01.2. Вещественные числа и их свойства

Множество вещественных чисел является бесконечным. Оно состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональ­ным называется число вида P/Q, где Р и Q — целые числа. Вся­кое вещественное число, не являющееся рациональным, назы­вается Иррациональным. Всякое рациональное число либо является целым, либо представляет собой конечную или пери­одическую бесконечную десятичную дробь. Например, рацио­нальное число 1/9 можно представить в виде 0,11111…. Иррациональное число представляет собой бесконечную неперио­дическую десятичную дробь; примеры иррациональных чисел:

= 1,41421356…; = 3,14159265….

Сведения о вещественных числах могут быть кратко сис­тематизированы в виде перечисления их свойств.

А. Сложение и умножение вещественных чисел

Для любой пары вещественных чисел А и B определены единственным образом два вещественных числа а + B и а ∙

B, Называемые соответственно их Суммой и Произведением. Для любых чисел А, b и С имеют место следующие свойства.

1. A + B = B + а, а ∙ B = B ∙ а (переместительное свойство).

2. А + (B + С) = (А + B) + С, А ∙ (B ∙ С) = (А ∙ B) ∙ С (сочетательное свойство).

3. (А + B) ∙ с = А ∙ С + B ∙ с (распределительное свойство).

4. Существует единственное число 0, такое, что а + 0 = a для любого числа а.

5. Для любого числа а существует такое число (-а), что а + (-а) = 0.

6. Существует единственное число 1 ≠ 0, Такое, что для любого числа а имеет место равенство

А ∙ 1 = A.

7. Для любого числа а ≠ 0 существует такое число а-1, что а ∙ а-1 = 1. Число а-1 обозначается также символом .

В. Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: А = b (А равно B), а > b (А больше B) или А < B (А меньше B). Отношение равенства обладает свойством Транзитивности: если А = B и B = с, то А = С.

Отношение «больше» обладает следующими свойствами.

8. Если а > b и b > с, то а > с.

9. Если а > b, то а + с > b + с.

10. Если а > 0 и b > 0, то а b > 0

Вместо соотношения А > b употребляют также B < а. Запись А ≥ B (b ≤ А) означает, что либо А = B, либо A > B. Соотношения со знаками >, <, ≥ и ≤ называютcя неравенствами, причем соотношения типа 8 < 10 — строгими неравенствами.

11. Любое вещественное число можно приблизить рацио­нальными числами с произвольной точностью.

С. Непрерывность вещественных чисел.

12. Пусть Х и Y — два множества вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел И выполняется неравенство х ≤ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для всех х и у выполняются нера­венства х ≤ с ≤ у.

Отметим здесь, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных (действительных) чисел, но не обладает множество, состоящее только из рациональных чисел.

Таким образом, вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойства­ми А-С. Такое определение, из которого выводятся ос­тальные свойства, называется Аксиоматическим, а сами свойства А-С — Аксиомами вещественных чисел.

< Предыдущая		Следующая >

2.6. Вещественные числа

Вещественные, или действительные, числа — это, грубо говоря, и целые и дробные. Они, конечно, нередко возникают в задачах, но при работе с ними возникают серьезные проблемы, которые не в каждой книге по программированию будут описаны.

На самом деле эта тема неожиданно сложная. Постарайтесь понять всё, что написано в этом разделе, но если что-то не поймете по началу, это не страшно. Главное — два правила работы с вещественными числами, которые я напишу ниже.

2.6.1. Запись чисел с плавающей точкой

Вы точно знаете, что вещественные числа можно записывать в виде «12.34» — это «двенадцать целых тридцать четыре сотых».

Примечание

Иногда вместо точки используется запятая, но даже в обычной жизни сейчас, кажется, чаще используют точку, а уж в программировании и подавно почти всегда используется точка. Вообще, в контексте записи вещественных чисел слова «точка» и «запятая» являются синонимами, например, можно сказать, что в числе 12.34 две цифры после запятой, хотя на самом деле я там написал точку. Или, например, фразы «с плавающей точкой» и «с плавающей запятой» обозначают одно и то же.

Но есть также и другой формат записи — так называемая запись чисел «с плавающей точкой». (По идее это должны проходить в школе классе эдак в 8, поэтому я описываю тут это в первую очередь для младшеклассников, а также для тех, кто успел забыть; ну и чтобы четко обозначить термины «мантисса» и «экспонента».)

При записи чисел с плавающей точкой запись имеет следующий вид: 1.234e1. Она состоит из двух частей, разделенных английской буквой e (может использоваться как маленькая, так и заглавная буква, хотя сейчас вроде чаще используют маленькую). Такая запись обозначает: «возьми число 1.234 и сдвинь в нем точку на 1 позицию направо» — соответственно, получается то же 12.34. Аналогично, возможна запись 0.1234e2 — взять число 0.1234 и сдвинуть точку на две позиции направо, это будет то же 12.34. Число после e может быть быть нулем, это значит, что точку сдвигать не надо: 12.34e0 — это то же самое, что 12.34. Число может быть отрицательным, что значит, что точку надо сдвигать влево, а не вправо: 123.4e-1 или 1234e-2 — это все тоже 12.34. (Обратите внимание, что в записи 1234e-2 вообще отсутствует точка — она тогда, конечно, неявно подразумевается на конце записи числа 1234, точно так же, как 1234 и 1234.0 — это одно и то же.)

То есть еще раз: 0.1234e2, 1.234e1, 12.34e0, 12.34, 123.4e-1, 1234e-2, и даже 123400e-4 и 0.001234e4 — это все записи одного и того же числа 12.34. Записи разные, число одно и то же.

Видно, что одно и то же число можно записать разными способами. Чаще пишут так, чтобы либо перед точкой была ровно одна ненулевая цифра (1.234e1), или чтобы перед точкой был ноль, зато сразу после точки шла ненулевая цифра (0.1234e2), но в целом любая из приведенных в предыдущем абзаце записей является правильной, и есть много правильных записей, которые не приведены выше.

Еще примеры: 1.3703599907444e2 и 13703599907444e-11 — это 137.03599907444.

Отрицательные числа записываются, естественно, с минусом перед самим числом: -1.234e1, или -1234e-2 — это то же самое, что и -12.34.

Примечание

Иногда, особенно в печатной литературе (а до появления компьютеров — особенно часто) вместо записи через e используют эквивалентную запись через умножение на 10 в нужной степени, например, вместо 0.1234e2 пишут \(0.{-1}\) и т.п. Несложно видеть, что это полностью эквивалентные записи, и что умножение на десять в нужной степени полностью эквивалентно сдвигу точки. На самом деле, насколько я понимаю, запись через e появилась как раз когда появились компьютеры, потому что запись через степень десятки довольно сложно, а иногда и невозможно, набирать на клавиатуре. Но сейчас, благодаря повсеместному распространению компьютеров, запись через e уже нередко встречается и в печатной литературе.

Запись чисел с плавающей точкой особенно удобна, когда вам надо хранить очень большие или очень маленькие числа. Например, расстояние от Земли до Солнца примерно 147 миллионов километров, т.е. 147000000000 метров. Так записывать очень неудобно, потому что надо тщательно считать нолики. Намного удобнее написать 147e9 — сразу понятно, что будет девять ноликов, и сразу понятно, что это 147 миллиардов. Или, например, атом водорода весит примерно 1.66e-24 грамм, т.е. 0.00000000000000000000000166 грамм (если я не ошибся в количестве ноликов 🙂 ). Ясно, что первая запись намного удобнее.

Эти две части, составляющие запись числа с плавающей точкой, называются «мантисса» — это часть до e, — и «экспонента» — это число после e. Например, в записи 1.234e1 мантисса равна 1.234, а экспонента равна 1.

2.6.2. Как компьютер хранит вещественные числа

Вещественные числа, с которыми может иметь дело компьютер, могут быть как очень большими, так и очень маленькими. С другой стороны, вещественные числа в принципе невозможно хранить абсолютно точно, т.к. в них могут быть очень много знаков (даже бесконечно много) после точки.

Поэтому компьютер хранит числа в записи с плавающей точкой, при этом он хранит мантиссу и экспоненту по отдельности (но рядом в памяти, конечно, и в конечном счете, конечно, для вас как для программиста это будет одна переменная, хранящая вещественное число, а не две отдельных переменных, хранящих мантиссу и экспоненту). Более того, поскольку вообще говоря в вещественных числах в мантиссе может быть бесконечно много цифр, компьютер хранит лишь несколько первых цифр мантиссы.

Примечание

Вообще, на самом деле компьютер хранит числа в двоичной системе счисления (т.е. на самом деле компьютер хранит не десятичную экспоненту, как это было описано выше, а двоичную), но это вам будет пока не особенно важно, потому что весь ввод-вывод вещественных чисел использует все-таки десятичную экспоненту.

2.6.3. Типы данных

Все современные компьютеры умеют работать со следующими тремя типами данных:

• single — хранит 7-8 цифр мантиссы, экспоненту до примерно ±40, занимает в памяти 4 байта, работает сравнительно быстро;
• double — хранит 15-16 цифр мантиссы, экспонента до примерно ±300, занимает 8 байт, работает несколько медленнее;
• extended — хранит 19-20 цифр мантиссы, экспонента до примерно ±5000, занимает в памяти 10 байт, работает намного медленнее;

Примечание

Уточню, что значит «столько-то цифр мантиссы» и «такая-то экспонента». Как я писал выше, в мантиссе хранится только несколько первых цифр. Собственно, в single хранится только 7-8 цифр, в double 15-16, в expended 19-20. То есть например, если вы попытаетесь в single записать число 1.234567890123456789e20, то на самом деле запишется примерно 1.234567e20, остальные цифры будут отброшены. (На самом деле все немного сложнее из-за того, что числа хранятся в двоичной системе счисления, собственно поэтому я и пишу 7-8 цифр, потому что на самом деле как повезет в плане двоичной системы счисления.)

Ограничение же на экспоненту обозначает, что числа со слишком большой экспонентой вы просто не сможете записать в нужный тип (например, 1.23e100 не влезет в single), будет или ошибка, или получится специальное значение «бесконечность»; а числа со слишком большой отрицательной экспонентой просто будут считаться равными нулю (если вы попробуете записать 1.23e-100 в single, то получится 0).

Эти типы поддерживаются процессором (т.е. процессор умеет выполнять команду «сложить два числа типа single» или «вычесть два числа типа extended» и т.п.). Поэтому эти типы присутствуют (возможно, с другими названиями) почти во всех существующих языках программирования.

К сожалению, конкретно в питоне нет простой возможности выбрать один из этих трех типов, можно работать только с double, причем в питоне вместо слова double используется название float (что вообще странно, потому что в других языках float — это single, а вовсе не double). Таким образом,

Важно

Стандартные вещественные числа в питоне называются float, хранят 15-16 цифр в мантиссе и экспоненту до примерно ±300.

2.6.4. Про «значащие цифры»

Как мы видели, одно и то же число можно записать с плавающей точкой по-разному. Чисто 12.34 можно записать как 0.0000000001234e11, и как 1234000000000e-11, и т.п. Конечно, компьютер будет хранить число каким-то конкретным образом. Более того, если, например, попробовать записать 0.0000000001234e11 например в single, то вы можете сказать, что будут записаны только нули (потому что мантисса хранит только 7-8 цифр).

На самом деле компьютер хранит числа чуть сложнее. В первом приближении можно считать, что компьютер хранит числа так, чтобы до точки была ровно одна ненулевая цифра (про это я писал выше), т.е. число 12.34 компьютер будет хранить как 1.234e-1 и никак иначе, а например расстояние от Земли до Солнца в метрах — как 1.47e11 и не иначе. (А на самом деле еще сложнее из-за двоичной системы счисления).

Поэтому компьютер никогда не будет хранить в мантиссе ведущих нулей. В этом смысле говорят о «значащих цифрах» — это цифры в записи числа, начиная с первой ненулевой цифры. Например, в числе 12.3405 значащие цифры — это 1, 2, 3, 4, 0, 5, а в числе 0.00000000000000000000000000166 значащие цифры — это 1, 6 и 6 (и компьютер будет хранить это число как 1.66e-27).

Поэтому говорят, что тип single хранит 7-8 значащих цифр, double — 15-16 значащих цифр, extended — 19-20.

2.6.5. Про дырки между числами

(Понимание про «дырки» для начальных задач не особо нужно, но в дальнейшем бывает полезно.)

Из-за того, что компьютер хранит строго определенное количество значащих цифр, получается, что между соседними числами конкретного типа есть «дыры». Например, пусть мы возьмем тип single. В него невозможно записать число 1.2345678901234 — можно записать только 1.234567 или 1.234568. Получается, что между числами 1.234567 или 1.234568 есть целая «дыра» длиной 0.000001, в которой нет ни одного числа, которое может храниться в single.

Когда сами числа не очень большие, то и «дыры» не очень длинные. Но когда числа становятся большими, то и «дыры» тоже становятся больше. Например, число 123456789 тоже невозможно записать в single, можно записать только 123456700 или 123456800 — «дыра» получается уже длины 100!

(На самом деле конкретные числа, которые возможно записать — они немного другие, опять же из-за двоичной системы счисления, и соответственно размеры «дырок» тоже другие, они будут степенями двойки, а не десятки, но качественно все описанное выше верно.)

2.6.6. Базовые операции

С вещественными числами доступны все привычные уже вам операции: +-*/, abs, sqrt, ввод-вывод через float(input()), map(float, …) и print. Также работает деление с остатком (// и %).

При этом в ваших программах, а также при вводе вы можете задавать числа как в записи с фиксированной точкой, так и с плавающей, т.е. вы можете писать, например, a = 1.23 + 2.34e-1;, и при считывании чисел можете вводить значения тоже как в формате 1.23, так и в формате 2.34e-1.

2.6.7. Про вывод подробнее

Часто в наших задачах вы можете встретить фразу «выведите ответ с точностью до 5 знаков после запятой», или «с пятью верными знаками» и т.п. Такие фразы почти всегда обозначают, что ваш ответ должен содержать 5 верных цифр после запятой, но они не запрещают вам выводить больше цифр. Вы можете вывести хоть 20 цифр — если первые пять из них верные, то ответ будет зачтен. И наоборот, вы можете вывести меньше цифр — если невыведенные цифры — нули, то ответ тоже будет зачтен. Вообще, строго говоря, такая фраза в условии просто обозначает, что ваш ответ должен отличаться от верного не более чем на 1e-5.

Пример: если правильный ответ на задачу — 0.123456789, то вы можете вывести 0.12345, или 0.123459876, или даже 1.2345e-1 (т.к. это то же самое, что и 0.12345). А если правильный ответ — 0.10000023, то вы можете вывести 0.10000, 0.10000987 или даже просто 0.1 или 1e-001 (т.к. это то же самое, что и 0.10000).

В частности, это обозначает, что вы можете пользоваться стандартной функцией вывода (print) без каких-либо особых ухищрений; не надо округлять число, не надо форматировать вывод и т.д.

Вот если в задаче строго сказано «вывести ровно с 5 знаками после запятой», то это другое дело. Но на приличных олимпиадах такое бывает очень редко.

2.6.8. Полезные функции

В питоне есть несколько функций, которые вам будут полезны при работе с вещественными числами. Для ряда из этих функций надо в самом начале программы написать from math import * (как вы уже писали для квадратного корня). Кроме того, имейте в виду, что с этими функциями также могут возникать проблемы погрешностей (см. ниже).

• floor («пол») — округляет число вниз, т.е. определяет ближайшее целое число, которое меньше или равно данного вещественного. Например, floor(2.4) == 2, floor(2) == 2, floor(-2.4) == -3, и floor(2.8) == 2.
• ceil («потолок») — округляет число вверх, т.е. определяет ближайшее целое число, которое больше или равно данного вещественного. Например, ceil(2.4) == 3, ceil(2) == 2, ceil(-2.4) == -2, и ceil(2.8) == 3.
• trunc — округляет число в сторону нуля. Например, trunc(2.4) == 2, trunc(2) == 2, trunc(-2.4)== -2, и trunc(2.8) == 2.
• round — округляет число к ближайшему целому числу («по школьным правилам», за исключением ситуации, когда дробная часть числа строго равна 0.5 — тогда в зависимости от числа может быть округление то в одну, то в другую сторону). Например, round(2.4) == 2, round(2) == 2, round(-2.4) == -2, и round(2.8) == 3.
• Еще повторю, что работают операции деления с остатком (// и %), в частности, x % 1 дает дробную часть числа x.

Пример программы, использующей эти функции:

from math import *

print(floor(-2.4))  # выводит -3
print(ceil(2.4))  # выводит 3
print(trunc(2.8) + (2.4 + 0.4) % 1)  # выводит 2.8
print(round(3.9))  # выводит 4

2.6.9. Погрешности

2.6.9.1. Два правила работы с вещественными числами

Сначала напишу два главных правила работы с вещественными числами:

Важно

Правило первое: не работайте с вещественными числами. А именно, если возможно какую-то задачу решить без применения вещественных чисел, и это не очень сложно, то лучше ее решать без вещественных чисел.

Важно

Правило второе: если уж работаете, то используйте eps. При любых сравнениях вещественных чисел надо использовать eps.

Ниже я разъясняю оба этих правила.

2.6.9.2. Необходимость использования

eps

Как уже говорилось выше, компьютер не может хранить все цифры числа, он хранит только несколько первых значащих цифр. Поэтому, если, например, разделить 1 на 3, то получится не 0.33333… (бесконечно много цифр), а, например, 0.33333333 (только несколько первых цифр). Если потом умножить результат обратно на 3, то получится не ровно 1, а 0.99999999. (Аналогичный эффект есть на простых калькуляторах; на продвинутых калькуляторах он тоже есть, но проявляется сложнее.)

(Вы можете попробовать потестировать, правда ли, что (1/3)*3 равно 1, и обнаружить, что проверка if (1 / 3) * 3 == 1 выполняется. Да, тут повезло — опять-таки из-за двоичной системы получилось округление в правильную сторону. Но с другими числами это может не пройти, например, проверка if (1 / 49) * 49 == 1 не срабатывает.)

На самом деле все еще хуже: компьютер работает в двоичной системе счисления, поэтому даже числа, в которых в десятичной системе счисления имеют конечное число цифр, в компьютере могут представляться неточно. Поэтому, например, сравнение if 0.3 + 0.6 == 0.9 тоже не сработает: если сложить 0.3 и 0.6, то получится не ровно 0.9, а слегка отличающее число (0.899999 или 0.900001 и т.п.)

Действительно, напишите и запустите следующую программу:

if 0.3 + 0.6 == 0.9:
   print("Ok")
else:
   print("Fail")

и вы увидите, что она выводит Fail.

(Более того, print(0.3+0.6) выводит у меня 0.8999999999999999.)

Итак, погрешности, возникающие при любых вычислениях, — это основная проблема работы с вещественными числами. Поэтому если вам надо сравнить два вещественных числа, то надо учитывать, что, даже если на самом деле они должны быть равны, в программе они могут оказаться не равны.

Стандартный подход для борьбы с этим — выбрать маленькое число eps (от названия греческой буквы ε — «эпсилон», «epsilon»), и два числа считать равными, если они отличаются не более чем на eps.

Про то, как выбирать это eps, обсудим ниже, пока будем считать, что мы взяли eps=1e-6. Тогда в начале программы пишем

— и далее в коде когда нам надо сравнить два числа, мы вместо if x=y пишем if abs(x - y) < eps, т.е. проверяем, правда ли, что \(|x-y| < \varepsilon\).

То есть мы предполагаем, что если два числа на самом деле должны быть равны, но отличаются из-за погрешности, то они отличаться будут менее чем на eps; а если они на самом деле должны различаться, то различаться они будут более чем на eps. Таким образом, eps разделяет ситуации «два числа равны» и «два числа не равны». (Естественно, это будет работать не при любом eps, т.е. eps надо аккуратно выбирать — про это см. ниже.)

