Представление целых и вещественных чисел: Урок 11. Компьютерное представление целых и вещественных чисел — ПКРЕГИОН компьютерный магазин в Екатеринбурге недорогой техники каталог и цены с доставкой

Содержание

Урок 11. Компьютерное представление целых и вещественных чисел

Целые числа в компьютере

Правило № 4: в памяти компьютера числа хранятся в двоичной системе счисления*. С двоичной системой счисления вы знакомы из курса информатики 7-9 классов. Например, если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 битов, то самое большое целое положительное число будет таким:

В десятичной системе счисления оно равно:

2¹⁵ — 1 = 32 767.

* Конечно, и «внутри калькулятора» числа представляются в двоичном виде. Однако мы в это вдаваться не будем, рассмотрев лишь внешнее представление. Пример с калькулятором нам нужен был только для иллюстрации проблемы ограниченности.

Здесь первый бит играет роль знака числа. Ноль — признак положительного числа. Самое большое по модулю отрицательное число равно -32 768. Напомним (это было в курсе информатики основной школы), как получить его внутреннее представление:

1) перевести число 32 768 в двоичную систему счисления; это легко, поскольку 32 768 = 2¹⁵:

1000000000000000;

2) инвертировать этот двоичный код, т. е. заменить нули на единицы, а единицы — на нули:

0111111111111111;

3) прибавить единицу к этому двоичному числу (складывать надо по правилам двоичной арифметики), в результате получим:

Единица в первом бите обозначает знак «минус». Не нужно думать, что полученный код — это «минус ноль». Этот код представляет число -32 768. Таковы правила машинного представления целых чисел. Данное представление называется дополнительным кодом.

Если под целое число в памяти компьютера отводится N битов, то диапазон значений целых чисел:

[-2^N-1, 2^N~1 — 1],

т. е. ограниченность целого числа в компьютере возникает из-за ограничений на размер ячейки памяти. Отсюда же следует и конечность множества целых чисел.

Мы рассмотрели формат представления целых чисел со знаком, т. е. положительных и отрицательных. Бывает, что нужно работать только с положительными целыми числами. В таком случае используется формат представления целых чисел без знака. В этом формате самое маленькое число — ноль (все биты — нули), а самое большое число для 16-разрядной ячейки:

В десятичной системе это 2¹⁶ — 1 = 65 535, примерно в два раза больше по модулю, чем в представлении со знаком.

Из всего сказанного делаем вывод: целые числа в памяти компьютера — это дискретное, ограниченное и конечное множество.

Границы множества целых чисел зависят от размера выделяемой ячейки памяти под целое число, а также от формата: со знаком или без знака. Шаг в компьютерном представлении последовательности целых чисел, как и в математическом, остается равным единице.

Рисунок 1.7 отражает то обстоятельство, что при переходе от математического представления множества целых чисел к представлению, используемому в информатике (компьютере), происходит переход к ограниченности и конечности.

Вещественные числа в компьютере

Понятие вещественного (действительного) числа в математику ввел Исаак Ньютон в XVIII веке. В математике множество вещественных чисел непрерывно, бесконечно и не ограничено. Оно включает в себя множество целых чисел и еще бесконечное множество нецелых чисел. Между двумя любыми точками на числовой оси лежит бесконечное множество вещественных чисел, что и означает непрерывность множества.

Как мы говорили выше, числа в компьютере (в том числе и вещественные) представлены в двоичной системе счисления. Покажем, что множество вещественных чисел в компьютере дискретно, ограничено и конечно. Нетрудно догадаться, что это, так же как и в случае целых чисел, вытекает из ограничения размера ячейки памяти.

Снова для примера возьмем калькулятор с десятиразрядным индикаторным табло. Экспериментально докажем дискретность представления вещественных чисел. Выполним на калькуляторе деление 1 на 3. Из математики вам известно, что 1/3 — это рациональная дробь, представление которой в виде десятичной дроби содержит бесконечное количество цифр: 0,3333333333… (3 в периоде). На табло калькулятора вы увидите:

Первый разряд зарезервирован под знак числа. После запятой сохраняется 8 цифр, а остальные не вмещаются в разрядную сетку (так это обычно называют). Значит, это не точное значение, равное 1/3, а его «урезанное» значение.

Следующее по величине число, которое помещается в разрядную сетку:

Оно больше предыдущего на 0,00000001. Это шаг числовой последовательности. Следовательно, два рассмотренных числа разделены между собой конечным отрезком. Очевидно, что предыдущее число такое:

Оно тоже отделено от своего «соседа справа» по числовой оси шагом 0,00000001. Отсюда делаем вывод: множество вещественных чисел, представимых в калькуляторе, дискретно, поскольку числа отделены друг от друга конечными отрезками.

А теперь выясним вот что: будет ли шаг в последовательности вещественных чисел на калькуляторе постоянной величиной (как у целых чисел)?

Вычислим выражение 100000/3. Получим:

Это число в 100 000 раз больше предыдущего и, очевидно, тоже приближенное. Легко понять, что следующее вещественное число, которое можно получить на табло калькулятора, будет больше данного на 0,0001. Шаг стал гораздо больше.

Отсюда приходим к выводу: множество вещественных чисел, представимых в калькуляторе, дискретно с переменной величиной шага между соседними числами.

Если отметить на числовой оси точные значения вещественных чисел, которые представимы в калькуляторе, то эти точки будут расположены вдоль оси неравномерно. Ближе к нулю — гуще, дальше от нуля — реже (рис. 1.8).

Все выводы, которые мы делаем на примере калькулятора, полностью переносятся на компьютер с переходом к двоичной системе счисления и с учетом размера ячейки компьютера, отводимой под вещественные числа. Неравномерное расположение вещественных чисел, представимых в компьютере, также имеет место.

Ответим на вопрос: ограничено ли множество вещественных чисел в памяти компьютера? Если продолжать эксперименты с калькулятором, то ответ на этот вопрос будет таким: да, множество вещественных чисел в калькуляторе ограничено.

Причиной тому служит все та же ограниченность разрядной сетки. Отсюда же следует и конечность множества.

Самое большое число у разных калькуляторов может оказаться разным. У самого простого это будет то же число, что мы получали раньше: 999999999. Если прибавить к нему единицу, то калькулятор выдаст сообщение об ошибке. А на другом, более «умном» и дорогом, калькуляторе прибавление единицы приведет к такому результату:

Данную запись на табло надо понимать так: 1 • 10⁹.

Такой формат записи числа называется форматом с плавающей запятой, в отличие от всех предыдущих примеров, где рассматривалось представление чисел в формате с фиксированной запятой.

Число, стоящее перед буквой «е», называется мантиссой, а стоящее после — порядком. «Умный калькулятор» перешел к представлению чисел в формате с плавающей запятой после того, как под формат с фиксированной запятой не стало хватать места на табло.

В компьютере то же самое: числа могут представляться как в формате с фиксированной запятой (обычно это целые числа), так и в формате с плавающей запятой.

Но и для форматы с плавающей запятой тоже есть максимальное число. В нашем «подопытном» калькуляторе это число:

То есть 99999 • 10⁹⁹. Самое большое по модулю отрицательное значение -99999 • 10⁹⁹. Данные числа являются целыми, но именно они ограничивают представление любых чисел (целых и вещественных) в калькуляторе.

В компьютере все организовано аналогично, но предельные значения еще больше. Это зависит от разрядности ячейки памяти, выделяемой под число, и от того, сколько разрядов выделяется под порядок и под мантиссу.

Рассмотрим пример: пусть под все число в компьютере выделяется 8 байтов — 64 бита, из них под порядок — 2 байта, под мантиссу — 6 байтов. Тогда диапазон вещественных чисел, в переводе в десятичную систему счисления, оказывается следующим:

±(5 • 10^-324 — 1,7 • 10³⁰⁸).

Завершая тему, посмотрим на рис. 1.9. Смысл, заложенный в нем, такой: непрерывное, бесконечное и не ограниченное множество вещественных чисел, которое рассматривает математика, при его представлении в компьютере обращается в дискретное, конечное и ограниченное множество.

Вопросы и задания

1. Почему множество целых чисел, представимых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено?
2. Определите диапазон целых чисел, хранящихся в 1 байте памяти в двух вариантах: со знаком и без знака.

3. Получите внутреннее представление числа 157 в 8-разрядной ячейке памяти в формате со знаком.
4. Получите внутреннее представление числа -157 в 8-разрядной ячейке памяти в формате со знаком.
5. Почему множество действительных (вещественных) чисел, представимых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено?
6. На какие две части делится число в формате с плавающей запятой?

Ключевые слова:

• разряд
• беззнаковое представление целых чисел
• представление целых чисел со знаком
• представление вещественных чисел

1.2.1. Представление целых чисел

Оперативная память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов — разряда двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Ячейка памяти

Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел, отрицательные числа представляются только в знаковом виде.

Беззнаковое представление используется для таких объектов, как адреса ячеек, всевозможные счётчики (например, число символов в тексте), а также числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях и т. д.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2

n-1. Минимальное число соответствует п нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю.

Ниже приведены максимальные значения для беззнаковых целых n-разрядных чисел:

Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести число в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

Пример 1. Число 53₁₀ = 110101₂ в восьмиразрядном представлении имеет вид:

Это же число 53 в шестнадцати разрядах будет записано следующим образом:

При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел называется прямым кодом.

В компьютере прямые коды используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/) размещён информационный модуль «Число и его компьютерный код». С помощью этого ресурса вы можете получить дополнительную информацию по изучаемой теме.

Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код, позволяющий заменить операцию вычитания сложением. Узнать алгоритм образования дополнительного кода вы можете с помощью информационного модуля «Дополнительный код», размещённого на сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/).

Презентация «Представление информации в компьютере»

Презентация «Представление информации в компьютере» (Open Document Format)

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

Федеральный центр информационных образовательных ресурсов:

Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в экспоненциальной форме:

где:

m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.

Например, число 472 ООО ООО может быть представлено так: 4,72 • 10⁸, 47,2 • 10⁷, 472,0 • 10⁶ и т. д.

С экспоненциальной формой записи чисел вы могли встречаться при выполнении вычислений с помощью калькулятора, когда в качестве ответа получали записи следующего вида: 4.72Е+8.

Здесь знак «Е» обозначает основание десятичной системы счисления и читается как «умножить на десять в степени».

Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться.

Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 ООО ООО будет представлено как 0,472 • 10⁹.

Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Пример:

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Максимальное значение порядка числа для приведённого выше примера составляет 1111111₂ = 127₁₀, и, следовательно, максимальное значение числа:

0,11111111111111111111111 • 10^1111111

Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.

Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Вместе с тем следует понимать, что алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.

Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Бели число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1. Положительные числа хранятся в компьютере в прямом коде, отрицательные — в дополнительном.

При хранении в компьютере вещественных чисел выделяются разряды на хранение знака порядка числа, самого порядка, знака мантиссы и мантиссы. При этом любое число записывается так:

где:

m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Используйте эти материалы при подготовке ответов на вопросы и выполнении заданий.

2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?

3. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.

4. Представьте число 63₁₀ в беззнаковом 8-разрядном формате.

5. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:

а) 01001100;
б) 00010101.

6. Какие из чисел 443₈, 101010₂, 256₁₀ можно сохранить в 8-разрядном формате?

7. Запишите следующие числа в естественной форме:

а) 0,3800456 • 10²;
б) 0,245 • 10^-3;
в) 1,256900Е+5;
г) 9,569120Е-3.

8. Запишите число 2010,0102₁₀ пятью различными способами в экспоненциальной форме.

9. Запишите следующие числа в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:

а) 217,934₁₀;
б) 75321₁₀;
в) 0,00101₁₀.

10. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.

Электронное приложение к уроку

Презентация «Представление информации в компьютере»

Презентация «Представление информации в компьютере» (Open Document Format)

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

Федеральный центр информационных образовательных ресурсов:


	Презентации, плакаты, текстовые файлы	Вернуться к материалам урока	Ресурсы ЭОР

Cкачать материалы урока

Представление чисел в памяти компьютера

-32768

Выход результатов вычислений за границы допустимого диапазона называется переполнением. Переполнение при вычислениях с фиксированной точкой не вызывает прерывания работы процессора. Машина продолжает считать, но результаты могут оказаться неправильными.

Вещественные числа. Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с веществен-ными числами. Как же такие числа представляются в памяти компьютера?

Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой.

Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления р в некоторой целой степени n, которую называют порядком:

R = m * рⁿ

Например, число 25,324 можно записать в таком виде: 0.25324х102. Здесь m=0.25324 — мантисса, n=2 — порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная точка в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка».

Однако справедливы и следующие равенства:

25,324 = 2,5324*101 = 0,0025324*104 = 2532,4*102 и т.п.

Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализован-ном представлении должна удовлетворять условию:

0,1_pp.

Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль. Значит для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0.25324 * 102. В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим один из возможных. Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (р=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

± машинный порядок

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp М А

Н Т И С

С А&nbsp &nbsp &nbsp

&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp1-й байт &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 2-й байт&nbsp&nbsp&nbsp 3-й байт &nbsp 4-й байт&nbsp&nbsp

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:

Машинный порядок	0	1	2	3	…	64	65	…	125	126	127
Математический порядок	-64	-63	-62	-61	…	0	1	…	61	62	63

Если обозначить машинный порядок Мр, а математический — р, то связь между ними ыразится такой формулой:

Мр = р + 64.

Итак, машинный порядок смещен относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает.

Полученная формула записана в десятичной системе. Поскольку 6410=4016 (проверьте!), то в шестнадцатеричной системе формула примет вид:

Мр₁₆ = р₁₆ + 40₁₆

И, наконец, в двоичной системе:

Мр₂= р₂+100 0000₂

Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами. 25,324₁₀= 11001,0101001011110001101₂
Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой: 0,110010101001011110001101*10¹⁰¹ Здесь мантисса, основание системы счисления (2₁₀=10₂) и порядок (5₁₀=101₂)записаны в двоичной системе.
Вычислим машинный порядок. Мр₂ = 101 + 100 0000 = 100 0101
Запишем представление числа в ячейке памяти.
01000101 11001010 10010111 10001101

Это и есть искомый результат. Его можно переписать в более компактной шестнадцатеричной форме:

Для того, чтобы получить внутреннее представление отрицательного числа -25,324,достаточно в полученном выше коде заменить в разряде знака числа 0 на 1.

Получим:

11000101

11001010

10010111

10001101

А в шестнадцатеричной форме:

Никакого инвертирования, как для отрицательных чисел с фиксированной точкой, здесь не происходит.

Рассмотрим, наконец, вопрос о диапазоне чисел, представимых в форме с плавающей точкой. Очевидно, положительные и отрицательные числа расположены симметрично относительно нуля. Следовательно, максимальное и минимальное числа равны между собой по модулю: Rmax = |Rmin|. Наименьшее по абсолютной величине число равно нулю. Чему же равно Rmax? Это число с самой большой мантиссой и самым большим порядком:

0,111111111111111111111111*10₂^1111111

Если перевести в десятичную систему, то получится

Rmax = (1 — 2^-24) * 2⁶⁴ = 10¹⁹

Очевидно, что диапазон вещественных чисел значительно шире диапазона целых чисел. Если в результате вычислений получается число по модулю большее, чем Rmax, то происходит прерывание работы процессора. Такая ситуация называется переполнением при вычислениях с плавающей точкой. Наименьшее по модулю ненулевое значение равно:

(1/2) * 2^-64=2^-66.

Любые значения, меньшие данного по абсолютной величине, воспринимаются процессором как нулевые.

Как известно из математики, множество действительных чисел бесконечно и непрерывно. Множество же вещественных чисел, представимых в памяти ЭВМ в форме с плавающей точкой, является ограниченным и дискретным. Каждое следующее значение получается прибавлением к мантиссе предыдущего единицы в последнем (24-м) разряде. Количество вещественных чисел, точно представимых в па-мяти машины, вычисляется по формуле:

N = 2^t * ( U — L+ 1) + 1.

Здесь t — количество двоичных разрядов мантиссы; U — максимальное значение математического порядка; L — минимальное значение порядка. Для рассмотренного нами варианта (t = 24, U = 63, L = -64) получается:

N = 2 146 683 548.

Все же остальные числа, не попадающие в это множество, но находящиеся в диапазоне допустимых значений, представляются в памяти приближенно (мантисса обрезается на 24-м разряде). А поскольку числа имеют погрешности, то и результаты вычислений с этими числами также будут содержать погрешность. Из сказанного следует вывод: вычисления с вещественными числами в компьютере выполняются приближенно.

Вопросы и задания

Что такое форма с фиксированной точкой? Для представления каких чисел в компьютере она используется?
Как в форме с фиксированной точкой представляются целые положительные и отрицательные числа?

§ 1.2. Представление чисел в компьютере

Ключевые слова:

1.2.1. Представление целых чисел

Рис. 1.2. Ячейка памяти

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2ⁿ-1. Минимальное число соответствует п нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю.

Ниже приведены максимальные значения для беззнаковых целых n-разрядных чисел:

Пример 1. Число 53₁₀ = 110101₂ в восьмиразрядном представлении имеет вид:

Это же число 53 в шестнадцати разрядах будет записано следующим образом:

1.2.2. Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в экспоненциальной форме:

где:

m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.

Например, число 472 000 000 может быть представлено так: 4,72 • 10⁸, 47,2 • 10⁷, 472,0 • 10⁶ и т. д.

Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться.

Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 000 000 будет представлено как 0,472 • 10⁹.

Пример:

0,11111111111111111111111 • 10^1111111

Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

где:

m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.

Вопросы и задания

2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?

4. Представьте число 63₁₀ в беззнаковом 8-разрядном формате.

5. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:

а) 01001100;
б) 00010101.

6. Какие из чисел 443₈, 101010₂, 256₁₀ можно сохранить в 8-разрядном формате?

7. Запишите следующие числа в естественной форме:

а) 0,3800456 • 10²;
б) 0,245 • 10^-3;
в) 1,256900Е+5;
г) 9,569120Е-3.

8. Запишите число 2010,0102₁₀ пятью различными способами в экспоненциальной форме.

а) 217,934₁₀;
б) 75321₁₀;
в) 0,00101₁₀.

10. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.

Электронное приложение к уроку


	Файлы	Материалы урока	Ресурсы ЭОР

Cкачать материалы урока

Представление чисел в компьютере. Представление целых и вещественных чисел в памяти компьютера

Содержание статьи:

Каждый, кто хоть раз думал в своей жизни о том, как стать «профи» или «системный администратор», а просто, чтобы связать судьбу вычислительной техники, знания о представлении числа в памяти компьютера, что является абсолютно необходимым. Потому что он на основе этого языки программирования низкого уровня ассемблер. Поэтому сегодня мы рассмотрим представления чисел в компьютерах и их размещение в ячейках памяти.

Системы счисления

Вам будет интересно:Дизайн презентации: советы по созданию

Если Вы читаете эту статью, вы, вероятно, уже знаете это, но стоит повторить. Все данные в персональном компьютере хранится в двоичном формате. Это означает, что все числа должны быть представлены в соответствующей форме, которая состоит из нулей и единиц.

Чтобы перевести для нас обычные десятичные числа в форме, понятной для компьютера, вы должны использовать следующий алгоритм. Есть специальные калькуляторы.

Поэтому, для того, чтобы перевести число в двоичную систему счисления нужно взять выбранное значение и разделить его на 2. Тогда мы получим результат и остаток (0 или 1). Результат снова разделить на 2 и запишите остаток. Эту процедуру следует повторять до тех пор, пока в конце концов не быть 0 или 1. Затем написать конечного значения и остается в обратном порядке, как мы их получили.

Именно так и происходит представления чисел в компьютерах. Любое число, записанное в двоичной системе, а затем занимает ячейку памяти.

Вам будет интересно:Как получить root права на Android через ПК?

Памяти

Как вы уже должны знать, минимальной единицей информации является 1 бит. Как мы видели, представление чисел в ЭВМ происходит в двоичном формате. Таким образом, каждый бит памяти занимает одна значение, 1 или 0.

Используется для хранения большого количества клеток. Каждый блок содержит до 8 бит. Таким образом, можно сделать вывод, что минимальное значение в каждом из сегментов памяти может быть 1 байт или восемь-значное двоичное число.

Весь

Наконец мы добрались до непосредственного размещения данных на компьютер. Как уже упоминалось, первое, что процессор преобразует информацию в двоичном формате, а потом помещает их в память.

Мы начнем с самого простого варианта, который является представлением целых чисел в компьютере. ПК отводит под этот процесс до смешного малое количество клеток – только один. Таким образом, максимум в один слот может иметь значение от 0 до 11111111. Давайте переведем максимальное число в обычной форме.
Х = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 1 × 28 — 1 = 255.

Теперь мы видим, что в одной ячейке памяти может иметь значение от 0 до 255. Однако, это применимо только для неотрицательных целых чисел. Если компьютер нужно записать отрицательное значение, все пошло бы по-другому.

Отрицательные числа

Теперь давайте посмотрим, как представление чисел в компьютере, если они отрицательные. Для размещения значений, которые меньше нуля, присваивается две ячейки памяти, или 16 бит информации. В то время как 15 пройти под само число, а первый (левый) бит отводится под соответствующий знак.

Если цифра отрицательная, то записывается «1» в случае положительного результата «0». Для простоты запоминания можно провести аналогию: если знак есть, то ставим 1, если нет, то ничего (0).

Остальные 15 бит, отведенных на номер. Аналогично предыдущему случаю, они могут разместить максимум пятнадцати единиц. Следует отметить, что учет отрицательных и положительных чисел значительно отличаются друг от друга.

Для того, чтобы разместить 2 ячейки памяти значение больше или равно нулю, так называемый прямой код. Эта операция выполняется точно так же, как было описано, и максимум = 32766 при использовании десятичной системы счисления. Сразу хочу отметить, что в данном случае «0» относится к положительной.

Примеры

Представление целых чисел в памяти компьютера-это не такая сложная задача. Хотя это немного более сложным, если он является отрицательной величиной. Чтобы записать число, которое меньше нуля, использовать дополнительный код.

Чтобы сделать это, машина производит ряд вспомогательных операций.

Сначала записывается на отрицательные числа модуль в двоичное число. То есть, компьютер запоминает подобное, но положительное значение.

Это сопровождается инвертирование каждого бита памяти. С этой целью все единицы заменяются на нули, и наоборот.

Добавить «1» к результату. Это будет дополнительный код.

Рассмотрим пример. Пусть у нас есть число X = — 131. Во-первых, получить модуль |х|= 131. Потом перевести в двоичную систему и записать в 16 клеток. Получишь Х = 0000000010000011. После инвертирования х=1111111101111100. Добавить к нему «1» и получить обратный код X=1111111101111101. Для записи в 16-битном минимальный номер ячейки памяти-это x = — (215) = — 32767.

Длинных целых чисел

Как видите, представления действительных чисел в компьютерах не так сложно. Однако, в рассматриваемом диапазоне не может быть достаточно для большинства операций. Поэтому, для того, чтобы вместить большое количество, что компьютер выбирает 4 ячейки памяти, или 32 бита.

Процесс записи абсолютно не отличается от представленного выше. Итак, мы просто даем диапазон чисел, которые могут храниться в этом типе.

Hmag=2 147 483 647.

ГМЗ=- 2 147 483 648.

Эти ценности, в большинстве случаев, для того, чтобы записывать и проводить данные операции.

Представление вещественных чисел в компьютере имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, эта техника облегчает выполнение операций между целочисленными значениями, что значительно ускоряет работу процессора. С другой стороны, этот диапазон оказывается недостаточным для решения большинства задач экономики, физики, арифметики и других наук. Поэтому теперь мы рассмотрим другой способ для холуйства.

С плавающей точкой

Это последнее, что вам нужно знать о представлении чисел в компьютере. Потому что при написании дроби, возникает проблема определения положения запятой в них, чтобы расположить эти числа в компьютере используется экспоненциальная форма.

Любое число может быть представлено в следующем виде X = м * РП. Где m-мантисса, Р системы счисления, а n – экспонента.

Для стандартизации записи чисел с плавающей запятой, используйте следующее условие, при котором модуль мантиссы должна быть больше или равна 1 и меньше 1.

Пусть нам дано число 666,66. Привести его в экспоненциальной форме. Получишь Х = 0,66666 * 103. П = 10 и П = 3.

Для хранения значений с плавающей точкой, обычно это 4 или 8 байт (32 или 64 бит). В первом случае она называется число обычной точности, а второй-с двойной точностью.

Из 4 байтов, выделенных для хранения цифр 1 (8 бит) приведены данные о заказе и его знак, и 3 байта (24 бита) для хранения мантиссы и ее знака по тем же принципам, как и для целочисленных значений. Зная это, мы можем сделать некоторые простые вычисления.

Максимальное значение P = 11111112 = 12710. Исходя из этого, мы можем получить максимальный размер целого числа, которое может храниться в памяти компьютера. Х=2127. Теперь мы можем рассчитать максимально возможную мантиссу. Она будет равна 223 – 1 ≥ 223 = 2(10 × 2,3) ≥ 10002,3 = 10(3 × 2,3) ≥ 107. В конце концов, мы получили приблизительное значение.

Теперь, если мы объединим оба вычисления, мы получим значения, которые могут быть записаны без потери в 4 байта памяти. Он равен х = 1,701411 * 1038. Остальные цифры были отброшены, потому что такая точность делает возможным такой способ записи.

