Похожие сообщения

Что такое реальные числа? — Определение и свойства — Видео и стенограмма урока

3 Правила описания действительных чисел

Одним из способов определения действительных чисел являются правила, которыми они управляются.Есть три основных правила:

Во-первых, действительные числа измеримы .

Это означает, что множество действительных чисел — это те числа, которые могут быть отображены на числовой прямой. Числовая линия состоит из трех частей: отрицательной стороны, положительной стороны и нуля между ними. Каждая сторона числовой линии продолжается бесконечно; нет конца положительным или отрицательным числам, которые составляют множество действительных чисел.

Во-вторых, действительные числа имеют конкретное значение .

Вы знаете, как выглядят 15 шариков или полторта. Вы даже можете узнать, сколько частей в квадратном корне из 5 пицц (если у вас есть калькулятор). Отрицательная сторона тоже работает на это, особенно когда вы работаете с деньгами. Если баланс вашего расчетного счета составляет -2,27 доллара, вам, вероятно, следует начать беспокоиться.

Наконец, действительными числами можно манипулировать .

Например, все действительные числа можно переписать как десятичные. Это просто означает, что даже если число выглядит нечетным или с ним связаны странные символы или греческие буквы, это все равно настоящее число.Давайте рассмотрим пару примеров:

• 1/4 = 0,25
• Квадратный корень из 7 = 2,645751311
• пи = 3,14159…

Еще одним способом манипулирования действительными числами являются математические операции. Все множество действительных чисел можно складывать, вычитать, умножать или делить друг с другом, и в результате получится еще одно действительное число, которое также можно записать в виде десятичной дроби. Например: 5 + 2 = 7, 3/4 * 1/8 = 0,09375 или квадратный корень из 17 — пи = 0.98

В дополнение к нашим трем правилам, еще один способ понять определение действительных чисел — помнить, что они не мнимые. Это может показаться очевидным, но потребность в определении числа как действительного отпала до тех пор, пока не были открыты мнимые числа. Мнимые числа используются в математике для описания чисел, которых на самом деле не существует, но которые можно использовать в вычислениях высокого уровня.

Типы действительных чисел

Набор действительных чисел можно разделить на множество различных групп.Каждая из этих групп имеет свой особый набор характеристик, но все они по-прежнему являются действительными числами.

• Целые числа — это положительные числа, которые не являются дробями или десятичными числами. Среди них ноль.
• Положительные числа включают все числа больше нуля. Это могут быть дроби, десятичные числа или целые числа.
• Отрицательные числа включают все числа, которые меньше нуля. Они также могут быть дробями или десятичными числами.
• Целые числа — это целые числа и противоположные им отрицательные числа (без дробей и десятичных знаков).
• Натуральные числа — это счетные числа (1,2,3,…). Это целые числа, за исключением нуля.
• Рациональные числа — это дроби, которые при записи в виде десятичной дроби либо имеют конечную точку (0,5), либо повторяются (1,3333333…).
• Иррациональные числа — это числа, которые при записи в виде десятичной дроби не имеют конечной точки (2.5463489762547. . .). Пи — известное иррациональное число. Хотя его часто сокращают до 3,14, числа после запятой продолжаются вечно.

Итоги урока

Давайте повторим. Хотя существует множество определений, указывающих на разные свойства действительных чисел, все они описывают одно и то же. Набор из действительных чисел подчиняется следующим трем правилам:

1. Числа измеримы
2. Числа имеют конкретное значение
3. Числами можно манипулировать

И, конечно же, числа настоящие, а не мнимые.Типы действительных чисел включают целых чисел, рациональных чисел и иррациональных чисел.

Результаты обучения

Когда вы закончите, вы сможете:

• Определить, является ли число действительным числом, используя три правила действительных чисел
• Назовите типы действительных чисел

Вычисления с действительными числами (Алгебра 1, Исследование действительных чисел) – Mathplanet

Дополнение

При сложении действительных чисел с одинаковым знаком сумма будет иметь тот же знак, что и складываемые числа.