Аналогично, если нам надо проверить if x >= y, то надо писать if x >= y - eps или if x > y - eps. (Обратите внимание, что тут не важно, писать строгое или нестрогое равенство — вероятность того, что окажется точно x == y - eps очень мала из-за тех же погрешностей: скорее всего окажется или больше, или меньше. Более того, если оказалось, что точно x == y - eps, это обозначает, что мы неправильно выбрали eps, т.к мы не смогли отделить ситуацию «числа x и y равны» и ситуацию «числа не равны». См. еще ниже в разделе про выбор eps.)

Если нам надо написать условие if x > y, то его тоже надо переписать, ведь нам важно (подробнее см. ниже), чтобы при x == y условие не выполнилось! Поэтому переписать его надо так: if x > y + eps. Аналогичные соображения действуют для любых других сравнений вещественных чисел.

Итак, именно поэтому получаем

Важно

Правило второе: если уж работаете, то используйте eps. При любых сравнениях вещественных чисел надо использовать eps.

(Первое правило будет дальше 🙂 )

2.6.9.3. Выбор

eps

Выбор eps — это весьма нетривиальная задача, и далеко не всегда она вообще имеет правильное решение. Нам надо выбрать такое eps, чтобы, если два числа должны быть равны (но отличаются из-за погрешностей), то их разность точно была меньше eps, а если они не равны, то точно была больше eps. Ясно, что в общем случае эта задача не имеет решения: может быть так, что в одной программе будут два числа, которые должны быть равны, но отличаются, например, на 0.1 из-за погрешности, и два числа, которые действительно различны, но отличаются только на 0.01.

Но обычно считают, что в «разумных» задачах все-таки такое eps существует, т.е. числа, которые должны быть равны, отличаются не очень сильно, а те, которые должны отличаться, отличаются намного сильнее. И eps выбирают где-нибудь посередине. (В частности, поэтому, как говорилось выше, не бывает так, что x == y - eps точно.) (В более сложных задачах может понадобиться применять более сложные техники, но мы их сейчас не будем обсуждать.)

В некоторых, самых простых, задачах такое eps можно вычислить строго. Например, пусть задача: даны три числа \(a\), \(b\) и \(c\), каждое не больше 1000, и каждое имеет не более 3 цифр после десятичной запятой. Надо проверить, правда ли, что \(a+b=c\). Из изложенного выше понятно, что тупое решение if a + b == c не сработает: может оказаться, что должно быть \(a + b = c\), но из-за погрешностей получится, что \(a+b \neq c\). Поэтому надо проверять if abs(a + b - c) < eps, но какое брать eps?

Подумаем: пусть действительно \(a+b=c\). Какой может быть разница \(a+b-c\) с учетом погрешностей? Мы знаем, что \(a\), \(b\) и \(c\) не превосходят 1000. Мы используем тип данных float (который на самом деле double), в котором хранятся 15-16 верных цифр, значит, погрешности будут примерно в 15-16-й значащей цифре. Для максимальных возможных значений чисел (т.е. для 1000) погрешности будут порядка 1e-12 или меньше, т.е. можно рассчитывать, что если \(a+b=c\), то в программе \(|a+b-c|\) будет порядка 1e-12 или меньше.

С другой стороны, пусть \(a+b \neq c\). Какой тогда может быть разница \(|a+b-c|\)? По условию, все числа имеют не более трех цифр после запятой, поэтом понятно, что эта разница будет равна 0.001 или больше.

Итого мы видим, что если числа должны быть равны, то они отличаются не более чем на 1e-12, а если не равны, то как минимум на 1e-3. Поэтому можно, например, взять eps=1e-5. С одной стороны, если на самом деле \(a+b=c\), то в программе \(|a+b-c|\) точно получится намного меньше eps, а с другой стороны, если на самом деле \(a+b\neq c\), то \(|a+b-c|\) будет точно намного больше eps. Итак, в этом примере мы смогли точно вычислить подходящее eps.

(И вообще, конечно, вариантов много — подошло бы любое число, которое существенно меньше 1e-3 и существенно больше 1e-12. Вот это и есть «хорошая» ситуация, когда варианты «равны» и «не равны» разделены очень сильно. А если бы они не были бы так разделены, то весь фокус с eps не прошел бы. Это то, про что я писал немного выше.).

Но бывают задачи, где так просто вычислить подходящее eps не получается. На самом деле таких задач большинство — как только вычисления у вас становятся сложнее чем сложить два числа, за погрешностями уже становится сложно уследить. Можно, конечно, применять какие-нибудь сложные техники, но обычно принято просто брать какое-нибудь eps порядка 1e-6..1e-10.

Но в итоге вы не можете быть уверены, что вы выбрали правильное eps. Если ваша программа не работает — это может быть потому, что у вас ошибка в программе, а может быть просто потому, что вы выбрали неверный eps. Бывает так, что достаточно поменять eps — и программа пройдет все тесты. Конечно, это не очень хорошо, но ничего не поделаешь.

В частности, поэтому на олимпиадах очень не любят давать задачи, которые реально требуют вычислений с вещественными числами — никто, даже само жюри, не может быть уверено в том, что у них eps выбрано верно. Но иногда такие задачи все-таки дают, т.к. никуда не денешься.

И поэтому получаем

Важно

Первое правило работы с вещественными числами: не работайте с вещественными числами. А именно, если возможно какую-то задачу решить без применения вещественных чисел, и это не очень сложно, то лучше ее решать без вещественных чисел, чтобы не думать про все эти погрешности и eps.

Пример: пусть у вас в программе есть четыре целых (int) положительных числа \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), и вам надо сравнить две дроби: \(a/b\) и \(c/d\). Вы могли бы написать if a / b > c / d, но это плохо: в результате деления получаются вещественные числа, и вы сравниваете два вещественных числа со всеми вытекающими последствиями. (Конкретно в этом случае, возможно, ничего плохого не случится, но в чуть более сложных случаях уже может случиться, да и в этом случае возможно и случится, я не проверял.) А именно, может оказаться, например, что \(a / b = c / d\) на самом деле, но из-за погрешностей в программе получится \(a/b>c/d\) и if выполнится. Вы можете написать eps, думать, каким его выбрать… но можно проще. Можно просто понять, что при положительных (по условию) числах это сравнение эквивалентно условию if a * d > c * b. Здесь все вычисления идут только в целых числах, поэтому это условие работает всегда, и не требует никаких eps (да еще и работает быстрее, чем предыдущий вариант). Его написать не сложнее, чем вариант с делением, поэтому всегда следует так и писать. Всегда, когда в решении вы переходите от целых к вещественным числам, задумайтесь на секунду: а нельзя ли обойтись без вещественных чисел? Если да, то постарайтесь так и поступить — и никаких проблем с точностью у вас не возникнет.

В частности, в будущем вы заметите, что во многих задачах, которые, казалось бы, подразумевают вещественные входные данные (например, задачи на геометрию), входные данные тем не менее обычно целочисленны. Это сделано именно для того, чтобы можно было написать решение полностью в целых числах, и не иметь проблем с погрешностью. (Не всегда такое решение возможно, и уж тем более не всегда оно простое, но тем не менее.) Поэтому если вы можете написать такое решение, лучше написать именно его.

2.6.10. Дополнительный материал. «Грубые» задачи: когда

eps не нужно

Рассмотрим следующие код (x, y, max – вещественные числа):

if x > y:
   max = x
else:
   max = y

Здесь мы сравниваем два вещественных числа, чтобы найти максимум из них. Казалось бы, в соответствии со сказанным выше, в сравнении нужен eps… но нет! Ведь если два числа на самом деле равны, то нам все равно, в какую из веток if мы попадем — обе ветки будут верными! Поэтому eps тут не нужен.

Так иногда бывает — когда вам все равно, в какую ветку if’а вы попадете, если два сравниваемых числа на самом деле равны между собой. В таком случае eps использовать не надо. Но каждый раз тщательно думайте: а правда ли все равно? Всегда лучше перестраховаться и написать eps (выше с eps тоже все работало бы), за исключением совсем уж простых случаев типа приведенного выше вычисления максимума.

Еще пример: считаем сумму положительных элементов массива

# x -- массив вещественых чисел
s = 0
for i in range(len(x)):
   if x[i] > 0:
      s += x[i]

Здесь, опять-таки, если должно быть \(x_i=0\), то не важно, добавим мы его в сумму или нет: сумма от добавления нуля не изменится. Поэтому eps писать не надо (но ничего страшного не будет, если и написать).

Еще пример, где уже eps необходим: определим, какое из двух чисел больше:

...
if x > y + eps:
   ans = 1
elif x < y - eps:
   ans = 2
else:
   ans:=0

Вообще, тут полезно следующее понятие. Назовем задачу (или фрагмент кода) грубым, если ответ на задачу (или результат работы этого фрагмента) меняется не очень сильно (не скачком) при небольшом изменении входных данных, и негрубым в противоположном случае. (Понятие грубости пришло из физики.)

Тогда в задаче (фрагменте кода) eps нужен, если задача является негрубой: тогда существуют такие входные данные, которые вам важно отличить от очень близких им. Например, если надо определить, какое из двух чисел больше, то при входных данных «0.3 0.3» надо ответить «они равны», но при очень небольшом изменении входных данных, например, на «0.300001 0.3» ответ резко меняется: надо отвечать «первое больше».

Если же задача (или фрагмент кода) является грубым, то, скорее всего, в нем можно обойтись без eps: если вы чуть-чуть ошибетесь при вычислениях, ответ тоже изменится не очень сильно. Например, если вы вычисляете максимум из двух чисел, то на входных данных «0.3 0.3» ответ 0.3, а на входных данных «0.300001 0.3» ответ 0.300001, т.е. изменился не очень сильно.

Но, конечно, все приведенное выше рассуждение про грубые задачи — очень примерно, и в каждой задаче надо отдельно думать.

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Денис Стехун (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2),

Числа: целые, вещественные, комплексные | Python 3 для начинающих и чайников

Числа в Python 3: целые, вещественные, комплексные. Работа с числами и операции над ними.

Целые числа (int)

Числа в Python 3 ничем не отличаются от обычных чисел. Они поддерживают набор самых обычных математических операций:

x + y	Сложение
x — y	Вычитание
x * y	Умножение
x / y	Деление
x // y	Получение целой части от деления
x % y	Остаток от деления
-x	Смена знака числа
abs(x)	Модуль числа
divmod(x, y)	Пара (x // y, x % y)
x ** y	Возведение в степень
pow(x, y[, z])	xy по модулю (если модуль задан)

Также нужно отметить, что целые числа в python 3, в отличие от многих других языков, поддерживают длинную арифметику (однако, это требует больше памяти).

>>> 255 + 34
289
>>> 5 * 2
10
>>> 20 / 3
6. yПобитовое исключающее илиx & yПобитовое иx << nБитовый сдвиг влевоx >> yБитовый сдвиг вправо~xИнверсия битов 
Дополнительные методы
 
int.bit_length() - количество бит, необходимых для представления числа в двоичном виде, без учёта знака и лидирующих нулей.
>>> n = -37
>>> bin(n)
'-0b100101'
>>> n.bit_length()
6
int.to_bytes(length, byteorder, *, signed=False) - возвращает строку байтов, представляющих это число.
>>> (1024).to_bytes(2, byteorder='big')
b'\x04\x00'
>>> (1024).to_bytes(10, byteorder='big')
b'\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x04\x00'
>>> (-1024).to_bytes(10, byteorder='big', signed=True)
b'\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xfc\x00'
>>> x = 1000
>>> x.to_bytes((x.bit_length() // 8) + 1, byteorder='little')
b'\xe8\x03'
classmethod int.from_bytes(bytes, byteorder, *, signed=False) - возвращает число из данной строки байтов.
>>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='big')
16
>>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='little')
4096
>>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=True)
-1024
>>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=False)
64512
>>> int.from_bytes([255, 0, 0], byteorder='big')
16711680
Системы счисления
Те, у кого в школе была информатика, знают, что числа могут быть представлены не только в десятичной системе счисления. К примеру, в компьютере используется двоичный код, и, к примеру, число 19 в двоичной системе счисления будет выглядеть как 10011. Также иногда нужно переводить числа из одной системы счисления в другую. Python для этого предоставляет несколько функций:
int([object], [основание системы счисления]) - преобразование к целому числу в десятичной системе счисления. По умолчанию система счисления десятичная, но можно задать любое основание от 2 до 36 включительно.
bin(x) - преобразование целого числа в двоичную строку.
hex(х) - преобразование целого числа в шестнадцатеричную строку.
oct(х) - преобразование целого числа в восьмеричную строку.
Примеры:
>>> a = int('19') # Переводим строку в число
>>> b = int('19.5')  # Строка не является целым числом
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in
ValueError: invalid literal for int() with base 10: '19.5'
>>> c = int(19.5)  # Применённая к числу с плавающей точкой, отсекает дробную часть
>>> print(a, c)
19 19
>>> bin(19)
'0b10011'
>>> oct(19)
'0o23'
>>> hex(19)
'0x13'
>>> 0b10011  # Так тоже можно записывать числовые константы
19
>>> int('10011', 2)
19
>>> int('0b10011', 2)
19
Вещественные числа (float)
Вещественные числа поддерживают те же операции, что и целые. Однако (из-за представления чисел в компьютере) вещественные числа неточны, и это может привести к ошибкам:
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1
0.9999999999999999
Для высокой точности используют другие объекты (например Decimal и Fraction)).
Также вещественные числа не поддерживают длинную арифметику:
>>> a = 3 ** 1000
>>> a + 0.1
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in
OverflowError: int too large to convert to float
Простенькие примеры работы с числами:
>>> c = 150
>>> d = 12.9
>>> c + d
162.9
>>> p = abs(d - c)  # Модуль числа
>>> print(p)
137.1
>>> round(p)  # Округление
137
Дополнительные методы
float.as_integer_ratio() - пара целых чисел, чьё отношение равно этому числу.
float.is_integer() - является ли значение целым числом.
float.hex() - переводит float в hex (шестнадцатеричную систему счисления).
classmethod float.fromhex(s) - float из шестнадцатеричной строки.
>>> (10.5).hex()
'0x1.5000000000000p+3'
>>> float.fromhex('0x1.5000000000000p+3')
10.5
Помимо стандартных выражений для работы с числами (а в Python их не так уж и много), в составе Python есть несколько полезных модулей.
Модуль math предоставляет более сложные математические функции.
>>> import math
>>> math.pi
3.141592653589793
>>> math.sqrt(85)
9.219544457292887
Модуль random реализует генератор случайных чисел и функции случайного выбора.
>>> import random
>>> random.random()
0.15651968855132303
Комплексные числа (complex)
В Python встроены также и комплексные числа:
>>> x = complex(1, 2)
>>> print(x)
(1+2j)
>>> y = complex(3, 4)
>>> print(y)
(3+4j)
>>> z = x + y
>>> print(x)
(1+2j)
>>> print(z)
(4+6j)
>>> z = x * y
>>> print(z)
(-5+10j)
>>> z = x / y
>>> print(z)
(0.44+0.08j)
>>> print(x.conjugate())  # Сопряжённое число
(1-2j)
>>> print(x.imag)  # Мнимая часть
2.0
>>> print(x.real)  # Действительная часть
1.0
>>> print(x > y)  # Комплексные числа нельзя сравнить
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in
TypeError: unorderable types: complex() > complex()
>>> print(x == y)  # Но можно проверить на равенство
False
>>> abs(3 + 4j)  # Модуль комплексного числа
5.0
>>> pow(3 + 4j, 2)  # Возведение в степень
(-7+24j)
Для работы с комплексными числами используется также модуль cmath.
Функция СЛЧИС - Служба поддержки Office
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции СЛЧИС в Microsoft Excel.
Описание
 
Функция СЛЧИС возвращает равномерно распределенное случайное вещественное число, большее или равное 0, но меньшее 1. При каждом пересчете листа возвращается новое случайное вещественное число.
 
Синтаксис
 
СЛЧИС()
У функции СЛЧИС нет аргументов.
Замечания
 
=СЛЧИС()*(b–a)+a

Если требуется применить функцию СЛЧИС для генерации случайного числа, но изменение этого числа при каждом вычислении значения ячейки нежелательно, вы можете ввести в строке формулы =СЛЧИС(), а затем нажать клавишу F9, чтобы заменить формулу случайным числом. Формула вычисляется и оставляет только значение.

Пример
 
Скопируйте образец данных из приведенной ниже таблицы и вставьте их в ячейку A1 на новом листе Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — ВВОД. При необходимости вы можете настроить ширину столбцов, чтобы увидеть все данные.

 Формула

 Описание 

 Результат

=СЛЧИС()


Случайное число, большее или равное 0, но меньшее 1


меняется


=СЛЧИС()*100


Случайное число, большее или равное 0 и меньшее 100


меняется


=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*100)


Случайное целое число, большее или равное 0 и меньшее 100


меняется




 Примечание. При пересчете листа после ввода формулы или данных в другую ячейку или при выполнении пересчета вручную (по нажатию клавиши F9) каждая формула, в которой используется функция СЛЧИС, создает новое случайное число.


Дополнительные сведения
 
Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community, попросить помощи в сообществе Answers community, а также предложить новую функцию или улучшение на веб-сайте Excel User Voice.
 

См. также
 

 Алгоритм Mersenne Twister (Функция


 СЛБЕЖМЕЖ)

Вещественные типы
В языке Паскаль существует несколько типов для представления действительный чисел. Однако чаще всего для их представления используется тип Real.
Таблица. Вещественные типы в Pascal
Тип
Диапазон
Число цифр
Память, байт
Real
2.9e-39 … 1.7e38
11-12
6
Single
1.5e-45 … 3.4e38
7-8
4
Double
5.0e-324 ...1.7e308
15-16
8
Extended
3.4e-4932 … 1.1e493
19-20
10
Comp
-9.2e63 … (9.2e63)-1
19-20
8
Число цифр определяет точность, с которой будет храниться вещественное число. Например, для Real разрядность мантиссы может составлять не более восьми десятичных знаков. Тип Comp содержит только целые значения, которые представляются в вычислениях как вещественные.
Над действительными числами выполнимы операции сложения (+), вычитания (-), умножения (*) и деления (/). Результатом этих операций является также действительное число. Даже если хотя бы один из операндов вещественный, то результат этих операций также будет вещественным.
Операция деления (/) дает вещественный результат и в случае двух целых операндов. Например, 6 / 2 = 3.0.
Для действительных чисел допустимы такие же операции отношения (сравнения), что и для целых чисел.
Стандартная функция abs(x) – модуль x – от целого аргумента дает целый результат, а от вещественного – вещественный, как и sqr(x) – квадрат x.
Функции
sin(x) – синус x (x в радианах),
cos(x) – косинус x (x в радианах),
ln(x) – натуральный логарифм x,
exp(x) – экспонента x,
sqrt(x) – корень квадратный из x,
arctan(x) – арктангенс x
дают вещественный результат, как для вещественного, так и для целого аргумента.
Функция int возвращает в виде действительного значения целую часть аргумента, frac возвращает дробную часть аргумента.
Функции trunc и round возвращают результат целого типа. Первая отсекает дробную часть от аргумента, а вторая выполняет округление до ближайшего целого.
Функция random без аргументов возвращает равномерно распределенное случайное число от 0 до 1.
Не имеющая аргументов функция pi возвращает число Пифагора.
Нельзя использовать переменные и константы вещественного типа:
в функциях pred, succ, ord;
в качестве индексов массивов;
в операторах передачи управления в качестве меток.
Множества, отображения и числа
1.1Множества
1.1.1Примеры множеств
 В математике принято давать строгие определения всем вводимым понятиям. Однако,
когда мы даём определение новому понятию, мы описываем его с помощью слов,
каждое из которых, по идее, также нуждается в определении. Поскольку этот
процесс не может продолжаться до бесконечности, в какой-то момент мы вынуждены
остановиться, и сказать, что некоторые понятия мы не будем определять формально.
Как бы определение 1. Множество — это набор каких-то элементов.
 Это как бы определение даёт мало информации — фактически, в нём сказано, что
множество — это набор, а что такое набор — так же непонятно. Чтобы стало чуть
более понятно, давайте приведём пару примеров:
Пример 1. Определим множество A:={1,2,3}, которое состоит из трёх элементов —
чисел 1, 2 и 3. (Когда какой-то объект впервые определяется, мы часто будем
использовать знак := вместо обычного равно, чтобы подчеркнуть, что мы
таким образом определяем значение того символа, который стоит со стороны
двоеточия.) Чтобы задать множество, можно перечислить его элементы,
заключив их в фигурные скобки. (Так, конечно, можно задать не все множества,
а только конечные, в которых число элементов конечно; чуть позже мы
столкнёмся с бесконечными множествами.) Важно отметить, что
порядок следования элементов при перечислении не имеет значения: я мог бы
написать {2,1,3} или {3,2,1} и получить ровно то же самое
множество A. Ещё одно важное замечание: каждый элемент либо входит в
множество, либо не входит, нельзя «дважды входить» в множество. Если бы я
написал {1,1,2,3}, было бы непонятно, что я имею в виду — хотя
единица написана дважды, входить в множество она может ровно один раз.
(Например, в языке программирования Python, умеющем работать с множествами,
такая запись создало бы такое же множество, как и A.)
Пример 2. Бывает пустое множество, которое обозначается ∅ (в другом стиле
выглядит как ∅). Оно не содержит ни одного элемента: ∅={}.
 Утверждение «элемент x входит в множество X» кратко записывается таким образом:
x∈X
 То есть, например, справедливо сказать, что 1∈A для множества A,
определенного в примере 1, а 4∉A.
Определение 1. Пусть есть два множества, X и Y. Говорят, что X является подмножеством множества Y (пишут X⊂Y или Y⊃X),
если всякий элемент множества X также является и элементом множества Y.
 Например, множество {1,2} является подмножеством множества A из 
примера 1, а множество {1,2,3,4} — не является.
 Пример 3. Множества могут быть сами элементами множеств. Например, можно рассмотреть множество всех подмножеств множества A: получится такое множество
(обозначим его через B):
 B:={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
 B:={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
 Обратите внимание на разницу между знаками ∈ и ⊂. Например, для
множества A, справедливо утверждение 1∈A, справедливо утверждение
{1}⊂A, но неверно, что {1}∈A, поскольку элементами A
являются числа, а не множества. Для множества B, наоборот, 1∉B,
зато {1}∈B.
Вопрос 1. Кстати, а верно ли, что {1}⊂B?    
 Верно
 Неверный ответ.
 Нет, {1} не является подмножеством множества B: оно
содержит это множество как элемент. Если вы хотите создать
множество, единственным элементом которого является множество
{1}, оно будет записываться как {{1}}.
   