Двойной точности

Поскольку все расчеты были уточнены и объяснены в предыдущем пункте, здесь мы очень коротко расскажем вам все. Для чисел с двойной точностью обычно отводится 11 разрядов для порядка и его знака, и 53 бита мантиссы.

Н = 11111111112 = 102310.

М = 252 -1 = 2(10*5.2) = 10005.2 = 1015.6. Сгоняли и получить максимальное число х = 21023 до «М».

Надеюсь, информация о представлении целых и вещественных чисел в компьютере, который мы предоставили будет полезно для вас в обучении и станет хоть немного яснее, чем то, что обычно пишут в учебниках.

Источник

Представление целых и вещественных чисел в памяти ПК

Организационный момент

Дети рассаживаются по местам. Проверяют наличие принадлежностей.

Личностные УУД:

— формирование навыков самоорганизации

Проверка домашней работы + устное повторение

РТ. № 43 (визуально

устное повторение:

Какие системы счисления относятся к компьютерным?
В чем преимущество хранения числовой информации в 8-ричной и 16-ричной системах перед двоичной системой?
Каков алфавит 8-ричной системы?
Каков алфавит 16-ричной системы?
В чем суть алгоритма записи чисел в развернутой форме? К чему это приводит?
В чем суть алгоритма перевода десятичного числа в любую систему счисления?

-2,8,16;

-экономия места в памяти ПК;

-0-7;

-0-9,A-F;

— число раскладывается по разрядным слагаемым, происходит перевод числа в десятичную систему счисления;

-деление на основание системы, выписывание остатков

Регулятивные УУД:

— формирование осознанного подхода к оценке деятельности.

Формулирование темы и целей урока (по 1 баллу за каждый ответ)

-Вспомни, как представляются символы в памяти ПК?

-Подумай, как представляются числа в памяти ПК?

— Да, вы правы, числовая информация, как и любая другая хранится и обрабатывается компьютером в двоичной системе. Но для хранения и обработки чисел имеются свои правила. На уроке мы и должны узнать, как представляются числа в памяти ПК и тема нашего урока:

— — Задачи урока:

—узнать:

—научиться:

— двоичные коды хранятся в таблицах кодировки;

— записать число в других системах счисления;

-наверное, тоже в двоичной системе счисления;

-«Представление чисел в компьютере»;

—о представлении чисел в памяти ПК;

-записывать числа в компьютерном представлении.

Коммуникативные УУД:

— развитие навыков общения со сверстниками и взрослыми в процессе деятельности.

Личностные УУД:

— формирование математического мышления

Регулятивные УУД:

— умение ставить учебную задачу, называть цель, формулировать тему в соответствии с нормами русского языка,

Объяснение темы

— узнай о представлении чисел в компьютере

— составь опорный конспект:

— смотрят видео;

-работают с учебником п. 1.2

Познавательные УУД:

— развитие познавательной активности

Личностные УУД:

— формирование навыков грамотного письма, формирования навыков поиска информации в имеющемся источнике.

Познавательные УУД:

— развитие познавательной активности

Личностные УУД:

— формирование навыков решения задач

Регулятивные УУД:

—умение использовать полученные знания на практике

Компьютерный практикум

Выполни с помощью учебного тренажера, запиши в тетрадь

Работают с интерактивным тренажером «Числа в памяти ПК»

Итоги урока, выставление оценок.

Можете ли вы назвать тему урока?

— Вам было легко или были трудности?

— Что у вас получилось лучше всего и без ошибок?

— Какое задание было самым интересным и почему?

— Как бы вы оценили свою работу?

Представление чисел в компьютере. Вещественные числа

Вопросы занятия:

· представление вещественных чисел в компьютере;

· множество действительных чисел, представимых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено;

· форматы представления вещественных чисел.

Как вы помните из курса математики, вещественные числа – это более широкий круг чисел, появление которых возникло из необходимости измерения несоизмеримых величин. Например, для извлечения корня, вычисления логарифмов, решения уравнений, исследования функций и прочее.

Данное множество включает в себя кроме целых чисел ещё и рациональные и иррациональные числа.

Понятие вещественного числа прошло долгий путь определения и становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора было открыто существование несоизмеримых величин – несоизмеримость стороны и диагонали квадрата – то есть было открыто наличие иррациональных чисел.

Классическое определение вещественным числам дал в восемнадцатом веке Исаак Ньютон.

Понятно, что в математике множество вещественных чисел – бесконечно, непрерывно и не ограничено. Если представить числовую ось, то между двумя точками на числовой оси лежит бесконечное множество вещественных чисел.

Рассмотрим представление вещественных чисел в компьютере. Как вы помните, числа в компьютере представляются в двоичной системе счисления. Однако, в отличии от математики, множество вещественных чисел в компьютере – дискретно, ограничено и конечно. Опять же, как и в случае с целыми числами, из-за ограниченности размера ячейки памяти.

Рассмотрим пример.

Из математики известно, что дробь

Здесь слово «бесконечная» означает, что в десятичной записи бесконечной десятичной дроби после запятой стоит бесконечное число десятичных знаков.

А слово «периодическая» означает, что это такая дробь, в которой бесконечно повторяется одна или несколько цифр. В нашем случае единица.

То есть обыкновенная дробь

Выполним деление на калькуляторе.

Итак, на табло калькулятора мы видим конечное число единиц после запятой.

Первый разряд отведён под знак числа. После запятой мы видим шестнадцать цифр, остальные не вместились в разрядную сетку. То есть мы получили не точное десятичное значение дроби одна девятая, а его сокращённое значение.

Следующее по величине число, которое может быть отображено на табло калькулятора будет больше предыдущего на величину, которая называется шагом числовой последовательности.

То есть можно сделать вывод: множество вещественных чисел, представимых в калькуляторе, дискретно, потому что числа отделены друг от друга конечными отрезками.

Давайте узнаем будет ли шаг в последовательности вещественных чисел на калькуляторе постоянной величиной (как у целых чисел).

Вычислим выражение

То есть мы получили число, которое больше предыдущего числа в тысячу раз. Как и в прошлый раз, наше число будет обрезанное.

Обратите внимание, шаг числовой последовательности изменится. Он, по сравнению с предыдущем примером, увеличится в тысячу раз.

То есть можно сделать вывод: множество вещественных чисел, представимых в калькуляторе, дискретно с переменной величиной шага между соседними числами.

Отметим на числовой прямой точные значения вещественных чисел, которые можно представить на калькуляторе. Как видим, точки будут размещаться неравномерно: ближе к нулю – чаще, дальше от нуля – реже.

Все наши манипуляции с калькулятором также действительны и для компьютера, только с переходом на двоичную систему счисления и с учётом размера ячейки памяти компьютера.

В компьютере также, вещественные числа расположены неравномерно.

Множество вещественных чисел на калькуляторе и компьютере ограниченно и конечно из-за ограниченности разрядной сетки.

То есть самое большое число на разных калькуляторах будет различным. Так на самом простом калькуляторе, самое большое вещественное число будет 999999999. Если увеличить это число на единицу, то калькулятор выдаст сообщение об ошибке. На другом же калькуляторе, более усовершенствованном, самое большое число будет больше и если прибавить единицу, то вы получите следующий результат:

Для нас такая запись означает: единица, умноженная на десять в шестнадцатой степени.

Данный формат записи числа называют форматом с плавающей запятой, ранее мы рассматривали примеры только с фиксированной запятой.

Число, стоящее перед буквой е, называют мантиссой, число, стоящее после — порядком. Буква Е – это основание десятичной системы счисления.

То есть всякое вещественное число икс записывается в виде произведения мантиссы и основания системы счисления в некоторой целой степени, которую называют порядком:

Например, число 25324 можно представить различными способами

Рассмотрим представление 0,25324 • 10⁵

Здесь мантисса m = 0,25324, а n = 5 – порядок.

Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместится десятичная запятая в мантиссе.

Мантисса числа для однозначности представления чисел с плавающей запятой должна иметь нормализованную форму, а именно представлять собой правильную дробь с цифрой после запятой, отличной от нуля;

Рассмотрим примеры нормализованного представления чисел.

Числа в компьютере могут представляться в формате как с фиксированной запятой, это, как правило, целые числа, так и в формате с плавающей запятой.

Но важно понимать, что и для числа, записанного в формате с плавающей запятой всегда есть ограничение – есть определённое самое большое число. Для нашего калькулятора это число

Положительные и отрицательные числа расположены симметрично относительно нуля. Следовательно, максимальное и минимальное числа равны между собой по модулю.

Эти числа являются целыми, но именно они ограничивают представление всех чисел: и целых, и вещественных, на калькуляторе.

Для компьютера эти ограничения конечно будут больше, но все равно будут. Как вы понимаете данное ограничение зависит от разрядности ячейки памяти и от того сколько разрядов выделяется под мантиссу и под порядок.

Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. То есть наша ячейка в памяти может состоять из 32 или 64 клеточек. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Давайте разберёмся на примере. Возьмём число 125 в десятичной системе счисления и запишем её в 32-разрядную ячейку.

Мы записали двоичное число в экспоненциальной форме.

Теперь перенесём всё в клеточки ячейки памяти, размером 32 разряда.

Под знак и порядок выделяется 8 клеточек, под знак и мантиссу 24.

Первую клеточку слева выделяем под знак. Так как наше число положительное, то ставим цифру ноль. В разделе Знак и порядок запишем число семь в двоичной системе счисления. Оставшиеся клеточки заполним нулями.

Теперь переходим к разделу Знак и мантисса. В первой слева снова ставим цифру ноль, которая обозначает, что число положительное. Далее запишем наше число, а оставшиеся клеточки заполним нулями.

Мы записали наше число в тридцатидвухразрядную ячейку.

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка чисел, а точность – количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Диапазон вещественных чисел ограничен, но он значительно шире, чем при представление целых чисел в форме с фиксированной запятой.

Например, при использовании 32-разрядной ячейки этот диапазон следующий:

Подводя итог нашего урока, можно сделать следующий вывод, что бесконечное, непрерывное и не ограниченное множество вещественных чисел в математике, в компьютерном представлении превращается в дискретное, ограниченное и конечное множество.

Итоги урока.

вещественные числа в компьютере представляются в формате с плавающей запятой.

всякое вещественное число X записывается в виде произведения мантиссы m и основания системы счисления q в некоторой целой степени n, которую называют порядком.

Нормализованной формой числа с плавающей запятой называется правильная дробь с цифрой после запятой, отличной от нуля.

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка чисел, а точность – количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

1. Двоичная арифметика. Компьютерное представление целых и вещественных чисел.

Материалы взяты с сайта К. Полякова: http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm

Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера.

Что нужно знать:

· перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления (см. презентацию «Системы счисления»)

Полезно помнить, что в двоичной системе:

· четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1;

· числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2^k, оканчиваются на k нулей

· если число N принадлежит интервалу 2^k-1£ N < 2^k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125:

2⁶ = 64 £ 125 < 128 = 2⁷, 125 = 1111101₂ (7 цифр)

· числа вида 2^k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например:

16 = 2⁴ = 10000₂

· числа вида 2^k-1записываются в двоичной системе k единиц, например:

15 = 2⁴-1 = 1111₂

· если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:
15 = 1111₂, 30 = 11110₂, 60 = 111100₂, 120 = 1111000₂

· отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде

· для перевода отрицательного числа (-a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции:

o перевести число a-1 в двоичную систему счисления

o сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки (см. пример далее)

Пример задания:

Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 6 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.

1) 63₁₀* 4₁₀ 2) F8₁₆+ 1₁₀ 3) 333₈ 4) 11100111₂

Решение:

1) нужно перевести все заданные числа в двоичную систему, подсчитать число единиц и выбрать наибольшее и чисел, в которых ровно 6 единиц;

2) для первого варианта переведем оба сомножителя в двоичную систему:

63₁₀= 111111₂ 4₁₀= 100₂

в первом числе ровно 6 единиц, умножение на второе добавляет в конец два нуля:

63₁₀* 4₁₀= 111111₂* 100₂= 11111100₂

то есть в этом числе 6 единиц

3) для второго варианта воспользуемся связью между шестнадцатеричной и двоичной системами счисления: каждую цифру шестнадцатеричного числа можно переводить отдельно в тетраду (4 двоичных цифры):

F₁₆= 1111₂ 8₁₆= 1000₂ F8₁₆ = 1111 1000₂

после добавления единицы F8₁₆ + 1 = 1111 1001₂ также получаем число, содержащее ровно 6 единиц, но оно меньше, чем число в первом варианте ответа

4) для третьего варианта используем связь между восьмеричной и двоичной системами: каждую цифру восьмеричного числа переводим отдельно в триаду (группу из трёх) двоичных цифр:

333₈ = 011 011 011₂ = 11011011₂

это число тоже содержит 6 единиц, но меньше, чем число в первом варианте ответа

5) последнее число 11100111₂уже записано в двоичной системе, оно тоже содержит ровно 6 единиц, но меньше первого числа

6) таким образом, все 4 числа, указанные в вариантах ответов содержат ровно 6 единиц, но наибольшее из них – первое

7) Ответ: 1.