$3+2=5$$

$$-7+(-2)=-9$$

При сложении действительных чисел с разными знаками из большего абсолютного значения вычитается меньшее. Тогда сумма будет иметь тот же знак, что и число с большей абсолютной величиной.

$$-7+2=-5$$

Есть пара свойств дополнения:

Свойство аддитивной коммутативности говорит нам, что порядок, в котором вы складываете числа, не меняет сумму.

$$а+б=б+а$$

А аддитивное ассоциативное свойство говорит нам о том, что порядок, в котором мы группируем три или более чисел, не влияет на сумму.

$$\влево ( a+b \вправо )+c=a+\влево ( b+c \вправо )$$

Свойство аддитивной идентичности говорит нам, что сумма числа и 0 всегда является числом.

$$а+0=а$$

А аддитивное обратное свойство говорит нам, что если вы сложите число с его противоположностью, вы всегда получите 0

$$a+\влево ( -a \вправо )=0$$

Вычитание

Вы уже знаете, что

$$10-2=10+\влево ( -2 \вправо )=8$$

Это означает, что вычитание 2 из 10 равносильно прибавлению минус 2 к 10.Это называется правилом вычитания .

$$a-b=a+\влево ( -b \вправо )$$

Умножение

Если вы помните из предалгебры, произведение двух действительных чисел с одинаковым знаком всегда положительно

$$3\cdot 2=6$$

$$\влево (-5 \вправо)\cdot \влево (-3 \вправо)=15$$

Это также верно, если вы умножаете более двух чисел. Если умножить на нечетное количество отрицательных чисел, произведение будет отрицательным

.

$$2\cdot \left (-3 \right)\cdot \left (-1 \right)\cdot 5\cdot \left (-2 \right)=-60$$

При умножении на четное число отрицательных чисел произведение будет положительным

$$3\cdot\влево (-4\вправо)\cdot\влево (-2\вправо)=24$$

Как и в случае сложения, у умножения есть несколько свойств

Мультипликативное коммутативное свойство говорит нам о том же, что и его аддитивный аналог.На произведение не влияет порядок умножения чисел

$$a\cdot b=b\cdot a$$

То же самое относится к мультипликативному ассоциативному свойству . Произведение не зависит от того, как вы группируете три или более чисел.

$$a\cdot \left ( b\cdot c \right )=\left (a\cdot b \right ) \cdot c$$

Свойство мультипликативной идентичности говорит нам, что если мы умножим число на 1, произведение всегда будет числом

.

$$a\cdot 1=a$$

Мультипликативная идентичность 0 говорит нам, что произведение всегда равно 0, когда вы умножаете число на 0

$$a\cdot 0=0$$

Последним свойством умножения является мультипликативное свойство числа -1 , и это свойство говорит нам, что произведение числа и -1 является противоположностью числа

.

$$a\cdot \влево (-1 \вправо)=\влево (-a \вправо)$$

Подразделение

Обратные числа — это числа, произведение которых при умножении равно 1.

$$\frac{5}{7}\cdot \frac{7}{5}=1$$

Их также называют мультипликативными инверсиями. Ноль не имеет мультипликативной инверсии, поскольку все, что умножается на 0, равно 0, как мы могли видеть выше.

Обратное свойство умножения можно записать как:

$$a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1,\: a\neq 0$$

Может также записываться как

.

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1\: где \: a,\, b\neq 0$$

Правило деления говорит нам, что деление числа a на число b равносильно умножению a на мультипликативную обратную величину b

$$\frac{a}{b}=a\cdot \frac{1}{b},\: b\neq 0$$

Поскольку мы можем выразить деление как умножение, правила знаков умножения справедливы и для деления.