 Неверно
 Верный ответ.
 Действительно, {1} не является подмножеством множества B: оно
содержит это множество как элемент. Если вы хотите создать
множество, единственным элементом которого является множество
{1}, оно будет записываться как {{1}}.
 Как мы видим из примера 3, множества могут содержать в себе
другие множества. Тут может возникнуть соблазн рассмотреть «множество всех
возможных множеств», однако это приводит к проблемам (подробнее можно посмотреть
в статье про парадокс
Рассела в Википедии). Таких
проблем удаётся избегать, если мы разрешаем рассматривать лишь множества,
которые понятным образом строятся из уже определенных ранее множеств. Так мы и
будем поступать. Есть более аккуратные способы определения множеств путём ввода
некоторой системы аксиом, но для всех практических целей нам будет достаточно
«наивного» понятия о множествах, которое обсуждается здесь.
1.1.2Операции над множествами
 Нам понадобятся некоторые известные операции с множествами.
Определение 2. Для произвольных множеств X и Y, определим их пересечение, то
есть новое множество (обозначается X∩Y), которое состоит из всех
элементов, которые есть одновременно и в X, и в Y.
Определение 3. Для произвольных множеств X и Y, определим их объединение, то
есть новое множество (обозначается X∪Y), которое состоит из всех
элементов, которые есть хотя бы в одном из множеств X, или в Y (или в
обоих).
Определение 4. Для произвольных множеств X и Y, разностью X∖Y (также пишут
просто X−Y) называется множество всех элементов X, не содержащихся в
Y. Иногда говорят дополнение Y до X (вероятно, наиболее
корректным этот термин является, если Y является подмножеством X).
1.2Отображения 
 Вы наверняка встречались с понятием функции. В математике есть два набора
терминов, которые описывают одно и то же — в одних случаях используется слово
«функция», в других — «отображение». Слово «отображение» выглядит чуть более
универсальным термином. Его можно было бы определить формально, опираясь только
на понятие множества, но мы ограничимся неформальным описанием.
Как бы определение 2. Рассмотрим два произвольных множества X и Y. Пусть мы
каждому элементу из множества X поставили в соответствие какой-то элемент из
множества Y. Тогда говорят, что мы задали отображение из X в Y.
 Пример 4. Рассмотрим отображение из множества A={1,2,3} в множество
L:={a,b,c,d} (здесь a, b,
c и d — не переменные, а просто  буквы английского
алфавита — множества ведь могут содержать не только числа), заданное
следующим образом (см. рис 1.4: числу 1 поставили в
соответствие букву b, числу 2 — букву c и числу 3
— букву b. Таким образом мы задали отображение из A в L. Это
отображение можно обозначить какой-нибудь буквой, например, буквой g.
Тогда можно записать: g(1)=b, g(2)=c и
g(3)=b. Говорят также, что под действием отображения g, число
1 переходит в букву b и т.д. Также можно сказать, что буква
b является образом числа 1 под действием отображения
g, и наоборот, число 1 является одним из прообразов буквы
b.
Если задано отображение f из множества X в множество Y, пишут:
f:X→Y.
 Можно представить себе отображение f:X→Y как такую картинку, в
которой из каждого элемента множества X выходит стрелочка, которая ведёт к
какому-то элементу множества Y. При этом стрелочки обязаны выходить из всех
элементов X, но не обязаны входить во все элементы Y. Важно также, что
из каждого элемента X выходит ровно одна стрелочка, то есть каждый элемент
множества X отображается ровно в один элемент множества Y.
Определение 5. Отображение f:X→Y называется инъективным (или просто инъекцией), если оно «не склеивает точки», то есть не переводит две
разные точки в одну и ту же. Если представлять отображение в виде картинки
со стрелочками, это соответствует тому, что нет двух стрелочек, ведущих в
одну и ту же точку.
 Рис. 1.5: Не инъективное (слева) и инъективное (справа) отображения.
Определение 6. Отображение f:X→Y называется сюръективным (или просто сюръекцией), если в любую точку множества Y что-то переходит. Иными
словами, у любой точки множества Y есть хотя бы один прообраз под
действием f. Если представлять отображение в виде картинки
со стрелочками, это соответствует тому, что в каждую точку Y ведёт хотя бы
одна стрелочка.
 Рис. 1.6: Не сюръективное (слева) и сюръективное (справа) отображения.
Определение 7. Отображение f:X→Y называется биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением), если оно
одновременно является инъективным и сюръективным. В этом случае не только каждому
элементу множества X поставлен в соответствие ровно один элемент Y (как
всегда бывает, когда отображение задано), но и наоборот, каждому элементу
множества Y поставлен в соответствие ровно один элемент множества X —
тот, который в него переходит под действием отображения. Он существует
(потому что отображение сюръективно) и единственный (потому что инъективно).
 Рис. 1.7: Биективное отображение.
Определение 8. Множества, между которыми существует взаимно однозначное соответствие,
называются равномощными. Очевидно, если два множества равномощны, у
них одинаковая мощность. Но что такое эта мощность? Для конечных множеств, мощность определяется просто как число элементов. Для бесконечных всё
сложнее, мы поговорим об этом позже.
1.3Числа
 Основным строительным материалом для всего последующего курса будут различные
числовые множества.
1.3.1Натуральные числа
 Множество натуральных чисел {1,2,3,…} обозначается буквой N. Единственный камень преткновения: считать ли ноль натуральным числом. Как
правило, натуральные числа «определяются» как «числа, используемые при счёте
предметов». В этом случае среди натуральных чисел нет нуля, и это соответствует
распространённому в России соглашению. Есть другой подход — сказать, что
натуральные числа — это «мощности конечных множеств» (см.
определение 8). В этом случае ноль следовало бы считать
натуральным, потому что это мощность пустого множества. Такое соглашение
принято, например, во Франции. Мы будем использовать соглашение, принятое в
России, и не будем считать 0 натуральным числом.
1.3.2Целые числа
 Множество целых чисел обозначается буквой Z={0,1,−1,2,−2,…}. Натуральные числа являются подмножеством целых (натуральные числа
— это в точности целые положительные числа).
 Каких чисел больше: натуральных или целых? Казалось бы, отрицательных целых
чисел «столько же», сколько положительных, то есть натуральные числа входит в
число целых дважды, да ещё остаётся ноль. То есть целых должно быть вдвое
больше, чем натуральных (и ещё чуть-чуть больше). На самом деле, для бесконечных
множеств такая логика не работает: легко придумать взаимно однозначное
соответствие между натуральными и целыми числами (например, можно
воспользоваться тем, как эти множества записаны выше: 1 отобразить в 0, 2
в 1, 3 в −1, 4 в 2, 5 в −2 и т.д.), так что с тем же успехом можно
сказать, что их «поровну». Аккуратное утверждение состоит в том, что множества
целых и натуральных чисел равномощны.
1.3.3Рациональные числа
 Множество рациональных чисел Q состоит из всевозможных обыкновенных
дробей вида {pq∣p∈Z,q∈N}, то есть
дробей с целым числителем и натуральным знаменателем. Конечно, мы знаем, что
бывают разные дроби, задающие одно и то же число: например,
24=12. Вообще, для любого целого m≠0, дроби
pq и pmqm задают одно и то же число.
 Арифметические операции с рациональными числами задаются с помощью стандартных
правил действий с обыкновенными дробями.
 Целые числа входят в множество рациональных чисел — это в точности рациональные
числа со знаменателем 1.
Определение 9. Целые числа m и n называются взаимно простыми, если они не имеют
общих натуральных делителей, кроме 1.
 Если числа m и n взаимно просты, дробь mn является несократимой. (Если бы у m и n были натуральные делители, отличные от
1, на них можно было сократить, а так сокращать не на что.)
Теорема 1. Любое рациональное число имеет единственное представление в виде
несократимой дроби pq, p∈Z, q∈N. Иными
словами, если есть другое представление, pq=mn, где m
и n взаимно просты и n натурально, то обязательно p=m и q=n.
 Эта теорема кажется очевидной, но на самом деле таковой не является. Например,
если бы мы разрешили знаменателю принимать не только натуральные, но и любые
целые ненулевые значения, теорема была бы неверна: 12=−1−2,
хотя обе дроби несократимы. Её аккуратное доказательство требует либо веры в
основную теорему арифметики (о том, что любое целое число однозначно задаётся в
виде произведения простых сомножителей), которая имеет не очень короткое
доказательство, либо использования алгоритма Евклида. Второй подход приведён в
виде серии задачи в семинарских
листочках.
1.3.4Вещественные числа
 С вещественными (действительными) числами всё сложно. Интуитивно, вещественные
числа — это длины отрезков, площади фигур и т.д. Но чтобы аккуратно их ввести в
математику, человечество потратило несколько тысяч лет: тот факт, что длины
отрезков могут не выражаться рациональными числами, был известен ещё Древним
Грекам за несколько сотен лет до нашей эры, но аккуратно вещественные числа были
введены в математику только в XIX веке.
 В рамках лекций мы будем следовать «школьному» определению: вещественное число —
это бесконечная десятичная дробь, то есть бесконечная вправо последовательность
цифр, у которой на каком-то месте стоит десятичная запятая (в англоязычной
традиции — десятичная точка).
 Чтобы какое-то множество можно было с полным правом называть числовым, нужно,
чтобы на нём были определены арифметические операции. Для конечных десятичных
дробей это делается с помощью стандартных алгоритмов сложения и умножения
(столбиком) и деления (уголком), которые проходят в школе. Для бесконечных
десятичных дробей так просто это сделать не получается, и мы не будем этим
заниматься — скажем только, что сделать это возможно, и результат будет
соответствовать нашим интуитивным представлениям об этих операциях. (Для
желающих у нас заготовлена серия задач, в которых вещественные числа
определяются несколько иначе — как некоторые множества рациональных чисел — мы
их дадим, когда все будут к этому готовы.)
 Рациональные числа входят в множество вещественных чисел. Этот факт, вообще
говоря, не прямо следует из определения, но его можно доказать, воспользовавшись
алгоритмом деления уголком и свойствами геометрических прогрессий, более
подробное обсуждение — на семинаре.
Определение 10. Вещественные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Специального обозначения для иррациональных чисел
нет, обычно просто пишут R∖Q.
 Чтобы не казалось, что мы зря возимся с вещественными числами, давайте докажем,
что иррациональные числа существуют. Для этого предъявим по крайней мере одно
такое число: √2.
 (Конечно, можно было бы не верить в существование иррациональных чисел, и
сказать, что раз √2 не является рациональным, то просто нет такого числа,
нельзя вычислить квадратный корень из двух, и всё тут; проблема в том, что тогда
мы не могли бы никак измерить длину диагонали квадрата со стороной 1, которая,
по теореме Пифагора, равна как раз √2. Это было бы неудачно.)
Доказательство. Докажем от противного. Пусть является, то есть существует такая несократимая
дробь pq, которая равна √2. По определению, √2
это такое число, которое при повзведении в квадрат даёт 2. Значит,
(pq)2=2;p2q2=2;p2=2q2.
Из этого следует, что p2 — четное число. Если бы p было нечётным, оно
бы представлялось в виде p=(2k+1) и его квадрат был бы нечётным:
p2=(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1. Значит, p обязательно чётно. Пусть
p=2k. Имеем:
(2k)2=2q2;4k2=2q2;2k2=q2.
Из таких же рассуждений получаем, что q должно быть чётным. Но по
предположению, дробь pq несократима, и значит её числитель и
знаменатель не могут быть одновременно чётными. Противоречие.∎
 Следующая глава →
 Реальный номер | математика | Britannica 
  Действительное число , в математике величина, которая может быть выражена как бесконечное десятичное разложение. Действительные числа используются в измерениях непрерывно меняющихся величин, таких как размер и время, в отличие от натуральных чисел 1, 2, 3,…, возникающих в результате подсчета. Слово , вещественное число  отличает их от комплексных чисел, содержащих символ  i , или квадратный корень из √ −1, используемых для упрощения математической интерпретации эффектов, например, возникающих в электрических явлениях.Действительные числа включают положительные и отрицательные целые числа и дроби (или рациональные числа), а также иррациональные числа. У иррациональных чисел есть десятичные разложения, которые не повторяются, в отличие от рациональных чисел, разложения которых всегда содержат повторяющуюся цифру или группу цифр, например, 1/6 = 0,16666… или 2/7 = 0,285714285714…. Десятичная дробь, образованная как 0,42442444244442… не имеет регулярно повторяющейся группы и поэтому является иррациональной.
 Наиболее известные иррациональные числа - это алгебраические числа, которые являются корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами.Например, решение уравнения  x   2  - 2 = 0 является алгебраическим иррациональным числом, обозначенным квадратным корнем из √2. Некоторые числа, такие как π и  e , не являются решениями любого такого алгебраического уравнения и поэтому называются трансцендентными иррациональными числами. Эти числа часто можно представить в виде бесконечной суммы дробей, определенных определенным образом, и десятичное разложение - одна из таких сумм.
 Действительные числа можно охарактеризовать важным математическим свойством полноты, означающим, что каждое непустое множество, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую такую ​​границу, свойство, которым не обладают рациональные числа.Например, набор всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2, не имеет наименьшей верхней границы, потому что квадратный корень из √2 не является рациональным числом. Иррациональные и рациональные числа бесконечно многочисленны, но бесконечность иррациональных чисел «больше», чем бесконечность рациональных чисел, в том смысле, что рациональные числа могут быть спарены с подмножеством иррациональных чисел, в то время как обратное спаривание невозможно.
 Реальные числа | Колледж алгебры 
 Результаты обучения 
 Классифицируйте действительное число.
 Выполните вычисления, используя порядок операций.
 Используйте свойства действительных чисел.
 Оценивать и упрощать алгебраические выражения.
 Из-за эволюции системы счисления теперь мы можем выполнять сложные вычисления, используя несколько категорий действительных чисел. В этом разделе мы исследуем наборы чисел, выполним вычисления с различными типами чисел и начнем узнавать об использовании чисел в алгебраических выражениях.
 Классификация действительного числа 
 Числа, которые мы используем для подсчета или перечисления элементов, - это натуральные числа  : 1, 2, 3, 4, 5 и так далее.Мы описываем их в обозначениях набора как {1, 2, 3,…}, где многоточие (…) указывает, что числа продолжаются до бесконечности. Натуральные числа, конечно же, также называются счетными числами  . Каждый раз, когда мы перечисляем членов команды, считаем монеты в коллекции или подсчитываем деревья в роще, мы используем набор натуральных чисел. Набор из  целых чисел  - это набор натуральных чисел плюс ноль: {0, 1, 2, 3,…}.
 Набор из  целых чисел  добавляет противоположности натуральных чисел к набору целых чисел: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}.Полезно отметить, что набор целых чисел состоит из трех различных подмножеств: отрицательных целых чисел, нуля и положительных целых чисел. В этом смысле положительные целые числа - это просто натуральные числа. Другой способ думать об этом - это то, что натуральные числа являются подмножеством целых чисел.
 [латекс] \ begin {align} & {\ text {отрицательные целые числа}} && {\ text {zero}} && {\ text {положительные целые числа}} \\ & {\ dots, -3, -2, -1 ,} && {0,} && {1,2,3, \ dots} \\ \ text {} \ end {align} [/ latex]
 Набор из  рациональных чисел  записывается как [латекс] \ left \ {\ frac {m} {n} | m \ text {и} {n} \ text {являются целыми числами и} {n} \ ne {0 } \ right \} [/ латекс].Обратите внимание на определение, что рациональные числа - это дроби (или частные), содержащие целые числа как в числителе, так и в знаменателе, а знаменатель никогда не равен 0. Мы также можем видеть, что каждое натуральное число, целое число и целое число является рациональным числом с знаменатель 1.
 Поскольку это дроби, любое рациональное число также может быть выражено в десятичной форме. Любое рациональное число может быть представлено как:
 завершающий десятичный разделитель: [латекс] \ frac {15} {8} = 1.875 [/ латекс] или
 повторяющееся десятичное число: [latex] \ frac {4} {11} = 0,36363636 \ dots = 0. \ Overline {36} [/ latex]
 Мы используем линию, проведенную над повторяющимся блоком чисел, вместо того, чтобы писать группу несколько раз.
 Пример: запись целых чисел как рациональных чисел 
 Запишите каждое из следующих чисел в виде рациональных чисел.
 7
 0
 –8
 Показать решение
 Запишите дробь с целым числом в числителе и единицей в знаменателе.
 [латекс] 7 = \ dfrac {7} {1} [/ латекс]
 [латекс] 0 = \ dfrac {0} {1} [/ латекс]
 [латекс] -8 = - \ dfrac {8} {1} [/ латекс]
 Попробуй 
 Запишите каждое из следующих чисел в виде рациональных чисел.
 11
 3
 –4
 Показать решение
 [латекс] \ dfrac {11} {1} [/ латекс]
 [латекс] \ dfrac {3} {1} [/ латекс]
 [латекс] - \ dfrac {4} {1} [/ латекс]
 Пример: определение рациональных чисел 
 Запишите каждое из следующих рациональных чисел как завершающее или повторяющееся десятичное число.
 [латекс] - \ dfrac {5} {7} [/ латекс]
 [латекс] \ dfrac {15} {5} [/ латекс]
 [латекс] \ dfrac {13} {25} [/ латекс]
 Показать решение
 Запишите каждую дробь как десятичную дробь, разделив числитель на знаменатель.
 [латекс] - \ dfrac {5} {7} = - 0. \ overline {714285} [/ latex], повторяющееся десятичное число
 [latex] \ dfrac {15} {5} = 3 [/ latex] (или 3,0), завершающее десятичное число
 [латекс] \ dfrac {13} {25} = 0,52 [/ латекс], завершающее десятичное число
 Иррациональные числа 
 В какой-то момент в древнем прошлом кто-то обнаружил, что не все числа являются рациональными числами.Строитель, например, мог обнаружить, что диагональ квадрата с единичными сторонами не равна 2 и даже не [латекс] \ frac {3} {2} [/ latex], а что-то другое. Или производитель одежды мог заметить, что отношение длины окружности к диаметру рулона ткани было немного больше 3, но все же не рациональное число. Такие числа называются  иррациональными , потому что они не могут быть записаны в виде дробей. Эти числа составляют набор из  иррациональных чисел . Иррациональные числа нельзя выразить дробью двух целых чисел.Невозможно описать этот набор чисел одним правилом, кроме как сказать, что число иррационально, если оно нерационально. Итак, мы пишем это, как показано.
 {ч | h не рациональное число}
 Пример: различение рациональных и иррациональных чисел 
 Определите, является ли каждое из следующих чисел рациональным или иррациональным. Если это рационально, определите, является ли это завершающей или повторяющейся десятичной дробью.
 [латекс] \ sqrt {25} [/ латекс]
 [латекс] \ dfrac {33} {9} [/ латекс]
 [латекс] \ sqrt {11} [/ латекс]
 [латекс] \ dfrac {17} {34} [/ латекс]
 [латекс] 0.3033033303333 \ точки [/ латекс]
 Показать решение
 [латекс] \ sqrt {25}: [/ latex] Это можно упростить как [латекс] \ sqrt {25} = 5 [/ latex]. Следовательно, [latex] \ sqrt {25} [/ latex] рационально.
 [latex] \ dfrac {33} {9}: [/ latex] Поскольку это дробь, [latex] \ dfrac {33} {9} [/ latex] является рациональным числом. Затем упростите и разделите.
 [латекс] \ dfrac {33} {9} = \ dfrac {{11} \ cdot {3}} {{3} \ cdot {3}} = \ dfrac {11} {3} = 3. \ Overline { 6} [/ латекс]
 Итак, [latex] \ dfrac {33} {9} [/ latex] является рациональным и повторяющимся десятичным числом.
 [latex] \ sqrt {11}: [/ latex] Это нельзя упростить дальше. Следовательно, [latex] \ sqrt {11} [/ latex] - иррациональное число.
 [latex] \ dfrac {17} {34}: [/ latex] Поскольку это дробь, [latex] \ dfrac {17} {34} [/ latex] является рациональным числом. Упростите и разделите.
 [латекс] \ dfrac {17} {34} = \ dfrac {1 \ cdot {17}} {2 \ cdot {17}} = \ dfrac {1} {2} = 0,5 [/ латекс]
 Итак, [latex] \ dfrac {17} {34} [/ latex] является рациональным и завершающим десятичным числом.
 0,3033033303333… не является завершающим десятичным числом.Также обратите внимание, что здесь нет повторяющегося шаблона, потому что группа из троек увеличивается каждый раз. Следовательно, это не завершающее и не повторяющееся десятичное число и, следовательно, не рациональное число. Это иррациональное число.
 Реальные числа 
 Для любого числа  n  мы знаем, что  n  либо рационально, либо иррационально. Не может быть и того, и другого. Наборы рациональных и иррациональных чисел вместе составляют набор из  действительных чисел . Как мы видели с целыми числами, действительные числа можно разделить на три подмножества: отрицательные действительные числа, ноль и положительные действительные числа.Каждое подмножество включает дроби, десятичные дроби и иррациональные числа в соответствии с их алгебраическим знаком (+ или -). Ноль не считается ни положительным, ни отрицательным.
 Действительные числа можно визуализировать на горизонтальной числовой строке с произвольной точкой, выбранной как 0, с отрицательными числами слева от 0 и положительными числами справа от 0. Затем используется фиксированное единичное расстояние, чтобы отметить каждое целое число ( или другое базовое значение) по обе стороны от 0. Любое действительное число соответствует уникальной позиции в числовой строке.Верно и обратное: каждое место в числовой строке соответствует ровно одному действительному числу. Это называется взаимно-однозначным соответствием. Мы называем это строкой действительных чисел  .
 Строка вещественных чисел
 Пример: классификация действительных чисел 
 Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное. Число находится слева или справа от 0 на числовой прямой?
 [латекс] - \ dfrac {10} {3} [/ латекс]
 [латекс] \ sqrt {5} [/ латекс]
 [латекс] - \ sqrt {289} [/ латекс]
 [латекс] -6 \ pi [/ латекс]
 [латекс] 0.{2}} = - 17 [/ latex] - это отрицательно и рационально. Он находится слева от 0.
 [латекс] -6 \ пи [/ латекс] отрицательно и нерационально. Он находится слева от 0.
 [латекс] 0,616161 \ точки [/ латекс] - повторяющееся десятичное число, поэтому оно рационально и положительно. Он находится справа от 0.
 [латекс] 0,13 [/ латекс] является конечным десятичным числом и может быть записано как 13/100. Так что это рационально и позитивно.
 Попробуй 
 Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное.Число находится слева или справа от 0 на числовой прямой?
 [латекс] \ sqrt {73} [/ латекс]
 [латекс] -11.411411411 \ точки [/ латекс]
 [латекс] \ dfrac {47} {19} [/ латекс]
 [латекс] - \ dfrac {\ sqrt {5}} {2} [/ латекс]
 [латекс] 6.210735 [/ латекс]
 Показать решение
 положительный, иррациональный; правый
 отрицательный, рациональный; осталось
 положительный, рациональный; правый
 отрицательный, иррациональный; осталось
 положительный, рациональный; правый
 Наборы чисел как подмножества 
 Начиная с натуральных чисел, мы расширили каждый набор, чтобы сформировать более крупный набор, что означает, что между наборами чисел, с которыми мы столкнулись до сих пор, существует связь подмножества.Эти отношения становятся более очевидными, если рассматривать их в виде диаграммы.
 Наборы цифр.  N : набор натуральных чисел  W : набор целых чисел  I : набор целых чисел  Q : набор рациональных чисел  Q´ : набор иррациональных чисел
 Общее примечание: наборы чисел 
 Набор из  натуральных чисел  включает числа, используемые для подсчета: [латекс] \ {1,2,3, \ точки \} [/ латекс].
 Набор из  целых чисел  - это набор натуральных чисел плюс ноль: [latex] \ {0,1,2,3, \ dots \} [/ latex].
 Набор из  целых чисел  добавляет отрицательные натуральные числа к набору целых чисел: [latex] \ {\ dots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ dots \} [/ латекс].
 Набор из  рациональных чисел  включает дроби, записанные как [латекс] \ {\ frac {m} {n} | m \ text {и} n \ text {целые числа и} n \ ne 0 \} [/ latex] .
 Набор из  иррациональных чисел  - это набор чисел, которые не являются рациональными, неповторяющимися и неповторяющимися: [latex] \ {h | h \ text {не рациональное число} \} [/ latex].
 Пример: дифференцирование наборов чисел 
 Классифицируйте каждое число как натуральное число, целое число, целое число, рациональное число и / или иррациональное число.
 [латекс] \ sqrt {36} [/ латекс]
 [латекс] \ dfrac {8} {3} [/ латекс]
 [латекс] \ sqrt {73} [/ латекс]
 [латекс] -6 [/ латекс]
 [латекс] 3,2121121112 \ точки [/ латекс]
 Показать решение
 натуральное число
 целое число
 целое
 рациональное число
 иррациональное число
 [латекс] \ sqrt {36} = 6 [/ латекс]
 да
 да
 да
 да
 №
 [латекс] \ dfrac {8} {3} = 2.\ overline {6} [/ latex]
 №
 №
 №
 да
 №
 [латекс] \ sqrt {73} [/ латекс]
 №
 №
 №
 №
 да
 [латекс] –6 [/ латекс]
 №
 №
 да
 да
 №
 [латекс] 3,2121121112 \ точки [/ латекс]
 №
 №
 №
 №
 да
 Попробуй 
 Классифицируйте каждое число как натуральное число ( N ), целое число ( W ), целое число ( I ), рациональное число ( Q ) и / или иррациональное число ( Q ’).
 [латекс] - \ dfrac {35} {7} [/ латекс]
 [латекс] 0 [/ латекс]
 [латекс] \ sqrt {169} [/ латекс]
 [латекс] \ sqrt {24} [/ латекс]
 [латекс] 4,763763763 \ точки [/ латекс]
 Показать решение
 натуральное число
 целое число
 целое
 рациональное число
 иррациональное число
 [латекс] - \ dfrac {35} {7} [/ латекс]
 да
 да
 да
 да
 №
 [латекс] 0 [/ латекс]
 №
 да
 да
 да
 №
 [латекс] \ sqrt {169} [/ латекс]
 да
 да
 да
 да
 №
 [латекс] \ sqrt {24} [/ латекс]
 №
 №
 №
 №
 да
 [латекс] 4.{2} [/ latex] - математическое выражение.
 Чтобы вычислить математическое выражение, мы выполняем различные операции. Однако мы не выполняем их в произвольном порядке. Используем порядок операций  . Это последовательность правил для вычисления таких выражений.
 Напомним, что в математике мы используем круглые скобки (), квадратные скобки [] и фигурные скобки {} для группировки чисел и выражений, так что все, что появляется в символах, рассматривается как единое целое. Кроме того, столбцы дробей, радикалов и абсолютных значений обрабатываются как символы группировки.{2} = 12 [/ латекс].
 Для некоторых сложных выражений потребуется несколько проходов по порядку операций. Например, внутри круглых скобок может быть радикальное выражение, которое необходимо упростить перед вычислением скобок. Соблюдение порядка операций гарантирует, что любой, кто упрощает одно и то же математическое выражение, получит тот же результат.
 A Общее примечание: порядок работы 
 Операции в математических выражениях должны оцениваться в систематическом порядке, который можно упростить, используя аббревиатуру  PEMDAS :
. {2} \ right] +1 [/ латекс] Показать решение
 1.{2} -4} {7} -3 && \ text {Упрощение радикала} \\ & = \ frac {25-4} {7} -3 && \ text {Степень упрощения} \\ & = \ frac {21} {7} -3 && \ text {Упростить вычитание в числителе} \\ & = 3-3 && \ text {Упростить деление} \\ & = 0 && \ text {Упростить вычитание} \ end {align} [/ latex]
 Обратите внимание, что на первом шаге радикал рассматривается как символ группировки, например круглые скобки. Кроме того, на третьем этапе полоса дроби считается символом группировки, поэтому числитель считается сгруппированным.{2}] + 1 && \ text {Упростить в круглых скобках} \\ & 7 \ left (15 \ right) -2 \ left (3-16 \ right) +1 && \ text {Упростить показатель степени} \\ & = 7 \ left (15 \ right) -2 \ left (-13 \ right) +1 && \ text {Subtract} \\ & = 105 + 26 + 1 && \ text {Умножение} \\ & = 132 && \ text {Добавить } \ end {align} [/ latex]
 Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров использования порядка операций для упрощения выражения.
 