Ещё пример задания:

Сколько единиц в двоичной записи числа 1025?

1) 1 2) 2 3) 10 4) 11

Решение (вариант 1, прямой перевод):

8) переводим число 1025 в двоичную систему: 1025 = 10000000001₂

9) считаем единицы, их две

10) Ответ: 2

Возможные проблемы:

легко запутаться при переводе больших чисел.

Решение (вариант 2, разложение на сумму степеней двойки):

1) тут очень полезно знать наизусть таблицу степеней двойки, где 1024 = 2¹⁰ и 1 = 2⁰

2) таким образом, 1025= 1024 + 1 = 2¹⁰ + 2⁰

3) вспоминая, как переводится число из двоичной системы в десятичную (значение каждой цифры умножается на 2 в степени, равной её разряду), понимаем, что в двоичной записи числа ровно столько единиц, сколько в приведенной сумме различных степеней двойки, то есть, 2

4) Ответ: 2

Возможные проблемы:

нужно помнить таблицу степеней двойки.

Когда удобно использовать:

· когда число чуть больше какой-то степени двойки

Еще пример задания:

Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-78)?

1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

Решение:

1) переводим число 78 в двоичную систему счисления:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 2⁶ + 2³ + 2² + 2¹ = 1001110₂

2) по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов

3) чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

78 = 01001110₂

4) делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

01001110₂ → 10110001₂

5) добавляем к результату единицу

10110001₂ + 1 = 10110010₂

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

6) в записи этого числа 4 единицы

7) таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные ловушки и проблемы:

· нужно не забыть в конце добавить единицу, причем это может быть не так тривиально, если будут переносы в следующий разряд – тут тоже есть шанс ошибиться из-за невнимательности

Еще пример задания:

1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

Решение (вариант 1, классический):

1) переводим число 78 в двоичную систему счисления:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 2⁶ + 2³ + 2² + 2¹ = 1001110₂

2) по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов

3) чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

78 = 01001110₂

4) делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

01001110₂ → 10110001₂

5) добавляем к результату единицу

10110001₂ + 1 = 10110010₂

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

6) в записи этого числа 4 единицы

7) таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные ловушки и проблемы:

Представление действительных и целых чисел

Последнее обновление , пятница, 22 января 2021 г., 11:07, , Елена Керачева.

Представление (или кодирование) числа означает выражение его в двоичной форме. Представление чисел в компьютере необходимо для того, чтобы мог хранить их и манипулировать ими . Однако проблема в том, что математическое число может быть бесконечным , но представление числа в компьютере должно занимать заранее определенное число бит.Ключ, таким образом, состоит в том, чтобы заранее определить количество битов и то, как их интерпретировать, чтобы они могли представлять фигуру как можно более эффективно. В этой статье мы обсудим представление натуральных, действительных и целых чисел на компьютере.

Представление натурального числа

Натуральное число — это , целое положительное число или ноль . Выбор количества используемых битов зависит от диапазона используемых чисел. Чтобы закодировать натуральные числа от 0 до 255, все, что нужно, это 8 бит (байт), так как 2 ⁸ = 256 .Вообще говоря, n -битное кодирование может использоваться для представления натуральных чисел от 0 до 2 ⁿ -1.

Для представления натурального числа, определив, сколько битов будет использоваться для его кодирования, расположите биты в двоичную ячейку, при этом каждый бит размещается в соответствии с его двоичным весом справа налево, затем заполняет неиспользуемые биты нулями .

Представление целого числа

Целое число — это целое число, которое может быть отрицательным .Следовательно, число должно быть закодировано таким образом, чтобы можно было сказать, положительное оно или отрицательное, и следовать правилам сложения. Хитрость заключается в использовании метода кодирования с дополнением до двух .

Положительное целое число или ноль будет представлено в двоичном формате (с основанием 2) как натуральное число, за исключением того, что бит с наибольшим весом (крайний левый бит) представляет знак плюс или минус. Таким образом, для положительного целого числа или нуля, этот бит должен быть установлен в 0 (что соответствует знаку плюс, поскольку 1 — знак минус).Таким образом, если натуральное число закодировано с использованием 4 битов, наибольшее возможное число будет 0111 (или 7 в десятичном формате).

Как правило, наибольшее положительное целое число, закодированное с использованием n битов, будет 2 ^n-1 -1 .

Отрицательное целое число кодируется с использованием дополнения до двух.

Принцип с дополнением до двух :

- Выберите отрицательное число.
- Возьмем его абсолютное значение (его положительный эквивалент).
- Он представлен в базе 2 с использованием n-1 битов.
- Каждый бит переключается с его дополнением (т. Е. Все нули заменяются единицами и наоборот).
- Добавить 1.

Обратите внимание, что при сложении числа и его дополнения до двух получится 0.

Давайте посмотрим на это на примере:

Мы хотим закодировать значение -5, используя 8 бит. Для этого:

записать 5 в двоичном формате: 00000101
включите его в комплект: 11111010
добавить 1: 11111011
8-битное двоичное представление -5 — это 11111011

Комментарии:

Бит с наибольшим весом — 1, так что это действительно отрицательное число.

Если сложить 5 и -5 (00000101 и 11111011), получится 0 (с остатком 1).

Представление действительного числа

Цель состоит в том, чтобы представить число с десятичной запятой в двоичном формате (например, 101.01, которое не читается сто одна точка ноль один , потому что это фактически двоичное число, то есть 5,25 в десятичном) используя форму 1.XXXXX … * 2 ⁿ (в нашем примере 1.0101 * 2 ²). Стандарт IEEE 754 определяет, как кодировать действительное число.

Этот стандарт предлагает способ кодирования числа с использованием 32 битов и определяет три компонента:

Знак плюс / минус представлен одним битом, битом с наибольшим весом (крайний левый).
Показатель степени кодируется с использованием 8 бит сразу после знака.
Мантисса (биты после десятичной точки) с оставшимися 23 битами.

Таким образом, кодировка выглядит следующим образом:
seeeeeeeemmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

s представляет бит знака.
Каждый e представляет бит экспоненты.
Каждые м представляют бит мантиссы.

Однако есть некоторые ограничения для экспонентов:

Показатель 00000000 запрещен.

Показатель 11111111 запрещен.

Однако они иногда используются для сообщения об ошибках. Эта числовая конфигурация называется NaN , для Not числом.

127 (01111111) необходимо добавить к экспоненте, чтобы преобразовать десятичное число в действительное в двоичном формате.0 = 1).
E — показатель степени, к которому нужно добавить 127, чтобы получить закодированный эквивалент.
F — это дробная часть, единственная выраженная и добавляемая к 1 для выполнения вычисления.

Вот , пример : нужно закодировать значение 525,5 .

525,5 положительный, поэтому первый бит будет 0.
Его представление в базе 2: 1000001101.1.
Нормализуя его, мы получаем: 1.⁹.
Добавляем 127 к экспоненте, которая равна 9, дает 136, или по основанию 2: 10001000.
Мантисса состоит из десятичной части 525,5 по нормализованному основанию 2, которая равна 0000011011.
Поскольку мантисса должна занимать 23 бита, для ее завершения необходимо добавить нули:

00000110110000000000000.

Следовательно, двоичное представление 525.5 согласно стандарту IEEE 754:

0 1000 1000 00000110110000000000000
0100 0100 0000 0011 0110 0000 0000 0000 (4403600 в шестнадцатеричной системе)

Вот еще один пример , на этот раз с использованием отрицательного действительного числа : значение -0.625 подлежит кодированию.

Бит s равен 1, так как 0,625 отрицателен.
0,625 записывается по основанию 2 следующим образом: 0,101.
Мы хотим записать его в виде 1.01 x 2-1.
Следовательно, показатель степени стоит 1111110 как 127-1 = 126 (или 1111110 в двоичной системе).
Мантисса — 01000000000000000000000 (представлены только цифры после десятичной точки, так как все число всегда равно 1).
Двоичное представление числа 0.625 по стандарту IEEE 754:

1 1111 1110 01000000000000000000000
1111 1111 0010 0000 0000 0000 0000 0000 (FF 20 00 00 в шестнадцатеричном формате)

Фото: Unsplash

Разница между действительными и целыми числами (с таблицей)

Числа могут быть двух типов: действительные и мнимые. Действительная система счисления разветвляется на другие системы счисления. Реальные числа можно разделить на рациональные и иррациональные числа. Целые числа и дроби относятся к рациональным числам.Набор целых чисел состоит из целых чисел и их отрицательных чисел. Целые числа представляют собой набор натуральных чисел и нуля.

Реальные числа против целых

Разница между вещественными числами и целыми числами заключается в том, что первое представляет собой более общую и широкую классификацию чисел. Однако целые числа, имеющие больше ограничений, являются подмножеством действительных чисел.

Целые числа, рациональные числа, иррациональные числа, натуральные числа и целые числа могут быть классифицированы как действительные числа, тогда как только целые числа и их отрицательные числа относятся к целочисленной системе счисления.Следовательно, действительные числа включают дробные или десятичные числа. С другой стороны, целые числа — это строго целые числа (и их отрицательные числа). Целые числа не включают дроби и десятичные дроби.

Таблица сравнения действительных и целых чисел (в табличной форме)

9029 натуральные и целые числа классифицируются как действительные числа.

Параметр сравнения	Действительные числа	Целые числа
Целые числа, рациональные числа	Классификация	Только целые числа и их отрицательные числа классифицируются как целые.
Появление дробей или десятичных знаков.	Дробные или десятичные числа являются действительными числами.	Целое число не может быть дробным или десятичным числом.
Представление на числовой прямой	Любая точка на числовой прямой является действительным числом.	Целые числа и их отрицательные значения в числовой строке являются целыми числами.
Счетность	Действительные числа образуют несчетное бесконечное множество.	Целые числа образуют счетное бесконечное множество.
Условное обозначение	Набор всех действительных чисел представлен буквами «R» или «ℝ».	Набор всех целых чисел представлен буквой «Z».
Происхождение	Термин «реальный» был введен Рене Декартом в 17 веке для описания корней многочлена, которые не были воображаемыми. Их называли «реальными» только потому, что они не были «воображаемыми».	В 1563 году Арбермут Холст изобрел целочисленную систему счисления, чтобы помочь ему в эксперименте с кроликами и слонами.Слово «целое» целое происходит от латинского слова XVI века «целое число», означающего «целое» или «неповрежденное».

Действительные числа являются неотъемлемой частью вселенной чисел. Их роль в развитии математики, несомненно, жизненно важна. Любое число (кроме воображаемого), которое приходит вам в голову, является действительным числом. Будь то положительное, отрицательное, дробное, иррациональное или даже 0.

Действительное число и, следовательно, его подмножества (целые числа, рациональные числа, иррациональные числа, натуральные числа и целые числа) могут быть представлены на прямой числовой строке.Чтобы отличить их от мнимых чисел, Декарт ввел термин «действительный» как средство описания корней многочлена.

Они могут иметь дробные значения. Эта характеристика — то, что отличает их от целых чисел. Действительные числа образуют бесчисленное бесконечное число. Если мы возьмем две точки на числовой прямой, скажем 0 и 1, между этими двумя точками будет бесконечное количество действительных чисел.

Символы «R» или «ℝ» используются для обозначения набора всех действительных чисел.

Целочисленная система счисления является подмножеством действительной системы счисления.Это означает, что все целые числа являются действительными числами; однако обратное неверно. Только целые числа и их отрицательные числа могут быть целыми числами. Целые числа включают счетные числа, такие как 0,1,2,3… и так далее.

Исключение дробных или десятичных значений — вот что делает эту систему уникальной и полезной. Настоящие числа имеют интересную историю своего происхождения. В 1563 году Арбермут Холст проводил эксперимент с кроликами и слонами.

Чтобы помочь ему в этом эксперименте, он изобрел эту систему счисления.Слово «целое число» происходит от латинского слова «целое число» 16 ^-го века, означающего «целое» или «неповрежденное». Этот факт еще больше усиливает нефракционный характер этой системы.

В отличие от действительных чисел, целые числа составляют набор счетных бесконечных чисел. Если мы возьмем две точки на действительной числовой прямой, скажем 0 и 1, между этими двумя точками нет целых чисел. Буква «Z» используется для обозначения набора всех целых чисел.