Частное двух чисел с одинаковым знаком положительно

$$\frac{8}{2}=4$$

Принимая во внимание, что частное двух чисел с разными знаками отрицательно

$$\frac{-8}{2}=-4$$

Частное 0 и любого ненулевого действительного числа всегда равно 0

$$\frac{0}{1000}=0$$

Поскольку 0 не имеет обратного мультипликативного числа, вы не можете разделить число на 0.

---

Видеоурок

Упростите выражение

$$\frac{20x + 5 + 10 — 5x}{5}$$

Сколько существует действительных чисел?

Сколько существует действительных чисел?

Июнь 2001 г.

Сколько существует действительных чисел? Один ответ есть: «Бесконечно много.«Более изощренный ответ: «Неисчислимо много», поскольку Георг Кантор доказал, что реальная линия — континуум — не может быть поставлена ​​в один-единственный переписку с натуральные числа. Но можем ли мы быть более точными?

Кантор ввел систему чисел для измерения размер бесконечных множеств: алефы. Имя происходит от символа, который Кантор использовал для обозначения своего бесконечные числа, еврейская буква алеф — а символ не всегда доступен для веб-страниц.Он определил целую бесконечную иерархию этих бесконечные числа (или кардиналы), алеф-0 (первый бесконечный кардинал, размер множества натуральных числа), алеф-1 (первый несчетный кардинал), алеф-2 и др.

Бесконечные кардиналы можно складывать и умножать, точно так же, как конечные натуральные числа, только это гораздо легче узнать ответы. Сумма или произведение из любых двух бесконечных кардиналов есть просто большее из двух.

Вы также можете поднять любой конечный или бесконечный кардинал любой конечной или бесконечной кардинальной мощности. И это это где вещи быстро становятся сложными. Чтобы выбрать простейший сложный случай, если K — бесконечный кардинал, каково значение 2 ^K (2 в степени K)? Кантор доказал, что ответ строго больше, чем K сам, но это все, что он получил. Особенно, он не смог выяснить, является ли 2 ^(алеф-0) или нет равно алеф-1.

Значение этого вопроса для остальных математика заключалась в том, что 2 ^(алеф-0) есть размер реального континуума, т. е. количество реальных числа. Поскольку Кантор смог доказать, что существуют рациональные числа алеф-0, следующие очевидные Вопрос, который нужно задать, заключался в том, сколько существует действительных чисел? Невозможность ответить на этот вопрос расстроила мягко говоря, и Гильберт включил проблему в его знаменитый список 1900 г.

Стало известно предположение, что 2 ^(алеф-0) = алеф-1 как гипотеза континуума Кантора. Оказалось, быть тесно связанным с выбором аксиом для построения бесконечных множеств. Аксиомы общепринятый в математическом сообществе были сформулированы Эрнстом Цермело и Авраамом Френкелем. в начале двадцатого века. В 1936 году Курт Гедель ошеломил математический мир своим доказательством того, что аксиом Цермело-Франекеля было недостаточно, чтобы доказать, что гипотеза континуума неверна.

То, что сделало это ошеломляющим, было не самим результатом. Кроме логиков и нескольких настоящих аналитиков, большинство математики не заботились о континууме Гипотеза так или иначе. Скорее, это было тот факт, что Гедель нашел способ доказать, окончательно, что что-то не может быть доказано. (Обратите внимание, что доказательство Гёделя того, что Континуум Гипотеза не может быть доказана в Цермело-Френкеля теория множеств не предполагала, что ее можно опровергнуть в той теории.Отсутствие доказательств — даже доказано отсутствие доказательств — не является доказательством обратного.)

Твердо зная, что гипотеза континуума не могло быть доказано ложным, охота должна была доказать это правда. Эта охота оказалась безрезультатной, и в 1963 г. Пол Коэн показал почему. В математическом туре де силу, которая принесла ему Филдсовскую медаль, он доказал, что Гипотеза континуума также не может быть доказана! (В аксиоматических рамках Цермело и Френкель.) Гипотеза оказалась неразрешимой.