 Использование свойств действительных чисел 
 Для некоторых действий, которые мы выполняем, порядок некоторых операций не имеет значения, но порядок других операций имеет значение.Например, не имеет значения, надеваем ли мы правую обувь перед левой или наоборот. Однако не имеет значения, наденем ли мы сначала туфли или носки. То же самое и с математическими операциями.
 Коммутативные свойства 
 Коммутативное свойство  сложения  гласит, что числа можно складывать в любом порядке, не влияя на сумму.
 [латекс] a + b = b + a [/ латекс]
 Мы можем лучше увидеть эту взаимосвязь при использовании действительных чисел.
 [латекс] \ left (-2 \ right) + 7 = 5 \ text {и} 7+ \ left (-2 \ right) = 5 [/ latex]
 Точно так же коммутативное свойство  умножения  утверждает, что числа можно умножать в любом порядке, не влияя на произведение.
 [латекс] a \ cdot b = b \ cdot a [/ латекс]
 Снова рассмотрим пример с действительными числами.
 [латекс] \ left (-11 \ right) \ cdot \ left (-4 \ right) = 44 \ text {и} \ left (-4 \ right) \ cdot \ left (-11 \ right) = 44 [ / латекс]
 Важно отметить, что ни вычитание, ни деление не коммутативны.Например, [латекс] 17-5 [/ латекс] не то же самое, что [латекс] 5-17 [/ латекс]. Аналогично [латекс] 20 \ div 5 \ ne 5 \ div 20 [/ латекс].
 Ассоциативные свойства 
 Ассоциативное свойство  умножения  говорит нам, что не имеет значения, как мы группируем числа при умножении. Мы можем перемещать символы группировки, чтобы упростить расчет, при этом продукт остается прежним.
 [латекс] a \ left (bc \ right) = \ left (ab \ right) c [/ латекс]
 Рассмотрим этот пример.
 [латекс] \ left (3 \ cdot4 \ right) \ cdot5 = 60 \ text {и} 3 \ cdot \ left (4 \ cdot5 \ right) = 60 [/ латекс]
 Ассоциативное свойство  сложения  говорит нам, что числа могут быть сгруппированы по-разному, не влияя на сумму.
 [латекс] a + \ left (b + c \ right) = \ left (a + b \ right) + c [/ латекс]
 Это свойство может быть особенно полезно при работе с отрицательными целыми числами. Рассмотрим этот пример.
 [латекс] [15+ \ left (-9 \ right)] + 23 = 29 \ text {и} 15 + [\ left (-9 \ right) +23] = 29 [/ латекс]
 Ассоциативны ли вычитание и деление? Просмотрите эти примеры.
 [латекс] \ begin {align} 8- \ left (3-15 \ right) & \ stackrel {?} {=} \ Left (8-3 \ right) -15 \\ 8- \ left (-12 \ справа) & \ stackrel {?} = 5-15 \\ 20 & \ neq 20-10 \\ \ text {} \ end {align} [/ latex]
 [латекс] \ begin {align} 64 \ div \ left (8 \ div4 \ right) & \ stackrel {?} {=} \ Left (64 \ div8 \ right) \ div4 \\ 64 \ div2 & \ stackrel { ?} {=} 8 \ div4 \\ 32 & \ neq 2 \\ \ text {} \ end {align} [/ latex]
 Как видим, ни вычитание, ни деление не ассоциативны.
 Распределительная собственность 
 Распределительное свойство   утверждает, что произведение множителя на сумму является суммой множителя, умноженного на каждый член в сумме.
 [латекс] a \ cdot \ left (b + c \ right) = a \ cdot b + a \ cdot c [/ латекс]
 Это свойство сочетает в себе как сложение, так и умножение (и это единственное свойство). Рассмотрим пример.
 Обратите внимание, что 4 находится за пределами символов группировки, поэтому мы распределяем 4, умножая его на 12, умножая на –7 и складывая произведения.
 Чтобы быть более точным, описывая это свойство, мы говорим, что умножение распределяется по сложению. Обратное неверно, как мы видим в этом примере.
 [латекс] \ begin {align} 6+ \ left (3 \ cdot 5 \ right) и \ stackrel {?} {=} \ Left (6 + 3 \ right) \ cdot \ left (6 + 5 \ right) \\ 6+ \ left (15 \ right) & \ stackrel {?} {=} \ Left (9 \ right) \ cdot \ left (11 \ right) \\ 21 & \ ne 99 \ end {align} [/ latex ]
 Умножение не распределяет по вычитанию, а деление не распределяет ни по сложению, ни по вычитанию.
 Особый случай свойства распределения возникает при вычитании суммы членов.
 [латекс] a-b = a + \ left (-b \ right) [/ латекс]
 Например, рассмотрим разницу [латекс] 12- \ влево (5 + 3 \ вправо) [/ латекс].Мы можем переписать разницу между двумя терминами 12 и [латекс] \ left (5 + 3 \ right) [/ latex], превратив выражение вычитания в сложение противоположного. Поэтому вместо вычитания [латекс] \ left (5 + 3 \ right) [/ latex] мы добавляем противоположное.
 [латекс] 12+ \ влево (-1 \ вправо) \ cdot \ left (5 + 3 \ вправо) [/ латекс]
 Теперь распределите [latex] -1 [/ latex] и упростите результат.
 [латекс] \ begin {align} 12+ \ left (-1 \ right) \ cdot \ left (5 + 3 \ right) & = 12 + [\ left (-1 \ right) \ cdot5 + \ left (-1 \ right) \ cdot3] \\ & = 12 + (- 5-3) \\ & = 12+ \ left (-8 \ right) \\ & = 4 \ end {align} [/ latex]
 Это кажется большой проблемой для простой суммы, но это иллюстрирует мощный результат, который будет полезен, когда мы введем алгебраические термины.Чтобы вычесть сумму членов, измените знак каждого члена и сложите результаты. Имея это в виду, мы можем переписать последний пример.
 [латекс] \ begin {align} 12- \ left (5 + 3 \ right) & = 12 + \ left (-5-3 \ right) \\ & = 12 + \ left (-8 \ right) \\ & = 4 \ end {align} [/ latex]
 Свойства идентичности 
 Свойство идентичности  дополнения  утверждает, что существует уникальный номер, называемый аддитивным идентификатором (0), который при добавлении к номеру дает исходный номер.
 [латекс] a + 0 = a [/ латекс]
 Свойство идентичности  умножения  утверждает, что существует уникальный номер, называемый мультипликативным тождеством (1), который при умножении на число дает исходное число.
 [латекс] a \ cdot 1 = a [/ латекс]
 Например, у нас есть [латекс] \ left (-6 \ right) + 0 = -6 [/ latex] и [latex] 23 \ cdot 1 = 23 [/ latex]. Для этих свойств нет исключений; они работают для всех действительных чисел, включая 0 и 1.
 Обратные свойства 
 Свойство , обратное сложению , утверждает, что для каждого действительного числа  a  существует уникальное число, называемое аддитивным обратным (или противоположным), обозначаемое -  a , которое при добавлении к исходному числу дает в аддитивном тождестве 0.
 [латекс] a + \ left (-a \ right) = 0 [/ латекс]
 Например, если [latex] a = -8 [/ latex], аддитивная инверсия равна 8, поскольку [latex] \ left (-8 \ right) + 8 = 0 [/ latex].
 Свойство , обратное умножению , сохраняется для всех действительных чисел, кроме 0, потому что величина, обратная 0, не определена. В свойстве указано, что для каждого действительного числа  a  существует уникальное число, называемое обратным мультипликативным (или обратным), обозначаемое [latex] \ frac {1} {a} [/ latex], которое при умножении на исходное число, приводит к мультипликативному тождеству, 1.
 [латекс] a \ cdot \ dfrac {1} {a} = 1 [/ латекс]
 Например, если [latex] a = - \ frac {2} {3} [/ latex], обратная величина, обозначенная [latex] \ frac {1} {a} [/ latex], будет [latex] - \ гидроразрыв {3} {2} [/ latex], потому что
 [латекс] a \ cdot \ dfrac {1} {a} = \ left (- \ dfrac {2} {3} \ right) \ cdot \ left (- \ dfrac {3} {2} \ right) = 1 [/ латекс]
 Общее примечание: свойства действительных чисел 
 Следующие свойства имеют место для действительных чисел  a ,  b  и  c .
 Дополнение
 Умножение
  Коммутационная собственность 
 [латекс] a + b = b + a [/ латекс]
 [латекс] a \ cdot b = b \ cdot a [/ латекс]
  Ассоциативное свойство 
 [латекс] a + \ left (b + c \ right) = \ left (a + b \ right) + c [/ латекс]
 [латекс] a \ left (bc \ right) = \ left (ab \ right) c [/ латекс]
  Распределительная собственность 
 [латекс] a \ cdot \ left (b + c \ right) = a \ cdot b + a \ cdot c [/ латекс]
  Идентификационная собственность 
 Существует уникальное действительное число, называемое аддитивным идентификатором, 0, такое, что для любого действительного числа  
 [латекс] a + 0 = a [/ латекс]
 Существует уникальное действительное число, называемое мультипликативным тождеством, 1, такое, что для любого действительного числа  
 [латекс] a \ cdot 1 = a [/ латекс]
  Обратное свойство 
 Каждое действительное число a имеет аддитивное обратное или противоположное, обозначенное  –a , так что
 [латекс] a + \ left (-a \ right) = 0 [/ латекс]
 Каждое ненулевое действительное число  a  имеет обратное мультипликативное или обратное число, обозначенное [latex] \ frac {1} {a} [/ latex], так что
 [латекс] a \ cdot \ left (\ dfrac {1} {a} \ right) = 1 [/ latex]
 Пример: использование свойств действительных чисел 
 Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение.Укажите, какие свойства применимы.
 [латекс] 3 \ cdot 6 + 3 \ cdot 4 [/ латекс]
 [латекс] \ влево (5 + 8 \ вправо) + \ влево (-8 \ вправо) [/ латекс]
 [латекс] 6- \ левый (15 + 9 \ правый) [/ латекс]
 [латекс] \ dfrac {4} {7} \ cdot \ left (\ frac {2} {3} \ cdot \ dfrac {7} {4} \ right) [/ latex]
 [латекс] 100 \ cdot \ left [0,75+ \ left (-2,38 \ right) \ right] [/ латекс]
 Показать решение
 1.
 [латекс] \ begin {align} 3 \ cdot6 + 3 \ cdot4 & = 3 \ cdot \ left (6 + 4 \ right) && \ text {Распределительное свойство} \\ & = 3 \ cdot10 && \ text {Simplify} \\ & = 30 && \ text {Simplify} \ end {align} [/ latex]
 2.
 [латекс] \ begin {align} \ left (5 + 8 \ right) + \ left (-8 \ right) & = 5 + \ left [8+ \ left (-8 \ right) \ right] && \ text {Ассоциативное свойство сложения} \\ & = 5 + 0 && \ text {Обратное свойство сложения} \\ & = 5 && \ text {Идентификационное свойство сложения} \ end {align} [/ latex]
 3.
 [латекс] \ begin {align} 6- \ left (15 + 9 \ right) & = 6 + (- 15-9) && \ text {Распределительное свойство} \\ & = 6 + \ left (-24 \ right ) && \ text {Simplify} \\ & = -18 && \ text {Simplify} \ end {align} [/ latex]
 4.
 [латекс] \ begin {align} \ frac {4} {7} \ cdot \ left (\ frac {2} {3} \ cdot \ frac {7} {4} \ right) & = \ frac {4} {7} \ cdot \ left (\ frac {7} {4} \ cdot \ frac {2} {3} \ right) && \ text {Коммутативное свойство умножения} \\ & = \ left (\ frac {4} {7} \ cdot \ frac {7} {4} \ right) \ cdot \ frac {2} {3} && \ text {Ассоциативное свойство умножения} \\ & = 1 \ cdot \ frac {2} {3} && \ text {Обратное свойство умножения} \\ & = \ frac {2} {3} && \ text {Идентификационное свойство умножения} \ end {align} [/ latex]
 5.
 [латекс] \ begin {align} 100 \ cdot [0,75+ \ left (-2,38 \ right)] & = 100 \ cdot0.75 + 100 \ cdot \ left (-2,38 \ right) && \ text {Распределительное свойство} \\ & = 75 + \ left (-238 \ right) && \ text {Simplify} \\ & = -163 && \ text {Simplify} \ end {align} [/ latex]
 Попробуй 
 Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение. Укажите, какие свойства применимы.
 [латекс] \ left (- \ dfrac {23} {5} \ right) \ cdot \ left [11 \ cdot \ left (- \ dfrac {5} {23} \ right) \ right] [/ латекс]
 [латекс] 5 \ cdot \ left (6.2 + 0,4 \ вправо) [/ латекс]
 [латекс] 18- \ левый (7-15 \ правый) [/ латекс]
 [латекс] \ dfrac {17} {18} + \ cdot \ left [\ dfrac {4} {9} + \ left (- \ dfrac {17} {18} \ right) \ right] [/ латекс]
 [латекс] 6 \ cdot \ left (-3 \ right) +6 \ cdot 3 [/ латекс]
 Показать решение
 11, коммутативное свойство умножения, ассоциативное свойство умножения, обратное свойство умножения, тождественное свойство умножения;
 33, распределительное имущество;
 26, распределительная собственность;
 [latex] \ dfrac {4} {9} [/ latex], коммутативное свойство сложения, ассоциативное свойство сложения, обратное свойство сложения, тождественное свойство сложения;
 0, свойство распределения, свойство, обратное сложению, свойство идентичности добавления
 Вычисление и упрощение алгебраических выражений 
 До сих пор в математических выражениях, которые мы видели, использовались только действительные числа.{2}} [/ латекс]. В выражении [latex] x + 5,5 [/ latex] называется константой  , потому что она не меняется, а  x  называется переменной , потому что это так. (При именовании переменной игнорируйте любые экспоненты или радикалы, содержащие переменную.) Алгебраическое выражение   - это набор констант и переменных, объединенных вместе алгебраическими операциями сложения, вычитания, умножения и деления.
 Мы уже видели несколько реальных числовых примеров экспоненциальной записи, сокращенного метода записи продуктов того же множителя.{3} = \ left (yz \ right) \ cdot \ left (yz \ right) \ cdot \ left (yz \ right) \\ \ text {} \ end {align} [/ latex]
 В каждом случае показатель степени говорит нам, сколько факторов базы использовать, независимо от того, состоит ли база из констант или переменных.
 Любая переменная в алгебраическом выражении может принимать или иметь разные значения. Когда это происходит, значение алгебраического выражения меняется. Вычислить алгебраическое выражение означает определить значение выражения для данного значения каждой переменной в выражении.{2}} [/ латекс]
 2
 [латекс] м, н [/ латекс]
 Пример: вычисление алгебраического выражения при различных значениях 
 Вычислите выражение [латекс] 2x - 7 [/ latex] для каждого значения  x. 
 [латекс] x = 0 [/ латекс]
 [латекс] x = 1 [/ латекс]
 [латекс] x = \ dfrac {1} {2} [/ латекс]
 [латекс] x = -4 [/ латекс]
 Показать решение
 Заменить 0 на [латекс] x [/ латекс].
 [латекс] \ begin {align} 2x-7 & = 2 \ left (0 \ right) -7 \\ & = 0-7 \\ & = -7 \ end {align} [/ latex]
 Заменить 1 на [латекс] x [/ латекс].
 [латекс] \ begin {align} 2x-7 & = 2 \ left (1 \ right) -7 \\ & = 2-7 ​​\\ & = -5 \ end {align} [/ latex]
 Замените [латекс] \ dfrac {1} {2} [/ latex] на [latex] x [/ latex].
 [латекс] \ begin {align} 2x-7 & = 2 \ left (\ frac {1} {2} \ right) -7 \\ & = 1-7 \\ & = -6 \ end {align} [ / латекс]
 Заменить [латекс] -4 [/ латекс] на [латекс] х [/ латекс].
 [латекс] \ begin {align} 2x-7 & = 2 \ left (-4 \ right) -7 \\ & = -8-7 \\ & = -15 \ end {align} [/ latex]
 Пример: вычисление алгебраических выражений 
 Оцените каждое выражение для заданных значений.{2}} [/ latex] для [латекса] m = 2, n = 3 [/ latex] Показать решение
 Заменить [латекс] -5 [/ латекс] на [латекс] х [/ латекс].
 [латекс] \ begin {align} x + 5 & = \ left (-5 \ right) +5 \\ & = 0 \ end {align} [/ latex]
 Заменитель 10 на [латекс] т [/ латекс].
 [латекс] \ begin {align} \ frac {t} {2t-1} & = \ frac {\ left (10 \ right)} {2 \ left (10 \ right) -1} \\ & = \ frac {10} {20-1} \\ & = \ frac {10} {19} \ end {align} [/ latex]
 Заменитель 5 на [латекс] r [/ латекс].
 [латекс] \ begin {align} \ frac {4} {3} \ pi r ^ {3} & = \ frac {4} {3} \ pi \ left (5 \ right) ^ {3} \\ & = \ frac {4} {3} \ pi \ left (125 \ right) \\ & = \ frac {500} {3} \ pi \ end {align} [/ latex]
 Замените 11 вместо [латекс] a [/ латекс] и –8 вместо [латекс] b [/ латекс].{2}} \\ & = \ sqrt {2 \ left (8 \ right) \ left (9 \ right)} \\ & = \ sqrt {144} \\ & = 12 \ end {align} [/ latex]
 В следующем видео мы представляем больше примеров того, как вычислить выражение для заданного значения.
 