Основные различия между вещественными числами и целыми числами

Целые числа, рациональные числа, иррациональные числа, натуральные числа и целые числа классифицируются как действительные числа.Только целые числа и их отрицательные числа классифицируются как целые числа.
Дроби и десятичные дроби могут быть включены в вещественные числа, но не в целые числа.
Мы можем использовать прямую действительную числовую линию, чтобы различать две системы счисления. Любая точка, которую вы выберете на этой линии, будет действительным числом. Целые числа и их отрицательные числа в числовой строке являются целыми числами.
Обе эти системы счисления представляют собой бесконечные множества по своей природе. Однако действительные числа образуют бесчисленное бесконечное множество, а целые числа образуют счетное бесконечное множество.
Набор всех действительных чисел представлен буквами «R» или «ℝ». Набор всех целых чисел представлен буквой «Z».

Целые числа помогают нам в повседневном использовании математики в нашей жизни. Например, положительные и отрицательные значения отражают прибыли и убытки в деловых операциях.

Слово «реальные» используется для обозначения того, что действительные числа — это числа, которые не являются мнимыми. Они вместе с мнимыми числами образуют комплексные числа.

Целые, рациональные, иррациональные, натуральные и целые числа классифицируются как действительные числа.Только целые числа и их отрицательные числа классифицируются как целые числа.

Исключение дробных чисел в целых числах отличает их от действительных чисел. Реальные числа допускают использование дробей и десятичных знаков.

Ссылки

https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/S002461150301428X
https://eebweb.arizona.edu/Faculty/Dornhaus/courses/materials/papers20/Gallistel % 20numbers% 20counting% 20cognition.pdf

Разница между действительными и целыми числами

Математики разработали системы, чтобы определить, чем одно число отличается от другого.Как и другие концепции, числовые категории пересекаются. Поскольку действительные числа включают в себя все рациональные числа, такие как целые числа, они обладают схожими характеристиками, такими как использование целых чисел и отображение на числовой прямой. Следовательно, ключевое отличие состоит в том, что действительные числа являются общей классификацией, в то время как целые числа — это подмножество, которое характеризуется как целые числа, которые могут иметь отрицательные свойства.

Что такое действительные числа?

Действительные числа — это значения, которые вы можете найти на числовой прямой, которая обычно выражается в виде геометрической горизонтальной линии, где выбранная точка функционирует как «начало координат».Те, что попадают на правую сторону, помечаются как положительные, а те, что слева, как отрицательные. Описание «реальное» было дано Рене Декартом, известным математиком и философом 17 века. В частности, он установил разницу между действительными корнями многочленов и их мнимыми корнями.

Действительные числа включают целые, целые, натуральные, рациональные и иррациональные числа:

Целые числа — это положительные числа, не имеющие дробных частей и десятичных знаков, поскольку они представляют собой целые объекты без фрагментов или частей.

Целые числа — это целые числа, включающие отрицательную сторону числовой прямой.

Натуральные числа, также известные как счетные числа, похожи на целые числа, но ноль не включается, так как ничто по существу не может быть посчитано как «0».

Что касается его происхождения, то древнегреческий математик Пифагор провозгласил, что все числа рациональны. Рациональные числа — это частные или дробные части двух целых чисел. Если p и q являются целыми числами, а q не эквивалентно нулю, p / q — рациональное число.Например, 3/5 — рациональное число, а 3/0 — нет.

Гиппас, ученик Пифагора, не согласился с тем, что все числа рациональны. С помощью геометрии он доказал, что некоторые числа иррациональны. Например, квадратный корень из двух, равный 1,41, нельзя выразить дробью; следовательно, это иррационально. К сожалению, последователи Пифагора не приняли реальности рациональных чисел. Это привело к тому, что Гиппаса утонули в море, что в то время считалось наказанием богов.

Что такое целые числа?

От латинского слова «целое число», которое переводится как «целое» или «нетронутый», эти числа не имеют дробных или десятичных компонентов, как целые числа. Числа включают положительные натуральные числа или счетные числа и их отрицательные числа. Например, -3, -2, -1, 0, -1, 2, 3 — целые числа. Обычная иллюстрация — это числа с равным интервалом на бесконечной числовой линии с нулем, который не является ни положительным, ни отрицательным, посередине.Следовательно, положительных моментов больше, чем отрицательных.

Что касается его истории, следующие учетные записи прослеживают, как впервые были использованы целые числа:

В 200 г. до н. Э. отрицательные числа впервые были представлены красными стержнями в Древнем Китае.
Примерно в 630 году нашей эры отрицательные числа использовались для обозначения долга в Индии.
Немецкий математик Арбермут Холст ввел целые числа в 1563 году как систему сложения и умножения. Он разработал систему в ответ на рост числа кроликов и слонов, на которых он экспериментировал.

Ниже приведены характеристики целых чисел:

Числа в правой части числовой прямой являются положительными и часто представляют собой большее значение по сравнению с их отрицательными числами.

Числа в левой части числовой линии часто рассматриваются как меньшее стандартное значение их положительных аналогов.

В центре числовой прямой, ноль — это целое число, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Как и целые числа, целые числа не имеют десятичных знаков и дробей.

Разница между действительными и целыми числами

Область действия действительных и целых чисел

Действительные числа включают целые, рациональные, иррациональные, натуральные и целые числа. С другой стороны, область действия целых чисел в основном связана с целыми числами, которые могут быть отрицательными и положительными. Следовательно, действительные числа являются более общими.

Фракции

Действительные числа могут включать дроби, такие как рациональные и иррациональные числа. Однако дроби не могут быть целыми числами.

Свойство с наименьшей верхней оценкой

Вещественные числа обладают свойством наименьшей верхней границы, которое также известно как «полнота». Это означает, что линейный набор действительных чисел имеет подмножества с супремумом. Напротив, у целых чисел нет свойства наименьшей верхней границы.

Собственность Архимеда

Свойство Архимеда, которое заключается в предположении, что существует натуральное число, которое равно или больше любого действительного числа, может быть применено к действительным числам.Напротив, свойство Архимеда нельзя применить к целым числам.

Поле

Вещественные числа — это своего рода поле, которое является важной алгебраической структурой, в которой определены арифметические процессы. Напротив, целые числа не считаются полем.

Счетный

Как набор, действительные числа не могут быть исчислены, а целые — счетными.

Символы действительных чисел и целых чисел

Действительные числа обозначаются буквой «R», а набор целых чисел — буквой «Z».Н. Бурбаки, группа французских математиков в 1930-х годах, определила «Z» от немецкого слова «Zahlen», что означает число или целые числа.

Происхождение слова для действительных и целых чисел

Вещественные числа обозначают действительные корни многочленов, а целые числа произошли от латинского слова «целое», поскольку они не включают десятичные дроби и дроби.

Реальные числа против целых

Сводка вещественных и целых чисел

На числовой прямой могут отображаться как действительные, так и целые числа.
Целые числа — это подмножество действительных чисел.
Целые числа имеют отрицательные числа.
Как набор, действительные числа имеют более широкую область применения по сравнению с целыми числами.
В отличие от целых чисел, действительные числа могут включать дроби и десятичные знаки.
Свойства наименее ограниченного, архимедова и поля обычно применимы к действительным числам, но не к целым числам.
В отличие от действительных чисел, целые числа строго счетны.
«R» обозначает действительные числа, а «Z» — целые числа.

Джин Браун — зарегистрированный психолог, лицензированный профессиональный преподаватель, а также внештатный академический и творческий писатель. Она преподавала курсы социальных наук как на уровне бакалавриата, так и на уровне магистратуры. Джин также была научным консультантом и участником ряда презентаций статей по психологии и специальному образованию. Ее сертификаты включают TESOL (Тампа, Флорида), Сертификат практики психиатрического отделения и Маркер дипломных курсов.

Последние сообщения от gene Brown (посмотреть все)

: Если вам понравилась эта статья или наш сайт.Пожалуйста, расскажите об этом. Поделитесь им с друзьями / семьей.

Cite
APA 7
Коричневый, г. (2018, 13 марта). Разница между действительными и целыми числами. Разница между похожими терминами и объектами. http://www.differencebetween.net/science/mat Mathematics-statistics/difference-between-real-numbers-and-integers/.
MLA 8
Коричневый, ген. «Разница между действительными и целыми числами». Разница между похожими терминами и объектами, 13 марта 2018 г., http: // www.разница между.net/science/mat Mathematics-statistics/difference-between-real-numbers-and-integers/.

Типы номеров — различие и классификация

Можете ли вы представить, какой была бы ваша жизнь, если бы у вас не было возможности представить возраст, вес, дни рождения, время, результаты, банковские счета и номера телефонов? Десять математических цифр (от 0 до 9) используются для определения всех этих величин.

Числа — это строки цифр, используемые для представления количества. Величина числа указывает размер количества.Он может быть как большим, так и маленьким. Они существуют в разных формах, таких как 3, 999, 0,351, 2/5 и т. Д.

Типы чисел в математике

Так же, как разные члены семьи живут в разных домах, разные числа принадлежат к одной семье, но имеют разные типы. . Со временем различные комбинации десяти цифр были классифицированы на множество типов чисел. Эти шаблоны чисел отличаются друг от друга из-за разных представлений и свойств.

Натуральные числа

Натуральные числа или счетные числа — это самые основные типы чисел, которые вы впервые выучили в раннем детстве.Они начинаются с 1 и уходят в бесконечность, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Их также называют положительными целыми числами. В установленной форме они могут быть записаны как:

{1, 2, 3, 4, 5,…}

Натуральные числа представлены символом N .

Целые числа

Целые числа — это набор натуральных чисел, включая ноль. Это означает, что они начинаются с 0 и увеличиваются до 1, 2, 3 и так далее, т.е.

{0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Целые числа представлены символом W .

Целые числа

Целые числа — это совокупность всех целых чисел и отрицательных чисел натуральных чисел. Они содержат все числа, лежащие между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью. Они могут быть положительными, нулевыми или отрицательными, но не могут быть записаны в десятичной или дробной форме. Целые числа могут быть записаны в виде набора как

{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Мы можем сказать, что все целые числа и натуральные числа являются целыми, но не все целые числа — это натуральные или целые числа.

Символ Z представляет целые числа.

Дроби

Дробь представляет собой части целого куска. Его можно записать в виде a / b , где a и b — целые числа, а b никогда не может быть равно 0. Все дроби являются рациональными числами, но не все рациональные числа являются дробями. .

Далее дроби сокращаются до правильных и неправильных дробей. Неправильные дроби — это дроби, в которых числитель больше знаменателя, в то время как для правильных функций верно обратное, т.е.е., знаменатель больше числителя. Примеры правильных дробей: 3/7 и 99/101, а 7/3 и 101/99 — неправильные дроби. Это означает, что неправильные дроби всегда больше 1.

Все завершающие десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби могут быть записаны как дроби. Вы можете записать завершающую десятичную дробь 1,25 как 125/100 = 5/4. Повторяющееся десятичное число 0,3333 можно записать как 1/3.

Рациональные числа

Вы можете записывать рациональные числа в форме дробей. Слово «рациональный» происходит от слова «соотношение», поскольку рациональные числа — это отношения двух целых чисел.Например, 0,7 — рациональное число, потому что его можно записать как 7/10. Другими примерами рациональных чисел являются -1/3, 2/5, 99/100, 1,57 и т. Д.

Рассмотрим рациональное число p / q , где p и q — два целых числа. Здесь числитель p может быть любым целым числом (положительным или отрицательным), но знаменатель q никогда не может быть 0, поскольку дробь не определена. Кроме того, если q = 1, то дробь является целым числом.

Символ Q представляет рациональные числа.

Иррациональные числа

Иррациональные числа не могут быть записаны в форме дробей, т.е.они не могут быть записаны как отношение двух целых чисел. Вот несколько примеров иррациональных чисел: √2, √5, 0,353535…, π и так далее. Вы можете видеть, что цифры в иррациональных числах продолжаются до бесконечности без повторяющегося шаблона.

Символ Q обозначает иррациональные числа.

Действительные числа

Действительные числа — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Сюда входят все числа, которые можно записать в десятичной форме.Все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами. Действительные числа включают в себя все целые числа, целые числа, дроби, повторяющиеся десятичные дроби, завершающие десятичные дроби и т. Д.

Символ R представляет действительные числа.

Мнимые числа

Числа, отличные от действительных, являются мнимыми или комплексными числами. Когда мы возводим в квадрат мнимое число, это дает отрицательный результат, что означает, что это квадратный корень из отрицательного числа, например, √-2 и √-5. Когда мы возводим эти числа в квадрат, получаем -2 и -5.Квадратный корень из отрицательной единицы представлен буквой i , т.е.

i = √-1

Пример 1

Что такое квадратный корень из -16? Запишите свой ответ, используя воображаемое число i .

Решение

Шаг 1. Запишите форму квадратного корня.

√ (-16)

√ (16 × -1)

Шаг 3. Разделите квадратные корни.