Естественной реакцией было искать дополнительные аксиомы теории множеств, дополняющие системы Цермело-Френкеля, которая позволила бы Гипотеза континуума должна быть решена так или иначе разное. И многие математики именно так и поступали. Но безуспешно.

Проблема заключалась в том, что теория множеств была фундаментальной тема, которая была разработана в попытке обеспечить единую основу для всей математики (включая арифметику).Его аксиомы, чтобы быть приемлемыми, должен был быть «интуитивно очевидным». Никто не мог найти такой принцип.

Одна возможность, которую лично я нашел привлекательной (моя Доктор философии был в теории множеств и бесконечном кардинале Кантора. арифметике, и я впервые специализировался в этой области пятнадцать лет моей карьеры) была «Аксиома Конструктивность». Этот принцип был сформулирован Гёдель в ходе доказательства того, что континуум Гипотезу не удалось опровергнуть с помощью Цермело- Аксиомы Френкеля.Хотя Гедель не предлагал приняв ее как аксиому теории множеств, я почувствовал, что она достаточная «естественность» в его пользу, чтобы сделать это. Не потому, что я верил, что это «правда». Когда речь идет о заниматься математикой на бесконечных множествах, я не думаю в него входит понятие истины. Скорее, я чувствовал, что мета-сообщение в результате Коэна (и многие аналогичные результаты, которые пришли вслед за ним) заключалась в том, что аксиомы теории множеств следует выбирать на прагматических основания.

На основе теории множеств, имеющей основную цель обеспечить универсальную основу для математики, Я мог (и сделал это в 1977 году) выдвинуть то, во что верил. был хорошим аргументом в пользу принятия аксиомы Конструктивность.(я изложил свой аргумент в монография Аксиома конструктивности: руководство для Математик , опубликованный в Springer-Verlag Конспект лекций по математике, 1977 г.)

Если принять аксиому конструируемости (как дополнительная аксиома, помимо Цермело-Френкеля системы), то вы могли бы доказать, что Континуум Гипотеза верна.

По разным причинам многие математики не купите мои доводы или доводы тех, кто тоже предлагал Аксиома конструктивности.Но никто не придумал то, что я считал убедительным контраргументом. В по крайней мере, не в то время. Ситуация изменилась в 1986 г., когда Кристофер Фрейлинг опубликовал интригующую статью в Том 51 Журнала символической логики . В своей статье под названием «Аксиомы симметрии: метание дротиков на реальной линии», Фрейлинг выдвигает следующее мысленный эксперимент.

Мы с тобой бросаем дротики в мишень. Мы разделены ширмой, чтобы ни один из нас может влиять на другого.По заданному сигналу от третьего лица, мы оба бросаем дротик в доску. Мы делаем так что совершенно случайно. (Формально, поскольку точки на мишень для дротиков можно поставить в переписку один на один с действительные числа, мы просто два независимых случайных генераторы чисел.)

Как определяется победитель? Ну, у организатора есть выбрали правильный порядок действительных чисел (т. е. очков на мишени), скажем Ну, есть еще.Предположим, гипотеза континуума были правдой. Тогда организатор мог бы выбрать упорядочены так, что для любого числа X множество {Р|Р Теперь, поскольку мы бросаем независимо друг от друга, мы можем предположить, что я бросил первый. Мой дротик приземляется в точке М. Теперь ты бросаешь. С множество {R|R > M, и вы выиграли.

Но ситуация совершенно симметрична, и поэтому тот же аргумент, с вероятностью 1, я выиграю.

Но это безвыходная ситуация.Вывод: есть не может быть такой хорошей упорядоченности, и, следовательно, Континуум Гипотеза ложна. Верно?