 Формулы 
 Уравнение   - это математическое выражение, указывающее, что два выражения равны. Выражения могут быть числовыми или алгебраическими. Уравнение не является истинным или ложным по своей сути, а всего лишь предположением.Значения, которые делают уравнение истинным, решения находятся с использованием свойств действительных чисел и других результатов. Например, уравнение [латекс] 2x + 1 = 7 [/ latex] имеет единственное решение [latex] x = 3 [/ latex], потому что, когда мы заменяем 3 [latex] x [/ latex] в уравнении, мы получить истинное утверждение [латекс] 2 \ left (3 \ right) + 1 = 7 [/ latex].
 Формула   - это уравнение, выражающее связь между постоянными и переменными величинами. Очень часто уравнение является средством нахождения значения одной величины (часто одной переменной) с точки зрения другой или других величин.{2} [/ латекс].
 Пример: использование формулы 
 Правый круговой цилиндр с радиусом [латекс] r [/ латекс] и высотой [латекс] h [/ латекс] имеет площадь поверхности [латекс] S [/ латекс] (в квадратных единицах), определяемую формулой [латекс] S = 2 \ pi r \ left (r + h \ right) [/ латекс]. Найдите площадь поверхности цилиндра радиусом 6 дюймов и высотой 9 дюймов. Оставьте ответ в виде [латекс] \ pi [/ латекс].
 Цилиндр круговой правый
 Показать решение
 Вычислите выражение [латекс] 2 \ pi r \ left (r + h \ right) [/ latex] для [latex] r = 6 [/ latex] и [latex] h = 9 [/ latex].
 [латекс] \ begin {align} S & = 2 \ pi r \ left (r + h \ right) \\ & = 2 \ pi \ left (6 \ right) [\ left (6 \ right) + \ left ( 9 \ right)] \\ & = 2 \ pi \ left (6 \ right) \ left (15 \ right) \\ & = 180 \ pi \ end {align} [/ latex]
 Площадь поверхности [латекс] 180 квадратных дюймов [/ латекс].
 Попробуй 
  Рисунок 4 
 Фотография длиной  L  и шириной  W  размещается на мате шириной 8 сантиметров (см). Площадь матового покрытия (в квадратных сантиметрах или см  2 ) оказалась [латексной] A = \ left (L + 16 \ right) \ left (W + 16 \ right) -L \ cdot W [/ латекс].Найдите площадь матовой фотографии для фотографии длиной 32 см и шириной 24 см.
 Упростите алгебраические выражения 
 Иногда мы можем упростить алгебраическое выражение, чтобы его было легче вычислить или использовать каким-либо другим способом. Для этого мы используем свойства действительных чисел. Мы можем использовать те же свойства в формулах, потому что они содержат алгебраические выражения.
 Пример: упрощение алгебраических выражений 
 Упростите каждое алгебраическое выражение.
 [латекс] 3x - 2y + x - 3y - 7 [/ латекс]
 [латекс] 2р - 5 \ влево (3-р \ вправо) +4 [/ латекс]
 [латекс] \ left (4t- \ dfrac {5} {4} s \ right) - \ left (\ dfrac {2} {3} t + 2s \ right) [/ latex]
 [латекс] 2–5 мес. + 3 мин. + N [/ латекс]
 Показать решение
 [латекс] \ begin {align} 3x-2y + x-3y-7 & = 3x + x-2y-3y-7 && \ text {Коммутативное свойство сложения} \\ & = 4x-5y-7 && \ text {Simplify} \\ \ text {} \ end {align} [/ latex]
 [латекс] \ begin {align} 2r-5 \ left (3-r \ right) +4 & = 2r-15 + 5r + 4 && \ text {Распределительное свойство} \\ & = 2r + 5r-15 + 4 && \ text {Коммутативное свойство сложения} \\ & = 7r-11 && \ text {Simplify} \\ \ text {} \ end {align} [/ latex]
 [латекс] \ begin {align} 4t- \ frac {5} {4} s - \ left (\ frac {2} {3} t + 2s \ right) & = 4t- \ frac {5} {4} s- \ frac {2} {3} t-2s && \ text {Распределительное свойство} \\ & = 4t- \ frac {2} {3} t- \ frac {5} {4} s-2s && \ text {Коммутативное свойство сложения} \\ & = \ frac {12} {3} t- \ frac {2} {3} t- \ frac {5} {4} s- \ frac {8} {4} s && \ text {Общие знаменатели} \\ & = \ frac {10} {3} t- \ frac {13} {4} s && \ text {Simplify} \\ \ text {} \ end {align} [/ latex]
 [латекс] \ begin {align} mn-5m + 3mn + n & = 2mn + 3mn-5m + n && \ text {Коммутативное свойство сложения} \\ & = 5mn-5m + n && \ text {Simplify} \ конец {align} [/ latex]
 Пример: упрощение формулы 
 Прямоугольник длиной [латекс] L [/ латекс] и шириной [латекс] W [/ латекс] имеет периметр [латекс] P [/ латекс], определяемый выражением [латекс] P = L + W + L + W [/ латекс].Упростите это выражение.
 Показать решение
 [латекс] \ begin {align} & P = L + W + L + W \\ & P = L + L + W + W && \ text {Коммутативное свойство сложения} \\ & P = 2L + 2W && \ text {Упростить } \\ & P = 2 \ left (L + W \ right) && \ text {Распределительное свойство} \ end {align} [/ latex]
 Попробуй 
 Если сумма [латекс] P [/ латекс] депонируется на счет, на который выплачиваются простые проценты [латекс] r [/ латекс] за время [латекс] t [/ латекс], общая стоимость депозита [латекс] A [ / latex] определяется как [latex] A = P + Prt [/ latex].Упростите выражение. (Эта формула будет рассмотрена более подробно позже в курсе.)
 Показать решение
 [латекс] A = P \ left (1 + rt \ right) [/ latex]
 Ключевые понятия 
 Рациональные числа могут быть записаны как дроби, завершающие или повторяющиеся десятичные дроби.
 Определите, является ли число рациональным или иррациональным, записав его в виде десятичной дроби.
 Рациональные числа и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. Число можно разделить на натуральное, целое, целое, рациональное или иррациональное.
 Порядок операций используется для оценки выражений.
 Действительные числа при операциях сложения и умножения подчиняются основным правилам, известным как свойства действительных чисел. Это коммутативные свойства, ассоциативные свойства, распределительное свойство, свойства идентичности и обратные свойства.
 Алгебраические выражения состоят из констант и переменных, которые объединяются с помощью сложения, вычитания, умножения и деления.Они принимают числовое значение при оценке путем замены переменных константами.
 Формулы - это уравнения, в которых одна величина представлена ​​через другие величины. Их можно упростить или оценить как любое математическое выражение.
 Глоссарий 
  алгебраическое выражение  константы и переменные, объединенные с помощью сложения, вычитания, умножения и деления
  ассоциативное свойство сложения  сумма трех чисел может быть сгруппирована по-разному, не влияя на результат; в символах, [латекс] a + \ left (b + c \ right) = \ left (a + b \ right) + c [/ latex]
  ассоциативное свойство умножения  произведение трех чисел может быть сгруппировано по-разному, не влияя на результат; в символах, [латекс] a \ cdot \ left (b \ cdot c \ right) = \ left (a \ cdot b \ right) \ cdot c [/ latex]
  основание  в экспоненциальной записи, выражение, которое умножается
  свойство коммутативности сложения  два числа могут складываться в любом порядке, не влияя на результат; в символах, [латекс] a + b = b + a [/ latex]
  свойство коммутативности умножения  два числа можно перемножать в любом порядке, не влияя на результат; в символах, [латекс] a \ cdot b = b \ cdot a [/ latex]
  константа  величина, не меняющая значения
  распределительное свойство  произведение множителя на сумму - это сумма множителя, умноженного на каждый член в сумме; в символах, [латекс] a \ cdot \ left (b + c \ right) = a \ cdot b + a \ cdot c [/ latex]
  уравнение  математическое выражение, указывающее, что два выражения равны
  показатель степени  в экспоненциальном представлении, увеличенное число или переменная, указывающая, сколько раз умножается основание
  экспоненциальная запись  сокращенный метод записи произведений с одинаковым множителем
  формула  уравнение, выражающее связь между постоянными и переменными величинами
  свойство идентичности добавления  существует уникальный номер, называемый аддитивным идентификатором, 0, который при добавлении к числу дает исходный номер; в символах, [латекс] a + 0 = a [/ latex]
  свойство идентичности умножения  есть уникальный номер, называемый мультипликативным идентификатором, 1, который при умножении на число дает исходное число; в символах, [латекс] a \ cdot 1 = a [/ latex]
  целых чисел  набор, состоящий из натуральных чисел, их противоположностей и 0: [latex] \ {\ dots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ dots \} [/ latex ]
  обратное свойство сложения  для каждого действительного числа [латекс] a [/ latex] существует уникальный номер, называемый аддитивным обратным (или противоположным), обозначаемый [latex] -a [/ latex], который при добавлении к исходному номеру, приводит к аддитивной идентичности, 0; в символах, [латекс] a + \ left (-a \ right) = 0 [/ latex]
  обратное свойство умножения  для каждого ненулевого действительного числа [latex] a [/ latex] существует уникальное число, называемое обратным мультипликативным (или обратным), обозначаемое [latex] \ dfrac {1} {a} [/ latex], которое при умножении на исходное число дает мультипликативную идентичность, 1; в символах [латекс] a \ cdot \ dfrac {1} {a} = 1 [/ latex]
  иррациональных чисел  совокупность всех нерациональных чисел; они не могут быть записаны как завершающие или повторяющиеся десятичные дроби; они не могут быть выражены дробью двух целых чисел
  натуральные числа  набор счетных чисел: [латекс] \ {1,2,3, \ точки \} [/ латекс]
  порядок операций  набор правил, определяющих порядок вычисления математических выражений, назначение приоритетов операциям
  рациональных чисел  набор всех чисел вида [латекс] \ dfrac {m} {n} [/ latex], где [latex] m [/ latex] и [latex] n [/ latex] - целые числа и [латекс] n \ ne 0 [/ латекс].Любое рациональное число может быть записано в виде дроби, завершающей или повторяющейся десятичной дроби.
  линия вещественных чисел  горизонтальная линия, используемая для представления действительных чисел. Для представления 0 выбирается произвольная фиксированная точка; положительные числа лежат справа от 0, а отрицательные числа слева.
  вещественных чисел  совокупностей рациональных и иррациональных чисел
  переменная  величина, которая может изменять значение
  целых чисел  набор, состоящий из 0 и натуральных чисел: [latex] \ {0,1,2,3, \ dots \} [/ latex]
 Определение действительного числа 
 Домашняя страница: Технические термины: Определение действительного числа 
 Действительное число - это любое положительное или отрицательное число.Сюда входят все целые числа, а также все рациональные и иррациональные числа. Рациональные числа могут быть выражены дробью (например, 7/8), а иррациональные числа могут быть выражены бесконечным десятичным представлением (3,14155 ...). Действительные числа, содержащие десятичные точки, также называются числами с плавающей запятой, поскольку десятичная дробь «плавает» между цифрами.
 Действительные числа важны для вычислений, потому что компьютерные вычисления включают вычисления как целых, так и с плавающей запятой. Поскольку целочисленные вычисления обычно более просты, чем вычисления с плавающей запятой, процессор компьютера может использовать другой тип логики для выполнения целочисленных операций, чем для операций с плавающей запятой.Операции с плавающей запятой могут выполняться отдельной частью ЦП, называемой блоком с плавающей запятой или FPU.
 Хотя компьютеры могут обрабатывать все типы действительных чисел, иррациональные числа (с бесконечными десятичными точками) обычно оцениваются. Например, программа может ограничить все действительные числа фиксированным числом десятичных знаков. Это помогает сэкономить дополнительное время обработки, которое потребовалось бы для вычисления чисел с большей, но ненужной точностью.
 Обновлено: 14 мая 2010 г.
 https: // techterms.ru / definition / realnumber
 TechTerms - Компьютерный словарь технических терминов 
 Эта страница содержит техническое определение вещественного числа. Он объясняет в компьютерной терминологии, что означает Real Number, и является одним из многих технических терминов в словаре TechTerms.
 Все определения на веб-сайте TechTerms составлены так, чтобы быть технически точными, но также простыми для понимания. Если вы найдете это определение вещественного числа полезным, вы можете сослаться на него, используя приведенные выше ссылки для цитирования.Если вы считаете, что термин следует обновить или добавить в словарь TechTerms, отправьте электронное письмо в TechTerms!
 Подпишитесь на рассылку TechTerms, чтобы получать избранные термины и тесты прямо в свой почтовый ящик. Вы можете получать электронную почту ежедневно или еженедельно.
 Подписаться
 Реальные числа 
 Реальные числа - одна из самых широких категорий чисел. Действительные числа делятся на рациональные числа и иррациональные числа, которые включают в себя все положительные и отрицательные целые числа, 0, а также все дробные и десятичные значения между ними (дроби, десятичные дроби, трансцендентные числа и т. Д.)
 Действительные числа были созданы, чтобы отличать набор действительных чисел от мнимых чисел. Мнимые числа - это результат попытки извлечь квадратный корень из отрицательного числа.
 Набор действительных чисел обозначается этим символом: ℝ. Ниже приведены несколько примеров реальных чисел.
 1
 0
 5,33333
 ¼
 -7,200,568
 π
 Выше приведен лишь небольшой пример различных типов чисел, составляющих действительные числа.
 Рациональные и иррациональные числа 
 Рациональное число - это число, которое может быть выражено в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами, соотношение которых дает завершающую десятичную дробь или повторяющуюся бесконечную десятичную дробь. Повторяющиеся десятичные дроби обозначаются горизонтальной полосой над повторяющейся частью десятичной дроби. Например, & frac13; повторяется бесконечно:
 и frac13; = 0,33333333 ... = 0,3
 Иррациональное число состоит из всех действительных чисел, которые не являются рациональными числами: неповторяющиеся десятичные дроби.Примеры включают π, число Эйлера e и золотое сечение.
 Целые и действительные числа 
 Вещественные числа и целые числа можно сравнивать с помощью числовых строк. В числовой строке ниже представлены целые числа, обозначенные красными точками, чтобы показать, что только целые значения (а не дробные или десятичные значения) включены в набор целых чисел.
 В числовой строке ниже представлены все действительные числа. Синяя линия, показанная наверху числовой линии, показывает, что включены все значения между целыми числами, а не только их отдельные точки.
 Эти числовые строки показывают, что все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами.
 