√ (16) × √ (-1)

Шаг 4: Найдите квадратный корень.

4 × √ (-1)

Шаг 5: Запишите в виде i.

4 i

Иногда вы получаете мнимое решение уравнений.

Пример 2

Решите уравнение,

x ² + 2 = 0

Решение

Шаг 1. Возьмите постоянный член с другой стороны уравнения.

x ² = -2

Шаг 2: извлеките квадратный корень с обеих сторон.

√ x ² = + √-2 или -√-2

x = √ (2) × √ (-1)

x = + √2 i или -√2 i

Шаг 4. Проверьте ответы, подставив значения в исходное уравнение, и посмотрите, получим ли мы 0.

x ² + 2

(+ √2 i ) ² + 2 = -2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)

(-√2 i ) ² + 2 = — 2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)

То, что их имя «воображаемое» не означает, что они бесполезны.У них много приложений. Одно из самых больших применений мнимых чисел — их использование в электрических цепях. Вычисления силы тока и напряжения производятся в виде мнимых чисел. Эти числа также используются в сложных вычислительных вычислениях. В некоторых местах мнимое число также обозначается буквой j .

Комплексные числа

Мнимое число комбинируется с действительным числом, чтобы получить комплексное число. Оно представлено как a + bi , где действительная часть и b являются комплексной частью комплексного числа.Действительные числа лежат на числовой прямой, а комплексные — на двумерной плоскости.

Подобно мнимым числам, комплексные числа тоже не бесполезны. Они используются во многих приложениях, таких как «Сигналы и системы» и «Преобразование Фурье».

Простые числа и составные числа

Простые и составные числа противоположны друг другу. Простые числа — это целые числа без факторов, кроме них самих и 1, например 2, 3, 5, 7 и т. Д.Число 4 не является простым числом, потому что оно делится на 2. Аналогично, 12 также не является простым числом, потому что оно делится на 2, 3 и 4. Следовательно, 4 и 12 являются примерами составных чисел.

Трансцендентные числа

Числа, которые никогда не могут быть нулем (или корнем) полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными числами. Не все иррациональные числа являются трансцендентными числами, но все трансцендентные числа являются иррациональными числами.

Классификация чисел

Семейство чисел, которое мы видели выше, также можно разделить на разные категории. Это похоже на то, что в семье 20 человек, но они живут в двух совместных семейных домах по 10 человек в каждом, что означает, что 10 человек живут в одном доме. Мы можем сказать, что два или более типа чисел могут подпадать под одну категорию.

Дискретные и непрерывные числа

Типы счетных чисел называются дискретными числами, а типы чисел, которые не могут быть подсчитаны, называются непрерывными числами.Все натуральные, целые, целые и рациональные числа дискретны. Это потому, что каждый их набор является счетным. Набор действительных чисел слишком велик и не может быть посчитан, поэтому классифицируется как непрерывные числа. Если мы случайным образом возьмем два ближайших действительных числа, между ними все равно будет существовать бесконечно больше вещественных чисел; следовательно, их нельзя сосчитать.

Наборы номеров

Номера также можно классифицировать в виде наборов. Каждый тип числа является подмножеством другого типа числа.Например, натуральные числа — это подмножество целых чисел. Точно так же целые числа — это подмножество целых чисел. Набор рациональных чисел содержит все числа и дроби. Наборы рациональных чисел и иррациональных чисел образуют действительные числа. Действительные числа относятся к комплексным числам с мнимой частью как 0. Мы можем классифицировать эти числа в иерархической диаграмме, как показано ниже:

Натуральные числа могут быть далее уменьшены до четных, нечетных, простых, простых, составных и точных квадратов. числа.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Представление действительных чисел в числовой строке

Вещественные числа могут быть представлены на числовой прямой, которая представляет собой прямую линию, которая представляет целые числа через равные интервалы. Как положительные, так и отрицательные целые числа могут быть представлены в числовой строке в последовательности. Эта линия продолжается бесконечно с обоих концов. Числовые строки представляют собой действительные числа, т.е. натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа, и используются в качестве справочного материала для сравнения и упорядочивания чисел.

Определение вещественных чисел

Множество действительных чисел — это объединение множества рациональных чисел Q и множества иррациональных чисел Q ‘. Следовательно, все числа, такие как натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа, являются подмножествами множества действительных чисел. Набор действительных чисел представлен

р.

R = Q + Q ‘

В таблице ниже представлен набор чисел, включенных в набор действительных чисел.

Строка вещественных чисел

Поскольку мы знаем, что действительные числа могут быть рациональными или иррациональными числами, каждое действительное число может быть представлено уникальной точкой на числовой прямой. Линия вещественных чисел, называемая просто числовой линией, представляет действительные числа с уникальными точками, связанными с каждым числом в строке. Точка, связанная с действительными числами, называется координатой. В числовой строке число 0 называется началом координат. Все положительные числа или целые числа представлены справа от начала координат, а отрицательные числа или целые числа представлены слева от начала координат.

Вот изображение, которое представляет как отрицательные, так и положительные числа на числовой прямой.

Шаги для представления действительных чисел на числовой прямой

Вещественные числа могут быть представлены в числовой строке с координатами и графиками. Вот шаги, чтобы представить действительное число на числовой прямой:

Шаг 1: Нарисуйте горизонтальную линию со стрелками на обоих концах и отметьте цифру 0 в любом месте. Число 0 называется началом координат.
Шаг 2: Отметьте действительные числа одинаковой длины по обе стороны от начала координат и пометьте их определенным масштабом.
Шаг 3: Положительные числа лежат справа от начала координат, а отрицательные числа лежат слева от начала координат.
Шаг-4: Натуральные, целые и целые числа можно легко пометить, указав конкретную точку на числовой прямой. Если заданная точка представляет собой большое число, скажем 100, мы можем соответствующим образом изменить масштаб числовой линии.В этом случае мы можем выбрать 1 единицу как 20, поэтому, чтобы отметить 100, нам просто нужно сделать 5 шагов к правой стороне начала координат.
Шаг 5: Рациональные числа и иррациональные числа могут быть сначала преобразованы в их десятичные эквиваленты, а затем мы можем отметить их на числовой строке. Иногда невозможно отметить число в точной точке, поэтому мы должны учитывать приблизительные десятичные значения чисел.

Например: отметьте действительные числа — 5/2, 0, 3/2 и 2 на числовой строке.

Упорядочивание действительных чисел в числовой строке

Числовая строка также используется для сравнения действительных чисел. Большие числа всегда лежат справа от начала координат, а меньшие числа всегда лежат слева от начала координат. Мы знаем, что 19 больше 10, но когда дело доходит до отрицательных действительных чисел, порядок другой. Например, -2 больше -6, поскольку отрицательные числа начинаются слева от начала координат. После того, как мы отобразим каждое число на числовой прямой, будет проще сравнивать.Такие символы, как «меньше» (<), «больше» (>) и «равно» (=), используются для сравнения действительных чисел.

На изображении ниже представлен приведенный выше пример сравнения двух действительных чисел с помощью числовой линии.

Противоположные действительные числа на числовой прямой

В числовой прямой противоположные действительные числа являются эквивалентами положительных и отрицательных чисел, т.е. противоположность — 8 — 8. Числа нанесены на график на одинаковом расстоянии от начала координат, но в противоположных направлениях в соответствии с их знаками.Например, значение -8 равно 8. Для справки посмотрите на изображение ниже:

Абсолютное значение действительного числа на числовой строке

Абсолютное значение действительного числа x, которое записывается как | x |, определяется как расстояние между началом координат и графиком этого действительного числа на числовой прямой. Поскольку это расстояние, оно всегда положительно. Например: | -3 | = 3 и | 3 | = 3. Взгляните на изображение ниже для справки:

Статьи по теме

Ниже перечислены некоторые темы, связанные с представлением действительных чисел в числовой строке.Нажмите, чтобы узнать больше!

Часто задаваемые вопросы о представлении действительных чисел в числовой строке

Как вы классифицируете действительные числа?

Действительные числа можно разделить на две основные категории — рациональные числа и иррациональные числа. Под рациональными числами это основные понятия — целые числа, целые числа, натуральные числа, отношения, а также завершающие и повторяющиеся десятичные дроби. Несколько примеров рациональных чисел: -5, 9,6666 …, 0, 11, 7,288. Под иррациональными числами понимаются неповторяющиеся и неповторяющиеся десятичные дроби.Вот несколько примеров: квадратный корень из 8, квадратный корень из 3, пи и т. Д.

Как построить график действительных чисел на числовой прямой?

Шаг 1: Нарисуйте горизонтальную линию со стрелками на обоих концах и отметьте цифру 0 в любом месте. Число 0 называется началом координат.
Шаг 2: Отметьте действительные числа одинаковой длины по обе стороны от начала координат и пометьте их определенным масштабом.
Шаг 3: Положительные числа лежат справа от начала координат, а отрицательные числа лежат слева от начала координат.

Является ли квадратный корень действительным числом?

Если число внутри символа √ положительное, то это действительное число. Например, √2 — действительное число. Если число внутри символа √ отрицательное, то это не действительное число. Например, √-2 не является действительным числом.

Пи — действительное число?

Да, пи — это действительное число, которое может быть представлено приблизительно числовой прямой.Это относится к категории иррациональных чисел.

Реальная линия и числовая линия означают одно и то же?

Да, числовая линия также называется действительной линией, поскольку она используется для представления действительных чисел.

Что такое набор всех действительных чисел?

Набор действительных чисел — это набор, содержащий все рациональные и иррациональные числа. Представлен р.

Можем ли мы представить все действительные числа числовой прямой?

Да, мы можем представить все действительные числа в числовой строке.Но иногда, в основном в случае иррациональных чисел, мы представляем приблизительное значение числа на числовой прямой.

1.1: Действительные числа и числовая строка

РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ

Постройте числовую линию и точки на ней.
Используйте числовую строку, чтобы определить порядок действительных чисел.
Определяет противоположность действительного числа.
Определите абсолютное значение действительного числа.

Определения

Набор — это набор объектов, обычно сгруппированных в фигурных скобках \ (\ {\) \ (\} \), где каждый объект называется элементом .Например, \ (\ {\ text {красный, зеленый, синий} \} \) — это набор цветов. Подмножество — это набор, состоящий из элементов, принадлежащих данному набору. Например, \ (\ {\ text {зеленый, синий} \} \) — это подмножество цвета, указанного выше. Набор без элементов называется пустым набором и имеет свои собственные специальные обозначения, \ (\ {\) \ (\} \) или \ (\ varnothing \).

Изучая математику, мы ориентируемся на специальные наборы чисел. Набор из натуральных (или считающих) чисел , обозначенных \ (\ mathbb {N} \), равен

\ (\ {1,2,3,4,5, \ dots \} \ quad \ color {Cerulean} {Natural \: Numbers} \)

Три точки \ ((\ точки) \) называются многоточием и указывают на то, что числа продолжаются неограниченно.Набор из целых чисел , обозначаемый \ (\ mathbb {W} \), представляет собой набор натуральных чисел в сочетании с нулем.

\ (\ {0,1,2,3,4,5, \ dots \} \ quad \ color {Cerulean} {Whole \: Numbers} \)

Набор из целых чисел , обозначаемый \ (\ mathbb {Z} \), состоит из положительных и отрицательных целых чисел, а также нуля.

\ (\ {\ dots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ dots \} \ quad \ color {Cerulean} {Целые числа} \)

Обратите внимание, что наборы натуральных и целых чисел являются подмножествами набора целых чисел.

Рациональные числа , обозначаемые \ (\ mathbb {Q} \), определяются как любое число в форме \ (\ dfrac {a} {b} \), где \ (a \) и \ (b \) являются целыми числами и \ (b \) отлично от нуля. Десятичные дроби, которые повторяются или заканчиваются, рациональны. Например,

\ (0,7 = \ frac {7} {10} \ quad \ text {and} \ quad 0. \ overline {3} = 0,3333 \ dots = \ frac {1} {3} \)

Набор целых чисел является подмножеством набора рациональных чисел, потому что каждое целое число может быть выражено как отношение целого числа к \ (1 \).Другими словами, любое целое число может быть записано над \ (1 \) и может считаться рациональным числом. Например,

\ (5 = \ frac {5} {1} \)

Иррациональные числа — это любое число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел. Неповторяющиеся десятичные дроби, которые не повторяются, иррациональны. Например,

\ (\ pi = 3,14159 \ точек \ quad \ text {и} \ quad \ sqrt {2} = 1,41421 \ точек \)

Набор из действительных чисел , обозначаемый \ (\ mathbb {R} \), определяется как набор всех рациональных чисел в сочетании с набором всех иррациональных чисел.Следовательно, все числа, определенные до сих пор, являются подмножествами множества действительных чисел. Таким образом,

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Действительные числа

Числовая строка

Строка вещественных чисел , или просто числовая строка, позволяет нам визуально отображать действительные числа, связывая их с уникальными точками на линии. Действительное число, связанное с точкой, называется координатой . Точка на линии действительного числа, связанная с координатой, называется ее графиком .