Ну, не совсем. Чтобы сделать приведенный выше аргумент формально мы предположили, что граф скважины заказ Если рассматривать теорию множеств как аксиоматическую основу для построения наборов и придерживайтесь консервативного подхода к построение только тех множеств, которые остальная математика абсолютно необходимо иметь, вы в конечном итоге с аксиомой Конструктивность, а затем гипотеза континуума истинный.Но если вы понимаете математику как абстрагирование из мира нашего повседневного опыта, и если вы считать, что мишень для дротиков Фрайлинга думала эксперимент имеет интуитивную естественность и «должен быть верно», то ваша теория множеств, какими бы ни были ее аксиомы, должно означать, что гипотеза континуума ложна. (Или по крайней мере, ваши аксиомы не должны подразумевать, что Гипотеза континуума верна.)

Какова моя собственная текущая точка зрения? Ну, я все еще думаю, хорошо можно привести аргумент в пользу аксиомы Конструктивность.Но я также нахожу мысль Фрейлинга эксперимент убедителен. На мой взгляд, на интуитивном уровне, это показывает, что гипотеза континуума должна быть ложным. Когда математик обнаруживает, что поддерживает два противоречивых предложения, он, очевидно, был завкафедрой или деканом слишком долго и пора сдаться и двигаться дальше. И знаете, я только что сделал. Пожалуйста обратите внимание на изменение адреса ниже.

---

Угол Девлина обновляется в начале каждого месяца.

---

Кейт Девлин [электронная почта защищена]) — новый исполнительный директор Директор Центра изучения языка и информации Стэнфордского университета и «Парень-математик». в выпуске выходного дня NPR. Его последняя книга — «Математика». Джин: Как развивалось математическое мышление и почему числа похожи Сплетни, изданные Basic Books.

▷ РЕАЛЬНЫЕ ЦИФРЫ | Свойства и примеры

Чтобы начать с этого поста, мы сначала покажем сводку реальных чисел с помощью простого изображения, а затем объясним каждый компонент изображения.

Простая диаграмма действительных чисел

Вещественные числа (R)

Все рациональные и иррациональные числа соответствуют действительным числам. Из которых рациональные числа состоят из целых чисел, натуральных чисел, отрицательных чисел и нуля.

Действительные числа — это все те числа, которые могут быть представлены в числовой строке, независимо от того, является ли число отрицательным, положительным, рациональным или иррациональным десятичным числом, целым числом или нулем.

Свойства действительных чисел

$$\begin{array}{cc}
\hline
\hline
\begin{array}{c} \text{Commutative} \\ \text{Property} \end{array} & \begin{array}{ c} a + b = b + a \qquad \qquad \quad a\times b = b \times a \\ \begin{array}{c} \text{Тот же результат получается независимо от порядка }\\ \ текст{в котором два числа складываются или умножаются.} \end{array} \end{array} \\
\hline \hline
\begin{array}{c} \text{Associative} \\ \text{Property} \end{array} & \begin{array} {c} \left(a + b \right) + c = a + \left(b + c \right) \qquad \left( a\times b\right)\times c = a\times \left( b \ раз c\right) \\ \begin{array}{c} \text{Если одновременно сложить или умножить три числа} \\ \text{один и тот же результат получается независимо} \\ \text{из которых из них добавляется или умножается первым.{-1} \end{array} \end{array} \\
\hline \hline
\end{массив}$$

Иррациональные числа (I)

Иррациональные числа — это все те числа, которые не могут быть выражены, потому что их десятичные выражения продолжаются бесконечно, не представляя какой-либо повторяющийся шаблон.Мы можем добавить к этим числам столько чисел, сколько сможем, но они никогда не будут повторяться по сравнению с рациональными числами.

Примеры иррациональных чисел

Я уверен, что вы когда-нибудь видели число $\pi$, позвольте мне сказать вам, что это иррациональное число, и точно так же есть много других примеров, таких как следующие:

$$\sqrt{2} = 1,414213562…$$

$$\sqrt{3} = 1,732050808…$$

Рациональные числа (Q)

Рациональные числа — это все те, у которых десятичные дроби заканчиваются или имеют бесконечно повторяющийся шаблон.Эти рациональные числа включают дроби $\left( \frac{x}{y} \right)$, где числитель ($x$) и знаменатель ($y$) являются целыми числами, а знаменатель не равен нулю.