 1.5: Введение в наборы и действительные числа 
 Нотация реестра 
 Мы можем использовать обозначение реестра     для описания набора, если он имеет лишь небольшое количество элементов. Мы перечисляем все его элементы явно, как в \ [A = \ mbox {набор натуральных чисел, не превосходящих 7} = \ {1,2,3,4,5,6,7 \}. \] Для наборов с большим числом элементы, покажите первые несколько записей для отображения шаблона и используйте многоточие для обозначения «и так далее.Например, \ [\ {1,2,3, \ ldots, 20 \} \] представляет набор первых 20 натуральных чисел. Повторяющийся узор может быть расширен до бесконечности, как в \ [\ begin {align} \ mathbb {N} & = & \ {1,2,3, \ ldots \} \\ \ mathbb {Z} & = & \ {\ ldots, -2, -1,0,1,2, \ ldots \} \ end {align} \]
 Что касается четности  , целое число может быть четным или нечетным. На данный момент мы будем использовать наше общее понимание четного и нечетного и определим эти термины позже в этом тексте. Набор четных целых чисел можно описать как \ (\ {\ ldots, -4, -2,0,2,4, \ ldots \} \).
 Обозначение конструктора множеств 
 Мы можем использовать нотацию конструктора наборов     для описания набора. Например, набор натуральных чисел определяется как \ [\ mathbb {N} = \ {x \ in \ mathbb {Z} \ mid x> 0 \}. \] Здесь вертикальная черта \ (\ mid \) читается как «такой, что» или «для которого». Следовательно, правая часть уравнения произносится как «набор \ (x \), принадлежащий множеству целых чисел, таких что \ (x> 0 \)», или просто «набор целых чисел \ (x \ ) такое, что \ (x> 0 \) ». Обычно этот описательный метод имеет формат \ [\ {\, \ mbox {members} \; \ mid \; \ mbox {properties} \, \}.2 \) где \ (x \ in \ mathbb {Z} \). Он представляет собой набор квадратов: \ (\ {0,1,4,9,16,25, \ ldots \} \).
 Пример \ (\ PageIndex {4} \)
 Набор \ [\ {2n \ mid n \ in \ mathbb {Z} \} \] описывает набор четных чисел. Мы также можем записать множество как \ (2 \ mathbb {Z} \).
 практическое упражнение \ (\ PageIndex {3} \ label {he: setintro-03} \)
 Опишите набор \ (\ {2n + 1 \ mid n \ in \ mathbb {Z} \} \) с помощью метода ростера.
 практическое упражнение \ (\ PageIndex {4} \ label {he: setintro-04} \)
 Используйте метод списка, чтобы описать набор \ (\ {3n \ mid n \ in \ mathbb {Z} \} \).
 Интервальное обозначение 
 Интервал - это набор действительных чисел, лежащих между двумя действительными числами. Должны ли конечные точки быть включены или исключены, зависит от того, будет ли интервал   открытым  ,   закрытым   или   полуоткрытым  . Мы используем следующие обозначения интервалов     для их описания: \ [\ displaylines {(a, b) = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a 
 Интервал содержит не только целые числа, но и все действительные числа между двумя конечными точками. Например, \ ((1,5) \ mathbb \ neq \ {2,3,4 \} \), потому что интервал \ ((1,5) \) также включает действительные числа, такие как в \ (1.276 \), \ (\ sqrt {2} \) и \ (\ pi \).
 Мы можем использовать \ (\ pm \ infty \) в обозначении интервала: \ [\ begin {align} (a, \ infty) & = & \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a , а не  чисел. 2 \ leq 1 \} \] в интервальной форме.2 \ leq 5 \} \), то подразумевается, что \ (\ mathbb {R} \) - это набор по умолчанию, которому принадлежит \ (x \).
 практическое упражнение \ (\ PageIndex {5} \ label {he: setintro-05} \)
 Какой из следующих наборов \ [\ {x \ in \ mathbb {Z} \ mid 1 
 практическое упражнение \ (\ PageIndex {6} \ label {he: setintro-06} \)
 Объясните, почему \ ([2,7 \,] \ mathbb \ neq \ {2,3,4,5,6,7 \} \).+ \).
 практическое упражнение \ (\ PageIndex {8} \ label {he: setintro-08} \)
 Как обозначается множество отрицательных целых чисел?
 Некоторые математики также принимают эти обозначения: \ [\ begin {align} bS & = & \ {bx \ mid x \ in S \}, \\ a + bS & = & \ {a + bx \ mid x \ in S \}. \ end {align} \] Соответственно, мы можем записать набор четных целых чисел как \ (2 \ mathbb {Z} \), а набор нечетных целых чисел можно представить как \ (1 + 2 \ mathbb {Z} \ ).
 Пример \ (\ PageIndex {9} \)
 \ [5 \ mathbb {Z} = \ {\ ldots, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, \ ldots \} \]
 Существует три вида действительных чисел: положительные, отрицательные и нулевые.
 Свойство трихотомии 
 Для любых двух действительных чисел, \ (a \) и \ (b \) верно одно и только одно из этих соотношений:
 \ (а 
 \ (а = b \)
 \ (а> b. \)
 Real Number System - Другие типы действительных чисел 
 Помимо основных типов действительных чисел, рассмотренных ранее, эти числа также можно классифицировать по их свойствам и представлению.
 Вот некоторые из них:
 
 Положительные и отрицательные числа 
  Положительные числа  - это числа больше нуля.
 Примеры положительных чисел: 
 `1 / 2,98455, 1, 0,1673 ..., sqrt5`
  Отрицательные числа  - это числа меньше нуля.
 `-3, -sqrt7, -0.45612, -1 / 5, -19`
 
 Четные и нечетные числа 
  Четные числа  - целые числа, которые делятся на 2.
 Они заканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6 или 8.
 Примеры четных чисел: 
 `2, 4, 6, 100, -8, -20`
  Нечетные числа  - целые числа, не делимые на 2.
 Они заканчиваются цифрами 1, 3, 5, 7 или 9.
 Примеры нечетных чисел: 
 `1,5,3,99, -7, -41`
 В числовой строке поочередно располагаются нечетные и четные числа.
 Вот результаты сложения (или вычитания) нечетных или четных чисел:
 
 Тот же результат, если используется операция вычитания (-).
 Результат - четное число, если добавленные числа являются как четными, так и нечетными числами. В противном случае результат - нечетное число.
 Вот результаты, когда  умножает  нечетных или четных чисел:
 
 Результат - четное число, если одно умножаемое число является четным. В противном случае результат - нечетное число.
 
 Простые и составные числа 
  Простые числа  - это натуральные числа, делители которых равны только самому себе и единице.
 2 - единственное четное простое число. Это также наименьшее простое число.
 Примеры простых чисел: 
 `2,3,5,7,11,13,17,19`
  Составные числа  - это натуральные числа, имеющие по крайней мере один множитель, кроме самого себя и 1.
 4 - наименьшее составное число.
 Примеры составных чисел: 
 `4,6,8,9,10,38,250,1700`
 В таблице ниже показаны простые и составные числа от 1 до 100.
 
 * Простые числа - синие квадраты
 * Составные числа - белые квадраты
 * 1 не является ни простым, ни составным числом.
 