Чтобы построить числовую линию, нарисуйте горизонтальную линию со стрелками на обоих концах, чтобы указать, что она продолжается без границ. Затем выберите любую точку, представляющую число ноль; эта точка называется исходной точкой .

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

Отметьте одинаковую длину по обе стороны от исходной точки и пометьте каждую галочку, чтобы определить масштаб. Положительные действительные числа лежат справа от начала координат, а отрицательные действительные числа — слева. Число ноль \ ((0) \) не является ни положительным, ни отрицательным.Обычно каждая отметка представляет собой одну единицу.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)

Как показано ниже, масштаб не всегда должен составлять одну единицу. В первой числовой строке каждая отметка представляет две единицы. Во втором случае каждая отметка представляет собой \ (\ frac {1} {7} \) единицы.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

График каждого действительного числа показан в виде точки в соответствующей точке числовой прямой. Частичный график набора целых чисел \ (\ mathbb {Z} \) следует:

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \)

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Изобразите следующий набор действительных чисел:

Решение

Изобразите числа на числовой прямой со шкалой, где каждая отметка представляет \ (\ frac {1} {2} \) единицы.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)

Заказ вещественных чисел

При сравнении действительных чисел в числовой строке большее число всегда будет находиться справа от меньшего. Ясно, что \ (15 \) больше, чем \ (5 \), но может быть не так ясно видеть, что \ (- 1 \) больше, чем \ (- 5 \), пока мы не нанесем на график каждое число на числовая строка.

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)

Мы используем символы, чтобы помочь нам эффективно передавать отношения между числами в числовой строке. Символы, используемые для описания отношения равенства между числами, следующие:

\ [\ begin {align *} & = \ quad \ color {Cerulean} {is \ equal \ to} \\ & \ neq \ quad \ color {Cerulean} {is \ not \ equal \ to} \\ & \ приблизительно \ quad \ color {Cerulean} {\ приблизительно \ равно \ to} \ end {align *} \]

Эти символы используются и интерпретируются следующим образом:

\ [\ begin {align *} & 5 = 5 \ qquad && \ color {Cerulean} {5 \ is \ equal \ to \ 5} \\ & 0 \ neq 5 \ qquad && \ color {Cerulean} {0 \ is \ не \ равно \ к \ 5} \\ & \ пи \ приблизительно 3.14 \ quad && \ color {Cerulean} {pi \ is \ приблизительно \ equal \ to \ 3.14} \ end {align *} \]

Далее мы определяем символы, которые обозначают отношение порядка между действительными числами.

\ [\ begin {align *} & <\ quad \ color {Cerulean} {Less \ than} \\ &> \ quad \ color {Cerulean} {Greater \ than} \\ & \ leq \ quad \ color {Cerulean } {Меньше \ чем \ или \ равно \ to} \\ & \ geq \ quad \ color {Cerulean} {Больше \ чем \ или \ равно \ to} \ end {align *} \]

Эти символы позволяют сравнивать два числа.Например,

Поскольку график \ (- 120 \) находится слева от графика \ (- 10 \) на числовой прямой, это число меньше \ (- 10 \). Мы могли бы написать эквивалентное утверждение следующим образом:

Аналогично, поскольку график нуля находится справа от графика любого отрицательного числа на числовой прямой, ноль больше любого отрицательного числа.

Символы \ (<\) и \ (> \) используются для обозначения строгих неравенств , а символы и используются для обозначения включительных неравенств .В некоторых ситуациях можно правильно нанести более одного символа. Например, оба следующих утверждения верны:

Кроме того, компонент инклюзивного неравенства «или равно» позволяет нам правильно записать следующее:

Логическое использование слова «или» требует, чтобы выполнялось только одно из условий: «меньше чем» или «равно».

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Заполните пустое поле с помощью \ (<, = \) или \ (>: −2 \) ____ \ (- 12 \).

Решение

Используйте>, потому что график \ (- 2 \) находится справа от графика \ (- 12 \) на числовой прямой. Следовательно, \ (- 2> −12 \), что означает «отрицательные два больше, чем отрицательные двенадцать».

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

Ответ:

\ (- 2> -12 \)

В этом тексте мы часто будем указывать на эквивалентные обозначения, используемые для электронного выражения математических величин с использованием стандартных символов, доступных на клавиатуре.Начнем с эквивалентного текстового обозначения неравенств:

\ [\ begin {align *} & \ geq && «> =» \\ & \ leq && «<=" \\ & \ neq && "! =" \ End {align *} \]

Многие калькуляторы, системы компьютерной алгебры и языки программирования используют эту нотацию.

Противоположности

напротив любого действительного числа \ (a \) равно \ (- a \). Противоположные действительные числа находятся на одинаковом расстоянии от начала координат на числовой прямой, но их графики лежат на противоположных сторонах начала координат, а числа имеют противоположные знаки.

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

Например, мы говорим, что противоположностью \ (10 \) является \ (- 10 \).

Затем рассмотрим противоположность отрицательного числа. Учитывая целое число \ (- 7 \), целое число на том же расстоянии от начала координат и с противоположным знаком будет \ (+ 7 \), или просто \ (7 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \)

Следовательно, мы говорим, что противоположностью \ (- 7 \) является \ (- (- 7) = 7 \). Эта идея приводит к тому, что часто называют двойным отрицательным свойством . Для любого действительного числа \ (a \),

\ (- (- а) = а \)

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Что противоположно \ (- \ frac {3} {4} \)?

Решение

Здесь мы применяем свойство двойного отрицания.

\ (- (- \ frac {3} {4}) = \ frac {3} {4} \)

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Упростить \ (- (- (4)) \)

Решение

Начните с самых внутренних круглых скобок, найдя противоположность \ (+ 4 \).

\ [\ begin {align *} — (- (4)) & = — (\ color {Cerulean} {- (4)} \ color {Black} {)} \\ & = — (\ color {Cerulean} {-4} \ color {Черный} {)} \\ & = 4 \ end {align *} \]

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Упростить: \ (- (- (- 2)) \).

Решение

Примените двойное отрицательное свойство, начиная с самых внутренних круглых скобок.

\ [\ begin {align *} — (- (- 2)) & = — (\ color {Cerulean} {- (- 2)} \ color {Black} {)} \\ & = — (\ color { Церулеан} {2} \ color {Черный} {)} \\ & = — 2 \ end {align *} \]

Ответ

-2

подсказка

Если число подряд идущих отрицательных знаков четное, результат положительный. Если число подряд идущих отрицательных знаков нечетное, результат отрицательный.

Попробуй!

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Упростить: \ (- (- (- (5))) \).

Ответ

-5

Процедура:

\ [\ begin {align *} — (- (- (5))) & = — (\ color {Cerulean} {- (- (5))} \ color {Black} {)} \\ & = — (\ color {Cerulean} {- (- 5)} \ color {Black} {)} \\ & = — (\ color {Cerulean} {5} \ color {Black} {)} \\ & = -5 \ конец {выравнивание *} \]

Видео решение:

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Абсолютное значение

Абсолютное значение действительного числа \ (a \), обозначаемого \ (| a | \), определяется как расстояние между нулем (началом координат) и графиком этого действительного числа на числовой прямой.Поскольку это расстояние, оно всегда положительно. Например,

\ (| -4 | = 4 \ quad \ text {and} \ quad | 4 | = 4 \)

И \ (4 \), и \ (- 4 \) находятся на четыре единицы от начала координат, как показано ниже:

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \)

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Упростить:

а. \ (| -12 | \)

б. \ (| 12 | \)

Решение

И \ (- 12 \), и \ (12 \) находятся в двенадцати единицах от начала координат числовой прямой. Следовательно,

\ (| -12 | = 12 \ quad \ text {and} \ quad | 12 | = 12 \)

Ответ

а.\ (12 \) b. \ (12 \)

Также стоит отметить, что

\ (| 0 | = 0 \)

Абсолютное значение может быть выражено в текстовом виде с помощью записи abs \ ((a) \). Мы часто сталкиваемся с отрицательными абсолютными значениями, такими как \ (- | 3 | \) или \ (- \) abs \ ((3) \). Обратите внимание, что перед символом абсолютного значения стоит знак минуса. В этом случае сначала обработайте абсолютное значение, а затем найдите результат, противоположный результату.

Постарайтесь не путать это с двойным отрицательным свойством, которое гласит, что \ (- (- 7) = + 7 \).

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Simplfy: \ (- | — (- 7) | \).

Решение

Сначала найдите в абсолютном значении противоположность \ (- 7 \). Затем найдите результат, противоположный результату.

\ [\ begin {align *} — | \ color {Cerulean} {- (- 7)} \ color {Black} {|} & = — | \ color {Cerulean} {7} \ color {Black} {| } \\ & = — 7 \ end {align *} \]

Ответ

-7

На этом этапе мы можем определить, какие действительные числа имеют конкретное абсолютное значение.Например,

\ (|? | = 5 \)

Представьте себе действительное число, расстояние от которого до начала координат составляет \ (5 \) единиц. Есть два решения: расстояние справа от начала координат и расстояние слева от начала координат, а именно \ (\ {\ pm 5 \} \). Символ \ ((\ pm) \) читается как «плюс или минус» и указывает на то, что есть два ответа, один положительный и один отрицательный.

\ (| -5 | = 5 \ \ quad \ text {and} \ quad | 5 | = 5 \)

Теперь рассмотрим следующее:

\ (|? | = -5 \)

Здесь мы хотим найти значение, для которого расстояние до начала координат отрицательно.Поскольку отрицательное расстояние не определено, это уравнение не имеет решения. Если уравнение не имеет решения, мы говорим, что решение — это пустое множество: \ (\ varnothing \).

Основные выводы

Любое действительное число может быть связано с точкой на линии.
Создайте числовую линию, сначала указав источник и отметив шкалу, соответствующую данной задаче.
Отрицательные числа лежат слева от начала координат, а положительные числа — справа.
Меньшие числа всегда лежат слева от больших чисел в числовой строке.
Противоположное положительное число отрицательное, а противоположное отрицательному числу положительное.
Абсолютное значение любого действительного числа всегда положительно, потому что оно определяется как расстояние от нуля (начала координат) на числовой прямой.
Абсолютное значение нуля равно нулю.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Используйте обозначение набора, чтобы перечислить описанные элементы.

Часы на часах.
Дни недели.
Первые десять целых чисел.
Первые десять натуральных чисел.
Первые пять четных положительных целых чисел.
Первые пять положительных нечетных целых чисел.

Ответ

1. \ (\ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \} \)

3. \ (\ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)

5.\ (\ {2, 4, 6, 8, 10 \} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Определите, являются ли следующие действительные числа целыми, рациональными или иррациональными.

\ (12 \)
\ (- 3 \)
\ (4,5 \)
\ (- 5 \)
\ (0,3 \ overline {6} \)
\ (0. \ Overline {3} \)
\ (1.001000100001 \ точки \)
\ (1.00 \ overline {1} \)
\ (е = 2,71828 \ точек \)
\ (\ sqrt {7} = 2.645751 \ точки \)
\ (- 7 \)
\ (3,14 \)
\ (227 \)
\ (1,33 \)
\ (0 \)
\ (8 675 309 \)

Ответ

1: целое число, рациональное

3: Рациональный

5: Рациональный

7: Иррациональное

9: Иррациональное

11: целое число, рациональное

13: Рациональный

15: целое число, рациональное

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Верно или нет.

Все целые числа являются рациональными числами.
Все числа являются целыми числами.
Все рациональные числа являются целыми числами.
Некоторые иррациональные числа рациональны.
Все завершающие десятичные числа являются рациональными.
Все иррациональные числа действительны.

Ответ

1: Правда

3: ложь

5: Правда

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Выберите соответствующий масштаб и нанесите на числовую линию следующие наборы действительных чисел.

\ (\ {- 3, 0, 3 \} \)
\ (\ {- 2, 2, 4, 6, 8, 10 \} \)
\ (\ {- 2, −1/3, 2/3, 5/3 \} \)
\ (\ {- 5/2, −1/2, 0, 1/2, 2 \} \)
\ (\ {- 5/7, 0, 2/7, 1 \} \)
\ (\ {–5, –2, –1, 0 \} \)
\ (\ {−3, −2, 0, 2, 5 \} \)
\ (\ {- 2,5, −1,5, 0, 1, 2,5 \} \)
\ (\ {0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2 \} \)
\ (\ {- 10, 30, 50 \} \)
\ (\ {- 6, 0, 3, 9, 12 \} \)
\ (\ {- 15, −9, 0, 9, 15 \} \)

Ответ

1.\ (\ {- 3, 0, 3 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \)

3. \ (\ {- 2, −1/3, 2/3, 5/3 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \)

5. \ (\ {- 5/7, 0, 2/7, 1 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \)

7. \ (\ {−3, −2, 0, 2, 5 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \)

9. \ (\ {0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {16} \)

11. \ (\ {- 6, 0, 3, 9, 12 \} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {17} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Заполните пустое поле с помощью \ (<, = \) или \ (> \).