Мы можем выполнять основные операции, такие как сложение, вычитание, умножение или деление между двумя рациональными числами, и мы всегда получим другое рациональное число.

Примеры рациональных чисел

Рациональные числа могут быть любой дробью, если знаменатель отличен от нуля:

$$\cfrac{1}{4} = 0.25$$

$$\cfrac{2}{3} = 0,666 \dots$$

Число $\frac{2}{3}$ является рациональным числом просто потому, что оно демонстрирует повторяющийся шаблон до десятичных знаков.

Целые числа (Z)

Целые числа — это все положительные натуральные числа, отрицательные значения каждого натурального числа и нуль. Мы можем складывать, вычитать и умножать, а деление можно выполнять до тех пор, пока результат не дает ни рационального, ни иррационального числа.

Примеры целых чисел

Это просто числа, которые мы обычно считаем, плюс минусы целых чисел:

$$\точки, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \точки$$

Натуральные числа (N)

Натуральные числа — это все те, которые представлены на числовой прямой после нуля.Мы можем выполнять все основные операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, пока результат дает другое натуральное число.

Примеры натуральных чисел

Это просто все положительные целые числа, кроме нуля:

$$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \dots$$

$$4\умножить на 3 = 12$$

$$5/5 = 1$$

Экспоненты

Сначала мы определим, что такое показатель степени: Показатель степени ($n$) — это число, используемое для обозначения того, сколько раз множитель умножается сам на себя, так же как есть нижние индексы, показатель степени — это верхний индекс.{n}}$$

Спасибо, что вы в этот момент с нами 🙂

Вещественные числа — точка назначения

Вещественные числа включают все рациональные и иррациональные числа и могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. Реальные числа не имели названия до того, как были придуманы мнимые числа. Их называли «настоящими», потому что они не были воображаемыми. Тип числа, который мы обычно используем, например 1, 15,82, −0,1, 3/4 и т. д.

Положительные или отрицательные, большие или маленькие, целые или десятичные числа — все это действительные числа. Их называют «действительными числами», потому что они не являются мнимыми числами.

Вещественное число — это любой элемент множества R, являющегося объединением множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел. В математических выражениях неизвестные или неуказанные действительные числа обычно представляются строчными курсивными буквами от u до z. Множество R порождает другие множества, такие как множество мнимых чисел и множество комплексных чисел.Идея действительного числа (и того, что делает его «реальным») представляет интерес в первую очередь для теоретиков.

Надлежащее объяснение действительных чисел в настоящее время рассматривается, если вообще, в курсе «реального анализа» на младших или старших курсах студентов, изучающих математику. Удивительно мало студентов посещают такой курс; возможно, это потому, что он слишком алгебраичен для вкуса аналитиков и слишком аналитичен, чтобы понравиться алгебраистам.

Классификация действительных чисел

• Натуральные числа – включает все числа, например 1, 2, 3, 4,…
• Целые числа – числа, начинающиеся с нуля, называются целыми числами, например 0, 1, 2, 3, 4,…
• Целые числа – целые числа и отрицательные числа всех натуральных чисел вместе называются целыми числами, например -3, -2, -1, 0, 1, 2,
• Рациональные числа – все числа, которые можно записать в виде p/q, где q≠0, известны как рациональные числа.
• Иррациональные числа. Числа, которые нельзя записать в виде p/q (простая дробь), называются иррациональными числами. Иррациональные числа не завершаются

Примеры действительных чисел

Натуральные числа, целые числа, целые числа, десятичные числа, рациональные числа и иррациональные числа являются примерами действительных чисел.