 Ответ: 
 `(а) 23`
 Больше 0 и не имеет знака.Так что это положительное число.
 Он заканчивается цифрой «3», так что это нечетное число.
 Его множитель равен «1», а само число - простое.
 `(b) sqrt7`
 Он меньше «0» и имеет отрицательный знак (-).Значит, это отрицательное число.
 Это не целое число, поэтому оно не является ни нечетным, ни четным числом.
 Это не натуральное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.
 `(c) 0`
 Это ни положительное, ни отрицательное число.
 Он заканчивается цифрой «0», так что это четное число.
 Это не натуральное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.
 `(d) -59`
 Оно меньше «0» и имеет отрицательный знак (-), поэтому это отрицательное число.
 Он заканчивается цифрой «9», так что это нечетное число.
 Это не натуральное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.
 `(e) 1`
 Оно больше «0» и не имеет знака, поэтому является положительным числом.
 Он заканчивается цифрой 1, так что это нечетное число.
 «2» - наименьшее простое число, а «4» - наименьшее составное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.
 1.1 Действительные числа: основы алгебры - алгебра колледжа 
 Задачи обучения 
 В этом разделе студенты будут:
 Классифицировать действительное число как натуральное, целое, целое, рациональное или иррациональное число.
 Выполните вычисления, используя порядок операций.
 Используйте следующие свойства действительных чисел: коммутативное, ассоциативное, распределительное, обратное и тождественное.
 Оценивать алгебраические выражения.
 Упростите алгебраические выражения.
 Часто говорят, что математика - это язык науки. Если это правда, то важной частью математического языка являются числа. Самое раннее использование чисел произошло 100 веков назад на Ближнем Востоке для подсчета или перечисления предметов. Фермеры, скотоводы и торговцы использовали жетоны, камни или маркеры для обозначения одного количества - например, сноп зерна, голову скота или фиксированную длину ткани. Это сделало возможной торговлю, что привело к улучшению коммуникаций и распространению цивилизации.
 Три-четыре тысячи лет назад египтяне ввели дроби. Сначала они использовали их, чтобы показать обратные. Позже они использовали их для обозначения суммы, когда количество было разделено на равные части.
 Но что, если бы не было крупного рогатого скота для торговли или весь урожай зерна погиб во время наводнения? Как кто-то мог указать на существование ничего? С давних времен люди думали о «базовом состоянии» при подсчете и использовали различные символы для обозначения этого нулевого состояния.Однако только в пятом веке нашей эры в Индии ноль был добавлен к системе счисления и использовался как число в расчетах.
 Очевидно, что числа также должны были отражать убытки или задолженность. В Индии в седьмом веке нашей эры отрицательные числа использовались как решение математических уравнений и коммерческих долгов. Противоположности счетных чисел еще больше расширили систему счисления.
 Из-за эволюции системы счисления теперь мы можем выполнять сложные вычисления, используя эти и другие категории действительных чисел.В этом разделе мы исследуем наборы чисел, вычисления с различными типами чисел и использование чисел в выражениях.
 Классификация действительного числа 
 Числа, которые мы используем для подсчета или перечисления элементов, - это натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Мы описываем их в обозначениях множества как {1,2,3, ...} {1,2,3, ...}, где многоточие (…) указывает, что числа продолжаются до бесконечности. Натуральные числа, конечно, также называются  счетными числами .Каждый раз, когда мы перечисляем членов команды, считаем монеты в коллекции или подсчитываем деревья в роще, мы используем набор натуральных чисел. Набор целых чисел - это набор натуральных чисел плюс ноль: {0,1,2,3, ...}. {0,1,2,3, ...}.
 Набор целых чисел добавляет противоположности натуральных чисел к набору целых чисел: {..., - 3, −2, −1,0,1,2,3, ...}. {... , −3, −2, −1,0,1,2,3, ...}. Полезно отметить, что набор целых чисел состоит из трех различных подмножеств: отрицательных целых чисел, нуля и положительных целых чисел.В этом смысле положительные целые числа - это просто натуральные числа. Другой способ думать об этом - это то, что натуральные числа являются подмножеством целых чисел.
…, −3, −2, −1, целые отрицательные числа0, ноль1,2,3, ⋯ целые положительные числа…, −3, −2, −1, целые отрицательные числа 0, ноль1,2,3, ⋯ целые положительные числа
 Множество рациональных чисел записывается как {mn | mand nare целые числа и n 0}. {mn | mand nare целые числа и n 0}. Обратите внимание на определение, что рациональные числа - это дроби (или частные), содержащие целые числа как в числителе, так и в знаменателе, а знаменатель никогда не равен 0.Мы также можем видеть, что каждое натуральное число, целое число и целое число является рациональным числом со знаминателем 1.
 Поскольку это дроби, любое рациональное число также может быть выражено в десятичной форме. Любое рациональное число может быть представлено как:
 ⓐ завершающая десятичная дробь: 158 = 1,875, 158 = 1,875, или
 ⓑa повторяющаяся десятичная дробь: 411 = 0,36363636… = 0,36 ¯ 411 = 0,36363636… = 0,36 ¯
 Мы используем линию, проведенную над повторяющимся блоком чисел, вместо того, чтобы писать группу несколько раз.
 Пример 1 
 Запись целых чисел как рациональных 
 Запишите каждое из следующих чисел в виде рациональных чисел.
 ⓐ7
 ⓑ0
 ⓒ – 8
 Решение 
 Запишите дробь с целым числом в числителе и единицей в знаменателе.
 ⓐ 7 = 717 = 71
 ⓑ 0 = 010 = 01
 ⓒ −8 = −81−8 = −81
 Попробуй # 1
 Запишите каждое из следующих чисел в виде рациональных чисел.
 ⓐ11
 ⓑ3
 ⓒ – 4
 Пример 2 
 Определение рациональных чисел 
 Запишите каждое из следующих рациональных чисел как завершающее или повторяющееся десятичное число.
 ⓐ −57−57
 ⓑ 155 155
 ⓒ 13251325
 Решение 
 Запишите каждую дробь как десятичную дробь, разделив числитель на знаменатель.
 ⓐ -57 = -0.714285 ———, - 57 = -0,714285 ———, повторяющееся десятичное число
 ⓑ 155 = 3155 = 3 (или 3,0), конечная десятичная дробь
 ⓒ 1325 = 0,52, 1325 = 0,52,
 завершающая десятичная дробь
 Попробуй # 2
 Запишите каждое из следующих рациональных чисел как завершающее или повторяющееся десятичное число.
 ⓐ 68176817
 ⓑ 813813
 ⓒ −1720−1720
 Иррациональные числа 
 В какой-то момент в древнем прошлом кто-то обнаружил, что не все числа являются рациональными числами.Строитель, например, мог обнаружить, что диагональ квадрата с единичными сторонами не равна 2 или даже 32,32, а является чем-то другим. Или производитель одежды мог заметить, что отношение длины окружности к диаметру рулона ткани было немного больше 3, но все же не рациональное число. Такие числа называются  иррациональными , потому что они не могут быть записаны в виде дробей. Эти числа составляют набор иррациональных чисел. Иррациональные числа нельзя выразить дробью двух целых чисел.Невозможно описать этот набор чисел одним правилом, кроме как сказать, что число иррационально, если оно нерационально. Итак, мы пишем это, как показано.
 {h | его нерациональное число} {h | его нерациональное число}
 Пример 3 
 Дифференциация рациональных и иррациональных чисел 
 Определите, является ли каждое из следующих чисел рациональным или иррациональным. Если это рационально, определите, является ли это завершающей или повторяющейся десятичной дробью.
 ⓐ 2525
 ⓑ 339 339
 ⓒ 1111
 ⓓ 17341734
 ⓔ 0.3033033303333… 0,3033033303333…
 Решение 
 ⓐ 25:25: Это можно упростить как 25 = 5,25 = 5. Следовательно, 2525 - это рационально.
 ⓑ
 339: 339: Поскольку это дробная часть целых чисел, 339339 - рациональное число. Затем упростите и разделите.
 339 = 331193 = 113 = 3,6 ¯ 339 = 331193 = 113 = 3,6 ¯
 Итак, 339339 является рациональным и повторяющимся десятичным числом.
 ⓒ 11:11: Это нельзя дальше упрощать. Следовательно, 1111 - иррациональное число.
 ⓓ 1734: 1734: Поскольку это дробная часть целых чисел, 17341734 - рациональное число. Упростите и разделите.
 1734 = 171342 = 12 = 0,51734 = 171342 = 12 = 0,5
 Итак, 17341734 является рациональным и завершающим десятичным числом.
 ⓔ 0,3033033303333… 0,3033033303333… не является завершающим десятичным числом. Также обратите внимание, что здесь нет повторяющегося шаблона, потому что группа из троек увеличивается каждый раз. Следовательно, это не завершающее и не повторяющееся десятичное число и, следовательно, не рациональное число. Это иррациональное число.
 Попробуй # 3 
 Определите, является ли каждое из следующих чисел рациональным или иррациональным. Если это рационально, определите, является ли это завершающей или повторяющейся десятичной дробью.
 ⓐ 777777
 ⓑ 8181
 ⓒ 4,27027002700027… 4,27027002700027…
 ⓓ
113
 ⓔ 3939
 Действительные числа 
 Для любого числа  n  мы знаем, что  n  либо рационально, либо иррационально.Не может быть и того, и другого. Наборы рациональных и иррациональных чисел вместе составляют набор действительных чисел. Как мы видели с целыми числами, действительные числа можно разделить на три подмножества: отрицательные действительные числа, ноль и положительные действительные числа. Каждое подмножество включает дроби, десятичные дроби и иррациональные числа в соответствии с их алгебраическим знаком (+ или -). Ноль не считается ни положительным, ни отрицательным.
 Действительные числа можно визуализировать на горизонтальной числовой строке с произвольной точкой, выбранной как 0, с отрицательными числами слева от 0 и положительными числами справа от 0.Затем используется фиксированное единичное расстояние для обозначения каждого целого числа (или другого базового значения) по обе стороны от 0. Любое действительное число соответствует уникальной позиции в числовой строке. Верно и обратное: каждое положение на числовой строке соответствует ровно на одно действительное число. Это называется взаимно-однозначным соответствием. Мы называем это строкой действительных чисел, как показано на Рисунке 1 . 
 Рисунок 1 Строка вещественных чисел
 Пример 4 
 Классификация действительных чисел 
 Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное.Число находится слева или справа от 0 на числовой прямой?
 ⓐ −103−103
 ⓑ 55
 ⓒ −289−289
 ⓓ −6π − 6π
 ⓔ 0,615384615384… 0,615384615384…
 Решение 
 ⓐ −103−103 отрицательно и рационально. Он находится слева от 0 на числовой строке.
 ⓑ 55 - это позитивно и иррационально. Он находится справа от 0.
 ⓒ −289 = −172 = −17−289 = −172 = −17 отрицательно и рационально.Он находится слева от 0.
 ⓓ −6π − 6π отрицательно и иррационально. Он находится слева от 0.
 ⓔ 0,615384615384… 0,615384615384… - повторяющееся десятичное число, поэтому оно рационально и положительно. Он находится справа от 0.
 Попробуй # 4 
 Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное. Число находится слева или справа от 0 на числовой прямой?
 ⓐ 7373
 ⓑ −11.411411411… −11,411411411…
 ⓒ 47194719
 ⓓ −52−52
 ⓔ 6.2 10 7356.2 10 735
 Наборы чисел как подмножества 
 Начиная с натуральных чисел, мы расширили каждый набор, чтобы сформировать более крупный набор, что означает, что между наборами чисел, с которыми мы столкнулись до сих пор, существует связь подмножества. Эти отношения становятся более очевидными, если рассматривать их в виде диаграммы, такой как рисунок 2.
 Рисунок 2 Наборы чисел 
  N : набор натуральных чисел 
  W : набор целых чисел 
  I : набор целых чисел 
  Q : набор рациональных чисел 
  Q  ´ : набор иррациональных чисел
 Наборы чисел 
 Набор натуральных чисел включает числа, используемые для счета: {1,2,3 ,...}. {1,2,3, ...}.
 Набор целых чисел - это набор натуральных чисел плюс ноль: {0,1,2,3, ...}. {0,1,2,3, ...}.
 Набор целых чисел добавляет отрицательные натуральные числа к набору целых чисел: {..., - 3, −2, −1,0,1,2,3, ...}. {..., - 3, −2, −1,0,1,2,3, ...}.
 Набор рациональных чисел включает дроби, записанные как {mn | mand nare integer и n 0}. {Mn | mand nare integer and n 0}.
 Набор иррациональных чисел - это набор чисел, которые не являются рациональными, неповторяющимися и неповторяющимися: {h | его не рациональное число}.{h | его нерациональное число}.
 Пример 5 
 Дифференцирование наборов чисел 
 Классифицируйте каждое число как натуральное число ( N ), целое число ( W ), целое число ( I ), рациональное число ( Q ) и / или иррациональное число ( Q ').
 ⓐ 3636
 ⓑ 8383
 ⓒ 7373
 ⓓ −6−6
 ⓔ 3,2121121112… 3,2121121112…
 Решение 
  N 
  Вт 
  I 
  Q 
  Q ′ 
 а.36 = 636 = 6
 Х
 Х
 Х
 Х
 б. 83 = 2,6 ¯ 83 = 2,6 ¯
 X
 г. 7373
 X
 г. –6
 X
 Х
 e.3,2121121112 ...
 X
 Попробуй # 5 
 Классифицируйте каждое число как натуральное число ( N ), целое число ( W ), целое число ( I ), рациональное число ( Q ) и / или иррациональное число ( Q ').
 ⓐ −357−357
 ⓑ 00
 ⓒ 169 169
 ⓓ 2424
 ⓔ 4.763763763… 4,763763763…
 Выполнение вычислений с использованием порядка операций 
 Когда мы умножаем число на само себя, мы возводим его в квадрат или возводим в степень 2. Например, 42 = 4⋅4 = 16,42 = 4⋅4 = 16. Мы можем возвести любое число в любую степень. В общем, экспоненциальная запись anan означает, что число или переменная aa используется как множитель nn раз.
 an = a⋅a⋅a⋅… ⋅anfactorsan = a⋅a⋅a⋅… ⋅anfactors
 В этой записи anan читается как  n -я степень числа a, a, где aa называется основанием, а nn - называется экспонента . Термин в экспоненциальном представлении может быть частью математического выражения, которое представляет собой комбинацию чисел и операций. Например, 24 + 6⋅23−4224 + 6⋅23−42 - математическое выражение.
 Чтобы вычислить математическое выражение, мы выполняем различные операции. Однако мы не выполняем их в произвольном порядке. Используем порядок действий. Это последовательность правил для вычисления таких выражений.
 Напомним, что в математике мы используем круглые скобки (), квадратные скобки [] и фигурные скобки {} для группировки чисел и выражений, так что все, что появляется в символах, рассматривается как единое целое.Кроме того, столбцы дробей, радикалов и абсолютных значений обрабатываются как символы группировки. При оценке математического выражения начните с упрощения выражений в группирующих символах.
 Следующий шаг - обратиться к любым экспонентам или радикалам. После этого выполните умножение и деление слева направо и, наконец, сложение и вычитание слева направо.
 Давайте посмотрим на предоставленное выражение.
 24 + 6⋅23-4224 + 6⋅23-42
 Группирующих символов нет, поэтому переходим к показателям степени или радикалам.Число 4 возводится в степень 2, поэтому упростим 4242 до 16.
 24 + 6⋅23−4224 + 6⋅23−1624 + 6⋅23−4224 + 6⋅23−16
 Затем выполните умножение или деление слева направо.
 24 + 6⋅23−1624 + 4−1624 + 6⋅23−1624 + 4−16
 Наконец, выполните сложение или вычитание слева направо.
 24 + 4−1628−161224 + 4−1628−1612
 Следовательно, 24 + 6⋅23−42 = 12,24 + 6⋅23−42 = 12.
 Для некоторых сложных выражений потребуется несколько проходов по порядку операций. Например, внутри круглых скобок может быть радикальное выражение, которое необходимо упростить перед вычислением скобок.Соблюдение порядка операций гарантирует, что любой, кто упрощает одно и то же математическое выражение, получит тот же результат.
 Порядок действий 
 Операции в математических выражениях должны оцениваться в систематическом порядке, который можно упростить, используя аббревиатуру  PEMDAS :
.
  P  (arentheses) 
  E  (xponents) 
  M  (ultiplication) и  D  (ivision) 
  A  (ddition) и  S  (ubtraction)
 Как это сделать 
  Упростите математическое выражение, используя порядок операций.
 Шаг 1. Упростите любые выражения внутри символов группировки.
 Шаг 2. Упростите любые выражения, содержащие степени или радикалы.
 Шаг 3. Произведите любое умножение и деление по порядку слева направо.
 Шаг 4. Выполняйте любое сложение и вычитание по порядку слева направо.
 Пример 6 
 Использование порядка операций 
 Используйте порядок операций для вычисления каждого из следующих выражений.
 ⓐ (3⋅2) 2−4 (6 + 2) (3⋅2) 2−4 (6 + 2)
 ⓑ 52−47−11−252−47−11−2
 ⓒ 6− | 5−8 | +3 (4−1) 6− | 5−8 | +3 (4−1)
 ⓓ 14−3⋅22⋅5−3214−3⋅22⋅5-32
 ⓔ 7 (5⋅3) −2 [(6−3) −42] +17 (5⋅3) −2 [(6−3) −42] +1
 Решение 
 ⓐ 
 (3⋅2) 2−4 (6 + 2) = (6) 2−4 (8) Упростить скобки. = 36−4 (8) Упростить показатель степени. = 36−32 Упростить умножение. = 4 Упростить вычитание. (3⋅2 ) 2−4 (6 + 2) = (6) 2−4 (8) Упростим скобки. = 36−4 (8) Упростим показатель степени.= 36−32 Упростить умножение. = 4 Упростить вычитание.
 ⓑ 
 52-47-11-2 = 52-47-9 Упростить символы группировки (радикал). = 52-47-3 Упростить радикал. = 25-47-3 Упростить показатель степени. = 217-3 Упростить вычитание в числителе. = 3-3 Упростить деление. = 0 Упростить вычитание. 52-47−11−2 = 52−47−9 Упростить символы группировки (радикал). = 52−47−3 Упростить радикал. = 25−47−3 Упростить показатель степени. = 217−3 Упростить вычитание в числителе. = 3− 3 Упростить деление. = 0 Упростить вычитание.
 Обратите внимание, что на первом шаге радикал рассматривается как символ группировки, например круглые скобки.Кроме того, на третьем этапе полоса дроби считается символом группировки, поэтому числитель считается сгруппированным.
 ⓒ 
 6− | 5−8 | +3 (4−1) = 6− | −3 | +3 (3) Упростить символы внутренней группировки. = 6−3 + 3 (3) Упростить абсолютное значение. = 6−3 + 9 Упростить умножение. = 3 + 9 Упростить вычитание. = 12 Упростить сложение. 6− | 5−8 | +3 (4−1) = 6− | −3 | +3 (3) Упростить символы внутренней группировки. = 6−3 + 3 (3) Упростить абсолютное значение. = 6−3 + 9 Упростить умножение. = 3 + 9 Упростить вычитание. = 12 Упростить сложение.
 ⓓ 
 14−3⋅22⋅5−32 = 14−3⋅22⋅5−9 Упростим показатель степени.= 14−610−9 Упростить продукты. = 81 Упростить различия. = 8 Упростить частное. 14−3⋅22⋅5−32 = 14−3⋅22⋅5−9 Упростить показатель степени. = 14−610−9 Упростить товары. = 81 Упростить различия. = 8 Упростите частное.
 В этом примере дробная черта разделяет числитель и знаменатель, которые мы упрощаем отдельно до последнего шага.
 ⓔ 
 7 (5⋅3) −2 [(6−3) −42] + 1 = 7 (15) −2 [(3) −42] + 1 Упростить внутри скобок. = 7 (15) −2 (3−16) + 1 Упростить показатель степени. = 7 (15) −2 (−13) + 1 Вычесть. = 105 + 26 + 1 Умножить. = 132 Добавить.7 (5⋅3) −2 [(6−3) −42] + 1 = 7 (15) −2 [(3) −42] + 1 Упростить внутри скобок. = 7 (15) −2 (3−16) + 1 Упростить показатель степени. = 7 (15) −2 (−13) + 1 Вычесть. = 105 + 26 + 1 Умножить. = 132 Добавить.
 Попробуй # 6
 Используйте порядок операций для вычисления каждого из следующих выражений.
 ⓐ
 52−42 + 7 (5−4) 252−42 + 7 (5−4) 2
 ⓑ
 1 + 7⋅5−8⋅49−61 + 7⋅5−8⋅49−6
 ⓒ
 | 1,8−4,3 | + 0,415 + 10 | 1,8−4,3 | + 0,415 + 10
 ⓓ
 12 [5⋅32−72] + 13⋅9212 [5⋅32−72] + 13⋅92
 ⓔ
 [(3-8) 2-4] - (3-8) [(3-8) 2-4] - (3-8)
 Использование свойств действительных чисел 
 Для некоторых действий, которые мы выполняем, порядок некоторых операций не имеет значения, но порядок других операций имеет значение.Например, не имеет значения, надеваем ли мы правую обувь перед левой или наоборот. Однако не имеет значения, наденем ли мы сначала туфли или носки. То же самое и с математическими операциями.
 Коммутативные свойства 
 Коммутативное свойство сложения гласит, что числа можно складывать в любом порядке, не влияя на сумму.
 Мы можем лучше увидеть эту взаимосвязь при использовании действительных чисел.
 (−2) + 7 = 5 и 7 + (- 2) = 5 (−2) + 7 = 5 и 7 + (- 2) = 5
 Точно так же свойство коммутативности умножения гласит, что числа можно умножать в любом порядке, не влияя на произведение.
 Снова рассмотрим пример с действительными числами.
 (−11) ⋅ (−4) = 44 и (−4) ⋅ (−11) = 44 (−11) ⋅ (−4) = 44 и (−4) ⋅ (−11) = 44
 Важно отметить, что ни вычитание, ни деление не коммутативны. Например, 17-517-5 не то же самое, что 5-17,5-17. Аналогично 20 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 20.20 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 20.
 Ассоциативные свойства 
 Ассоциативное свойство умножения говорит нам, что не имеет значения, как мы группируем числа при умножении. Мы можем перемещать символы группировки, чтобы упростить расчет, при этом продукт остается прежним.
 Рассмотрим этот пример.
 (3⋅4) ⋅5 = 60and3⋅ (4⋅5) = 60 (3⋅4) ⋅5 = 60and3⋅ (4⋅5) = 60