\ (- 7 \) ___ \ (0 \)
\ (30 \) ___ \ (2 \)
\ (10 \) ___ \ (- 10 \)
\ (- 150 \) ___ \ (- 75 \)
\ (- 0,5 \) ___ \ (- 1,5 \)
\ (0 \) ___ \ (0 \)
\ (- 500 \) ___ \ (200 \)
\ (- 1 \) ___ \ (- 200 \)
\ (- 10 \) ___ \ (- 10 \)
\ (- 40 \) ___ \ (- 41 \)

Ответ

1. \ (<\)

3. \ (> \)

5.\ (> \)

7. \ (<\)

9. \ (= \)

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Верно или нет.

\ (5 ≠ 7 \)
\ (4 = 5 \)
\ (1 ≠ 1 \)
\ (- 5> −10 \)
\ (4 \ leq 4 \)
\ (- 12 \ geq 0 \)
\ (- 10 = -10 \)
\ (3> 3 \)
\ (- 1000 <−20 \)
\ (0 = 0 \)

Ответ

1.Правда

3. Неверно

5. Верно

7. Верно

9. Верно

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Перечислите числа.

Перечислите три целых числа меньше \ (- 5 \).
Перечислите три целых числа больше \ (- 10 \).
Перечислите три рациональных числа меньше нуля.
Перечислите три рациональных числа больше нуля.
Перечислите три целых числа от \ (- 20 \) до \ (- 5 \).
Перечислите три рациональных числа между \ (0 \) и \ (1 \).

Ответ

1. \ (- 10, −7, −6 \) (ответы могут отличаться)

3. \ (- 1, −2/3, −1/3 \) (ответы могут отличаться)

5. \ (- 15, −10, −7 \) (ответы могут отличаться)

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Переведите каждое утверждение в предложение на английском языке.

\ (10 <20 \)
\ (- 50 \ leq −10 \)
\ (- 4 \ neq 0 \)
\ (30 \ geq -1 \)
\ (0 = 0 \)
\ (е \ около 2.718 \)

Ответ

1. Десять меньше двадцати.

3. Отрицательная четверка не равна нулю.

5. Ноль равен нулю.

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

Переведите следующее в математическое выражение.

Отрицательная семерка меньше нуля.
Двадцать четыре не равно десяти.
Ноль больше или равен отрицательному.
Четыре больше или равно минус двадцать один.
Отрицательное два равно отрицательному двум.
Отрицательные две тысячи меньше отрицательных одной тысячи.

Ответ

1. \ (- 7 <0 \)

3. \ (0 \ geq −1 \)

5. \ (- 2 = −2 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Упростить.

\ (- (- 9) \)
\ (- (- 35) \)
\ (- (10) \)
\ (- (3) \)
\ (- (5) \)
\ (- (34) \)
\ (- (- 1) \)
\ (- (- (- 1)) \)
\ (- (- (1)) \)
\ (- (- (- 3)) \)
\ (- (- (- (- 11))) \)

Ответ

1.\ (9 \)

3. \ (- 10 \)

5. \ (- 5 \)

7. \ (1 \)

9. \ (1 \)

11. \ (11 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Ответьте на следующие вопросы.

Что является противоположностью \ (- 12 \)
Что противоположно \ (\ pi \)?
Что наоборот \ (- 0,01 \)?
Противоположность \ (- 12 \) меньше или больше, чем \ (- 11 \)?
Противоположность \ (7 \) меньше или больше, чем \ (- 6 \)?

Ответ

2.\ (- \ пи \)

4. Больше

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

Заполните пустое поле с помощью \ (<, = \) или \ (> \).

\ (- 7 \) ___ \ (- (- 8) \)
\ (6 \) ___ \ (- (6) \)
\ (13 \) ___ \ (- (- 12) \)
\ (- (- 5) \) ___ \ (- (- 2) \)
\ (- 100 \) ___ \ (- (- (- 50)) \)
\ (44 \) ___ \ (- (- 44) \)

Ответ

1.\ (<\)

3. \ (> \)

5. \ (<\)

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

Упростить.

\ (| 20 | \)
\ (| -20 | \)
\ (| -33 | \)
\ (| -0,75 | \)
\ (| — \ frac {3} {5} | \)
\ (| 38 | \)
\ (| 0 | \)
\ (| 1 | \)
\ (- | 12 | \)
\ (- | −20 | \)
\ (- | 20 | \)
\ (- | −8 | \)
\ (- | 7 | \)
\ (- | −316 | \)
\ (- (- | \ frac {8} {9} |) \)
\ (| — (- 2) | \)
\ (- | — (- 3) | \)
\ (- (- | 5 |) \)
\ (- (- | −45 |) \)
\ (- | — (- 21) | \)
абс \ ((6) \)
абс \ ((- 7) \)
\ (- \) абс \ ((5) \)
\ (- \) абс \ ((- 19) \)
\ (- (- \) абс \ ((9)) \)
\ (- \) абс \ ((- (- 12)) \)

Ответ

1.\ (20 \)

3. \ (33 \)

5. \ (\ frac {3} {5} \)

7. \ (0 \)

9. \ (- 12 \)

11. \ (- 20 \)

13. \ (- 7 \)

15. \ (\ frac {8} {9} \)

17. \ (- 3 \)

19. \ (45 \)

21. \ (6 \)

23. \ (- 5 \)

25. \ (9 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

Определить неизвестное.

\ (|? | = 9 \)
\ (|? | = 15 \)
\ (|? | = 0 \)
\ (|? | = 1 \)
\ (|? | = −8 \)
\ (|? | = -20 \)
\ (|? | −10 = −2 \)
\ (|? | + 5 = 14 \)

Ответ

1.\ (\ pm 9 \)

3. \ (0 \)

5. \ (\ varnothing \), нет решения

7. \ (\ pm 8 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)

Заполните пустое поле с помощью \ (<, = \) или \ (> \).

\ (| −2 | \) ____ \ (0 \)
\ (| −7 | \) ____ \ (| −10 | \)
\ (- 10 \) ____ \ (- | −2 | \)
\ (| −6 | \) ____ \ (| — (- 6) | \)
\ (- | 3 | \) ____ \ (| — (- 5) | \)
\ (0 \) ____ \ (- | — (- 4) | \)

Ответ

1.\ (> \)

3. \ (<\)

5. \ (<\)

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)

Темы дискуссионной доски.

Изучите и обсудите историю числа ноль.
Изучите и обсудите различные системы нумерации на протяжении всей истории.
Изучите и обсудите определение и историю \ (\ pi \).
Изучите историю иррациональных чисел. Кому приписывают доказательство иррациональности квадратного корня из \ (2 \) и что с ним случилось?
Изучите и обсудите историю абсолютных ценностей.
Обсудите определение абсолютного значения «просто положительно».

Классификация действительных чисел — ChiliMath

Схема «стопки воронок» ниже поможет нам легко классифицировать любые заданные действительные числа. Но сначала нам нужно описать, какие элементы входят в каждую группу чисел. Каждая группа или набор чисел представлены воронкой.

Описание каждого набора действительных чисел

Натуральные числа (также известные как счетные числа) — это числа, которые мы используем для счета.Он начинается с 1, затем с 2, затем с 3 и так далее.

целых чисел — это небольшое «усовершенствование» натуральных чисел, потому что мы просто добавляем элемент ноль к текущему набору натуральных чисел. Думайте о целых числах как о натуральных числах вместе с нулем.

целых чисел включает все целые числа вместе с «отрицательными» натуральными числами.

Рациональные числа — это числа, которые можно выразить как отношение целых чисел.Это означает, что если мы можем записать данное число в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами; тогда это рациональное число.

Условно мы можем записать рациональное число как:

Внимание: знаменатель не может равняться нулю.

Рациональные числа могут также отображаться в десятичной форме . Если десятичное число завершается или повторяется, то его можно записать как дробь с целым числителем и знаменателем. Таким образом, это тоже рационально.

иррациональных чисел — это все числа, которые при записи в десятичной форме не повторяются и не заканчиваются.

Действительные числа включают как рациональные, так и иррациональные числа. Помните, что под набором рациональных чисел у нас есть подкатегории или подмножества целых чисел, целых чисел и натуральных чисел.

Классификация примеров действительных чисел

Пример 1 : Натуральное число также является целым числом.

Набор целых чисел включает в себя ноль и все натуральные числа. Это верное заявление.

Пример 2 : Целое число всегда является целым числом.

Набор целых чисел состоит из числа ноль, натуральных чисел и «минусов» натуральных чисел. Это означает, что некоторые целые числа являются целыми числами, но не все.

Например, — 2 — целое, а не целое число. Это утверждение неверно.

Пример 3 : Каждое рациональное число также является целым.

Слово «каждый» означает «все». Можете ли вы придумать рациональное число, не являющееся целым? Вам нужен только один контрпример, чтобы показать, что это утверждение ложно.

Дробь \ Large {1 \ over 2} является примером рационального числа, которое НЕ является целым. Итак, это утверждение неверно.

Пример 4 : Каждое целое число является рациональным числом.

Это верно, потому что каждое целое число можно записать как дробь со знаминателем 1.

Пример 5 : Каждое натуральное число является целым числом, целым числом и рациональным числом.

Рассматривая приведенное выше описание, можно сказать, что натуральные числа находятся в наборах целых, целых и рациональных чисел. Это делает его истинным заявлением.

Мы также можем использовать приведенную выше схему воронок, чтобы ответить на этот вопрос. Если мы наливаем воду в «воронку натуральных чисел», вода также должна течь через все воронки под ней. Таким образом, проходя по воронкам целых чисел, целых чисел и рациональных чисел.

Пример 6 : Каждое целое число является натуральным, целым и рациональным числом.

Используя ту же аналогию с «воронкой»; если мы нальем немного жидкости в воронку целых чисел, она должна пройти через воронки целых и рациональных чисел, пока спускается вниз. Поскольку воронка натуральных чисел находится над набором целых чисел, с которого мы начали, мы не можем включить эту воронку в группу.

Это ложное утверждение, поскольку целые числа принадлежат множеству целых и рациональных чисел, но не множеству натуральных чисел.

Пример 7 : Классифицируйте число ноль, 0.

Определенно не натуральное число, но целое, целое, рациональное и действительное число. Может быть неочевидно, что ноль также является рациональным числом. Однако запись его в виде дроби с ненулевым знаменателем ясно показывает, что это действительно рациональное число.

Пример 8 : Классифицируйте число 5.

Это натуральное или счетное число, целое число и целое число. Поскольку мы можем записать его в виде дроби со знаминателем 1, то есть \ Large {5 \ over 1}.

Это также делает его рациональным числом. И конечно, это реальная цифра.

Пример 9 : Классифицируйте число 0,25.

Данное десятичное число завершается, и поэтому мы можем записать его в виде дроби, которая является характеристикой рационального числа. Это число также является действительным числом.

\ Large {0,25 = {{25} \ over {100}} = {1 \ over 4}}

Пример 10 : Классифицируйте число {\ rm {2}} {1 \ over 5}.

Мы можем переписать эту смешанную дробь как неправильную дробь, чтобы было ясно, что у нас есть отношение двух целых чисел.

\ Large {{\ rm {2}} {1 \ over 5} = {{11} \ over 5}}

Это действительное и рациональное число.

Пример 11 : Классифицируйте число {\ rm {5.241879132…}}.

Десятичное число не является завершающим и неповторяющимся, что делает это число иррациональным. Конечно, любое иррациональное число также является действительным числом.

Пример 12 : Классифицируйте число 1.7777….

Поскольку десятичная дробь повторяется, получается рациональное число.Любое рациональное число также является действительным числом.

Пример 13 : Классифицируйте число \ sqrt 2.

Это иррациональное число, потому что, записанное в десятичной форме, оно не завершается и не повторяется. Это тоже реальное число.

Пример 14 : Классификация числа — \ sqrt {16}.

Во-первых, нам нужно упростить это радикальное выражение, которое дает нам — \ sqrt {16} = — \, 4. Число — \, 4 — целое, рациональное и действительное число.

Пример 15 : Классифицируйте номер — 8.123123….

Десятичное число не является окончательным, однако число 123 после десятичной точки продолжает повторяться. Мы можем переписать десятичное число с «полосой» поверх повторяющихся чисел.

Это делает его рациональным числом. Не забывайте, что это тоже реальное число.

Практика с рабочими листами .