 Ассоциативное свойство сложения говорит нам, что числа можно группировать по-разному, не влияя на сумму.
 а + (б + с) = (а + б) + ц + (б + с) = (а + б) + с
 Это свойство может быть особенно полезно при работе с отрицательными целыми числами. Рассмотрим этот пример.
 [15 + (- 9)] + 23 = 29and15 + [(- 9) +23] = 29 [15 + (- 9)] + 23 = 29and15 + [(- 9) +23] = 29
 Ассоциативны ли вычитание и деление? Просмотрите эти примеры.
 8− (3−15) =? (8−3) −1564 ÷ (8 ÷ 4) =? (64 ÷ 8) ÷ 48 - (- 12) = 5−1564 ÷ 2 =? 8 ÷ 420 ≠ −1032 ≠ 28− (3−15) =? (8−3) −1564 ÷ (8 ÷ 4) =? (64 ÷ 8) ÷ 48 - (- 12) = 5−1564 ÷ 2 =? 8 ÷ 420 ≠ - 1032 ≠ 2
 Как видим, ни вычитание, ни деление не ассоциативны.
 Распределительное свойство 
 Распределительное свойство утверждает, что произведение множителя на сумму является суммой множителя, умноженного на каждый член в сумме.
 a⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅ca⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅c
 Это свойство сочетает в себе как сложение, так и умножение (и это единственное свойство).Рассмотрим пример.
 Обратите внимание, что 4 находится за пределами символов группировки, поэтому мы распределяем 4, умножая его на 12, умножая на –7 и складывая произведения.
 Чтобы быть более точным, описывая это свойство, мы говорим, что умножение распределяется по сложению. Обратное неверно, как мы видим в этом примере.
 6+ (3⋅5) =? (6 + 3) ⋅ (6 + 5) 6+ (15) =? (9) ⋅ (11) 21 ≠ 996 + (3⋅5) =? (6 + 3) ⋅ (6 + 5) 6+ (15) =? (9) ⋅ (11) 21 ≠ 99
 Частный случай свойства распределения возникает при вычитании суммы членов.
 a − b = a + (- b) a − b = a + (- b)
 Например, рассмотрим разницу 12− ​​(5 + 3) .12− (5 + 3). Мы можем переписать разницу между двумя членами 12 и (5 + 3) (5 + 3), превратив выражение вычитания в сложение противоположного. Поэтому вместо вычитания (5 + 3), (5 + 3) мы добавляем противоположное.
 12 + (- 1) ⋅ (5 + 3) 12 + (- 1) ⋅ (5 + 3)
 Теперь распределите −1−1 и упростите результат.
 12− (5 + 3) = 12 + (- 1) ⋅ (5 + 3) = 12 + [(- 1) ⋅5 + (- 1) ⋅3] = 12 + (- 8) = 412− (5 +3) = 12 + (- 1) ⋅ (5 + 3) = 12 + [(- 1) ⋅5 + (- 1) ⋅3] = 12 + (- 8) = 4
 Кажется, много проблема для простой суммы, но она иллюстрирует мощный результат, который будет полезен, когда мы введем алгебраические термины.Чтобы вычесть сумму членов, измените знак каждого члена и сложите результаты. Имея это в виду, мы можем переписать последний пример.
 12− (5 + 3) = 12 + (- 5−3) = 12 + (- 8) = 412− (5 + 3) = 12 + (- 5−3) = 12 + (- 8) = 4
 Свойства идентичности 
 Свойство идентичности сложения утверждает, что существует уникальный номер, называемый аддитивным идентификатором (0), который при добавлении к номеру дает исходный номер.
 Свойство идентичности умножения утверждает, что существует уникальное число, называемое мультипликативным тождеством (1), которое при умножении на число дает исходное число.
 Например, мы имеем (−6) + 0 = −6 (−6) + 0 = −6 и 23⋅1 = 23,23⋅1 = 23. Для этих свойств нет исключений; они работают для всех действительных чисел, включая 0 и 1.
 Обратные свойства 
 Обратное свойство сложения утверждает, что для каждого действительного числа  a  существует уникальное число, называемое аддитивным обратным (или противоположным), обозначаемое -  a , которое при добавлении к исходному числу дает аддитивная идентичность, 0.
 Например, если a = −8, a = −8, аддитивная обратная величина равна 8, поскольку (−8) + 8 = 0.(-8) + 8 = 0.
 Обратное свойство умножения сохраняется для всех действительных чисел, кроме 0, поскольку величина, обратная 0, не определена. В свойстве указано, что для каждого действительного числа  a  существует уникальное число, называемое обратным мультипликативным (или обратным) числом, обозначенное 1a, 1a, которое при умножении на исходное число дает мультипликативную идентичность 1.
 Например, если a = −23, a = −23, обратная величина, обозначенная 1a, 1a, будет −32−32
 потому что
 a⋅1a = (- 23) ⋅ (−32) = 1a⋅1a = (- 23) ⋅ (−32) = 1
 Свойства действительных чисел 
 Следующие свойства имеют место для действительных чисел  a ,  b  и  c .
 Дополнение
 Умножение
  Коммутационная собственность 
 а + Ь = Ь + аа + Ь = Ь + а
 a⋅b = b⋅aa⋅b = b⋅a
  Ассоциативная собственность 
 a + (b + c) = (a + b) + ca + (b + c) = (a + b) + c
 a (bc) = (ab) ca (bc) = (ab) c
  Распределительная собственность 
 a⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅ca⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅c
  Идентификационная собственность 
 Существует уникальное действительное число, называемое аддитивным идентификатором, 0, такое, что для любого действительного числа  
 Существует уникальное действительное число, называемое мультипликативным тождеством, 1, такое, что для любого действительного числа  a 
  Обратное свойство 
 Каждое действительное число a имеет аддитивное обратное или противоположное, обозначенное  –a , так что
 Каждое ненулевое действительное число  a  имеет обратное мультипликативное или обратное число, обозначенное 1a, 1a, такое, что
 Пример 7 
 Использование свойств действительных чисел 
 Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение.Укажите, какие свойства применимы.
 ⓐ
 3⋅6 + 3⋅43⋅6 + 3⋅4
 ⓑ
 (5 + 8) + (- 8) (5 + 8) + (- 8)
 ⓒ
 6− (15 + 9) 6− (15 + 9)
 ⓓ
 47⋅ (23⋅74) 47⋅ (23⋅74)
 ⓔ
 100⋅ [0,75 + (- 2,38)] 100⋅ [0,75 + (- 2,38)]
 Решение 
 ⓐ 
 3⋅6 + 3⋅4 = 3⋅ (6 + 4) Распределительное свойство. = 3⋅10Simplify. = 30Simplify. 3⋅6 + 3⋅4 = 3⋅ (6 + 4) Распределительное свойство. = 3⋅10Simplify. = 30 Упростите.
 ⓑ 
 (5 + 8) + (- 8) = 5 + [8 + (- 8)] Ассоциативное свойство сложения.= 5 + 0 Обратное свойство сложения. = 5 Идентичность сложения. (5 + 8) + (- 8) = 5 + [8 + (- 8)] Ассоциативное свойство сложения. = 5 + 0 Обратное свойство сложения. = 5 Идентичность свойство сложения.
 ⓒ 
 6− (15 + 9) = 6 + [(- 15) + (- 9)] Распределительное свойство. = 6 + (- 24) Упростить. = - 18 Упростить. 6− (15 + 9) = 6 + [(- 15) + (- 9)] Распределительное свойство. = 6 + (- 24) Simplify. = - 18Simplify.
 ⓓ 
 47⋅ (23⋅74) = 47⋅ (74⋅23) Коммутативное свойство умножения. = (47⋅74) ⋅23 Ассоциативное свойство умножения.= 1⋅23 Обратное свойство умножения. = 23 Свойство идентичности умножения. 47⋅ (23⋅74) = 47⋅ (74⋅23) Коммутативное свойство умножения. = (47⋅74) ⋅23 Ассоциативное свойство умножения. = 1⋅23 Обратное свойство умножения. = 23 Свойство идентичности умножения.
 ⓔ 
 100⋅ [0,75 + (- 2,38)] = 100⋅0,75 + 100⋅ (−2,38) Распределительное свойство. = 75 + (- 238) Упростить. = - 163Упростить. 100⋅ [0,75 + (- 2,38)] = 100⋅ 0,75 + 100⋅ (−2,38) Распределительное свойство. = 75 + (- 238) Simplify. = - 163Simplify.
 Попробуй # 7 
 Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение.Укажите, какие свойства применимы.
 ⓐ
 (−235) ⋅ [11⋅ (−523)] (- 235) ⋅ [11⋅ (−523)]
 ⓑ
 5⋅ (6,2 + 0,4) 5⋅ (6,2 + 0,4)
 ⓒ
 18- (7-15) 18- (7-15)
 ⓓ
 1718+ [49 + (- 1718)] 1718+ [49 + (- 1718)]
 ⓔ  6⋅ (−3) + 6⋅36⋅ (−3) + 6⋅3
 Вычисление алгебраических выражений 
 До сих пор в математических выражениях, которые мы видели, использовались только действительные числа. В математике мы можем видеть такие выражения, как x + 5,43πr3, x + 5,43πr3 или 2m3n2.2м3н2. В выражении x + 5, x + 5, 5 называется константой, потому что она не изменяется, а  x  называется переменной, потому что она изменяется. (При именовании переменной игнорируйте любые экспоненты или радикалы, содержащие переменную.) Алгебраическое выражение - это набор констант и переменных, соединенных вместе алгебраическими операциями сложения, вычитания, умножения и деления.
 Мы уже видели несколько реальных числовых примеров экспоненциальной записи, сокращенного метода записи продуктов того же множителя.Когда используются переменные, константы и переменные обрабатываются одинаково.
 (−3) 5 = (- 3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) x5 = x⋅x⋅x⋅x⋅x (2⋅7) 3 = (2 ⋅7) ⋅ (2⋅7) ⋅ (2⋅7) (yz) 3 = (yz) ⋅ (yz) ⋅ (yz) (- 3) 5 = (- 3) ⋅ (−3) ⋅ (−3 ) ⋅ (−3) ⋅ (−3) x5 = x⋅x⋅x⋅x⋅x (2⋅7) 3 = (2⋅7) ⋅ (2⋅7) ⋅ (2⋅7) (yz) 3 = (yz) ⋅ (yz) ⋅ (yz)
 В каждом случае показатель степени говорит нам, сколько факторов базы использовать, независимо от того, состоит ли база из констант или переменных.
 Любая переменная в алгебраическом выражении может принимать или иметь разные значения. Когда это происходит, значение алгебраического выражения меняется.Вычислить алгебраическое выражение означает определить значение выражения для данного значения каждой переменной в выражении. Замените каждую переменную в выражении заданным значением, затем упростите полученное выражение, используя порядок операций. Если алгебраическое выражение содержит более одной переменной, замените каждую переменную ее присвоенным значением и упростите выражение, как и раньше.
 Пример 8 
 Описание алгебраических выражений 
 Перечислите константы и переменные для каждого алгебраического выражения.
 ⓐ  х  + 5
 ⓑ
 43πr343πr3
 ⓒ
 2м3н22м3н2
 Решение 
 Константы
 Переменные
 а.  х  + 5
 5
  x 
 б. 43πr343πr3
 43, π43, π
 руб.
 г. 2м3н22м3н2
 2
 м, нм, п
 Попробуй # 8 
 Перечислите константы и переменные для каждого алгебраического выражения.
 ⓐ 2πr (r + h) 2πr (r + h)
 ⓑ2 ( L  +  W )
 ⓒ 4y3 + y4y3 + y
 Пример 9 
 Вычисление алгебраического выражения при различных значениях 
 Вычислите выражение 2x − 72x − 7 для каждого значения  x. 
 ⓐ x = 0x = 0
 ⓑ
 х = 1х = 1
 ⓒ
 х = 12х = 12
 ⓓ
 х = -4х = -4
 Решение 
 ⓐ
 Заменим 0 на x.Икс.
 2x − 7 = 2 (0) −7 = 0−7 = −72x − 7 = 2 (0) −7 = 0−7 = −7
 ⓑЗаменить 1 на x.x.
 2x − 7 = 2 (1) −7 = 2−7 = −52x − 7 = 2 (1) −7 = 2−7 = −5
 ⓒ
 Замените 1212 на x.x.
 2x − 7 = 2 (12) −7 = 1−7 = −62x − 7 = 2 (12) −7 = 1−7 = −6
 ⓓ Замените −4−4 вместо x.x.
 2x − 7 = 2 (−4) −7 = −8−7 = −152x − 7 = 2 (−4) −7 = −8−7 = −15
 Попробуй # 9 
 Вычислите выражение 11−3y11−3y для каждого значения  y. 
 ⓐ
 у = 2у = 2
 ⓑ
 у = 0 у = 0
 ⓒ
 у = 23у = 23
 ⓓ
 у = -5у = -5
 Пример 10 
 Вычисление алгебраических выражений 
 Оцените каждое выражение для заданных значений.
 ⓐ x + 5x + 5 для x = −5x = −5
 ⓑ t2t − 1t2t − 1 для t = 10t = 10
 ⓒ
 43πr343πr3 для r = 5r = 5
 ⓓ  a + ab + ba + ab + b для a = 11, b = −8a = 11, b = −8
 ⓔ
 2m3n22m3n2 для m = 2, n = 3m = 2, n = 3
 Решение 
 ⓐ
 Подставляем −5−5 вместо x.x.
 х + 5 = (- 5) + 5 = 0x + 5 = (- 5) + 5 = 0
 ⓑ
 Заменить 10 на т.т.
 t2t − 1 = (10) 2 (10) −1 = 1020−1 = 1019 t2t − 1 = (10) 2 (10) −1 = 1020−1 = 1019
 ⓒ
 Заменить 5 на r.р.
 43πr3 = 43π (5) 3 = 43π (125) = 5003π43πr3 = 43π (5) 3 = 43π (125) = 5003π
 ⓓ
 Замените 11 вместо aa и –8 на b.b.
 a + ab + b = (11) + (11) (- 8) + (- 8) = 11−88−8 = −85a + ab + b = (11) + (11) (- 8) + (- 8) = 11-88-8 = -85
 ⓔ
 Замените 2 на мм и 3 на n.n.
 2m3n2 = 2 (2) 3 (3) 2 = 2 (8) (9) = 144 = 122m3n2 = 2 (2) 3 (3) 2 = 2 (8) (9) = 144 = 12
 Попробуй # 10 
 Оцените каждое выражение для заданных значений.
 ⓐ
 y + 3y − 3y + 3y − 3 для y = 5y = 5
 ⓑ
 7−2t7−2t для t = −2t = −2
 ⓒ
 13πr213πr2 для r = 11r = 11
 ⓓ
 (p2q) 3 (p2q) 3 для p = −2, q = 3p = −2, q = 3
 ⓔ
 4 (m − n) −5 (n − m) 4 (m − n) −5 (n − m) для m = 23, n = 13m = 23, n = 13
 Формулы 
 Уравнение - это математическое утверждение, указывающее, что два выражения равны.Выражения могут быть числовыми или алгебраическими. Уравнение не является истинным или ложным по своей сути, а всего лишь предположением. Значения, которые делают уравнение истинным, решения находятся с использованием свойств действительных чисел и других результатов. Например, уравнение 2x + 1 = 72x + 1 = 7 имеет единственное решение 3, потому что, когда мы подставляем 3 вместо xx в уравнение, мы получаем истинное утверждение 2 (3) + 1 = 7.2 (3) + 1 = 7.
 Формула - это уравнение, выражающее связь между постоянными и переменными величинами.Очень часто уравнение является средством нахождения значения одной величины (часто одной переменной) с точки зрения другой или других величин. Одним из наиболее распространенных примеров является формула для нахождения площади AA круга через радиус rr круга: A = πr2.A = πr2. Для любого значения r, r площадь AA можно найти, вычислив выражение πr2.πr2.
 Пример 11 
 Использование формулы 
 Правый круговой цилиндр с радиусом rr и высотой hh имеет площадь SS (в квадратных единицах), определяемую формулой S = 2πr (r + h).S = 2πr (r + h). См. Рис. 3. Найдите площадь поверхности цилиндра радиусом 6 дюймов и высотой 9 дюймов. Оставьте ответ в виде π.π.
 Рисунок 3 Правый круговой цилиндр
 Решение 
 Вычислите выражение 2πr (r + h) 2πr (r + h) для r = 6r = 6 и h = 9.h = 9.
 S = 2πr (r + h) = 2π (6) [(6) + (9)] = 2π (6) (15) = 180πS = 2πr (r + h) = 2π (6) [(6) + ( 9)] = 2π (6) (15) = 180π
 Площадь поверхности составляет 180π180π квадратных дюймов.
 Попробуй # 11 
 Фотография длиной  L  и шириной  W  размещается на мате шириной 8 сантиметров (см).Площадь матового покрытия (в квадратных сантиметрах или см  2 ) оказалась равной A = (L + 16) (W + 16) −L⋅WA = (L + 16) (W + 16) −L⋅ W. См. Рис. 4. Найдите площадь подложки для фотографии длиной 32 см и шириной 24 см.
 Рисунок 4
 Упрощение алгебраических выражений 
 Иногда мы можем упростить алгебраическое выражение, чтобы его было легче вычислить или использовать каким-либо другим способом. Для этого мы используем свойства действительных чисел. Мы можем использовать те же свойства в формулах, потому что они содержат алгебраические выражения.
 Пример 12 
 Упрощение алгебраических выражений 
 Упростите каждое алгебраическое выражение.
 ⓐ 3x − 2y + x − 3y − 73x − 2y + x − 3y − 7
 ⓑ
 2r − 5 (3 − r) + 42r − 5 (3 − r) +4
 ⓒ
 (4t − 54s) - (23t + 2s) (4t − 54s) - (23t + 2s)
 ⓓ
 2mn − 5m + 3mn + n2mn − 5m + 3mn + n
 Решение 
 ⓐ 
 3x − 2y + x − 3y − 7 = 3x + x − 2y − 3y − 7 Коммутативное свойство сложения. = 4x − 5y − 7 Упростить. 3x − 2y + x − 3y − 7 = 3x + x − 2y − 3y − 7 Коммутативное свойство сложения.= 4x ​​− 5y − 7 Упростить.
 ⓑ 
 2r − 5 (3 − r) + 4 = 2r − 15 + 5r + 4 Распределительное свойство. = 2r + 5r − 15 + 4 Коммутативное свойство сложения. = 7r − 11 Упростить. 2r − 5 (3 − r) + 4 = 2r− 15 + 5r + 4 Распределительное свойство. = 2r + 5r − 15 + 4 Коммутативное свойство сложения. = 7r − 11 Упростить.
 ⓒ 
 (4t − 54s) - (23t + 2s) = 4t − 54s − 23t − 2s Распределительное свойство. = 4t − 23t − 54s − 2s Коммутативное свойство сложения. = 103t − 134s Упростить. (4t − 54s) - (23t + 2s) = 4t − 54s − 23t − 2s Распределительное свойство. = 4t − 23t − 54s − 2s Коммутативное свойство сложения.= 103t − 134s Упростить.
 ⓓ 
 2mn − 5m + 3mn + n = 2mn + 3mn − 5m + n Коммутативное свойство сложения. = 5mn − 5m + nSimplify.2mn − 5m + 3mn + n = 2mn + 3mn − 5m + n Коммутативное свойство сложения. = 5mn − 5m + n Упростите.
 Попробуй # 12 
 Упростите каждое алгебраическое выражение.
 ⓐ
 23y − 2 (43y + z) 23y − 2 (43y + z)
 ⓑ
 5т − 2−3т + 15т − 2−3т + 1
 ⓒ  4p (q − 1) + q (1 − p) 4p (q − 1) + q (1 − p)
.
 ⓓ  9r− (s + 2r) + (6 − s) 9r− (s + 2r) + (6 − s)
 Пример 13 
 Упрощение формулы 
 Прямоугольник длиной LL и шириной WW имеет периметр PP, равный P = L + W + L + W.П = Д + Ш + Д + Ш. Упростите это выражение.
 Решение 
 P = L + W + L + WP = L + L + W + W Коммутативное свойство сложения P = 2L + 2W Simplify P = 2 (L + W) Распределительное свойство P = L + W + L + WP = L + L + W + W Коммутативное свойство сложенияP = 2L + 2WSimplifyP = 2 (L + W) Распределительное свойство
 Попробуй # 13 
 Если сумма PP депонируется на счет, на котором выплачиваются простые проценты rr в течение времени t, t, общая стоимость депозита AA определяется как A = P + Prt.A = P + Prt. Упростите выражение. (Эта формула будет рассмотрена более подробно позже в курсе.)
 1.1 Упражнения по разделам 
 Устные 
 1.
 Является ли 22 примером рационального завершающего, рационально повторяющегося или иррационального числа? Расскажите, почему он подходит к этой категории.
 2.
 Каков порядок работы? Какой акроним используется для описания порядка операций и что он обозначает?
 3.
 Что ассоциативные свойства позволяют нам делать, следуя порядку операций? Поясните свой ответ.
 Числовой 
 Для следующих упражнений упростите данное выражение.
 4.
 10 + 2 × (5−3) 10 + 2 × (5−3)
 5.
 6 ÷ 2− (81 ÷ 32) 6 ÷ 2− (81 ÷ 32)
 7.
 −2 × [16 ÷ (8−4) 2] 2−2 × [16 ÷ (8−4) 2] 2
 11.
 12 ÷ (36 ÷ 9) + 612 ÷ (36 ÷ 9) +6
 18.
 9− (3 + 11) × 29− (3 + 11) × 2
 24.
 (15-7) × (3-7) (15-7) × (3-7)
 25.
 2 × 4−9 (−1) 2 × 4−9 (−1)
 Алгебраическая 
 Найдите переменную для следующих упражнений.
 28.
 8 (x + 3) –648 (x + 3) –64 для x = 2x = 2
 29.
 4y + 8–2y4y + 8–2y для y = 3y = 3
 30.
 (11a + 3) −18a + 4 (11a + 3) −18a + 4 для a = –2a = –2
 31.
 4z − 2z (1 + 4) –364z − 2z (1 + 4) –36
 для z = 5z = 5
 32.
 4y (7−2) 2 + 2004y (7−2) 2 + 200 для y = –2y = –2
 33.
 - (2x) 2 + 1 + 3− (2x) 2 + 1 + 3
 для x = 2x = 2
 34.
 Для 8 (2 + 4) −15b + b8 (2 + 4) −15b + b
 для b = –3b = –3
 35.
 2 (11c − 4) –362 (11c − 4) –36
 для c = 0c = 0
 36.
 4 (3−1) x – 44 (3−1) x – 4 для x = 10x = 10
 37.
 14 (8w − 42) 14 (8w − 42) для w = 1w = 1
 Упростите выражение для следующих упражнений.
 39.
 2y− (4) 2y − 112y− (4) 2y − 11
 40.
 a23 (64) −12a ÷ 6a23 (64) −12a ÷ 6
 42.
 5л ÷ 3л × (9-6) 5л ÷ 3л × (9-6)
 44.
 4 × 3 + 18x ÷ 9−124 × 3 + 18x ÷ 9−12
 47.
 6 + 12b − 3 × 6b6 + 12b − 3 × 6b
 48.
 18y − 2 (1 + 7y) 18y − 2 (1 + 7y)
 50.
 8 (3-м) +1 (-8) 8 (3-м) +1 (-8)
 51.
 9x + 4x (2 + 3) −4 (2x + 3x) 9x + 4x (2 + 3) −4 (2x + 3x)
 Реальные приложения 
 Рассмотрим следующий сценарий для следующих упражнений: Фред зарабатывает 40 долларов на стрижке газонов.Он тратит 10 долларов на mp3, кладет половину остатка на сберегательный счет и получает еще 5 долларов за мытье машины своего соседа.
 53.
 Напишите выражение, которое представляет количество долларов, которые Фред держит (и не кладет на свой сберегательный счет). Запомните порядок действий.
 54.
 Сколько денег у Фреда?
 Решите данную задачу с помощью следующих упражнений.
 55.
 По данным Монетного двора США, диаметр четверти равен 0.955 дюймов. Окружность четверти равна диаметру, умноженному на π.π. Является ли окружность четверти целым числом, рациональным числом или иррациональным числом?
 56.
 Джессика и ее соседка по комнате Адриана решили разделить банку мелочи на совместные расходы. Джессика сначала положила мелочь в банку, а затем Адриана положила ее в банку. Мы знаем, что не имеет значения, в каком порядке изменение было добавлено в банку. Какое свойство сложения описывает этот факт?
 Для следующих упражнений рассмотрите следующий сценарий: В карьере есть насыпь из нескольких фунтов гравия.В течение дня к насыпи добавляют 400 фунтов гравия. Проданы два заказа по 600 фунтов, и гравий убран с насыпи. В конце концов, в кургане есть 1200 фунтов гравия.
 57.
 Напишите уравнение, описывающее ситуацию.
 Для следующего упражнения решите данную задачу.
 59.
 Рамон руководит отделом маркетинга в своей компании. Его отдел получает бюджет каждый год, и каждый год он должен расходовать весь бюджет, не превышая его.Если он тратит меньше бюджета, то на следующий год его отдел получает меньший бюджет. В начале этого года Рамон получил 2,5 миллиона долларов в годовой маркетинговый бюджет. Он должен израсходовать бюджет так, чтобы 2 500 000 − x = 0,2 500 000 − x = 0. Какое свойство сложения говорит нам, каким должно быть значение  x ?
 Technology 
 В следующих упражнениях используйте графический калькулятор, чтобы найти  x . Округлите ответы до ближайшей сотой.
 60.
 0,5 (12,3) 2−48x = 350,5 (12,3) 2−48x = 35
 61.
 (0,25−0,75) 2x − 7,2 = 9,9 (0,25−0,75) 2x − 7,2 = 9,9
 Расширения 
 62.
 Если целое число не является натуральным числом, каким должно быть это число?
 63.
 Определите, является ли утверждение истинным или ложным. Мультипликативная обратная величина рационального числа также является рациональной.
 64.
 Определите, является ли утверждение истинным или ложным: произведение рационального и иррационального числа всегда иррационально.
 65.
 Определите, рационально или иррационально упрощенное выражение: −18−4 (5) (- 1) .− 18−4 (5) (- 1).
 66.
 Определите, рационально или иррационально упрощенное выражение: −16 + 4 (5) + 5. −16 + 4 (5) +5.
 67.
 Какой тип числа всегда будет результатом деления двух натуральных чисел?
 68.
 Какое свойство действительных чисел упростило бы следующее выражение: 4 + 7 (x − 1)? 4 + 7 (x − 1)?
 .